5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一) 知识梳理 1．函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对 x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数， 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 注意：理解周期性 （1）本质：随着自变量的不同取值，函数值按照一定规律不断重复取得． （2）混淆：①周期函数是对定义域中的每一个x值来说的，只要有个别的x值不满足f(x＋T)＝f(x)，就不能说是f(x)的周期． ②应注意是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(2x)的周期． （3）①并不是所有周期函数都存在最小正周期． ②周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期． ③在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z，且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小 正周期 奇偶性 思考：函数y＝cos x，x∈是偶函数吗？ 自我检测 1．只有三角函数才是周期函数吗？ 2．y＝sin 2x的最小正周期为2π吗？ 3．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数吗？ 4．周期函数f(x)＝C(C为常数)没有最小正周期，是吗？ 5．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 6．函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________． 基础类型一　求三角函数的周期(数学运算) 1．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则f的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 2．函数y＝sin 的最小正周期为________． 3．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期为________． 总结：1、求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 2、周期函数的一些常用结论： (1)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期． (2)若函数f(x)(x∈R)满足f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数且周期T＝|b－a|. (3)若函数f(x)(x∈R)满足f(a＋x)＝－f(b＋x)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2|b－a|. (4)若函数f(x)(x∈R)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2|b－a|. (5)若函数f(x)的图象存在对称中心A(a，0)，B(b，0)(a≠b)，则函数f(x)为周期函数，且2|a－b|为它的一个周期． (6)若函数f(x)的图象存在对称轴l：x＝a，对称中心B(b，0)(a≠b)，则函数f(x)为周期函数，且4|a－b|为它的一个周期． 基础类型二　三角函数奇偶性的判断(逻辑推理) 例：函数f(x)＝sin x cos x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 练习：已知函数f(x)＝sin ，则函数f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 综合类型　三角函数周期性、奇偶性的应用(逻辑推理、数学运算) 一、三角函数奇偶性的应用 (1)已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ∈时，φ的值为________． (2)已知函数f(x)＝cos 是奇函数，则φ∈时，φ的值为__________． 二、利用奇偶性与周期性求函数值 例：定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时f(x)＝sin x，则f等于(　　) A．－ B． C．－ D． 变式：(1)在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f的值为________． (2)若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f＝－f(x)，f＝1，则f的值为__________． 创新思维　三角函数的周期性在求和中的应用(逻辑推理) 例：已知函数f(n)＝sin ，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值． 随堂检测 1．函数y＝sin (x＋θ)(0<θ≤π)是R上的偶函数，则θ的值为(　　) A．0 B． C． D．π 2．函数f(x)＝2cos 的最小正周期是(　　) A． B．π C．2π D．4π 3．对于函数y＝sin ，下列判断正确的是(　　) A．图象关于y轴对称 B．是非奇非偶函数 C．是奇函数 D．图象与y＝sin 的图象重合 4．函数f(x)＝sin ，x∈R的最小正周期为________. 5．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于________对称． 学科网（北京）股份有限公司 $