精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县昌平乡初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学上册素养达标训练测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质直接回答即可． 【详解】解：抛物线，的开口向上，的开口向下，故错误； 抛物线，，的顶点为，对称轴为y轴，故正确，错误； 其中正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质． 2. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 3. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键． 【详解】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限， ∴，， ∴， 又∵当时，， ∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧． 故选：A． 4. 下列关于抛物线的说法正确的有（ ）个 ①开口向上；②对称轴是；③当时，y取最小值5；④当或时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系，先把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，由此即可判断①②③，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值； 当时，解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∴当或时，， ∴正确的有①④， 故选：B． 5. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 6. 已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵，点是关于直线的对称点， ∴，， 在中，可有，即， ∵均为定值， ∴当与重合时，取最小值，此时， ∵的最小值是2，即有， ∴， 如下图， ∵为锐角， ∴为钝角， ∴，即， ∵， ∴选项A错误，不符合题意； 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴选项C、D错误，不符合题意． 综上所述，选项B符合题意． 故选：B． 7. 如图，李大爷用米长的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据篱笆长可得2AB+x=24，先表示出矩形的长，再由矩形的面积公式就可以得出结论． 【详解】解：由题意得：2AB+x=24， ∴AB= ； ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式． 8. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 9. 已知△ABC是等边三角形，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值和等边三角形的性质． 由等边三角形的每个内角均为，可得∠，直接计算的值即可． 【详解】∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 10. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪．测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得出结论. 【详解】解：如图，过C作CF⊥AB于F 则四边形BFCD是矩形， BF=CD=1.2米，CF=BD=m米， ， ， ， 米， 即旗杆高度为米， 故答案选D. 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，根据仰角俯角一定以，并根据题中图形构造合适的直角三角形是解题关键. 11. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A. B. 2 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 12. 如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，利用抛物线顶点式求出a的值，当点横坐标最大时，抛物线顶点为，求出抛物线解析式，令y=0，解方程求出与x轴的右交点即可得出点横坐标最大值． 【详解】解：当点A为抛物线顶点时，此时点C的横坐标取最小值， ∵点C的横坐标最小值为﹣3， ∴点C坐标为（-3，0）， 设抛物线解析式为， ∵点C（-3，0）抛物线上， ∴， ∴， 抛物线在平移过程中形状不变， 当抛物线平移到点B时，即点B为抛物线的顶点， 此时抛物线解析式为， 令y=0，， 解得， ∴或， 点D的横坐标的最大值为8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和图象，图像平移，抛物线的开口大小与方向不变，明确当点横坐标最大时，抛物线顶点为是解此题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 二次函数的图象的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数，可得该二次函数的对称轴为直线； 故答案． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14. 如果（、均不），则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案． 【详解】解：因为，所以． 故答案为． 15. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16. 如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上，若．则河流的宽度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角的相关知识，构造直角三角形，正确使用锐角三角函数求线段长是解题的关键． 过点作于点，所以四边形是矩形，先在 中求出的长，即的长，再在中求出的长，所以的长即为减去的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意得， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ∴河流的宽度为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 在中，的对边分别为，已知，，求的度数及的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出三角形的边长．先根据勾股定理求出边的长，再根据等腰直角三角形求出角度即可． 【详解】解： 故的度数均为，的长为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形． （1）如图1，作一条线段，使它是向右平移2个单位长度后的图形； （2）如图2，作一个轴对称图形，使和是它的两条边； （3）如图3，作一个与相似的三角形，相似比不等于1． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与平移变换． （1）把点、向右作平移2个单位得到； （2）作点关于的对称点即可； （3）延长到使，延长到点使，则满足条件． 【小问1详解】 解：如图1，为所作； ； 【小问2详解】 解：如图2所示图形即为所求， ； 【小问3详解】 解：如图3，为所作． ． 19. 在中，，已知，，求的三角函数值． 【答案】；； 【解析】 【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据三角函数定义，求出的三角函数值即可． 【详解】解　由勾股定理得， ∴， ， ． 20. 探究发现：如图1，在的网格图中，在线段上求一点，使得；小明同学发现，先在点的左侧取点，使为1个单位长度，在点的右侧取点，使为2个单位长度，然后连结交于点（如图1），就可以得到点． （1）直接写出图1中 ，请你学习小明的做法，并在图2中画出一种不同的做法； （2）请你在图3中线段上作一点，使得（保留作图痕迹）． 【答案】（1）3，见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，两点间距离，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）连接，根据求解；如图 2 中，取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 如图2中，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图3中，点即为所求． ∵， ∴， ， ． 21. 已知，如图，△ABC中，DE∥BC， （1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长； （2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长； （3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB长． 【答案】（1）；（2）；（3）AD=9，DB=6． 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理,选择适当的比例计算即可； （2）利用平行线分线段成比例定理,先计算AE，后计算EC； （3）利用平行线分线段成比例定理，确定AD:DB，联立求解即可． 【详解】（1）∵DE∥BC， ∴AD：DB=AE：EC， ∵AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm， ∴2：3=1：EC， 解得EC=； （2）∵DE∥BC， ∴AD：AB=AE：AC， ∵AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm， ∴2：5=AE：4， 解得AE=； ∴EC=AC-AE=； （3）∵DE∥BC， ∴AD：DB=AE：EC， ∵AE：EC＝2：3， ∴AD：DB=2：3 设AD=2k，则DB=3k， ∵DB﹣AD＝3cm， ∴3k-2k=3， 解得k=3， ∴AD=3k=9，DB=2k=6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意灵活选择不同的比例式是解题的关键． 22. （1）已知反比例函数的图象经过点，求时，y的值； （2）如图，为了测量池塘的宽BC，学校测量组在直线上的A点测得为4米，且，在D点测得米，且，求池塘的宽（结果精确到米）（参考数据） 【答案】（1），（2）米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式和用三角函数值解直角三角形是解题的关键． （1）先根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，再将代入，即可求解． （2）先利用米，，求出的长度，再减去的长度，即可求解． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，． （2）在中，米，， 由，可知米， 米． 答：池塘的宽为米． 23. 如图，点A与点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． (1)求A点的坐标； (2)求△BOB′的面积； (3)若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 【答案】(1) (4,2)；(2) 4；(3)6. 【解析】 【分析】（1）把y=2代入函数解析式即可求得A的横坐标即可求得A的坐标； （2）根据反比例函数的解析式的意义即可求得三角形的面积； （3）根据△AOB的面积=△OBB'的面积+S梯形OA'AB的面积-△OAA'的面积求解． 【详解】解：(1)当y＝2时，则x＝＝4.即点A的坐标是(4,2)； (2)S△BOB′＝×8＝4； (3)在y＝中，当x＝2时，y＝＝4，则B的坐标是(2,4)， 根据反比例函数的解析式知，三角形OAA′的面积和三角形OBB′的面积相等，都是4，则直角梯形ABB′A′的面积是×(2＋4)×2＝6.所以S△OAB=S△BOB′＋S梯形SA′ABB′－S△OAA′＝4＋6－4 ＝6. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，要能够熟练运用待定系数法求得反比例函数的解析式；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册素养达标训练测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于抛物线的说法正确的有（ ）个 ①开口向上；②对称轴是；③当时，y取最小值5；④当或时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 6. 已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，李大爷用米长篱笆靠墙围成一个矩形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 9. 已知△ABC是等边三角形，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪．测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则长度是（　　） A. B. 2 C. 8 D. 12. 如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 二次函数的图象的对称轴是直线______． 14. 如果（、均不为），则_____． 15. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 16. 如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上，若．则河流的宽度为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 在中，的对边分别为，已知，，求的度数及的长． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形． （1）如图1，作一条线段，使它是向右平移2个单位长度后的图形； （2）如图2，作一个轴对称图形，使和是它的两条边； （3）如图3，作一个与相似的三角形，相似比不等于1． 19. 在中，，已知，，求的三角函数值． 20. 探究发现：如图1，在的网格图中，在线段上求一点，使得；小明同学发现，先在点的左侧取点，使为1个单位长度，在点的右侧取点，使为2个单位长度，然后连结交于点（如图1），就可以得到点． （1）直接写出图1中 ，请你学习小明的做法，并在图2中画出一种不同的做法； （2）请你在图3中线段上作一点，使得（保留作图痕迹）． 21. 已知，如图，△ABC中，DE∥BC， （1）若AD＝2cm，DB＝3cm，AE＝1cm，求EC的长； （2）若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长； （3）若AE：EC＝2：3，DB﹣AD＝3cm，求AD和DB的长． 22. （1）已知反比例函数的图象经过点，求时，y的值； （2）如图，为了测量池塘宽BC，学校测量组在直线上的A点测得为4米，且，在D点测得米，且，求池塘的宽（结果精确到米）（参考数据） 23. 如图，点A与点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足． (1)求A点的坐标； (2)求△BOB′的面积； (3)若B点的横坐标为2，求△OAB的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $