精品解析：山东省日照经济技术开发区中学2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试题

2025-2026学年上学期八年级数学学科学情检测（三） 一、选择题（每小题3分共，30分） 1. 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 3. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 3x D. ﹣3x 4. 把分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 5. 若(-2x+a)(x-1)的展开式中不含x的一次项，则a的值是( ) A. -2 B. 2 C. -1 D. 任意数 6. 要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 无数个 7. 下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A. x B. y C. D. 9. 多项式分解因式后有一个因式是，则等于（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 10. 如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 已知，，则____． 12. 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________． 13. 对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 14. 已知，满足，，则，的大小关系为____． 15. 规律探究题计算：_____． 16. 粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 三、解答题（本大题共8小题共72分） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 20. 计算求值： （1）用简便计算：； （2）若， ①求的值； ②求的值． 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 22. 比较与的大小． （1）尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； （2）归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． （3）拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求、的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 24. 如图1，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，，的长度分别为和且满足． （1）判断的形状； （2）如图2，过点的直线与直线交于点，过，两点分别作于点，于点，若，，求的长； （3）如图3，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，，试探究线段与的关系，写出你的结论并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级数学学科学情检测（三） 一、选择题（每小题3分共，30分） 1. 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，分解因式是指将多项式化为几个整式的积的形式，需检查每个选项的左边是否为多项式，右边是否为积的形式且变形正确，熟练掌握分解因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是分解因式； B、右边不是积的形式，有“”，不是分解因式； C、右边是积，但计算，变形错误，不是分解因式； D、左边是多项式，右边是积的形式，且，变形正确，是分解因式； 故选：D． 2. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 3. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 3x D. ﹣3x 【答案】C 【解析】 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，将等式左边进行单项式乘多项式的计算，从而求解 【详解】解：-3x（-2x2+3x-1）=6x3-9x2+3x． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 4. 把分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】C 【解析】 【分析】由题意把、代入分式，再把化简结果与原分式比较即可作出判断. 【详解】解：∵把分式中的、都扩大为原来的2倍 ∴ ∴分式的值扩大为原来的倍． 故选：C 【点睛】本题属于基础题目，只需学生熟练掌握分式的基本性质，即可顺利完成解答. 5. 若(-2x+a)(x-1)的展开式中不含x的一次项，则a的值是( ) A. -2 B. 2 C. -1 D. 任意数 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果中不含x的一次项即可确定出a的值． 【详解】（-2x+a）（x-1）=-2x2+（a+2）x-a， 由结果中不含x的一次项，得到a+2=0，即a=-2． 故选A． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 7. 下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注意多项式的形式是否符合公式要求． 检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【详解】解：①，能用平方差公式分解； ②，能用平方差公式、完全平方公式分解； ③，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解； ④，平方和不能分解，故不能用公式法分解； 综上，能用公式法分解的有2个， 故选：B． 8. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A. x B. y C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 多项式分解因式后有一个因式是，则等于（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，设，结合多项式乘以多项式的运算法则将右边展开，对应相等，计算即可得出结果，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵多项式分解因式后有一个因式是， ∴设， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确表示出与． 先根据阴影部分面积为4个底为，高为的三角形面积和表示出，再由大正方形的面积减去表示，然后根据建立等式，再化简、进行因式分解求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 故选：B． 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 已知，，则____． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂的乘除运算法则，幂的乘方，将所求代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：45． 12. 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键． 13. 对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 【答案】1012 【解析】 【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1012． 14. 已知，满足，，则，的大小关系为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过计算与的差值，并利用完全平方公式将差值化为完全平方式之和加常数，根据非负性判断差值恒为正，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 规律探究题计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 16. 粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 【答案】米/分 【解析】 【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度 【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得 平均速度为 （米/分）． 故答案为：米/分． 三、解答题（本大题共8小题共72分） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （3）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的运算（如幂的乘方、积的乘方）和乘法公式（如完全平方公式、平方差公式）的应用． （1）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并同类项； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）, （2）， 【解析】 【分析】此题考查了整式、分式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，多项式除以单项式法则，平方差公式，完全平方公式计算得到最简结果，然后把，的值代入计算即可； （2）先进行分式的乘法运算，再计算加法，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解 ， ， 当，时， 原式， ． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 计算求值： （1）用简便计算：； （2）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①8；②11 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，整式的加减运算，利用完全平方公式变形求值，分式的化简求值等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先将变形为，再由平方差公式求解； （2）①由得到，，然后再代入求值；②将变形为，再由完全平方公式变形求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∴ ； ②∵， ∴（）， ∴， ∴． 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】 解：设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0）． ∵， ∴＝2，＝18； 又∵， ∴＝－12． ∴原多项式为，将它分解因式，得 ． 【解析】 【分析】设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0），然后分别把两位同学因式分解的结果化为多项式，即可求出a、b、c的值，从而得到原多项式为，然后进行分解因式即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式和因式分解的方法． 22. 比较与的大小． （1）尝试（用“>”“<”或“=”填空）： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； （2）归纳：若为任意实数，则与有怎样的大小关系？试说明理由． （3）拓展解决实际问题：小明的爷爷在自家的小院利用两面成直角的围墙及一段长为6米的木栅栏围成一个长方形的鸡舍，如图平行于墙面的一边为米，利用完全平方公式求出鸡舍面积的最大值． 【答案】（1）；；； （2） 解：则，理由如下： ∵， ∴，即． （3）当米时，鸡舍面积最大为9平方米． 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是正确计算并熟练掌握完全平方公式． （1）将数值分别代入求解比较大小即可； （2）完全平方公式的非负性判断即可； （3）先表示出鸡舍的另外一边，再根据配方法配成完全平方式，由此求解最大值即可． 【小问1详解】 解：①当时，，， ∴当时，； ②当时，，， ∴当时，； ③当时，，， ∴当时，； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵总长为6米的木栅栏，平行于墙面的一边为米， 则鸡舍的另一边为米， ∴鸡舍面积为， ∵，即， 当且仅当米时，，鸡舍面积最大为9平方米． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求、的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 【答案】（1）， （2）， （3）4054 （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 ， 又，， ． ， 又， ． ． 【小问3详解】 设，， 则， ， ． ． 【小问4详解】 设，，则，， ． 24. 如图1，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，，的长度分别为和且满足． （1）判断的形状； （2）如图2，过点的直线与直线交于点，过，两点分别作于点，于点，若，，求的长； （3）如图3，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，，试探究线段与的关系，写出你的结论并证明． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）10 （3），， 证明：线段与的数量关系为，位置关系为，证明如下： 延长至点C，使得，连接，，，如图， ∵点为的中点， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即为等腰直角三角形， 又∵， ∴点P为的中点， ∴，即， 且， ∴， ∴线段与的数量关系为，位置关系为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，转化边角关系． （1）将配方成的形式，即可得m与n的关系，由此可判断形状； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解的长； （3）作辅助线构造全等三角形，又边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，即可证明为等腰直角三角形，由此可得线段与的数量关系与位置关系． 【小问1详解】 解：∵，的长度分别为和且满足， ∴可得，即， ∴， 又， ∴的形状为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $