精品解析：黑龙江省大庆市第五十一中学2025-2026学年七年级（五四制）上学期12月月考数学试题

大庆市第51中学月考试题 初二数学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ） A. 必有一个角等于 B. 必有一个角等于 C. 必有一个角等于 D. 必有一个角等于 【答案】D 【解析】 【分析】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案. 【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况： ① ② ③ 综上所述，必有一个角等于90° 故选D. 【点睛】本题考查三角形内角和性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论. 2. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4．  三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，由此说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，即可判定两三角形全等． 【详解】解：从作图的步骤可知，，，， ， 故选：A． 4. 如图所示，选项的图形中与图中一定全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：A、与有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等，故本选项不符合题意； B、与有两边及其夹角相等，二者全等，故本选项符合题意 C、与有两边相等，而夹角不相等，二者一定不全等，故本选项不符合题意； D、与有两角对应相等，但边不一定对应相等，二者一定不全等，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为（ ） A. 45° B. 55° C. 35° D. 65° 【答案】B 【解析】 【详解】∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°， ∴∠DFC=35°， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED=∠CDF=90°. ∵在Rt△BDE与△Rt△CFD中BE=CD，BD=CF， ∴Rt△BDE≌△Rt△CFD， ∴∠BDE=∠CFD=35° ∵∠EDF+∠BDE=90°， ∴∠EDF=55°. 故选B. 7. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由三角形的内角和定理可知：α＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故选A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 8. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　） A. 10 B. 10.8 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12， ∴△ABC的面积=×12×9=BC⋅AD=54， 即12BC⋅10=54，解得BC=10.8. 故选B. 9. 如图，△ABC中，，，，则的度数是（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件证明≌，则可得，又因为，所以，即可推出，由此即可得出的度数． 【详解】在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共30分） 11. 如图，的度数为_______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，根据性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 13. 如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据即可证明③，不能得出结论④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由已知条件不能判断，故④错误． 故答案为：①②③． 14. 如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数_____°． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠BAE即可求解，然后在△ABD中，利用三角形内角和定理求得∠BAD的度数，根据∠DAE=∠BAE -∠BAD即可求解． 【详解】解：∵∠B=63°，∠C=51°， ∴∠BAC=180°-（63°+51°）=66°． 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=33°， 又∵AD⊥BC于点D， ∴∠BDA=90° ∴∠BAD=180°-90°-63°=27°， ∴∠DAE=33°-27°=6°， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，正确理解∠DAE=∠BAE -∠BAD是关键． 15. 已知AD是△ABC的高，∠BAD=72°，∠CAD=21°，则∠BAC的度数是______． 【答案】51°或93° 【解析】 【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可 【详解】 ①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=72°+21°=93°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=72°-21°=51°， 综上所述，∠BAC的度数为51°或93° 故答案为51°或93°． 【点睛】本题考查了三角形的高线，解题的关键在于要分情况讨论 16. 如图，△ABC的高BD，CE相交于点O．请你添加一个条件，使BD=CE．你所添加的条件是________．（仅添加一对相等的线段或一对相等的角） 【答案】BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC 【解析】 【详解】∵△ABC的高BD、CE相交于点0． ∴∠BEC=∠CDB=90°， ∵BC=CB， 要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD， 当BE=CD时，利用HL即可证得△BCE≌△CBD； 当∠ABC=∠ACB时，利用AAS即可证得△BCE≌△CBD； 同理：当∠DBC=∠ECB也可证得△BCE≌△CBD； 当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，∴当AB=AC时，也可证得△BCE≌△CBD等． 故答案为BD=CE或∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或AE=AD（答案不唯一，写出一个正确的即可）． 17. 如图，DB是的高，AE是角平分线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数． 【详解】∵AE是角平分线，∠BAE=26°， ∴∠FAD=∠BAE=26°， ∵DB是△ABC的高， ∴∠AFD=90°−∠FAD=90°−26°=64°， ∴∠BFE=∠AFD=64°， 故答案为64°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 18. 已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=________． 【答案】0 【解析】 【详解】三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴a+b+c＞0，a－b－c＜0，a－b+c＞0，a+b－c＞0， ∴原式=a+b+c+a－b－c－a+b－c－a－b+c=0. 故答案为：0 19. 如图所示，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，若 S△ADE＝1，则 S△ABC＝__________ 【答案】4 【解析】 【分析】先根据 D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，得出△ADE 的面积等于△ABC 的面积的四分之一，再根据 ，得到 ． 【详解】解：∵D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点， ∴△ADC 的面积等于△ABC 的面积的一半，△ADE 的面积等于△ACD 的面积的一半， ∴△ADE 的面积等于△ABC 的面积的四分之一， 又∵， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 20. 如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是_____°． 【答案】40° 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据折叠的性质，即可得到∠BAE=∠B=25°，∠CAG=∠C=45°，进而得出∠EAG的度数． 【详解】∵∠B=25°,∠C=45°， ∴∠BAC=180°−25°−45°=110°， 由折叠可得,∠BAE=∠B=25°,∠CAG=∠C=45°， ∴∠EAG=110°−(25°+45°)=40°， 故答案为40° 【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题关键在于得到∠BAC的度数 三．解答题（共6小题，共60分） 21. 已知：如图，，，，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】先利用平行线的性质，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 22. 如图，点、在上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据得出，得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， ． ， ， 即． 在和中， ， ． 23. 如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出∠BAC的度数，根据角平分线求出∠BAD的度数，根据外角的性质求出∠ADE的度数，最后根据三角形内角和求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（已知)， ∴∠BAC=180°―38°―100°=42°（三角形内角和180°) 又∵AD平分∠BAC（已知)， ∴∠BAD=21° ∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质)， 又∵AE是BC边上的高，即∠E=90° ∴∠DAE=90°―59°=31° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及外角性质，角平分线的定理，解题的关键是掌握相应的定理． 24. 如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 25. 已知：如图，在△、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．试猜想的关系，并证明． 【答案】猜想，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，得到，，根据三角形内角和定理得到，据此根据角之间的关系证明，进而可得结论． 【详解】解：猜想，，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ． ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． 26. 在中，，，直线经过点C，于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． （2）当直线绕点C旋转到图2位置时，求证：． （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【小问1详解】 证明：①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ． 【小问2详解】 证明：由（1）①同理可证， ，， ． 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第51中学月考试题 初二数学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ） A 必有一个角等于 B. 必有一个角等于 C. 必有一个角等于 D. 必有一个角等于 2. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，由此说明的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，选项的图形中与图中一定全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 5. 用三角板作边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为（ ） A. 45° B. 55° C. 35° D. 65° 7. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　） A. 10 B. 10.8 C. 12 D. 15 9. 如图，△ABC中，，，，则度数是（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 60° 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 二．填空题（共8小题，每小题3分，共30分） 11. 如图，的度数为_______． 12. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是______． 13. 如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是______． 14. 如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数_____°． 15. 已知AD是△ABC的高，∠BAD=72°，∠CAD=21°，则∠BAC的度数是______． 16. 如图，△ABC的高BD，CE相交于点O．请你添加一个条件，使BD=CE．你所添加的条件是________．（仅添加一对相等的线段或一对相等的角） 17. 如图，DB是的高，AE是角平分线，，则______． 18. 已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=________． 19. 如图所示，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点，若 S△ADE＝1，则 S△ABC＝__________ 20. 如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是_____°． 三．解答题（共6小题，共60分） 21. 已知：如图，，，，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：． 22. 如图，点、在上，，，．试说明：． 23. 如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上高，求∠DAE的度数． 24. 如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 已知：如图，在△、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．试猜想的关系，并证明． 26. 在中，，，直线经过点C，于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1位置时， 求证： ①； ②． （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $