精品解析：广东省深圳市宝安中学2025-2026学年九年级上学期第二周周测数学试卷

宝安中学（集团）初中部九年级上数学第2周周末试卷 一、选择题（8×3=24分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，当时，是一元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法的步骤是解本题的关键． 方程常数项移到右边，两边加上1，运用完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 4. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有人，每两个同学都相互赠送一张卡片，即一个人送出张，依题意列方程，计算即可． 【详解】解：设该兴趣小组的人数为人，则每个同学需送出张卡片， 依题意，得：． 解得或（舍去）， 即该小组一共有18名成员， 故选：C． 5. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 6. 如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】延长，，交于点，由平分，，可得，，，结合是中点，得到是的中位线，即可求解， 本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由∵是中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 7. 如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A． 【详解】解：过点D作DE⊥BC， ∵平行四边形ABCD中，AD=DC， ∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC， ∴当点P在边AD上运动时，y的值不变， ∴AD=a，即菱形的边长是a， ∴a•DE＝2a，即DE=4． 当点P在DB上运动时，y逐渐减小， ∴DB=5， ∴BE=， 在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4， ∴a2=42+（a-3）2，解得a=， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键． 二、填空题（5×3=共15分） 8. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．把代入关于x的一元二次方程，得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 【答案】2018 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义． 根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义求出k的取值范围即可． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且． 故答案为：且． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】如图，连接BD交AC于点O．根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据中位线的判定与性质得到FG∥BD，FG=BD，易证EF∥AC，因为AF=BF，所以BE=CE，根据等边三角形的判定得到△ABC是等边三角形，然后根据题意求得个线段长即可. 【详解】如图，连接BD交AC于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AF=FB，AG=GD， ∴FG∥BD， ∵∠EFG=90°， ∴GF⊥EF， ∴BD⊥EF， ∵AC⊥BD， ∴EF∥AC， ∵AF=BF， ∴BE=EC， ∵AE⊥BC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵AB=4， ∴OB=2， ∴BD=2OB=4， ∵FG=BD， ∴FG=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 三、解答题（共61分） 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法、因式分解法解一元二次方程，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键． （1）直接利用公式法解方程得出即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式得出即可； （3）直接利用十字相乘法分解因式得出即可； （4）直接利用十字相乘法分解因式得出即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ， 或， ； 【小问4详解】 解：， ， 或， 14. 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… （1）上述过程中，从第____步开始出现错误． （2）请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）② （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误，错误的原因是除法没有分配律，而题目中却使用了这个； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分化简，再从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【小问1详解】 解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ∴选择代入， 当时，原式． 15. 综合与实践 心胸有六尺，世间颂家风 【调查目的】2024年10月17日，习近平考察安徽省桐城市的六尺巷，2025年习主席在新年贺词中再次提出“六尺巷礼让家风代代相传”．好的家风对青少年的健康成长起着重要的作用．某校在做“校风与家风”的课题研究，并开设相应的校本课程．为此举行了“校风与家风”的知识竞赛（满分100分），抽查了部分同学的成绩进行数据分析． 【数据收集与整理】 收集 将被抽查的九年级学生竞赛分数x（单位：分）按从小到大的顺序收集如下： …，69，70，72，72，73，73，74，75，76，78，78，78，79，80，80，81，82，83，84，84，85，85，86，87，… 整理 ①各年级抽查人数的扇形统计图如图所示： ②抽查的50名九年级学生竞赛的分数整理后绘制成频数分布表，如下表所示 分组 频数 频率 组中值 3 55 10 65 m 75 n 85 10 95 ③七年级抽查的学生有8人90分及90分以上，八年级抽查的学生有10人90分及90分以上． 【数据分析】请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽查了______人，七年级抽查了______人； （2）①表中m的值是______，n的值是______； ②表中每组的组中值可以近似作为该组的平均分，求抽查的九年级学生的平均分． 【数据应用】（3）已知该校七年级学生有800人，八、九年级学生各有750人，请你估计该校有多少人90分及90分以上． 【答案】（1）150，40；（2）①12，15；②抽查的九年级学生的平均分是分；（3）该校约有435人90分及90分以上 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，频数分布表，加权平均数，用样本估计总体． （1）将抽查九年级学生人数50除以比例，即可求出本次共抽查的人数，将总人数乘以七年级的占比即可解答； （2）①由收集的数据可知数据在分组中的有12人即可得到m，将九年级抽查的人数人数减去各组人数即可得到n；． ②根据加权平均数计算即可； （3）将各级人数分别乘以对应的90分及以上的比例即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知抽查了50名九年级学生，占总体的， 所以本次共抽查了（人）， 七年级抽查了（人）． 故答案为：150；40． （2）①由收集的数据可知数据在分组中的有12人，故． ∴． 故答案为：12；15． ② 答：抽查的九年级学生的平均分是分． （3）（人）． 答：该校约有435人90分及90分以上． 16. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：选①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形； (2)由得，根据勾股定理求得则 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 17. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 【答案】（1）该商店安全头盔销售量的月平均增长率为 （2）该头盔的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，“月销售利润达到元”列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元/个， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价为元/个． 18. 材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． （1）方程 （填是或不是）“和积方程”； （2）若关于x的方程是“和积方程”，则_____ （3）若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）m的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 【小问3详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 19. 如图，和均为等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，． （1）【观察猜想】 如图①，当点在的延长线上时，线段与的数量关系为________； （2）【类比探究】 将绕点顺时针旋转至如图②所示位置，连接，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】 若，，将绕点顺时针旋转过程中，当，，三点共线时，请求出的长． 【答案】（1） （2） 结论成立． 证明：如图②，延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ． ∴，． ． ． ， ． ， ． ． ，， ． ，． ． ． （3）或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）延长交的延长线于点，证明，推出，可得结论； （2）延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点，首先证明，推出，，再证明，推出，，可得结论； （3）分两种情形，当点落在上时，当点落在上时，利用勾股定理分别求解． 【小问1详解】 解：． 如图①，延长交的延长线于点， ， ． ． 为的中点， ． 在和中， ， ． ． ，为的中点， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）可知，． 如图③-1，当点落在上时， 在中，，， ． ． ． 如图③-2中，当点落在上时， 在中，，， ． ． ． ． 综上所述，满足条件的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学（集团）初中部九年级上数学第2周周末试卷 一、选择题（8×3=24分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 5. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 6. 如图，在中，是中线，平分，过点B作交延长线于点F，垂足为点F，连接，若，，则长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 7. 如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（5×3=共15分） 8. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________ 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____. 三、解答题（共61分） 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 14. 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… （1）上述过程中，从第____步开始出现错误． （2）请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 15. 综合与实践 心胸有六尺，世间颂家风 【调查目的】2024年10月17日，习近平考察安徽省桐城市的六尺巷，2025年习主席在新年贺词中再次提出“六尺巷礼让家风代代相传”．好的家风对青少年的健康成长起着重要的作用．某校在做“校风与家风”的课题研究，并开设相应的校本课程．为此举行了“校风与家风”的知识竞赛（满分100分），抽查了部分同学的成绩进行数据分析． 【数据收集与整理】 收集 将被抽查的九年级学生竞赛分数x（单位：分）按从小到大的顺序收集如下： …，69，70，72，72，73，73，74，75，76，78，78，78，79，80，80，81，82，83，84，84，85，85，86，87，… 整理 ①各年级抽查人数的扇形统计图如图所示： ②抽查的50名九年级学生竞赛的分数整理后绘制成频数分布表，如下表所示 分组 频数 频率 组中值 3 55 10 65 m 75 n 85 10 95 ③七年级抽查的学生有8人90分及90分以上，八年级抽查的学生有10人90分及90分以上． 【数据分析】请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽查了______人，七年级抽查了______人； （2）①表中m的值是______，n的值是______； ②表中每组的组中值可以近似作为该组的平均分，求抽查的九年级学生的平均分． 【数据应用】（3）已知该校七年级学生有800人，八、九年级学生各有750人，请你估计该校有多少人90分及90分以上． 16. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 17. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 18. 材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． （1）方程 （填是或不是）“和积方程”； （2）若关于x的方程是“和积方程”，则_____ （3）若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 19. 如图，和均为等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，． （1）【观察猜想】 如图①，当点在的延长线上时，线段与的数量关系为________； （2）【类比探究】 将绕点顺时针旋转至如图②所示位置，连接，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】 若，，将绕点顺时针旋转过程中，当，，三点共线时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $