精品解析：北京市育英中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（1-4班）

2025-2026学年度第一学期（1-4班）月考考试试题 高一数学 2025.12 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB= A. {x|–2x–1} B. {x|–2x3} C. {x|–1x1} D. {x|1x3} 2. 设命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 8. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，在，若函数存在唯一零点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.） 11. 已知，则不等式的解集为______. 12. 已知幂函数在上单调递减，则___________． 13. 已知函数，则______. 14. 已知函数，下面说法正确的有______. ①图象关于原点对称 ②的图象关于轴对称 ③的值域为 ④，，且，恒成立 三､解答题（本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 17. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间（单位：小时）变化的函数符合.现有一病患开始注射后，请你回答以下问题： （1）从开始注射起，最迟多少小时必须停止注射？ （2）为了保证治疗效果，应当在第一次停止注射后最多再隔多少小时必须开始第二次注射？ （计算结果用整数表示，参考数据：，）. 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期（1-4班）月考考试试题 高一数学 2025.12 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB= A. {x|–2x–1} B. {x|–2x3} C. {x|–1x1} D. {x|1x3} 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：利用数轴可知，故选A. 【考点】集合的运算 【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 设命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定求解即可. 【详解】命题，，则的否定为：， 故选：C 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，可知函数在定义域内单调递增， 则函数至多有1个零点， 且，， 可知函数零点所在的区间是，其他区间一定不存在零点. 故选：A. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要比较的大小，先将它们转化为同底数幂，再根据指数函数的单调性判断大小. 【详解】将统一底数为，则： ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选： D. 5. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇函数的定义及减函数的定义判断可得结果. 【详解】对于A：因为，不是奇函数，故A不正确； 对于B：由，函数为奇函数，又因为函数的定义域为， 由幂函数的性质可知，函数在，上单调递减，故B不正确； 对于C：由，所以函数为奇函数，又因为，图象如下： 由图象可知函数在上单调递减，故C正确； 对于D：由，所以函数为偶函数，故不符合题意. 故选：C 6. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 8. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意举反例说明，结合充分性、必要性分析判断. 【详解】由“”推不出“函数在区间上没有零点”， 如，满足，但函数在区间上有零点， 即充分性不成立； 由“函数在区间上没有零点”推不出“”， 如，满足函数在区间上没有零点，但， 即必要性不成立； 所以“”是“函数在区间上没有零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，分析区间与抛物线对称轴的位置关系，列式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 则问题转化为函数在区间上的最小值不小于函数在区间上的最大值. 如图： 函数在区间一定单调递减，在区间上的最大值一定是， 所以. 故选：B 10. 函数，在，若函数存在唯一零点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数零点的相关知识.函数存在唯一零点， 即方程在给定区间上有唯一解， 可将问题转化为两个函数图象的交点问题， 通过作图分析函数单调性和过定点情况即可确定的取值范围. 【详解】函数等价于. 令，，则“有唯一零点”等价于“与在上有且只有一个交点”. 因为在R上为增函数，故在上为增函数，且， 而是过定点、斜率为的直线，如图所示. 考虑临界情况当直线经过点时，， 当直线经过点时，. 由图知，要使与在上有且只有一个交点，需使. 故的取值范围是. 故选： C. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.） 11. 已知，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质直接可得不等式的解集. 【详解】因为，函数的定义域为，且函数在定义域上单调递增，. 所以不等式可化为， 解得. 所以不等式的解集为. 故答案为： 12. 已知幂函数在上单调递减，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数结构特征和单调性列关于参数m的不等式组即可求解. 【详解】由题可得. 故答案为： 13. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数中的取值范围求解. 【详解】由题意知时，，因为， 所以， 又因为，由时得，， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，下面说法正确的有______. ①图象关于原点对称 ②的图象关于轴对称 ③的值域为 ④，，且，恒成立 【答案】②③ 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性判断①②，再根据对称性求解，的值域与单调性即可判断③④. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故②正确，①错误； 当时，， 当时，，，， 由函数为偶函数可知，当时，， 综上，的值域为，故③正确； 当时，是关于的增函数，是关于的增函数， 故根据复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，当时，单调递减，故④错误； 综上，说法正确的有：②③. 故答案为: ②③ 三､解答题（本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析. （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0，列式求函数的定义域. （2）利用奇偶性的定义证明函数的奇偶性. （3）解对数不等式可得解集. 【小问1详解】 由. 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. 【小问3详解】 因为，则问题转化为. 当时，，且，无解； 当时，，且，即得或. 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 17. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间（单位：小时）变化的函数符合.现有一病患开始注射后，请你回答以下问题： （1）从开始注射起，最迟多少小时必须停止注射？ （2）为了保证治疗效果，应当在第一次停止注射后最多再隔多少小时必须开始第二次注射？ （计算结果用整数表示，参考数据：，）. 【答案】（1）16 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据题意解方程可得答案； （2）利用对数知识解方程可得答案. 【小问1详解】 因为此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间， 所以血药浓度在15的时候，必须马上停止注射， 由，得，得，即一病患开始注射后，最迟隔16小时停止注射. 【小问2详解】 为保证治疗效果，血药浓度从15降到4的时候开始进行第二次注射为最多时间间隔， 由，得，两边取常用对数得， 得 ， 所以为保证治疗效果，最多再隔7小时开始进行第二次注射． 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 【答案】（1）②；①；③ （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案. （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围. （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值. 【小问1详解】 由于，所以. 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件. 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件. 对于性质，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件. 【小问2详解】 对于任意的，且， 有， 由于在满足性质，即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 由于任意的，且，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 实数的最小值为1. 理由如下： 因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个， 所以对任意且，若满足性质A，， 若满足性质，则，若满足性质C、D，则， 性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时， 有恒成立. 因为的定义域为，所以. 当时，， 所以，从而，不合题意； 当时，， 所以，从而， 要使恒成立，只需使，即恒成立， 若，则，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为1. 【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $