精品解析：2025年四川省广元市利州区九年级第一次学业水平质量监测数学试题

2025年利州区九年级第一次学业水平质量监测 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ） A. 145° B. 135° C. 125° D. 120° 5. 某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛．比赛中，九位评委给某个选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 6. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，是的中点，连接交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为．若的长为，试问鱼竿有多长？设长为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 9. 如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 10. 抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上） 11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 2025年春节大年初一，广元市纳入统计的46家A级旅游景区一共接待游客19.51万人次，实现门票收入292.49万元，将19.51万人用科学记数法表示为______人． 13. 有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 14. 如图，在扇形中，，，以为圆心为半径画弧交弧于点，连接，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为______． 16. 如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 19. 某市为创建全国文明城市，进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，在市区中学生中组织了一次交通安全知识竞赛活动，取得了良好的效果．赛后区团委随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理后按分数分组如下：A、，B、，C、，D、，并绘制出两幅不完整的统计图，请根据提供的信息，解决下列问题： （1）求本次一共抽取了多少名学生的竞赛成绩？并补全频数直方图； （2）该区共有18000名中学生，若竞赛成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该区竞赛成绩为“优”的学生有多少人？ （3）D组中成绩为100分的同学共有四人（三男一女），现准备从他们中随机选出两位同学参加市级竞赛，请用画树状图或列表法求刚好抽到一男一女的概率． 20. 如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】 21. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． （1）请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． （2）求的值． 22. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． （1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． （1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； （2）在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． （1）若，求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图1，在中，，为的中点，为边上一点，连接，过点D作于点，连接． （1）猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； （2）若，探究与的数量关系，并证明； （3）如图2，延长交于，在（2）的条件下，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）当时，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． （3）当时，抛物线在、两点间（包括、两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年利州区九年级第一次学业水平质量监测 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解， 【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意， ∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意， 故选：C． 2. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ） A. 145° B. 135° C. 125° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】根据，由两直线平行同位角相等可推导；根据GE⊥EF，可知；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（）计算∠2即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵GE⊥EF， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 5. 某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛．比赛中，九位评委给某个选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义即可求解，熟记：“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”是解题的关键． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，中位数依然是最中间那个数或中间两个数的平均数， 则中位数一定不发生变化， 故选D． 6. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，是的中点，连接交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确理解和运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，由平行线的性质及角平分线的性质得出，得出，由中点的定义得出，进而求出；根据，，则，根据相似三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为．若的长为，试问鱼竿有多长？设长为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可． 【详解】解：设长，则， 在中，， 在中，， ， ， 即． 故选：A． 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 9. 如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，，勾股定理，圆周角定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 过作，连接，，由圆周角定理可得，进而得到，再根据是另一侧半圆的中点，得到，继而得到，进而得到，再由，即可得到，即可求． 【详解】解：过作，连接，， 是的直径， ， ，， ，， 是另一侧半圆的中点， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，解得， ， ， ，即，解得， ． 故选：C． 10. 抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 根据抛物线过点和顶点，可得对称轴，从而；由与y轴交点范围得且，进而求出的范围；再逐一判断各结论的正确性． 【详解】∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标， ∴对称轴，即， 代入A点坐标：， 结合，得， ∵与y轴交点在和之间， ∴， 解得； 结论①：， ∵， ∴，即，故①正确； 结论②：抛物线开口向下，对称轴， 点距对称轴，点距对称轴， ∵， ∴，故②正确； 结论③：方程， ∵顶点为最大值，， ∴直线与抛物线无交点，方程无实根，故③错误； 结论④：， 代入，， 整理得， ∵且， ∴不等式恒成立，故④正确； 结论⑤：由解析得，故⑤正确． 综上，正确结论有4个． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上） 11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集． 【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件： 对于分子，有，即； 对于分母，有，即； 因此，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 2025年春节大年初一，广元市纳入统计的46家A级旅游景区一共接待游客19.51万人次，实现门票收入292.49万元，将19.51万人用科学记数法表示为______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，正确确定的值是解题的关键． 将19.51万人用的形式表示出来，其中，为整数． 【详解】万， ． 故答案为：． 13. 有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可． 【详解】卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，，以为圆心为半径画弧交弧于点，连接，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形面积，等边三角形性质和判定，连接，证明为等边三角形，结合等边三角形性质和扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ，， 由题知，， 为等边三角形， ， 图中阴影部分的面积为：扇形的面积扇形的面积， 即； 故答案为：． 15. 如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 16. 如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查动点最值问题，中点公式，两点间距离公式，适当建系是解题的关键． 根据题意，以为原点建立坐标系，利用待定系数法得到直线的解析式，接着可设，根据中点公式得到，再由两点间距离公式结合二次函数最值求解即可． 【详解】如图：以为原点建立坐标系， 则，，，， 设直线的解析式为， ，解得， 所以直线的解析式为， 则可设 为的中点， ，即， ， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 代入， 原式． 18. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴． 在中，∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 19. 某市为创建全国文明城市，进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，在市区中学生中组织了一次交通安全知识竞赛活动，取得了良好的效果．赛后区团委随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理后按分数分组如下：A、，B、，C、，D、，并绘制出两幅不完整的统计图，请根据提供的信息，解决下列问题： （1）求本次一共抽取了多少名学生的竞赛成绩？并补全频数直方图； （2）该区共有18000名中学生，若竞赛成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该区竞赛成绩为“优”的学生有多少人？ （3）D组中成绩为100分的同学共有四人（三男一女），现准备从他们中随机选出两位同学参加市级竞赛，请用画树状图或列表法求刚好抽到一男一女的概率． 【答案】（1），补全频数分布直方图和扇形统计图如解图： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形图的关联求值，由样本估计总体，树状图法求概率等知识；掌握图表所表达的数据意义是解题关键． （1）根据C组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可求得A组的人数，从而可以解答本题； （2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该区竞赛成绩为“优”的学生比例，再估计人数即可； （3）列出树状图，再根据题意求概率即可． 【小问1详解】 解：（1）由统计图可知C组的人数为，所占的百分比为， 本次抽取的总人数为（名）， ∴竞赛成绩在“A”组的人数为（名）； 补全频数分布直方图和扇形统计图略 【小问2详解】 ∵成绩达到80分以上（含80分）的百分比为， ∴ 估计该区竞赛成绩为“优”的学生有（人）． 【小问3详解】 根据题意，不妨用表示三名男同学，用表示一名女生， 列树状图如下： 共12种，其中刚好抽到一男一女的有种， 所以刚好抽到一男一女的概率为． 20. 如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先根据题意得到对应线段的长度，再根据特殊的三角函数得到的长度，进而得到的长度，再根据解直角三角形得到答案即可； 【详解】解：由题意可知：，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴ 即潮汐塔的高度约为． 21. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． （1）请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． （2）求的值． 【答案】（1） ①所作圆心，以及的中点，如图所示： ②所作的切线如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了找圆的圆心，线段的中点，垂直平分线作法及性质，切线的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正弦的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①作线段与线段的垂直平分线，线段与线段的垂直平分线交点即为圆心，线段的垂直平分线与的交点，即为的中点； ②连接，过点作的垂线，即可解题； （2）连接，利用勾股定理分别算出，再结合勾股定理逆定理推出，最后根据正弦的定义求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，，， 且， ， ． 22. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． （1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】（1）4500元 （2）5种 （3）购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【小问1详解】 解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； 【小问2详解】 解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； 【小问3详解】 解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 23. 如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． （1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； （2）在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 （2）存在，周长的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 24. 如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． （1）若，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形． （1）连接，先证，再证，得到，可得结论； （2）先证明，得到，再利用三角形函数得，最后求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又∵在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 25. 如图1，在中，，为的中点，为边上一点，连接，过点D作于点，连接． （1）猜想与间的数量关系，并证明你的猜想； （2）若，探究与的数量关系，并证明； （3）如图2，延长交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 解：在中，， 故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴，结合， 可得． （2） 连接，过点作交线段于点，过点作交线段于点，过点作交线段于点，如下图所示 ∵三角形为等腰直角三角形，点为中点，易得， 假设的长度为，∵，， ∴，结合，得， ∴， ∵，，故三角形也是等腰直角三角形， ∴，又∵， 结合勾股定理得， ∵，， ∴， ∴，∵，，，， 解得，， ∵，， ∴， ∴，∵，，，， 解得，， ∴， ∵，故四边形为矩形， ∴，，∵， ∴，结合，， 由勾股定理可得， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】本题考查特殊三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）以为连接与的桥梁，表示出的代数式以及的代数式，最后可得出与的数量关系； （2）连接，过点作交线段于点，过点作交线段于点，过点作交线段于点，根据相似、平行线所截线段成比例、勾股定理、等腰直角三角形的性质综合，求出多个相关线段的长度，得出与的长度，即可得出二者的数量关系； （3）由（2）中所得的性质，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图： 由（2）中可得， 所以，∵，， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）经过点，．点在该抛物线上，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）当时，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求的值． （3）当时，抛物线在、两点间（包括、两点）的部分图象的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入解析式中，得到二元一次方程组，求解即可解答； （2）由题意得到点，，设与x轴的交点为M，连接，待定系数法求出直线解析式为，进而得到点，根据两点间的距离公式求出，，，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而； （3）抛物线的顶点坐标为，分三种情况讨论：①，②，③，分别找出最高点与最低点，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，即可列出方程，求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点P在该抛物线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 设与x轴的交点为M，连接， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， 直线解析式为， 令，则， 解得， ∴ ∵， ，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线的顶点坐标为， ①当时，最高点为顶点，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴都舍去； ③当时，最高点为，最低点为， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得， ∵， ∴； 综上所述，最高点与最低点的纵坐标之差为时，或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，勾股定理的逆定理，锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $