安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高二上学期数学统一作业（六）试题

合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（六） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1．的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 6．已知数列是等比数列，则方程组的解的情况为（    ） A．唯一解 B．无解 C．无穷多组解 D．不能确定 7．人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，函数的图象实际上是双曲线.则函数的图象对应的双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 10．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 11．数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．记为数列的前项和，若，则 ． 13．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 14．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . 四、解答题 15．已知各项为正数的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）． (1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若为何值时？二面角B—AF—E为． 17．设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 18．双曲线过点，且离心率为，过点的动直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（六） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1．的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 6．已知数列是等比数列，则方程组的解的情况为（    ） A．唯一解 B．无解 C．无穷多组解 D．不能确定 7．人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，函数的图象实际上是双曲线.则函数的图象对应的双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 10．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 11．数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．记为数列的前项和，若，则 ． 13．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 14．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . 四、解答题 15．已知各项为正数的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）． (1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若为何值时？二面角B—AF—E为． 17．设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 18．双曲线过点，且离心率为，过点的动直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥八中2025-2026学年高二上学期数学统一作业（六）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C C C A D AD BD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】利用抛物线的方程求出即可得到结果． 【详解】解： ， 根据抛物线标准方程的几何意义，可知抛物线的焦点到准线的距离为：． 故选：． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，属于基础题． 2．A 【分析】根据两直线垂直列方程求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由得，，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：A. 3．A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 4．C 【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 5．C 【分析】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 6．C 【解析】根据等比数列的性质，判定得到直线与重合，即可得到答案. 【详解】由题意，数列是等比数列，可得， 所以直线与重合， 所以方程组的解得个数为无数组解. 故答案为：C 7．A 【分析】利用对勾函数的性质先确定的渐近线，利用正切的二倍角公式及双曲线离心率计算即可. 【详解】设双曲线的两条渐近线的夹角记为， 易知函数的渐近线为：与纵轴，所以， 又双曲线的离心率满足：， 解方程可得（负值舍去），所以. 故选:A. 8．D 【分析】求出数列的通项公式，分n为奇数和偶数两种情况，得到，并根据单调性得到，求出答案. 【详解】当时，， 所以， 所以，显然也适合， 所以数列的通项公式为． 当n为奇数时，， 此时数列的奇数项单调递增； 当n为偶数时，， 此时数列的偶数项单调递增，要想使不等式成立的有且只有三项， 只需有，即，解得， 即的取值范围为． 故选：D． 【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减求和或裂项相消法求和 9．AD 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答. 【详解】由，得， 又，得，， 所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数， 等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误；前6项和最大，C选项错误； 由，，有，则，D选项正确. 故选：AD. 10．BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 11．ABD 【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【详解】对于A：，正确； 对于B: ，有， 两式相加，得，又， 所以，为偶数 由，得：，也即，为奇数， 所以，正确； 对于C:由B可知： ， 则，错误. 对于D：数列的前项和记为， ，正确 故选：ABD 12．63 【分析】根据与的关系，先求得，进而根据等比数列的前项和公式可得. 【详解】当时，，得， 当时，，得， 故是以-为首项，以为公比的等比数列，故， 故， 故答案为：- 13． 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 14． 【分析】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且，其中为坐标原点， 因为，则， 因为，则是腰长为的等腰三角形，且， （1）当点、在直线的同侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，所以，， 则； （2）当点、在直线的异侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，则， 则； （3）当点、中有一点在直线上时，    则. 综上所述，代数式的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式； （2）利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，又， 解得． ． （2）由（1）得； ， ， ， ． 16．(1)平面AEF与平面PBC是相互垂直；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】（1）因为，E为线段PB的中点，所以，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又，所以平面PAB，∵平面PAB，∴，因为，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面平面PBC （2）如图，取AB的中点M，作交AF于点N，连接EM，EN， 因为EM为的中位线，所以，又平面ABCD，线段BC 故平面ABF，，， 故平面EMN，所以即为二面角的平面角，即 设，则， 因为，即，所以 又，即，得 17．(1) (2) 【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. 【详解】（1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 18．(1)； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意可得，再结合可求出，从而可求出双曲线方程； （2）假设存在符合题意的定点，①当垂直于轴时，由题意可得在轴上，②当为轴时，可求得，然后再证对一般的直线也符合题意，即证，设：，，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，然后求解即即可. 【详解】（1）因为双曲线过点，且离心率为， 所以， 因为，所以解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）假设存在符合题意的定点， ①当垂直于轴时，，得， 因为关于轴对称， 所以在的垂直平分线上，即在轴上， ②当为轴时，，设的坐标为， 则，，整理得，解得或（舍去）， 所以的坐标为， 下证定点对一般的直线也符合题意， 若要证，则要证是的角平分线，即轴是的角平分线， 即要证， 设：，， 由，得， ，则 ， 所以 ， 所以定点对一般的直线也符合题意， 所以定点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是当为轴时，由可求得定点，然后再证定点对一般的直线也符合题意即可，考查数学计算能力，属于较难题. 19．(1)证明见解析； (2)； (3)20. 【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论. （2）由（1）求出，再求出即可求出数列的通项公式. （3）由（2）的结论，探讨数列的单调性，再计算判断即得. 【详解】（1）由，得，，， 则，又，于是，解得， 又，则，解得， 因此，整理得，即， 由，得，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知，，则， ，，因此数列是递增数列， 而，， 所以使得不等式成立的n的最小值是20. 【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答. 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $