第16讲 三角函数新情景讲义（思维导图+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数新定义专题，整合新定义概念性质、传统文化、数学成就、现代应用四大高考核心题型，按“概念-转化-应用”逻辑架构，通过考点分析、方法指导、真题讲解、分层练习四环节，帮助学生突破信息转化与知识迁移难点。 讲义突出“数学眼光+数学思维”双驱动教学，创新设计“新定义四步转化法”，结合密位制、筒车模型等实例培养抽象能力与逻辑推理，设置基础到应试三级训练，配合错题复盘策略，助力学生高效构建解题模型，为教师提供精准复习路径，提升应考实战能力。

第16讲 三角函数新定义专题 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 题型概念 4 题型01：新定义概念.性质及运算 4 题型02：传统文化 31 题型03：数学成就 46 题型04：现代应用 106 三角函数新定义问题是高考数学的创新题型，常以小题压轴或大题分支形式出现，侧重考查学生信息转化与知识迁移能力，以下从题型特点、考查重点和备考策略三方面展开分析： 1. 题型特点：一是定义形式多样，要么拓展三角函数相关概念，比如新定义余正弦函数、双曲正余弦函数等；要么结合图形或性质定义，像与函数图像交点相关的黄金分割点判断、函数“正格点”等。二是题干信息抽象，多以文字或符号阐述新规则，无现成解题模板，需考生自主解读内涵。三是难度分层明显，第一问常为基础定义应用，后续问题逐步结合复杂性质，区分度较高。 2. 考查重点：一方面考查基础转化能力，要求考生将新定义转化为正弦定理、诱导公式、同角三角函数关系等已有知识。另一方面侧重综合应用能力，常结合三角函数的周期性、单调性、值域等性质，或与解三角形、函数奇偶性等知识交叉，部分题目还融入几何图形分析，比如利用单位圆、函数图像对称性简化计算。同时也注重逻辑推理能力，例如推导新定义函数的最小正周期、证明相关恒等式等。 3. 备考策略：首先要养成精读习惯，标记新定义中的关键条件、符号含义，明确其与传统三角函数的关联。其次需强化转化训练，练习时主动将新问题归类到熟悉题型，比如新定义运算转化为三角恒等变换，新性质探究转化为函数单调性、周期性的常规分析。最后要积累典型模型，像双曲正余弦、倍角三角形等常见新定义模型，总结其解题规律，同时通过特殊值代入、极端情况验证等方式提高解题效率。 结合高考对三角函数新定义问题的考查要求，其学习目标可分为基础层、能力层、应试层三个维度，具体如下： 一、基础层：核心概念与转化能力 1. 精准理解新定义的内涵与外延，能快速拆解题干中“新规则”的关键要素（如符号、运算关系、适用范围），明确其与传统三角函数概念（任意角、三角函数定义、恒等变换等）的关联与区别。 2. 掌握“新定义→旧知识”的转化逻辑，能将陌生的新定义表述，翻译为正弦定理、诱导公式、函数性质分析等已有知识体系中的可解问题，避免被抽象表述干扰。 二、能力层：综合应用与逻辑推理 1. 提升综合知识迁移能力，能结合三角函数的周期性、单调性、奇偶性、值域等核心性质，解决新定义下的函数分析问题；同时能融合解三角形、平面几何、不等式等跨模块知识，应对多知识点交叉的新定义题型。 2. 强化逻辑推理与论证能力，能独立推导新定义三角函数的相关性质（如最小正周期、对称性、恒等式），并通过严谨的步骤证明结论；面对开放型新定义问题，能自主设计验证方案（如特殊值代入、分类讨论）。 3. 培养抽象思维与模型构建能力，能从不同形式的新定义中提炼共性规律，形成“新定义问题→模型匹配→常规求解”的思维路径，例如将双曲正余弦、自定义三角运算等归为“类三角函数性质分析”模型。 三、应试层：解题策略与实战素养 1. 熟练掌握新定义问题的应试技巧，包括题干关键信息标注法、特殊值验证法、极端情况分析法等，能快速排除错误选项或简化复杂计算。 2. 形成规范的解题表达习惯，在书写推理过程时，清晰体现“新定义解读→转化依据→分步求解→结论验证”的逻辑链，避免因步骤缺失导致的失分。 3. 具备错题复盘与规律总结能力，能从典型错题中归纳新定义问题的常见陷阱（如定义适用范围遗漏、转化逻辑错误），并针对性强化薄弱环节。 三角函数新定义问题的核心解题思路是“解读新定义→转化为旧知识→结合性质求解→验证结论”，具体拆解为以下四步，每一步附实战要点： 第一步：精读题干，拆解新定义核心 1. 标注关键要素：圈出定义中的特殊符号（如自定义运算⊕、新函数名shx/chx）、限制条件（如定义域、角度范围）、数量关系（如“f(α)=sinα+cosα”这类表达式），明确“新概念/新规则”的本质（是新函数、新运算，还是新性质）。 例：若定义“三角对称数”为满足sinθ=sin(π-θ)的θ，则核心是关联诱导公式中sin(π-θ)=sinθ的已有结论。 2. 翻译通俗化：用自己的语言复述新定义，避免被抽象表述迷惑。 例：新定义“f(x)为正弦函数的‘倍角变换函数’，f(x)=sin2x+cosx”，可翻译为“f(x)是由sin2x和cosx组成的函数，需用二倍角公式转化为单角形式”。 第二步：搭建桥梁，转化为已有知识体系 这是解题的核心环节，核心逻辑是“新问题→旧模型”： 1. 匹配关联知识点：判断新定义与三角函数哪些核心内容相关（如三角恒等变换、函数性质、解三角形、单位圆）。 ◦ 若新定义是新函数（如f(α)=tanα+sinα）→ 转化为三角函数的单调性、值域、奇偶性分析； ◦ 若新定义是新运算（如α⊗β=sinαcosβ+cosαsinβ）→ 转化为两角和的正弦公式； ◦ 若新定义是新性质（如“θ为优角”指sinθ>0且cosθ<0）→ 转化为三角函数值的符号判断（象限角）。 2. 套用已有公式/结论：将新定义中的表达式，用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系等化简，转化为可直接计算或分析的形式。 第三步：结合题型，针对性求解 根据问题设问（求值、判断性质、证明、解不等式等），选择对应方法： 1. 求值问题：优先用特殊值代入（如θ=0、π/2、π）验证，或化简后直接计算； 2. 性质判断（周期、单调、对称）：转化为常规三角函数的性质分析步骤（如求周期用f(x+T)=f(x)，求单调区间用导数或复合函数单调性）； 3. 证明问题：从新定义出发，结合已有公式逐步推导，每一步标注依据（如“由二倍角公式得…”）； 4. 解三角形关联问题：将新定义中的条件转化为边或角的关系，套用正弦定理、余弦定理求解。 第四步：验证结论，规避陷阱 1. 检查定义适用范围：确认求解结果是否符合新定义中的限制条件（如定义域、角度范围、正负性要求）； 2. 特殊值验证：用简单特殊值代入结论，判断是否合理（如求f(x)的最大值后，代入x=π/6验证是否符合）； 3. 逻辑回溯：确认转化过程中是否存在公式误用（如二倍角公式符号错误、诱导公式记错）。 实战技巧补充 • 陌生定义别怕：高考新定义问题本质是“换皮不换核”，核心永远是三角函数的基础知识点； • 分步拆解：复杂新定义可拆分为多个小规则，逐一转化后再整合； • 数形结合：涉及函数性质时，结合单位圆或三角函数图像辅助分析，直观降低难度。 题型01：新定义概念.性质及运算 【典型例题1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【解析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题 由已知可得， 即. 因为，所以， 则 ， 当且仅当时等号成立,故，故选：D. 【典型例题2】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得， 由题意可得，解得， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为.故选：B. 【典型例题3】我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案. 设角所在的扇形的半径为r，则， 所以， 所以，故选：D． 【典型例题4】密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（    ） A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断； 解：因为， 即， 即，所以，所以，或， 解得或 对于A：密位制对应的角为，符合题意； 对于B：密位制对应的角为，符合题意； 对于C：密位制对应的角为，不符合题意； 对于D：密位制对应的角为，符合题意； 故选：C 【典型例题5】计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 【答案】C 【解析】将化为，根据新定义，取代入公式中，直接计算取近似值即可． 由题意可得，， 故 ，故选：． 【变式训练1-1】密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（    ） A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00 【答案】C 【解析】利用导数研究在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定取到最大时x用密位制. 由题设，，在时，在时， 所以在上递增，在上递减，即， 故取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00. 故选：C 【变式训练1-2】在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果． 解：当甲：错误时，乙：正确， 此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0）， 或， ∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲； 甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0）， 此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误， ∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误， ∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，， 故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁．故选：D． 【变式训练1-3】设，定义运算，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由定义先得出，然后分，两种情况分别求出的最小值，从而得出答案. 由题意可得 当时，即 则，即 此时当时，有最小值为 当时，即 则，即 此时， 所以的最小值为故选：B 【变式训练1-4】正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解. 由已知可得，可得， 因为，则， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，故.故选：D. 【变式训练1-5】现有如下信息： （1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图作三角形，先求出，再求出的值. 如图，等腰三角形，,，取中点连接. ， 由题意可得， 所以， 所以， 所以.故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解. 【变式训练1-6】如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值． 因为在区间，上是“凸函数”， 所以 得 即：的最大值是 故选：D. 【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和． 【点睛】 本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．属于基础题． 【变式训练1-7】对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 【答案】C 【解析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果. 由题知，集合相对于的“正弦方差”为 把，， ，代入上式整理得，. 故选：C. 【变式训练1-8】在复变函数中，自变量可以写成，其中，是z的辐角．点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点绕原点逆时针旋转得_______；复变函数，，_______． 【答案】 【解析】点对应的复数，其中，则对应的复数，其中，利用两角和差公式求得的坐标；由，，则，化简可得. 点对应的复数，其中， 则对应的复数，其中， 则， 【变式训练1-9】定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可． ， 因为，所以， 即，， 所以，解得或（舍去）， 而，所以， 即， 而的图象的一条对称轴为， 所以， 即，， 解得，， 所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为．故选：． 【变式训练1-10】对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解. 由题意可知，集合相对于的“余弦方差”代入公式可得 因为 所以原式，故选：B. 【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题. 【变式训练1-11】已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以 的周期为， 则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 【变式训练1-12】对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以．故选：A． 【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围． 【变式训练1-13】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.给出下列结论： ①函数在上单调递增； ②若，则； ③若，则的最小值为0； ④若，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】利用定义性函数和三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论. 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故①错误； 因为， 所以 ，故②正确； ， 令，则， 所以，所以，故③正确； 因为， 所以，故④正确.故选：D. 【变式训练1-14】定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 解：依题意 ， 因为，所以，所以， 所以；故选：ABC 【变式训练1-15】数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ） A．与的最小正周期均为 B．与的图象均关于直线对称 C．的最大值是的最小值 D．与的图象关于原点中心对称 【答案】BD 【解析】先求出，，结合函数与的图象即可求解 设 则， 函数与的大致图象如下所示： 对A，由图知，与的最小正周期均为2π；故A错误； 对B，由图知，为函数与的对称轴，故B正确. 对C，，由图知∶函数的值域为，函数的值域为，故C错误； 对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确； 故选：BD. 【变式训练1-16】已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题可得，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 若与广义互余，则，即． 又由，可得． 对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确； 对于B，若与广义互余，则，由可得  ，故B错误； 对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误． 故选：AC． 【变式训练1-17】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的最大值为 【答案】BC 【解析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确； 化简已知等式得到，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出求得结果，知C正确； 利用诱导公式化简整理得到，由此可知最大值为，知D错误. 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D， ， 当时，，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项. 【变式训练1-18】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．函数在上是减函数 B．函数的最小正周期为 C． D． 【答案】AC 【解析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得，可判断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取，代入验证可判断D选项. 因为，而在上是增函数，所以函数在上是减函数，故A正确； 函数，所以，所以B错误； ，故C正确； 取，， ， 所以， 故D错误,故选：AC. 【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题. 【变式训练1-19】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】通过求，来判断出正确选项. ， 所以，A错误. ， 所以，B正确. . 所以， 由于，所以， 由于，所以， 所以由解得， 所以，C正确. ，所以D错误.故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简. 【变式训练1-20】我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是______． 【答案】## 【解析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 依题意，B对的余弦方差是： .故答案为： 【变式训练1-21】已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数. 若，以下四个函数中： ①；      ②； ③；     ④. 所有是在上生成的函数的序号为________. 【答案】①②③ 【解析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可. . ①：， 因此有，所以本函数是在上生成的函数； ②：， 因此有，本函数是在上生成的函数； ③：， 因此有，本函数是在上生成的函数； ④：， 显然不存在实数，使得成立， 因此本函数不是在上生成的函数， 故答案为：①②③ 【变式训练1-22】形如的式子叫做行列式，其运算法则为，则行列式的值是___________. 【答案】 【解析】根据新定义计算即可． 由题意． 故答案为． 【变式训练1-23】若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号） 【答案】①② 【解析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解. 由题意，，， 四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②. 【变式训练1-24】在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④ 【答案】①②③ 【解析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断． 当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意； 函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意． 故答案为：①②③． 【变式训练1-25】在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；           ②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；    ④该函数为周期函数，且最小正周期为； ⑤该函数的递增区间为. 其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 【答案】①④⑤. 【解析】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论． ①中，由三角函数的定义可知， 所以，所以是正确的； ②中，，所以，所以函数关于原点对称是错误的； ③中，当时，，所以图象关于对称是错误的； ④中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，所以是正确的； ⑤中，因为，令， 得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的， 综上所述，正确命题的序号为①④⑤． 点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 【变式训练1-26】定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________ 【答案】 【解析】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1 ∴ 由题意可得， 函数的最大值 考点：三角函数的最值 【变式训练1-27】对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则______，若，则的值为______． 【答案】     1；     或 【解析】由题可得，故1；对t分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t即可. 当时，， ∴当时，， ∴1； 当，即时，，， 这与矛盾， 当且，即时，， 或， 由可得，或， 所以或， 当，即时，，，这与矛盾； 综上所述，的值为或.故答案为：1；或. 【变式训练1-28】已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立． （1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________． （2）若函数，则实数的取值集合为__________． 【答案】          【解析】（1）根据集合的性质判断． （2）根据集合的性质求解，由恒成立成立，只有， （1）若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，这是不可能的，； 若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，，； （2）函数，则存在非零点常数，使得，即， 时，， 时，由知，，，，因此要使成立，只有， 若，则，， 若，则，即，，， 综上实数的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决． 【变式训练1-29】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 ． 可见可以表示为的三次多项式． 一般地，存在一个n次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示． 利用结论，求出的值．（提示：） 【答案】见解析 【解析】 ． 即 ，， ，或（舍去）． 【变式训练1-30】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 【答案】(1)，，(2) 【解析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. （1）， ，故余弦距离等于； （2； 故，，则. 【变式训练1-31】知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（    ） A．            B．            C．        D． (2)对于，的正对值的取值范围是______． (3)已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B；(2)；(3) 【解析】（1）在等腰中，取，，利用正对的定义可得出的值； （2）在等腰中，，取的中点，连接，则，推导出，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围； （3）利用同角三角函数的基本关系求出，利用二倍角公式可求得，由此可得出的值. （1）解：在等腰中，，，则为等边三角形， 所以，， 故选：B. （2）解：在等腰中，，取的中点，连接，则， 则， 因为，则，故. 故答案为：. （3）解：，则，所以，， 所以，，因此，. 【变式训练1-32】若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”． （1）已知，求函数的“相伴特征点”； （2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象． 【答案】（1）；（2）作图见解析. 【解析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出，由此可得出函数的“相伴特征点”的坐标； （2）由题中定义可得出，利用三角函数图象变换得出，然后通过列表、描点、连线，可得出函数在区间上的图象. （1）， 故函数的“相伴特征点”为； （2）由题意可得， 将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象， 再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象， 再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象， 当时，，列表如下： 故函数在上的图象如下图所示. 【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 题型02：传统文化 【典型例题1】明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为， ，， ∴．故选：C． 【典型例题2】明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由所在直角三角形中两直角边长已知，根据直角三角形中三角函数定义计算出，再由正弦的二倍角公式计算． 由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为， ，， ∴．故选：C． 【典型例题3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. ，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 【典型例题4】中国的少数民族有不少具有鲜明特色的建筑，如图①所示的建筑为坐落于广西三江林溪河上的程阳永济桥，是典型的侗族建筑，该类建筑由桥、塔、亭组成，其中塔、亭建在石桥上，具有多层结构，被称为世界十大最不可思议桥梁之一，因为行人过往能够躲避风雨，故名“风雨桥”.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列.若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（ ） A．54 B．48 C．42 D．30 【答案】B 【解析】首先由条件可知，四层六边形从内到外的边长是等差数列，利用周长以及面积，分别可求出等差数列的公差和首项，再求最外层六边形的周长. 记四层六边形从内到外每层的边长依次为，，，，则， 即①.而，则②，设等差数列的公差为，，联立①②，可得，解得，，则，则最外层六边形的周长为48，故选:B. 【典型例题5】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为（ ）．（结果精确到1米） （参考数据：，，，） A．39米 B．43米 C．49米 D．53米 【答案】D 【解析】求出，在中，用余弦定理即可求得. 在中，，，， 所以， 在中， ， 所以（米）．故选：D 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【变式训练2-1】古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设.则下述四个结论：①以直线为终边的角的集合可以表示为；②以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为；③；④中，正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误. 对于命题①，以直线为终边的角的集合可以表示为，命题①错误； 对于命题②，，以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为，命题②正确； 对于命题③，由平面向量数量积的定义可得，命题③错误； 对于命题④，易知点，，所以，，命题④正确. 故选：B. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 【变式训练2-2】屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，根据题设可得和，从而可求扇环的面积. 设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则， 由题意可知，，，所以， 所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为 .故选：C. 【变式训练2-3】铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得，再根据锐角三角函数计算可得； 解：如图， 设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，， ，得，解得．故选：B． 【变式训练2-4】位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（    ）（其中，） A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米 【答案】C 【解析】根据题意，，进而代入数据求解即可. 解：如图，， 设表高，则由题知，， 所以， 因为，，， 所以，解得， 所以，表高（即的长）约为米.故选：C 【变式训练2-5】如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ） A．50 B．55 C．60 D．70 【答案】C 【解析】由题意知：，，所以， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，故选：C 【变式训练2-6】折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形的半径为R，如图，由弧长公式，得，在直角三角形中， 化简得. 故选：A． 【变式训练2-7】剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 【答案】 【解析】如图，连接，作于，由题意，，故，所以. 设则由面积公式，，即.由余弦定理，结合基本不等式，即，当且仅当时取等号. 故取最小值时，此时. 故. 故答案为： 【变式训练2-8】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为（≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm2． 【答案】 【解析】由条件中所给的比例关系，推导出，根据圆的面积计算扇环面积. 由条件可知，得, 解得：， ， ，， .故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查新文化试题，重点是读懂题意，并能转化为等式关系，关键是计算. 【变式训练2-9】一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式） 【答案】 【解析】根据棣莫弗定理计算即可． ．故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题关键． 【变式训练2-10】我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________． 【答案】 【解析】根据扇形面代入数值计算即可. 根据题意，因为扇形面，且宛田的面积为，周为， 所以，解得径是：.故答案为：. 【变式训练2-11】《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km. 【答案】 【解析】依题意画出图象，即可得到，，再利用正弦定理计算可得； 解：如图，设震源在C处，则，则由题意可得，根据正弦定理可得，又所以， 所以震源在A地正东处.故答案为： 【变式训练2-12】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，当与的比值为时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断 设天坛的圆形的半径为，由，故D正确； 由，所以，解得，故C正确； 由，则，所以， 所以，故A正确，B错误．故选：ACD 【变式训练2-13】《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:， )（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离. 弓形所在的扇形如图所示，则的长度为， 故扇形的圆心角为，故.故选：C. 题型03：数学成就 【典型例题1】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________． 【答案】 【解析】由题意，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，所以 故答案为：. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢）矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：，） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【解析】计算出“弦”与“矢”的长，利用弧田面积公式可求得结果. 圆心角为，半径等于米的弧田，该弧田的“弦”长为米， 圆心到弦的距离为米，所以，该弧田的“矢”长为米， 因此，该弧田的面积为平方米.故选：C. 【典型例题3】《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用弧田面积公式可求出矢长，继而求出半径和圆心到弧田弦的距离，则可求出cos∠AOD，由二倍角可求出cos∠AOB. 如图，由题意可得：AB=6， 弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米． 解得矢=1，或矢=-7（舍）， 设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d， 则，解得d=4，r=5， ∴cos∠AOD=， ∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=-1=．故选：D． 【点睛】本题考查传统文化题目，考查二倍角，属于基础题. 【典型例题4】我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积．若，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意结合正弦定理可得，代入三角形面积公式，结合函数的性质即可得解. 因为，，所以即， 所以的面积 ， 所以当即时，面积取最大值， 此时，存在，所以面积的最大值为. 【典型例题5】我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六边形的面积，来近似估计半径为1的的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面积来近似估计半径为1的的面积，则______.（结果保留根号） 【答案】 【解析】过圆心点作，由正六边形的性质可得是等边三角形，计算出三角形的面积进而可得正六边形的面积；过正十二边形的顶点作，由正十二边形的性质可计算出的面积以及正十二边形的面积，进而得出．如图，过点作， 由题意知是等边三角形， ∴，，. ∴. 如图，过点作， 由题意知，，则. ∴. ∴.故答案为： 【典型例题6】黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知，为的两个黄金分割点，研究发现如下规律：.若是顶角为36°的等腰三角形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，可得，设，，即可由余弦定理求出，再由诱导公式即可求出.由题意得在正五角星中，，为的两个黄金分割点，易知. 因为，所以，故不妨设，， 则在中，， 从而.故选：A. 【典型例题7】赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设，若向三角形ABC内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何概型的概率公式，求出和的面积，计算所求的概率值． 由题意，，， ，，由余弦定理可得， ， ， 芝麻落在阴影部分的概率为 ．故选：． 【典型例题8】勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，勒洛三角形面积为以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积，再代入数据计算即可.根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长 为半径形成的三个圆弧的构成了以为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可. 所以勒洛三角形面积为.故选：A. 【点睛】本题考查扇形的面积计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为求以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积. 【典型例题9】古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形，，，，，均近似为黄金矩形.若与间的距离大于18.7m，与间的距离小于12m．则该古建筑中与间的距离可能是（ ）（参考数据：，，） A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m 【答案】C 【解析】由矩形和是黄金矩形，由边长的比求出范围即可得． 由黄金矩形的定义可知，，所以，，即，对照各选项，只有C符合．故选：C． 【变式训练3-1】秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，S是△ABC的面积，在△ABC中，若，，，则△ABC的内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由内心性质得（l为△ABC周长），即可求出内切圆半径为r，即可求内切圆的面积. 因为，，， 所以． △ABC的周长， 设△ABC的内切圆半径为r， 由，解得． 所以△ABC的内切圆的面积为．故选：C． 【变式训练3-2】我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为.若，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，得， 因为的面积， 所以当，即时，的面积有最大值为.故选：C 【变式训练3-3】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A． B． C． D．12 【答案】A 【解析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式可求得的面积. 由题意结合正弦定理可得：， 周长为，即， ，，. 所以，故选：A. 【变式训练3-4】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】由条件结合余弦定理可得出，然后利用二次函数的基本性质结合公式可求得面积的最大值. ，则， 可得， 所以，. 当且仅当时，等号成立. 因此，面积的最大值为.故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 【变式训练3-5】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________． 【答案】. 【解析】由正弦定理得到三条边长的比，利用所给面积公式得到边长，再结合面积公式和正弦定理可得答案.由已知和正弦定理得：， 设， 由， 解得，所以，设的外接圆的半径为， 由，解得， 由正弦定理得，所以.故答案为： 【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用所给面积公式求出三角形边长，考查了学生的基础知识及阅读能力. 【变式训练3-6】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积.设某三角形的三边，，，则该三角形的面积_________. 【答案】 【解析】因为，，，， 所以.故答案为： 【变式训练3-7】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为______. 【答案】 【解析】由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ∴，解得：， 根据面积公式可知故答案为： 【变式训练3-8】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步 【答案】B 【解析】根据题意，利用扇形的面积公式求解即可.依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步， 问题[三四]中扇形的面积为平方步.故选：B 【点睛】本题考查数学文化和扇形的面积公式;考查运算求解能力；熟练掌握扇形的面积公式是求解本题的关键；属于基础题. 【变式训练3-9】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题．《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式可求得的面积. 由题意结合正弦定理可得：， 周长为，即，，，. 所以，故选：D. 【变式训练3-10】我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（    ） A．84 B．168 C．79 D．63 【答案】A 【解析】根据“三斜求积”可得三角形面积公式为，代入数值计算可得； 解：依题意设的内角，，的对边分别为，，且，则三角形面积公式为，又，，，所以 故选：A 【变式训练3-11】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解. 由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ，解得：， 根据面积公式可知.故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为. 【变式训练3-12】《数书九章》卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.术曰：以少广求之，以小斜幂（）并大斜幂（），减中斜幂（），并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S）.译成现代式子是这个式子称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为_________，最小角的余弦值为_________. 【答案】 【解析】由题意可得、、，代入公式即可得面积；由三角形面积公式可得最小角满足，再由同角三角函数的平方关系即可得解. 由题意，，， 所以； 设最小角为，则，解得， 所以.故答案为：；. 【点睛】本题考查了数学文化及三角形面积公式、同角三角函数关系的应用，考查了理解能力与运算求解能力，属于基础题. 【变式训练3-13】中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（    ） A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足 C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为 【答案】AB 【解析】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确； 因为，所以，，故B正确； 因为，所以，由正弦定理得，，C错误； ，所以，故，D错误. 故选：AB. 【变式训练3-14】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足.判定下列命题正确的有（    ） A．在中角C=30° B．的面积为 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】因的周长为，且三边长满足，于是得， 由余弦定理得：，而，则，A不正确； 由选项A知，的面积，B正确； 由选项A及正弦定理知，的外接圆半径有，解得，C正确； 设的内切圆半径为r，则的面积，解得，D正确.故选：BCD 【变式训练3-15】刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的<海岛算经>，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形的边长、周长和面积分别为，，，为正n边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】依题意，单位圆O的内接正n边形的中心角为，则， ，， 对于A，，A正确； 对于B，，B不正确； 对于C，因，又，则，C正确； 对于D，在复平面内令O为原点，由对称性不妨令点逆时针排列，向量所对复数分别为， 则所对复数为，将正n边形逆时针旋转图形重合， 则由复数的三角形式得：，， 因此，所对复数为， 于是有：，而，， 则，即 于是有，D正确. 故选：ACD 【变式训练3-16】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数） 【答案】317 【解析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积。如图，设圆半径为寸（下面长度单位都是寸），连接，已知，， 在中，，即，解得， 由得，所以， 图中阴影部分面积为扇形（平方寸）， 镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体， 所以其体积为（立方寸） 故答案为：317． 【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题． 【变式训练3-17】在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率的近似值是______；若已知某环形田的中周长步，外周长步，径长步，则该环形田的面积为______．（单位：步）． 【答案】3 【解析】（1）读懂题意，提炼关键信息，环田的面积为大圆面积减去小圆面积，先用周长表示出大小圆的半径和，再用圆的面积公式求解； （2）将（1）的结果一般化，用周长来表示半径，得出结论. （1）设内圆的半径为，外圆的半径为．由题意知，，，则，解得． （2）由题意知，则， 内圆的面积为，同理外圆的面积为． 又， 所以该环形田的面积为．故答案为：3； 【点睛】试题以《九章算术》的“方田”篇中关于环形田的面积计算问题为背景设题，从题干中提取有效信息并分析、处理数据，关键在于提炼信息，转化为数学运算. 【变式训练3-18】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲､乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇.甲､乙各走了多少步？（    ） A．20，8 B．24，10 C．10.5，24.5 D．24.5，10.5 【答案】D 【解析】根据题目信息画出示意图，假设甲､乙相遇时经过时间为秒，每步走米，分别得到，，，再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇时经过的时间，从而得到甲乙相遇时，甲､乙各走的步数. 由题意，得到示意图如图所示，甲､乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲､乙相遇时经过时间为秒，每步走米，则，， 在中，,即，解得：， 故甲走了步，乙走了步.故选：D. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． 【变式训练3-19】刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：， 所以的近似值是.故选：A 【变式训练3-20】古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题： （1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留). （2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：. 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解； （2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，易知 ，然后在中，利用三角函数的定义求得R，r，利用三角恒等变换证明. （1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以 ； （2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，则 ， 如图所示： 所以， 在中，，即，所以， ，即，所以， 所以，. 【变式训练3-21】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得出，由已知条件结合两角差的正切公式可求得的值，即可得解. 设第次的“晷影长”是，“表高”为， 由题意可知，又因为， 则， 故.故选：B. 【变式训练3-22】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________． 【答案】. 【解析】由已知和正弦定理得：， 设， 由， 解得，所以，设的外接圆的半径为， 由，解得， 由正弦定理得，所以.故答案为： 【变式训练3-23】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积= （弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田. （1）计算弧田的实际面积； （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数） 【答案】(1)()；(2)少． 【解析】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得． 试题解析：(1) 扇形半径 扇形面积等于 弧田面积=（m2） （2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为 按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）= 平方米 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米. 考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式． 【变式训练3-24】刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（ ） A．0.00873 B．0.01745 C．0.02618 D．0.03491 【答案】B 【解析】根据圆内接正360边形的面积近似等于圆的面积列式可解得结果. 设圆的半径为，取，则圆内接正360边形的每条边所对的圆心角为，以圆心为顶角的每个等腰三角形的面积为， 根据360个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积可得， 即.故选：B. 【点睛】本题考查了极限思想，考查了三角形的面积公式，考查了数学文化，属于基础题.故选：D. 【点睛】本题考查了数学文化及正弦定理的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于基础题. 【变式训练3-25】“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法．在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（    ）（精确到）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据24个等腰三角形的面积之和约等于圆的面积即可求解. 设圆的半径为，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形， 且顶角为， 所以正二十四边形的面积为， 所以有，解得,故选：C 【变式训练3-26】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B． C．倍 D．倍 【答案】A 【解析】先由题意可得，再由正切的和差公式求得，进而可得第二次 “晷影长”与“表高”的倍数关系.由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，， 又， 所以， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A. 【变式训练3-27】勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】在中利用余弦定理可求出，则可得，再由锐角三角函数的定义可求出，由勾股定理求出，从而可求得答案 连接，由条件可得，在中，由余弦定理得 ， ∴， ∴，， ∴， 所以弦图中小正方形的边长为． 故选：C 【变式训练3-28】最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值.由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得： ，. 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 【变式训练3-29】赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为____________. 【答案】 【解析】设，可得出，，利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 设，则，因为为等边三角形，则，故， 在中，由余弦定理得，解得， 故，，因此，的面积为.故答案为：. 【变式训练3-30】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（    ） A．9 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【解析】先在中，利用余弦定理求解，再在中结合勾股定理求解，继而分析即得解.由条件可得. 在中，由余弦定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为， ∴面积为4.故选：B 【变式训练3-31】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得出，平方可得，即可求出. 因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以，即，两边平方得，即. 因为是直角三角形中较大的锐角，所以，所以， 所以.故选：B. 【变式训练3-32】中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出圆内接正边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可. 如图，圆内接边形，为中点，半径为， 圆周率，由计算器可得：故选：C 【变式训练3-33】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B． C．倍 D．倍 【答案】A 【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，， 又， 所以， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A. 【变式训练3-34】“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】C 【解析】由题意可知， 所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里，故选：C． 【变式训练3-35】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题： 在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________ 【答案】 【解析】设的外接圆的圆心为，根据题设中给出的结论可构建关于的方程组，解方程组后可得的坐标.延长交轴于，则为锐角， 由题设，当在射线上时， 若取最大值，则有的外接圆与轴相切且切点为， 设为轴上的动点且在的左侧，则， 由为最大值角可得，故当为轴上的动点且取最大值时， 在射线上且的外接圆与轴相切且切点为. 设该圆的圆心为，则且圆的半径为， 故，整理得到，解得或， 又直线的方程为，故，故舍去， 故的外接圆的圆心为，故.故答案为：. 【点睛】本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论. 【变式训练3-36】2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设，则的值为__________． 【答案】 【解析】根据题意，将长度设为尺，则长度为尺，利用勾股定理求出得各边长，得到的值，再利用二倍角公式即可求解. 根据题意得，在中，，， 设长度为尺，则长度为尺， 所以，即，解得，即， 所以，又因为， 所以或， 因为，所以，所以.故答案为：. 【变式训练3-37】由三角形的三边求出该三角形的面积，在古代很长一段时间都是个困难的问题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式，其中，这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长边比最短边大6，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设等腰三角形的底边为，当是最短边时，，由，得，所以，则. 当是最长边时，，由，得，所以， 因为，所以不能构成三角形.故选：D 【变式训练3-38】勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积 S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2， 三角形ABC的面积S△ABC＝＝， 所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，故选：A． 【变式训练3-39】以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以化的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________. 【答案】 【解析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.设等边三角形的边长为，则，解得， 所以，由弧与所围成的弓形的面积为， 所以该勒洛三角形的面积.故答案为：. 【变式训练3-40】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 解:因为，, 所以, 所以故选:C 【变式训练3-41】古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用二倍角公式可求三角函数的值．根据题中的条件可得.故选：A 【变式训练3-42】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意知，，则， 又，则.故选：D. 【变式训练3-43】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】先由平方关系得，再由倍角公式化简得，最后由诱导公式求解即可.由题意知，，则， 又，则.故选：D. 【变式训练3-44】德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.因为是顶角为的等腰三角形，所以，， 则，， 而，所以，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题. 【变式训练3-45】今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图形和已知条件表示出，然后用余弦定理求解即可 由正五角星的对称性知：， 不妨设，则， 又， 则，所以， ， ，故选：A 【变式训练3-46】斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ） A．11π B．12π C．15π D．16π 【答案】B 【解析】不妨设正方形的边长为，则，解得， 所以图中斐波那契螺旋线的长度为．故选：B． 【变式训练3-47】斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设，则，再由圆弧分别求得，，，然后再逐项判断. 不妨设，则，所以. 因为，所以. 同理可得， 所以，，，， 所以A，B正确，C，D错误.故选：AB 【变式训练3-48】由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（    ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以，即，故选项A正确； 令，则，则，则，即选项B错误； 令，则，可得，由B知，所以选项C错误； 因为，所以， 由A可得， 而，故即， 所以（负根舍去）即选项D正确．故选：AD． 【变式训练3-49】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立直角坐标系，求出点P的轨迹方程，即可得解. 以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图， 则，，设， ，， 整理得， 点P到AB（x轴）的距离最大值为， 所以面积的最大值为.故选：C. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 【变式训练3-50】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为_________，此时_________. 【答案】 【解析】第一空可由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点，再根据 费马点与三角形三个顶点距离之和最小的点求出；第二空可直接由正弦定理求得. 设为坐标原点，由，知， 且为锐角三角形，因此，费马点F在线段上，设， 则为顶角是120°的等腰三角形，故， 所以； 在中，由正弦定理，得，即， 解得，即此时. 故答案为：； 【点睛】本题考查数学史、正余弦定理的应用，对题目中给出的费马点的理解和应用是解决本题的关键. 【变式训练3-51】费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答，当三角形三个内角均小于时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在中，､､的对边分别为a､b､c，且，，成等差数列，. (1)证明：是直角三角形； (2)若O是的“费马点”，.设，，，求的值. 【答案】见解析 【解析】(1)由已知及余弦定理得，解得， 代入，解得， ，即是直角三角形. (2)由（1）知，，，. 的面积. 由费马点及正弦定理得，. 由余弦定理得 ，， ，. 【变式训练3-52】正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 由题得：， 所以 即：，所以，解得：（舍）或，所以 故答案为：9 【变式训练3-53】下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”. （1）在图（i）中，，且，求； （2）在图（ii）中，，设，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由已知条件结合诱导公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）由已知条件结合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. （1）当时，， 则 在中，由余弦定理可得， 所以. （2）在中，由余弦定理知，， 所以 在中，由正弦定理知，可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以当时，的取最大值. 答：（1）；（2）的最大值为. 【变式训练3-54】下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”． (1)在图（i）中，，且，求的值； (2)在图（ii）中，，设，求的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据勾股定理，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正弦定理、余弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. (1)当时，， 则 ， 在中，由余弦定理可得： ； (2)在中，由余弦定理知，， 所以 在中，由正弦定理知，可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以当时，的取最大值. 【变式训练3-55】斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______． 【答案】## 【解析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦尔特定理可求得的长. 由及正弦定理可得， ，则，所以，，则， ，故， ，，由余弦定理可得， ，则，故， 由斯特瓦尔特定理可得， 因此，.故答案为：. 【变式训练3-56】克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝____. 【答案】60°## 【解析】由题中给出的原理，得出的最大值，以及取最大值时的条件，再结合余弦定理可得出答案. 因为OB·AC＋OA·BCOC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2， 所以OB＋OAOC，所以，所以OC的最大值为3， 取等号时，∠OBC＋∠OAC＝180°，所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0， 不妨设AB＝x，所以＋＝0，解得， 所以cos∠AOC＝，所以∠AOC＝60°．故答案为： 【变式训练3-57】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______. 【答案】## 【解析】设的三个内角，，的对边分别为，，，连接，则，由等边三角形的性质可求出，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值 设的三个内角，，的对边分别为，，. 连接，则由题设得，， 因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，， 所以，， 所以 在中，由余弦定理可得 即 又，∴ 即（等号当时成立）， 由题意可得为等边三角形， 故故答案为： 【变式训练3-58】费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答，当三角形三个内角均小于时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在中，､､的对边分别为a､b､c，且，，成等差数列，. (1)证明：是直角三角形； (2)若O是的“费马点”，.设，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用余弦定理求得三边之间的关系，利用勾股定理求证为直角三角形. （2）利用题干中“费马点”的性质，及三角形面积公式，正弦定理，余弦定理进行求解. (1)解：由已知及余弦定理得，解得， 代入，解得， ，即是直角三角形. (2)由（1）知，，，. 的面积. 由费马点及正弦定理得，. 由余弦定理得 ，， ，. 【点睛】该试题通过古代数学文化知识三角形的费马点来考查正弦定理､余弦定理､勾股定理､等差中项､三元方程组的应用等，其中正弦定理､余弦定理是高考必考内容，该题与三元方程及费马点等综合在一起，使试题的难度有所提升，也符合高考命题趋势.数学素养方面主要是培养学生阅读能力､自学能力，使学生会用数学思想方法解题 【变式训练3-59】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大. 【答案】 【解析】过C作，交AB于D，如图所示： 则， 设， 在中，， 在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以取最大值时，最大， 所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.故答案为： 【变式训练3-60】法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，且满足，．则的外接圆半径长为_________． 【答案】 【解析】根据题意作出图形，进而结合正余弦定理求出的长度，从而可求出结果. ，，，，， ，中，，． ， 设的外接圆半径为，，．故答案为：. 【变式训练3-61】法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】见解析 【解析】(1)由， 得， 即， 即 即，∵，∴， 由正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，∴. (2)如图，连接､，则，， 正面积，∴， 而，则， ∴中，由余弦定理得：， 有，则， 在中，，，由余弦定理得，则， ∴，，∴，所以的周长为. 【变式训练3-62】几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．对任意的， 【答案】ACD 【解析】依题意，即，再根据所给定义及三角恒等变换公式一一计算可得； 解：依题意，即， 在中，由正弦定理可得， 所以， 因为， 所以， 所以， 即，，，故A正确； 又，，，、， 所以，即， 所以，即， 所以，故C正确，B错误； 因为，所以，则， 所以 ，故D正确；故选：ACD 【变式训练3-63】数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图象求得函数的最小正周期，可求得的值，然后代入点可求得的值. 由图象可知，函数的最小正周期为， 则，所以． 因为，且函数在附近单调递增， 所以，则， 因为，所以．故选：C． 【变式训练3-64】托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ） A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736 【答案】C 【解析】先看左边列找，再往右找对第一行的即可.由题意查表可得的正弦值为0.5678. 故选:C. 【变式训练3-65】克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝________. 【答案】60° 【解析】因为OB·AC＋OA·BCOC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2， 所以OB＋OAOC，所以，所以OC的最大值为3， 取等号时，∠OBC＋∠OAC＝180°，所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0， 不妨设AB＝x，所以＋＝0，解得， 所以cos∠AOC＝，所以∠AOC＝60°．故答案为： 【变式训练3-66】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 【答案】 【解析】根据题意，不妨设，故，进而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可. 根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于, 所以， 设， 所以在和中，，且均为锐角， 所以 所以由正弦定理得：，， 所以，， 因为 所以 ， 因为，所以，所以， 所以 故实数的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可. 【变式训练3-67】英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作，则，，，所以，即可求解． 过点作，因为△PMQ是正三角形． 则，， 所以 则，解得故选：C 【变式训练3-68】天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，,故 ，解得， 故选：A． 【变式训练3-69】古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用锐角三角函数求出，，，，再利用两角和的余弦公式计算可得； 解：由图可知，，，， 所以 故选：B 题型04：现代应用 【典型例题1】声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A．的最大值为 B．为的最小正周期 C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心 【答案】BD 【解析】分析函数与不能同时取得最大值可判断A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判断B；计算是否成立可判断C；计算是否成立可判断D；进而可得正确选项. 对于A：若的最大值为，则与同时取得最大值， 当取得最大值时，，可得取不到， 若取得最大值时，，此时， 而取不到，所以与不可能同时取得最大值，故选项A不正确； 对于B：因为的最小正周期是，的最小正周期是， 且， 所以为的最小正周期，故选项B正确； 对于C：， ， 所以不恒成立，即，所以不是 曲线的对称轴，故选项C不正确； 对于D：， 所以对于任意的恒成立，所以为曲线的对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 【典型例题2】第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为，直道长为．若跑道内圈的周长等于半径为的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】先计算出跑道内圈的周长，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的圆心角. 【详解】由题意得跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为．故选：C 【典型例题3】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即， 因为，所以令，即，故选：C 【典型例题4】2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨市友谊西路音乐公园内落成．这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，每天约有3000人前来和大雪人合影打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬日仪式感就是冰城独特的浪漫．小明同学为了估算大雪人的高度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，雪人头顶C的仰角分别是15°和45°，在楼顶A处测得雪人头顶C的仰角为15°，则小明估算大雪人的高度为（    ） A． B．13m C． D． 【答案】A 【解析】先根据题设画出示意图，利用三角变换公式可求雪人的高度. 根据题意可得如图所示的示意图： 其中，， 故，所以，故， 又， 故，故，故选：A. 【典型例题5】掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】由扇形弧长公式可求得圆心角，根据可求得结果. 根据题意作图如下， 由题意知：的长为，为的中点，， ，即所求距离约为米.故选：A. 【变式训练4-1】某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长，测得某时刻频移，则该时刻高铁的速度约等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知函数关系知，结合已知及示意图求出，代入求值即可. 由题设知：，而，则， ∴，即.故选：A. 【变式训练4-2】音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式． 解：由图1知，，， 所以，所以； 结合题意知，函数．故选：． 【变式训练4-3】岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】由题意可得为等腰三角形，故有米，在中，利用求解即可. 解：因为，， 所以， 所以为等腰三角形， 所以米， 在中，， 所以米.故选：B. 【变式训练4-4】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（    ）       A．54m B．47m C．50m D．44m 【答案】A 【解析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.故选：A. 【变式训练4-5】筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈， 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: 米) (在水面下则 为负数)， 若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻， 经过 秒后， 下列命题正确的是（    ）(参考数据: ) ①， 其中， 且 ， ②， 其中， 且 ， ③当 时， 盛水筒再次进入水中， ④当 时， 盛水筒到达最高点. A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【解析】根据题意作出示意图，如图所示，其中为筒车的轴心的位置，为水面，过作于点，为筒车经过秒后的位置，连接，过作于点，首先根据已知条件求出，进而得出，，即可判断①②，将代入求得的解析式可判断③，将代入求得的解析式可判断④. 根据题意作出示意图，如图所示，其中为筒车的轴心的位置，为水面，过作于点，为筒车经过秒后的位置，连接，过作于点，筒车的角速度为， 由题意可知，， 所以, 所以， 因为， 所以，其中， 且 ，所以①错误，②正确， 对于③，当时，，，，所以，故盛水筒没有进入水中，所以③错误， 对于④，当时，，，即，所以，所以盛水筒到达最高点，所以④正确， 故选：C 【变式训练4-6】东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（ ） A．69 B．40 C．35 D．23 【答案】B 【解析】根据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 如图，根据题意，图中平面ABD,, 中，， 又平面ABD，是直角三角形 中， ，选项B正确，选项ACD错误故选：B. 【变式训练4-7】小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（    ） A．20米 B．25米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】设 ，在直角三角形中， ， 在三角形BCD中，， 即 ，解得（舍）.故选：B. 【变式训练4-8】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即， 因为，所以令，即，故选：C 【变式训练4-9】某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，且则， 所以，则降噪的声波曲线为.故选：D. 【变式训练4-10】2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【答案】B 【解析】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种， 所以芒种为黄经度. 故选：B 【变式训练4-11】水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（ ） A．最小正周期为 B．一个单调递减区间为 C．的最小正周期为 D．图像的一条对称轴方程为 【答案】D 【解析】首先求得，，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.依题意可知，水车转动的角速度， ，，解得，， 由得，又，则， 所以，. 对于选项A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：当时，，因为， 所以函数在上不具有单调性，故B错误； 对于选项C：，所以C错误； 对于选项D：（最小值），所以D正确.故选：D. 【变式训练4-12】筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为．后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为______． 【答案】 【解析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 如图，过作直线与水面平行，过作于，过作于． 设，，则，， 由图知，，，， 所以，整理得，则，即． 故答案为：. 【变式训练4-13】2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大同，天下一家”的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边长分别为a，b，c，d的双圆四边形，则其内切圆半径，外接圆半径.现有边长均为1的双圆四边形，则___________. 【答案】 【解析】直接由题目所给公式计算外接圆和内切圆半径即可求解. 由题意知：，故，，，故.故答案为：. 【变式训练4-14】台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 【答案】 【解析】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果. 以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为， 直线方向为本球射出方向， 故,.故答案为：. 【变式训练4-15】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________． 【答案】 【解析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标 因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒， 所以，得， 所以， 因为当时，盛水筒M位于点， 所以， 所以， 因为， 所以，得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，故答案为： 【变式训练4-16】重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【解析】如图，作 ,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系， 则 , 设 ，则, 由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故，故D正确，故选：ABD 【变式训练4-17】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（    ）A． B． C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【解析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D. 依据表格中数据知，可设函数为， 由已知数据求得，，周期，所以﹐ 所以有，选项A错误；选项B正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以，得， 又，则有或， 从而有或，选项C，D都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角； 长为一个周期的区间内相位所在范围. 【变式训练4-18】声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（    ） A．的最大值为 B．为的最小正周期 C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心 【答案】BD 【解析】分析函数与不能同时取得最大值可判断A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判断B；计算是否成立可判断C；计算是否成立可判断D；进而可得正确选项. 对于A：若的最大值为，则与同时取得最大值， 当取得最大值时，，可得取不到， 若取得最大值时，，此时， 而取不到，所以与不可能同时取得最大值，故选项A不正确； 对于B：因为的最小正周期是，的最小正周期是， 且， 所以为的最小正周期，故选项B正确； 对于C：， ， 所以不恒成立，即，所以不是 曲线的对称轴，故选项C不正确； 对于D：， 所以对于任意的恒成立，所以为曲线的对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 【变式训练4-19】重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设. （1）将、用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】（1），； （2）当时，取最大值. 【解析】（1）本题可通过正弦定理得出、； （2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值. （1）因为，，， 所以，，. （2）因为，，所以， 在中，由余弦定理易知， 即 ， 因为，所以，， 当，即时， 取最大值，取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题. 【变式训练4-20】主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，其中的振幅为2，且经过点（1，－2） （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）证明：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明. （1）∵振幅为2，A>0，∴A=2，，将点（1，-2）代入得：，∵，∴， ∴，∴， 易知与关于x轴对称，所以. （2）由（1） . 即定值为0. 【变式训练4-21】合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域. （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，求出，易得面积； （2）不妨设，，用余弦定理表示出，用正弦定理表示出，再用余弦定理表示出，然后表示出的面积，利用两角和的正弦公式展开代入，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 解析：（1），∴， 又，∴，易知是锐角，所以， ∴， ， （2）不妨设，， 于是由余弦定理得①， ②， ③， ∴ ， 当且仅当时取等号，∴最大值为. 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值． 【变式训练4-22】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【解析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D. 依据表格中数据知，可设函数为， 由已知数据求得，，周期，所以﹐ 所以有，选项A错误；选项B正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以，得， 又，则有或， 从而有或，选项C，D都正确.故选：BCD 【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角； 长为一个周期的区间内相位所在范围. 【变式训练4-23】成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由正弦定理得：，； 在中，由余弦定理得， ， ． （2）在中，由余弦定理得：， ，， ， ， ， ．（当且仅当时取“” 【变式训练4-24】随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C-A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段， 是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，． （1）求的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？（精确到） 【答案】见解析 【解析】（1）联结，在△ABC中，由余弦定理可得， ， 所以=，即的长度为(km)； （2）记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得： ，即， 从而， 所以，，当且仅当时，等号成立； 新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km)， 故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)． 【变式训练4-25】仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，） （1）求流星发射点近似高度； （2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由． 【答案】（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【解析】（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得； （2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 （1）因为，则，所以为等边角形，所以． 又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得， 在中，由余弦定理： ． 所以，所以公里． （2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）． 【变式训练4-26】成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中由正弦定理求得，在中由余弦定理表示出，从而求得； （2）在中，用余弦定理表示出，然后结合基本不等式可得的最大值． 解：（1）在中，由正弦定理得：，； 在中，由余弦定理得， ， ． （2）在中，由余弦定理得：， ，， ， ， ， ．（当且仅当时取“” 【变式训练4-27】仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，） （1）求流星发射点近似高度； （2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由． 【答案】（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【解析】（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得； （2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 （1）因为，则，所以为等边角形，所以． 又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得， 在中，由余弦定理： ． 所以，所以公里． （2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）． 【变式训练4-28】某港口一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：，）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A．在上的平均变化率为 B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为 C．当时，潮水的高度会达到一天中最低 D．4时潮水起落的速度为 【答案】A 【解析】对A，在上的平均变化率为，故A正确； 对B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为1个周期，故B错误； 对C，，没有达到最低，故C错误； 对D，，则，故D错误. 故选：A. 巩固提升 1、我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 圆内接正二十四边形的面积为. 故选：C 2、如图是一个近似扇形的鱼塘，其中，弧长为（）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥，其中，.已知时，，则廊桥的长度大约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中点，连接，由题， 设圆心角，， 所以， 所以.故选：B 3、“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（　　） A．65 米 B．74 米 C．83米 D．92米 【答案】B 【解答】解：不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝2x，AB＝AC+BC＝3x， ∵，∴， ∴， ∴，∴AB＝3x≈74 米．故选：B． 4、筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：米），筒车经过第一次到达最高点，则下列叙述正确的是 A．当时，点与点重合 B．当时，一直在增大 C．当时，盛水筒有次经过水平面 D．当时，点在最低点 【答案】C 【解析】设，依题意． 又，所以．又，圆的半径为， 所以点满足，当时，，解得， 所以，故．该函数最小正周期为， 所以当时，点与点重合，选项A错误； 令，解得， 当时，，因为，所以选项B错误； 令，即， 所以或， 解得或． 又，所以可以取的值为，，，，， 此时盛水筒有次经过水平面，选项C正确； 当时，，所以选项D错误，故选C． 5、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以，故答案为 6、如图，已知两座建筑物的高度分别为15m和9m，且，从建筑物的顶部看建筑物的张角为，测得，则间的距离_______m. 【答案】12 【解析】由题意知 ,整理得 ,解得或 .， 故答案为:12. 7、某校有一块圆心，半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径的中点分别为，为弧上的一点，设，如下图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用. （1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式，并求为何值时，取得最大？ （2）方案二：将弧和线段围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？ 【答案】见解析 【解析】（1）由已知，,，； 故， 整理得（平方米）， ∴当时，（平方米）. （2）由已知，， ∴， 即； ∴，故； ∴在上为增函数， ∴当时，（平方米）. 答：（1）当时，（平方米）； （2）关于的函数表达式， 当时，（平方米）. 80 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 三角函数新定义专题 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 题型概念 4 题型01：新定义概念.性质及运算 4 题型02：传统文化 14 题型03：数学成就 22 题型04：现代应用 45 三角函数新定义问题是高考数学的创新题型，常以小题压轴或大题分支形式出现，侧重考查学生信息转化与知识迁移能力，以下从题型特点、考查重点和备考策略三方面展开分析： 1. 题型特点：一是定义形式多样，要么拓展三角函数相关概念，比如新定义余正弦函数、双曲正余弦函数等；要么结合图形或性质定义，像与函数图像交点相关的黄金分割点判断、函数“正格点”等。二是题干信息抽象，多以文字或符号阐述新规则，无现成解题模板，需考生自主解读内涵。三是难度分层明显，第一问常为基础定义应用，后续问题逐步结合复杂性质，区分度较高。 2. 考查重点：一方面考查基础转化能力，要求考生将新定义转化为正弦定理、诱导公式、同角三角函数关系等已有知识。另一方面侧重综合应用能力，常结合三角函数的周期性、单调性、值域等性质，或与解三角形、函数奇偶性等知识交叉，部分题目还融入几何图形分析，比如利用单位圆、函数图像对称性简化计算。同时也注重逻辑推理能力，例如推导新定义函数的最小正周期、证明相关恒等式等。 3. 备考策略：首先要养成精读习惯，标记新定义中的关键条件、符号含义，明确其与传统三角函数的关联。其次需强化转化训练，练习时主动将新问题归类到熟悉题型，比如新定义运算转化为三角恒等变换，新性质探究转化为函数单调性、周期性的常规分析。最后要积累典型模型，像双曲正余弦、倍角三角形等常见新定义模型，总结其解题规律，同时通过特殊值代入、极端情况验证等方式提高解题效率。 结合高考对三角函数新定义问题的考查要求，其学习目标可分为基础层、能力层、应试层三个维度，具体如下： 一、基础层：核心概念与转化能力 1. 精准理解新定义的内涵与外延，能快速拆解题干中“新规则”的关键要素（如符号、运算关系、适用范围），明确其与传统三角函数概念（任意角、三角函数定义、恒等变换等）的关联与区别。 2. 掌握“新定义→旧知识”的转化逻辑，能将陌生的新定义表述，翻译为正弦定理、诱导公式、函数性质分析等已有知识体系中的可解问题，避免被抽象表述干扰。 二、能力层：综合应用与逻辑推理 1. 提升综合知识迁移能力，能结合三角函数的周期性、单调性、奇偶性、值域等核心性质，解决新定义下的函数分析问题；同时能融合解三角形、平面几何、不等式等跨模块知识，应对多知识点交叉的新定义题型。 2. 强化逻辑推理与论证能力，能独立推导新定义三角函数的相关性质（如最小正周期、对称性、恒等式），并通过严谨的步骤证明结论；面对开放型新定义问题，能自主设计验证方案（如特殊值代入、分类讨论）。 3. 培养抽象思维与模型构建能力，能从不同形式的新定义中提炼共性规律，形成“新定义问题→模型匹配→常规求解”的思维路径，例如将双曲正余弦、自定义三角运算等归为“类三角函数性质分析”模型。 三、应试层：解题策略与实战素养 1. 熟练掌握新定义问题的应试技巧，包括题干关键信息标注法、特殊值验证法、极端情况分析法等，能快速排除错误选项或简化复杂计算。 2. 形成规范的解题表达习惯，在书写推理过程时，清晰体现“新定义解读→转化依据→分步求解→结论验证”的逻辑链，避免因步骤缺失导致的失分。 3. 具备错题复盘与规律总结能力，能从典型错题中归纳新定义问题的常见陷阱（如定义适用范围遗漏、转化逻辑错误），并针对性强化薄弱环节。 三角函数新定义问题的核心解题思路是“解读新定义→转化为旧知识→结合性质求解→验证结论”，具体拆解为以下四步，每一步附实战要点： 第一步：精读题干，拆解新定义核心 1. 标注关键要素：圈出定义中的特殊符号（如自定义运算⊕、新函数名shx/chx）、限制条件（如定义域、角度范围）、数量关系（如“f(α)=sinα+cosα”这类表达式），明确“新概念/新规则”的本质（是新函数、新运算，还是新性质）。 例：若定义“三角对称数”为满足sinθ=sin(π-θ)的θ，则核心是关联诱导公式中sin(π-θ)=sinθ的已有结论。 2. 翻译通俗化：用自己的语言复述新定义，避免被抽象表述迷惑。 例：新定义“f(x)为正弦函数的‘倍角变换函数’，f(x)=sin2x+cosx”，可翻译为“f(x)是由sin2x和cosx组成的函数，需用二倍角公式转化为单角形式”。 第二步：搭建桥梁，转化为已有知识体系 这是解题的核心环节，核心逻辑是“新问题→旧模型”： 1. 匹配关联知识点：判断新定义与三角函数哪些核心内容相关（如三角恒等变换、函数性质、解三角形、单位圆）。 ◦ 若新定义是新函数（如f(α)=tanα+sinα）→ 转化为三角函数的单调性、值域、奇偶性分析； ◦ 若新定义是新运算（如α⊗β=sinαcosβ+cosαsinβ）→ 转化为两角和的正弦公式； ◦ 若新定义是新性质（如“θ为优角”指sinθ>0且cosθ<0）→ 转化为三角函数值的符号判断（象限角）。 2. 套用已有公式/结论：将新定义中的表达式，用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系等化简，转化为可直接计算或分析的形式。 第三步：结合题型，针对性求解 根据问题设问（求值、判断性质、证明、解不等式等），选择对应方法： 1. 求值问题：优先用特殊值代入（如θ=0、π/2、π）验证，或化简后直接计算； 2. 性质判断（周期、单调、对称）：转化为常规三角函数的性质分析步骤（如求周期用f(x+T)=f(x)，求单调区间用导数或复合函数单调性）； 3. 证明问题：从新定义出发，结合已有公式逐步推导，每一步标注依据（如“由二倍角公式得…”）； 4. 解三角形关联问题：将新定义中的条件转化为边或角的关系，套用正弦定理、余弦定理求解。 第四步：验证结论，规避陷阱 1. 检查定义适用范围：确认求解结果是否符合新定义中的限制条件（如定义域、角度范围、正负性要求）； 2. 特殊值验证：用简单特殊值代入结论，判断是否合理（如求f(x)的最大值后，代入x=π/6验证是否符合）； 3. 逻辑回溯：确认转化过程中是否存在公式误用（如二倍角公式符号错误、诱导公式记错）。 实战技巧补充 • 陌生定义别怕：高考新定义问题本质是“换皮不换核”，核心永远是三角函数的基础知识点； • 分步拆解：复杂新定义可拆分为多个小规则，逐一转化后再整合； • 数形结合：涉及函数性质时，结合单位圆或三角函数图像辅助分析，直观降低难度。 题型01：新定义概念.性质及运算 【典型例题1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【解析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题 由已知可得， 即. 因为，所以， 则 ， 当且仅当时等号成立,故，故选：D. 【典型例题2】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得， 由题意可得，解得， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为.故选：B. 【典型例题3】我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案. 设角所在的扇形的半径为r，则， 所以， 所以，故选：D． 【典型例题4】密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（    ） A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断； 解：因为， 即， 即，所以，所以，或， 解得或 对于A：密位制对应的角为，符合题意； 对于B：密位制对应的角为，符合题意； 对于C：密位制对应的角为，不符合题意； 对于D：密位制对应的角为，符合题意； 故选：C 【典型例题5】计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 【答案】C 【解析】将化为，根据新定义，取代入公式中，直接计算取近似值即可． 由题意可得，， 故 ，故选：． 【变式训练1-1】密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（    ） A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00 【变式训练1-2】在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练1-3】设，定义运算，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】现有如下信息： （1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【变式训练1-7】对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 【变式训练1-8】在复变函数中，自变量可以写成，其中，是z的辐角．点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点绕原点逆时针旋转得_______；复变函数，，_______． 【变式训练1-9】定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-10】对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-11】已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是 A． B． C． D． 【变式训练1-12】对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-13】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.给出下列结论： ①函数在上单调递增； ②若，则； ③若，则的最小值为0； ④若，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练1-14】定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-15】数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ） A．与的最小正周期均为 B．与的图象均关于直线对称 C．的最大值是的最小值 D．与的图象关于原点中心对称 【变式训练1-16】已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-17】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的最大值为 【变式训练1-18】在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．函数在上是减函数 B．函数的最小正周期为 C． D． 【变式训练1-19】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-20】我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是______． 【变式训练1-21】已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数. 若，以下四个函数中： ①；      ②； ③；     ④. 所有是在上生成的函数的序号为________. 【变式训练1-22】形如的式子叫做行列式，其运算法则为，则行列式的值是___________. 【变式训练1-23】若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号） 【变式训练1-24】在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④ 【变式训练1-25】在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；           ②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；    ④该函数为周期函数，且最小正周期为； ⑤该函数的递增区间为. 其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 【变式训练1-26】定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________ 【变式训练1-27】对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则______，若，则的值为______． 【变式训练1-28】已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立． （1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________． （2）若函数，则实数的取值集合为__________． 【变式训练1-29】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 ． 可见可以表示为的三次多项式． 一般地，存在一个n次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示． 利用结论，求出的值．（提示：） 【变式训练1-30】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 【变式训练1-31】知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（    ） A．            B．            C．        D． (2)对于，的正对值的取值范围是______． (3)已知，其中为锐角，试求的值． 【变式训练1-32】若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”． （1）已知，求函数的“相伴特征点”； （2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象． 题型02：传统文化 【典型例题1】明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为， ，， ∴．故选：C． 【典型例题2】明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由所在直角三角形中两直角边长已知，根据直角三角形中三角函数定义计算出，再由正弦的二倍角公式计算． 由题意所对直角边长为，相邻直角边长为，则斜边长为， ，， ∴．故选：C． 【典型例题3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. ，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 【典型例题4】中国的少数民族有不少具有鲜明特色的建筑，如图①所示的建筑为坐落于广西三江林溪河上的程阳永济桥，是典型的侗族建筑，该类建筑由桥、塔、亭组成，其中塔、亭建在石桥上，具有多层结构，被称为世界十大最不可思议桥梁之一，因为行人过往能够躲避风雨，故名“风雨桥”.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列.若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（ ） A．54 B．48 C．42 D．30 【答案】B 【解析】首先由条件可知，四层六边形从内到外的边长是等差数列，利用周长以及面积，分别可求出等差数列的公差和首项，再求最外层六边形的周长. 记四层六边形从内到外每层的边长依次为，，，，则， 即①.而，则②，设等差数列的公差为，，联立①②，可得，解得，，则，则最外层六边形的周长为48，故选:B. 【典型例题5】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为（ ）．（结果精确到1米） （参考数据：，，，） A．39米 B．43米 C．49米 D．53米 【答案】D 【解析】求出，在中，用余弦定理即可求得. 在中，，，， 所以， 在中， ， 所以（米）．故选：D 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【变式训练2-1】古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设.则下述四个结论：①以直线为终边的角的集合可以表示为；②以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为；③；④中，正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（    ）（其中，） A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米 【变式训练2-5】如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ） A．50 B．55 C．60 D．70 【变式训练2-6】折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2-7】剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 【变式训练2-8】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为（≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm2． 【变式训练2-9】一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式） 【变式训练2-10】我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________． 【变式训练2-11】《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km. 【变式训练2-12】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，当与的比值为时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-13】《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:， )（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型03：数学成就 【典型例题1】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________． 【答案】 【解析】由题意，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，所以 故答案为：. 【典型例题2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢）矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：，） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【解析】计算出“弦”与“矢”的长，利用弧田面积公式可求得结果. 圆心角为，半径等于米的弧田，该弧田的“弦”长为米， 圆心到弦的距离为米，所以，该弧田的“矢”长为米， 因此，该弧田的面积为平方米.故选：C. 【典型例题3】《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用弧田面积公式可求出矢长，继而求出半径和圆心到弧田弦的距离，则可求出cos∠AOD，由二倍角可求出cos∠AOB. 如图，由题意可得：AB=6， 弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米． 解得矢=1，或矢=-7（舍）， 设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d， 则，解得d=4，r=5， ∴cos∠AOD=， ∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=-1=．故选：D． 【点睛】本题考查传统文化题目，考查二倍角，属于基础题. 【典型例题4】我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积．若，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意结合正弦定理可得，代入三角形面积公式，结合函数的性质即可得解. 因为，，所以即， 所以的面积 ， 所以当即时，面积取最大值， 此时，存在，所以面积的最大值为. 【典型例题5】我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六边形的面积，来近似估计半径为1的的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面积来近似估计半径为1的的面积，则______.（结果保留根号） 【答案】 【解析】过圆心点作，由正六边形的性质可得是等边三角形，计算出三角形的面积进而可得正六边形的面积；过正十二边形的顶点作，由正十二边形的性质可计算出的面积以及正十二边形的面积，进而得出．如图，过点作， 由题意知是等边三角形， ∴，，. ∴. 如图，过点作， 由题意知，，则. ∴. ∴.故答案为： 【典型例题6】黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知，为的两个黄金分割点，研究发现如下规律：.若是顶角为36°的等腰三角形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，可得，设，，即可由余弦定理求出，再由诱导公式即可求出.由题意得在正五角星中，，为的两个黄金分割点，易知. 因为，所以，故不妨设，， 则在中，， 从而.故选：A. 【典型例题7】赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设，若向三角形ABC内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何概型的概率公式，求出和的面积，计算所求的概率值． 由题意，，， ，，由余弦定理可得， ， ， 芝麻落在阴影部分的概率为 ．故选：． 【典型例题8】勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，勒洛三角形面积为以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积，再代入数据计算即可.根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长 为半径形成的三个圆弧的构成了以为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可. 所以勒洛三角形面积为.故选：A. 【点睛】本题考查扇形的面积计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为求以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积. 【典型例题9】古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形，，，，，均近似为黄金矩形.若与间的距离大于18.7m，与间的距离小于12m．则该古建筑中与间的距离可能是（ ）（参考数据：，，） A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m 【答案】C 【解析】由矩形和是黄金矩形，由边长的比求出范围即可得． 由黄金矩形的定义可知，，所以，，即，对照各选项，只有C符合．故选：C． 【变式训练3-1】秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，S是△ABC的面积，在△ABC中，若，，，则△ABC的内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为.若，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练3-3】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A． B． C． D．12 【变式训练3-4】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________. 【变式训练3-5】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________． 【变式训练3-6】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积.设某三角形的三边，，，则该三角形的面积_________. 【变式训练3-7】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为______. 【变式训练3-8】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为平方步 【变式训练3-9】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题．《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为 A． B． C． D． 【变式训练3-10】我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（    ） A．84 B．168 C．79 D．63 【变式训练3-11】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-12】《数书九章》卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.术曰：以少广求之，以小斜幂（）并大斜幂（），减中斜幂（），并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S）.译成现代式子是这个式子称为秦九韶三斜求积公式；已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为_________，最小角的余弦值为_________. 【变式训练3-13】中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（    ） A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足 C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为 【变式训练3-14】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足.判定下列命题正确的有（    ） A．在中角C=30° B．的面积为 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 【变式训练3-15】刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的<海岛算经>，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形的边长、周长和面积分别为，，，为正n边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-16】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数） 【变式训练3-17】在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率的近似值是______；若已知某环形田的中周长步，外周长步，径长步，则该环形田的面积为______．（单位：步）． 【变式训练3-18】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲､乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇.甲､乙各走了多少步？（    ） A．20，8 B．24，10 C．10.5，24.5 D．24.5，10.5 【变式训练3-19】刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-20】古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题： （1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留). （2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：. 【变式训练3-21】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）倍 A． B． C． D． 【变式训练3-22】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________． 【变式训练3-23】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积= （弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田. （1）计算弧田的实际面积； （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数） 【变式训练3-24】刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（ ） A．0.00873 B．0.01745 C．0.02618 D．0.03491 【变式训练3-25】“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法．在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（    ）（精确到）（参考数据） A． B． C． D． 【变式训练3-26】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B． C．倍 D．倍 【变式训练3-27】勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练3-28】最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-29】赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为____________. 【变式训练3-30】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（    ） A．9 B．4 C．3 D．8 【变式训练3-31】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-32】中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-33】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B． C．倍 D．倍 【变式训练3-34】“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ） A．里 B．里 C．里 D．里 【变式训练3-35】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题： 在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________ 【变式训练3-36】2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设，则的值为__________． 【变式训练3-37】由三角形的三边求出该三角形的面积，在古代很长一段时间都是个困难的问题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式，其中，这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长边比最短边大6，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练3-38】勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-39】以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以化的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________. 【变式训练3-40】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-41】古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-42】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练3-43】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练3-44】德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-45】今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-46】斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ） A．11π B．12π C．15π D．16π 【变式训练3-47】斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-48】由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（    ） A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时， C． D． 【变式训练3-49】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-50】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为_________，此时_________. 【变式训练3-51】费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答，当三角形三个内角均小于时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在中，､､的对边分别为a､b､c，且，，成等差数列，. (1)证明：是直角三角形； (2)若O是的“费马点”，.设，，，求的值. 【变式训练3-52】正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为__________． 【变式训练3-53】下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”. （1）在图（i）中，，且，求； （2）在图（ii）中，，设，求的最大值. 【变式训练3-54】下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”． (1)在图（i）中，，且，求的值； (2)在图（ii）中，，设，求的最大值． 【变式训练3-55】斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______． 【变式训练3-56】克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝____. 【变式训练3-57】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______. 【变式训练3-58】费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答，当三角形三个内角均小于时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在中，､､的对边分别为a､b､c，且，，成等差数列，. (1)证明：是直角三角形； (2)若O是的“费马点”，.设，，，求的值. 【变式训练3-59】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大. 【变式训练3-60】法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，且满足，．则的外接圆半径长为_________． 【变式训练3-61】法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【变式训练3-62】几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．对任意的， 【变式训练3-63】数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3-64】托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ） A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736 【变式训练3-65】克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝________. 【变式训练3-66】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 【变式训练3-67】英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-68】天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-69】古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数．记，，则（    ） A． B． C． D． 题型04：现代应用 【典型例题1】声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A．的最大值为 B．为的最小正周期 C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心 【答案】BD 【解析】分析函数与不能同时取得最大值可判断A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判断B；计算是否成立可判断C；计算是否成立可判断D；进而可得正确选项. 对于A：若的最大值为，则与同时取得最大值， 当取得最大值时，，可得取不到， 若取得最大值时，，此时， 而取不到，所以与不可能同时取得最大值，故选项A不正确； 对于B：因为的最小正周期是，的最小正周期是， 且， 所以为的最小正周期，故选项B正确； 对于C：， ， 所以不恒成立，即，所以不是 曲线的对称轴，故选项C不正确； 对于D：， 所以对于任意的恒成立，所以为曲线的对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 【典型例题2】第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为，直道长为．若跑道内圈的周长等于半径为的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】先计算出跑道内圈的周长，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的圆心角. 【详解】由题意得跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为．故选：C 【典型例题3】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即， 因为，所以令，即，故选：C 【典型例题4】2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨市友谊西路音乐公园内落成．这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，每天约有3000人前来和大雪人合影打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬日仪式感就是冰城独特的浪漫．小明同学为了估算大雪人的高度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，雪人头顶C的仰角分别是15°和45°，在楼顶A处测得雪人头顶C的仰角为15°，则小明估算大雪人的高度为（    ） A． B．13m C． D． 【答案】A 【解析】先根据题设画出示意图，利用三角变换公式可求雪人的高度. 根据题意可得如图所示的示意图： 其中，， 故，所以，故， 又， 故，故，故选：A. 【典型例题5】掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】由扇形弧长公式可求得圆心角，根据可求得结果. 根据题意作图如下， 由题意知：的长为，为的中点，， ，即所求距离约为米.故选：A. 【变式训练4-1】某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长，测得某时刻频移，则该时刻高铁的速度约等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练4-4】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（    ）       A．54m B．47m C．50m D．44m 【变式训练4-5】筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈， 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: 米) (在水面下则 为负数)， 若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻， 经过 秒后， 下列命题正确的是（    ）(参考数据: ) ①， 其中， 且 ， ②， 其中， 且 ， ③当 时， 盛水筒再次进入水中， ④当 时， 盛水筒到达最高点. A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【变式训练4-6】东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（ ） A．69 B．40 C．35 D．23 【变式训练4-7】小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（    ） A．20米 B．25米 C．米 D．米 【变式训练4-8】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-9】某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-10】2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【变式训练4-11】水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（ ） A．最小正周期为 B．一个单调递减区间为 C．的最小正周期为 D．图像的一条对称轴方程为 【变式训练4-12】筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为．后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为______． 【变式训练4-13】2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大同，天下一家”的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边长分别为a，b，c，d的双圆四边形，则其内切圆半径，外接圆半径.现有边长均为1的双圆四边形，则___________. 【变式训练4-14】台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 【变式训练4-15】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________． 【变式训练4-16】重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式训练4-17】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（    ）A． B． C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【变式训练4-18】声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（    ） A．的最大值为 B．为的最小正周期 C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心 【变式训练4-19】重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设. （1）将、用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【变式训练4-20】主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，其中的振幅为2，且经过点（1，－2） （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）证明：为定值． 【变式训练4-21】合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域. （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值. 【变式训练4-22】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【变式训练4-23】成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【变式训练4-24】随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C-A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段， 是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，． （1）求的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？（精确到） 【变式训练4-25】仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，） （1）求流星发射点近似高度； （2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由． 【变式训练4-26】成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【变式训练4-27】仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，） （1）求流星发射点近似高度； （2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由． 【变式训练4-28】某港口一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：，）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A．在上的平均变化率为 B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为 C．当时，潮水的高度会达到一天中最低 D．4时潮水起落的速度为 巩固提升 1、我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（ ） A． B． C． D． 2、如图是一个近似扇形的鱼塘，其中，弧长为（）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥，其中，.已知时，，则廊桥的长度大约为（ ） A． B． C． D． 3、“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（　　） A．65 米 B．74 米 C．83米 D．92米 4、筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：米），筒车经过第一次到达最高点，则下列叙述正确的是 A．当时，点与点重合 B．当时，一直在增大 C．当时，盛水筒有次经过水平面 D．当时，点在最低点 5、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 6、如图，已知两座建筑物的高度分别为15m和9m，且，从建筑物的顶部看建筑物的张角为，测得，则间的距离_______m. 7、某校有一块圆心，半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径的中点分别为，为弧上的一点，设，如下图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用. （1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式，并求为何值时，取得最大？ （2）方案二：将弧和线段围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？ 80 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $