第01讲 集合和常用逻辑用语（思维导图+5大技巧总结+7大题型+模拟题测试）-2026年新高考数学二轮复习重难点讲义（全国通用版）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，按集合定义、运算、关系及常用逻辑用语（充分必要条件、量词命题）的内在逻辑架构知识体系，通过思维导图梳理、方法技巧总结（如子集个数公式、容斥原理）、近三年真题回归、七大题型归纳（含例题与变式）等环节，帮助学生系统构建知识网络，精准突破考点难点。 讲义创新采用“三查三看”易错规避法（查代表元素、空集、元素特性）和分层训练模式（基础例题+能力变式+名校模拟题），在充分必要条件判断中融入“小推大”逻辑推理技巧，培养学生数学思维与符号意识，通过真题实战与题型靶向训练提升应考能力，为教师把控复习节奏、高效教学提供有力支撑。

第01讲 集合和常用逻辑用语 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 方法技巧与总结归纳 4 技巧1、集合中的运算性质 4 技巧2、由个元素组成的集合的子集个数 4 技巧3、容斥原理 4 技巧4、从集合与集合之间的关系上看 4 技巧5、易错点规避技巧：三查三看 5 04 真题回归 6 05 题型归纳，举一反三 12 题型一：集合的定义 12 题型二：集合的并、交、补运算 13 题型三：集合间的基本关系 14 题型四：充分必要条件的判断 16 题型五：全称量词、存在量词与命题的否定 18 题型六：求参数问题 19 题型七：新定义问题 21 06 精选名校模拟题 25 技巧1、集合中的运算性质 （1）交集的运算性质． ，，，，，． （2）并集的运算性质 ，，，，，． （3）补集的运算性质 ，，，，． 补充性质：． ． （4）结合律与分配律 结合律：． 分配律：． 技巧2、由个元素组成的集合的子集个数 的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个． 技巧3、容斥原理 ． 技巧4、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 技巧5、易错点规避技巧：三查三看 1、查代表元素，看集合本质 2、查空集情况，看子集关系 3、查元素特性，看互异无错 1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， 故选：D. 2．（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 故选：D 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 8．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则. 故选：A. 9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为整数集，，所以，． 故选：A． 12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 16．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 题型一：集合的定义 【例题1】（2025·高三·广东·月考）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 【答案】C 【解析】因为， 所以的值有：，，，， 由集合元素的互异性得：， 所以其真子集个数为. 故选：C. 【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意知，，故中有3个元素． 故选：C. 【方法技巧与总结】 集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。 【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由于，故， 由知或， 即或， 注意到，故由元素互异性知，故， 故选：C． 【变式2】（2025·高三·四川·月考）已知，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 所以，则可能为， 不可能为. 故选：B 【变式3】（2025·高三·云南昆明·月考）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 题型二：集合的并、交、补运算 【例题3】（2025·高三·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，得，故， ，则，所以. 故选：B. 【例题4】（2025·高三·北京西城·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，，所以， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 【变式4】（2025·高三·福建龙岩·月考）已知为实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，解得，则，而， 因此，所以. 故选：D 【变式5】（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，解得或， 所以集合或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 【变式6】（2025·云南·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得． 故选：B． 题型三：集合间的基本关系 【例题5】（2025·江苏·模拟预测）集合，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 【例题6】（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 （1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法． （2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 【变式7】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 【变式8】（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题设，，则. 故选：D 【变式9】（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集， 故选：C 题型四：充分必要条件的判断 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例题8】（2025·四川成都·一模）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故， 所以， 即，故， 所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立， 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【方法技巧与总结】 抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件. 【变式10】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由函数的图象的一条对称轴为，得， 解得，又因为，所以或， 因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式11】（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 【变式12】（2025·江苏·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由，则，当时，成立，故“”是“”的不充分条件； 由当，显然，但，即不成立，故“”是“”的不必要条件. 综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型五：全称量词、存在量词与命题的否定 【例题9】（2025·高三·江苏扬州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”的否定是. 故选：D. 【例题10】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论； （2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提； （3）注意命题的否定与否命题的区别； （4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假. 【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】命题“，，”为存在量词命题， 则其否定为：，，. 故选：D 【变式14】（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【变式15】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 题型六：求参数问题 【例题11】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 【例题12】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解析】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 【方法技巧与总结】 确定性分析：明确集合元素特征，根据方程、不等式等条件确定参数的初步范围。 互异性检验：求出参数值后，验证集合内元素是否互不相同，排除违背互异性的解。 空集优先原则：涉及子集、交集问题时，先讨论空集情况，避免遗漏。 数形结合法：对含不等式的集合，借助数轴直观分析区间端点关系，列不等式（组）求解。 分类讨论：按集合间的包含、相等关系分类，逐一求解后整合结果。 【变式16】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式17】（2025·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 【变式18】（2025·高三·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 题型七：新定义问题 【例题13】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 【例题14】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：              A                                B              C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的. 故选：B 【方法技巧与总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解. 【变式19】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则， 因，则， 又，， 则 又，则，故A正确； ，则，故B正确； ，则，故D正确； 不妨取，不满足，故C错误. 故选：C. 【变式20】（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①代入可得符合题意，故①正确； ∵对恒过点， 当时，，当时，，当时，， 由此我们可知的点集是由曲线绕A点往上直到点扫过的区域，如图： ∴，故②正确； ，，，故③错误； 有图易得，故④正确. 故选：C. 【变式21】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解析】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合， 所以，. 故选：B. 2．（2025·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由. 故选：A 3．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故， 又，故. 故选：A 4．（2025·高三·云南楚雄·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得． 故选：B． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，集合， 所以， 故选：D. 6．（2025·河北·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，又， 所以， 故选：C． 7．（2025·安徽·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，则或，. 故选：D. 8．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】取，满足，但不成立，充分性不成立； 取，满足，但不成立，必要性不成立. 由题意可知：“”是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C 【解析】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题， 故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而对任意都有可推出且， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：易得“”为假命题， 而由：，用替换得， 又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故 D错误； 故选∶ C． 10．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由集合，得， 解得，所以. 故选：D 11．（2025·广东汕尾·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， . 故选：B 12．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，则. 故选：B. 13．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 15．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【解析】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 16．（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 17．（2025·吉林长春·三模）设集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为，且函数在上为增函数， 当时，，即， 因此. 故答案为：. 18．（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 【答案】/ 【解析】， 则，其周期为， 而，即最多3个不同取值， 由题可知集合有且仅有两个元素，， 则在，，中，或， 或， 又，即，一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为，， 于是有， 即有， 解得， 不相等的两项为，， 故． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合和常用逻辑用语 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 方法技巧与总结归纳 4 技巧1、集合中的运算性质 4 技巧2、由个元素组成的集合的子集个数 4 技巧3、容斥原理 4 技巧4、从集合与集合之间的关系上看 4 技巧5、易错点规避技巧：三查三看 5 04 真题回归 6 05 题型归纳，举一反三 8 题型一：集合的定义 8 题型二：集合的并、交、补运算 8 题型三：集合间的基本关系 9 题型四：充分必要条件的判断 9 题型五：全称量词、存在量词与命题的否定 10 题型六：求参数问题 11 题型七：新定义问题 12 06 精选名校模拟题 14 技巧1、集合中的运算性质 （1）交集的运算性质． ，，，，，． （2）并集的运算性质 ，，，，，． （3）补集的运算性质 ，，，，． 补充性质：． ． （4）结合律与分配律 结合律：． 分配律：． 技巧2、由个元素组成的集合的子集个数 的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个． 技巧3、容斥原理 ． 技巧4、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 技巧5、易错点规避技巧：三查三看 1、查代表元素，看集合本质 2、查空集情况，看子集关系 3、查元素特性，看互异无错 1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 题型一：集合的定义 【例题1】（2025·高三·广东·月考）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。 【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2025·高三·四川·月考）已知，则可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高三·云南昆明·月考）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型二：集合的并、交、补运算 【例题3】（2025·高三·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高三·北京西城·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 【变式4】（2025·高三·福建龙岩·月考）已知为实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·云南·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合间的基本关系 【例题5】（2025·江苏·模拟预测）集合，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·广东江门·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法． （2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 【变式7】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式9】（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 题型四：充分必要条件的判断 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）“是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题8】（2025·四川成都·一模）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件. 【变式10】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式11】（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·江苏·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：全称量词、存在量词与命题的否定 【例题9】（2025·高三·江苏扬州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【例题10】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论； （2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提； （3）注意命题的否定与否命题的区别； （4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假. 【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式14】（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式15】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：求参数问题 【例题11】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【方法技巧与总结】 确定性分析：明确集合元素特征，根据方程、不等式等条件确定参数的初步范围。 互异性检验：求出参数值后，验证集合内元素是否互不相同，排除违背互异性的解。 空集优先原则：涉及子集、交集问题时，先讨论空集情况，避免遗漏。 数形结合法：对含不等式的集合，借助数轴直观分析区间端点关系，列不等式（组）求解。 分类讨论：按集合间的包含、相等关系分类，逐一求解后整合结果。 【变式16】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17】（2025·山西晋中·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式18】（2025·高三·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型七：新定义问题 【例题13】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【例题14】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解. 【变式19】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式20】（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式21】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·云南楚雄·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025·河北·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数、，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 10．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 11．（2025·广东汕尾·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 16．（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 17．（2025·吉林长春·三模）设集合，，则 ． 18．（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $