第07讲 三角函数图像和性质题型归类讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图像与性质核心考点，涵盖定义域、值域、周期性、单调性等高考必考点，按“基础概念—性质应用—综合拓展”逻辑架构整合知识，通过思维导图系统梳理、解题策略分类归纳、分层题型专项训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破图像变换、含参问题等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，采用“题型归类+方法提炼”模式，如最值问题通过换元法、三角恒等变换等8种方法分类讲解，图像变换拆解平移伸缩步骤并结合真题案例。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合解题步骤规范指导，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准教学方案。

第07讲 高考三角函数图像性质讲义 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 11 题型归纳 16 题型01：三角函数的定义域 16 题型02：三角函数最值或值域 30 一．利用单调性求最值最值 31 二：先恒等变换再利用单调性 41 三．二次函数与最值 49 四．分式型最值 60 五．sinx与cosx和差换元求最值 68 六．绝对值型求最值 83 七．三角换元法求最值 91 八．三角换元法与向量求最值 96 九：三角换元法与根号型求最值 106 十．换元法求最值 108 十一．距离与斜率型 110 十二．参变分离 116 十三．复合函数型 117 题型03：三角函数的值域与最值求参数 121 题型04：三角函数的周期性 132 题型05：求三角函数的单调区间 155 题型06：根据单调性求参数 169 一． 单调性求参数 169 二．不单调与 取值范围问题 177 题型07：三角函数的奇偶性 182 一． 判断奇偶性 182 二．奇偶性求参 191 题型08： 对称轴与对称中心 197 一:对称轴 198 二:对称中心 204 三:对称轴对称中心 211 题型09：已知对称轴对称中心求参数 220 一．已知对称轴问题 220 二．已知对称中心求参数 229 题型10：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 236 题型11：综合利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值 240 题型12：三角函数比较大小 244 题型13：五点法求三角函数解析式 248 题型14：三角函数图像的伸缩变换 268 题型15：利用图像平移求函数解析式或参数值 281 题型16： 与ω有关的问题（另有专题） 290 题型17：三角函数图像性质解答题 307 题型18： 三角函数在生活中的应用 341 巩固提升 352 1. 考情定位：核心基础考点，选择填空必出题（1-2道，5-10分），解答题常与三角恒等变换、解三角形结合（12分左右），难度覆盖基础-中档，极少出难题。 2. 高频考向：①图像平移/伸缩变换（平移“左加右减只对x”是易错点）；②奇偶性、周期性、单调性、对称性判定；③最值/值域求解（含参数范围题是中档难点）；④图像识图（给图求解析式、给解析式判图像）；⑤与零点、不等式结合的综合小题。 3. 命题趋势：近年更侧重数形结合，结合参数考查分类讨论思想，小题灵活多变，解答题侧重基础应用，适配新高考“重基础、考能力”导向。 1. 核心目标：吃透y=sinx、y=cosx、y=tanx三大基础函数的图像与所有性质，做到烂熟于心。 2. 能力目标：能快速处理y=A sin(ωx+φ)+B（A≠0,ω≠0）的图像变换，精准求A/ω/φ参数；熟练判断奇偶、周期、单调区间、对称中心/对称轴；会求含参三角函数的最值与参数范围。 3. 易错目标：规避“平移变换忽略ω系数”“单调区间混淆正负”“tanx定义域遗漏”三大高频易错点。 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （一）正弦函数的图像 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点. 若把轴上从0到这一段分成12等份，使的值分别为0， ，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。 由诱导公式一可知，函数，且的图象与，的图象形状完全一致,因此将函数，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数，的图象。 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。 （二）五点（画图）法 在函数，的图象上，以下五个点:在确定图象形状时起关键作用。描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了，因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的。 （三）余弦函数的图像 对于函数，由诱导公式得,，而函数 的图象可以通过正弦函数，的图象向左平移个单位长度而得到，所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象。 余弦函数，的图象叫做余弦曲线。它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数的图像和性质 函数 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 对称性 对称中心 对称轴方程 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 知识点四：正切函数的性质 (1) 正切函数的周期性 由诱导公式，且可知，正切函数是周期函数，周期是. (2) 正切函数的奇偶性 由诱导公式，且可知，正切函数是奇函数. (3) 正切函数的图像 设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点。过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则. 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值。我们可以利用线段 画出函数的图象。 当时，随着的增大，线段的长度也在增大，而且当趋向于时，的长度趋向于无穷大。相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线。 根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形就可得到 的图象;根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线. 解析式 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 只有单调增区间： 对称性 无对称轴，对称中心为 渐近线 解题方法总结 1：关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 2.常用结论 （1）函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线． （2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （3）三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． （4）对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数． 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 两种变换的区别 （1）先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 两种变换的注意点 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． （2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． （3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标． 简谐运动的有关概念与规律 （1）相关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)， x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ （2）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． （3）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 一：用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)； ②在上或(上)写出适合三角不等式的解集； ③根据诱导公式一写出定义域内的解集． 二：三角函数的单调性与最值 1、三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性． 2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　 3、求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 （7）权方和不等式 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 三：求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝； 对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，． 形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝. (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． 四：求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 五：解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 函数 图象 递增区间 递减区间 无 六：对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题， 首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得. 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 七：三角函数奇偶性 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　 2.函数具有奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 八：对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 题型01：三角函数的定义域 【方法点拨】用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集． 【典型例题1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式可得出函数的定义域. 由，可得. 解得. 故的定义域为. 故选：C. 【典型例题2】 （1）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】解余弦不等式、求含cosx型的函数的定义域 依题意可得，根据余弦函数的性质计算可得. 对于函数，令，即， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： （2）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域. 由题知， 由，解得 由解得，， 当时，由，解得. 当时，区间和无交集； 当时，区间和无交集； 所以函数的定义域. 故选：A. （3）函数的定义域为（　　） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【解析】由对数式的真数大于，分式的分母不为，联立不等式组求解． 解：由，得， ∴且． ∴函数的定义域为． 故选：C． （4）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正切函数的定义域可知，化简即可求出. 因为， 所以 故函数的定义域为 ，选D. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题. （5）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：根据正切函数的单调性，列不等式求解即可. 详解：要使函数有意义，根号下不小于零， 即， ， 函数的定义域为，故选C. 点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. （6）函数的定义域是_____________________. 【答案】 【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解. 因为， 所以， 所以， 所以， 解得或或. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. （7）求函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可． 由题 即故，，解得 故答案为 【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查对数函数及正切函数性质,准确求解正切函数的不等式是关键，是基础题 （8）求下列函数的定义域： ①； ②； ③； ④． ⑤； ⑥. 【答案】①； ② ③； ④； ⑤； ⑥ 【解析】①根据对数的真数大于零得到不等式，再根据正弦函数的性质计算可得； ②依题意可得，再根据正弦、余弦函数的性质计算可得； ③依题意可得，再根据辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； ④依题意可得，再根据正弦函数的性质及一元二次方程的解法计算可得； ⑤由有意义，列不等式求其解集可得函数的定义域， ⑥由有意义可得且，，解不等式求其解集可得函数的定义域. ①因为，则，所以，即函数的定义域为； ②解：因为，所以，当时，，当时，，综上可得，即函数的定义域为； ③解：因为，所以，即，所以，所以，所以函数的定义域为； ④解：因为，所以，当时，，当，即，解得，综上可得函数的定义域为； ⑤由得， ，所以函数y＝tan的定义域为. ⑥由且有意义得且，，即，，所以函数的定义域为 【变式训练1-1】函数y＝的定义域为 ． 【变式训练1-2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数的定义域是 ． 【变式训练1-4】．若，则该函数定义域为_____________． 【变式训练1-5】．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1-6】在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】函数的定义域为 ． 【变式训练1-9】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-10】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-11】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-12】函数的定义域为（　　） A． B．且 C． D．或 【变式训练1-13】函数的定义域为 . 【变式训练1-14】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-15】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-16】不等式的解集为 ． 【变式训练1-17】函数的定义域为________． 题型02：三角函数最值或值域 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 重难点题型(四) 三角函数的单调性与最值 1、三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性． 2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　 3、求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 （7）权方和不等式 一．利用单调性求最值最值 【典型例题1】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果. 因为 ，所以，所以， 故在上的值域为. 故选：B. 【典型例题2】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域． 因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以 即.故选：A． 【典型例题3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定. 设,因为，所以， 因为正切函数在上为单调递增函数，且, 所以． ∴函数的值域为， 故选：A． 【典型例题4】（多选）已知函数在上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则整数的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【解析】利用整体思想与分类讨论思想，结合正弦函数的性质，可得答案. 当时，，所以，得， 当时，，所以，得， 选项BC是范围内的整数. 故选：BC. 【典型例题5】若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】讨论的取值，结合三角函数的图象，即可求解. （ⅰ）当函数在闭区间内无最值，则函数在内单调， 不妨取，可知，在内单调递增， 可知， 且，则，则， 所以，即， 可得，即 ①若，，则最大值和最小值的差为，符合题意； ②若，， 则， 因为，则，可得， 故，可得， 且，，则，可得； ③若，， 则， 因为，则，可得， 故，可得， 且，，则，可得； 综上所述：； （ⅱ）当函数在闭区间内有最值，不妨取最大值1，最小值为0， 由图象可知：不妨取，当时，取到最大值； 当时，取到最小值；可得；综上所述：的取值范围是.   故答案为：. 【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择． 【变式训练2-1-1】已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-2】设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 【变式训练2-1-3】小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式训练2-1-4】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是的极值点 C．在上有且仅有个零点 D．的值域是 【变式训练2-1-5】（多选）已知函数，，则下列结论正确的有（    ） A．在区间上单调递减 B．若，则 C．在区间上的值域为 D．若函数，且，在上单调递减 【变式训练2-1-6】（多选）已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1012个 【变式训练2-1-7】已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 二：先恒等变换再利用单调性 【典型例题1】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的余弦公式化简、求值 利用两角和的余弦公式化简，进而可求最大值. 由题意可得， 所以的最大值为．故选：C. 【典型例题2】 （1）函数在区间上的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将函数转化为，再根据，利用余弦函数的性质求解. 函数 因为， 所以， ， 所以函数的值域为，故选：B （2）函数的最大值是（     ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】利用二倍角的余弦化简函数，再结合二次函数的性质可求的最大值. , 因为，故当时，有最大值且最大值为， 故选：C. 【典型例题3】已知函数图象的最小正周期是，则（    ） ① 的图象关于点对称 ② 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④ 在上单调递增 A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④ 【答案】A 【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④. 因为， 函数的最小正周期是，∴， ∴，， ， ∴关于对称，故①正确. ，∴关于轴对称，故②正确. 当时，有，则，所以， ∴，故③错误. 由，解得， 所以的一个单调增区间为，而， ∴在上单调递增，故④正确.故选：A. 【变式训练2-2-1】函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式训练2-2-3】函数，的值域是 . 【变式训练2-2-4】已知函数，，则的值域为______. 【变式训练2-2-5】已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是. A． B． C． D． 【变式训练2-2-6】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为 . 【变式训练2-2-7】已知函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【变式训练2-2-8】已知函数，若，则函数的值域为 . 【变式训练2-2-9】函数在区间上的值域为，则的取值范围为 . 【变式训练2-2-10】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 三．二次函数与最值 【典型例题1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 因为， 由，故， 即. 故选：B. 【典型例题2】函数的值域是 . 【答案】 【解析】求cosx(型)函数的值域、求含cosx的二次式的最值 先化简，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可. ， 因为，， 令，， 所以，对称轴为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以函数的值域是. 故答案为：. 【典型例题3】函数，的值域是 ． 【答案】 【解析】求含tanx的二次式的最值 求出的范围，利用二次函数的性质得出值域. ， 故答案为： 【典型例题4】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先化简函数的解析式，再利用复合函数的值域，求实数的取值范围. ， 设，，函数的对称轴为 且，，， 因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0， 所以.故选：C 【典型例题5】设函数，.若方程在上有4个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，令，则，由题意，原问题等价于在区间上有两个不相等的实数根，由一元二次方程根的分布即可求 解：， 令，则， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有且仅有一个实数根， 因为方程在上有4个不相等的实数根， 所以原问题等价于在区间上有两个不相等的实数根， 所以有，解得，故答案为：. 【典型例题6】已知函数. （1）当,，则的最大值为 ； （2）若对任意、，都有，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】（1）化简得出，由以及二次函数的基本性质可求得的最大值； （2）设，，问题转化为当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，求出、，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. （1）当时， ， 因为，当时，取最大值，即； （2）函数， 设，则. 问题等价于对任意的、，都有， 即. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 则， 解得，此时，； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故， ， 则有， 可得，解得，此时，； ③当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故， ， 则有， 可得，解得，此时，； ④当时，即当时，函数在上单调递减， 则， 解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【变式训练2-3-1】函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-2】已知，则的值域为____________. 【变式训练2-3-3】函数的最小值是______． 【变式训练2-3-4】（多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在上有4个零点 D．的值域是 【变式训练2-3-5】已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)设，是g（x）的两个零点，证明：． 【变式训练2-3-6】已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值； (3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由. 四．分式型最值 1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=（或者cos x换成sinx）. 2.可以用辅助角：上下同名型：g（x）=（或者cos x与sinx互换）. 【典型例题1】函数的值域为 ． 【答案】[,2] 【解析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域． 解：令t＝sinx，t∈[-1,1]， 所以原式可化为：， ∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4， ∴，则， ∴，函数的值域为． 故答案为：． 【典型例题2】函数的值域为______. 【答案】 【解析】， ，则，，故.故答案为： 【典型例题3】； 【答案】见解析 【解析】解：①因为，所以 令则 所以 因为，所以，，， ，即 【典型例题4】（多选）已知，则（    ） A．的图像关于直线对称 B．在上递增 C．的值域是 D．若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，则 【答案】ACD 【解析】化简函数，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；对D选项，利用对称性、周期性计算并判断. 依题意有， 对于A选项：， 即，的图像关于直线对称，A正确； 对于B选项：在上单调递增，，， ，时，时，即在不单调， 由复合函数单调性知，在上不单调，即B错误； 对于C选项：令，则，， 在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，，，， ，的值域是，的值域是，C正确； 对于D选项：由已知得， 解得或(舍去)， 由得函数图象在区间且确保成立的， 对称轴为，在内有11个根， 数列构成以为首项，为公差的等差数列， ，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键. 【变式训练2-4-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4-2】函数的值域为 ． 【变式训练2-4-3】求函数的值域． 【变式训练2-4-4】函数的值域为 A． B． C． D． 【变式训练2-4-5】已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为 ①函数的周期为;②函数的值域为;③函数的图象关于对称;④函数的图象关于对称. A． B． C． D． 【变式训练2-4-6】已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．为的一个周期 C．的值域为 D．在上单调递减 【变式训练2-4-7】函数的值域为 . 五．sinx与cosx和差换元求最值 【典型例题1】已知函数，则（    ） A．的最大值为3，最小值为1 B．的最大值为3，最小值为-1 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】C 【解析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可. 因为函数， 设，， 则， 所以，， 当时，；当时，. 故选：C 【典型例题2】已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 【典型例题3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合同角三角函数的基本关系式、三角函数的值域、二次函数的性质等知识确定正确选项. ， 令，由于，所以， 则对于函数， 根据二次函数的性质有：当时，；当或时，. 所以函数的值域是.故选：D 【典型例题4】若x，y满足，则的最大值为 【答案】3 【解析】利用三角换元求解二元变量的最值即可. 设，， 因此，其中 ，所以当时，取到最大值3. 故答案为：3. 【典型例题5】已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得的取值范围. 依题意对于任意的，当时都有成立， 不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数， ， 则在上恒成立. 设， 则，在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，解得.故选：C 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 【变式训练2-5-1】若，则函数的值域是___________. 【变式训练2-5-2】已知函数将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（    ） A．为的一个周期 B．的值域为[-1，1] C．的图像关于直线对称 D．曲线在点 处的切线斜率为 【变式训练2-5-3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5-4】函数的值域是 ． 【变式训练2-5-5】函数的值域为_____________． 【变式训练2-5-6】已知函数，，若的值域为，则的取值范围是 . 【变式训练2-5-7】已知 ，，则 A． B． C． D． 【变式训练2-5-8】若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5-9】设表示m，n中最大值，则关于函数的命题中，真命题的个数是（    ） ①函数的周期 ②函数的值域为 ③函数是偶函数 ④函数图象与直线x = 2y有3个交点 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-5-10】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-5-11】已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且 ，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5-12】在梯形中，，则该梯形周长的最大值为 ． 【变式训练2-5-13】已知函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围． 【变式训练2-5-14】（多选） 已知函数，其中a，b，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在R上单调递减 D．最大值为 六．绝对值型求最值 【典型例题1】的值域是 ． 【答案】 【解析】根据正弦函数的性质即可求解. 由题意知，， 得，即函数的值域为. 故答案为：. 【典型例题2】函数的值域是 . 【答案】 【解析】分类讨论，然后求解即可； 先对函数进行化简，然后结合正弦函数的值域，的值域为，故答案为：. 【典型例题3】定义：设不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式在上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据定义解不等式即可. 解：不等式可化为． 由函数得只有一个整数解，这唯一整数解只能是， 因为点是图像上的点，所以． 所以数m的取值范围为.故选：A. 【典型例题4】（多选）已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（    ）. A．的最小值为 B．的最大值为 C．方程在上有三个解 D．在上单调递减 【答案】BC 【解析】根据题意，可得，由，求解出的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，即可求出的最值，进而判断A、B选项；令，分和两种情况解方程，即可判断C选项；取，求出此时函数的单调区间，即可判断函数在上的单调性，从而判断在上的单调性，进而判断D选项. ， 即，其中，，. 由，即，， 所以当时，， 即，， 所以当，即时，， 当，即时， ； 当时，， 即，， 所以当，即时，， 由于，所以无最小值. 综上所述，的最小值为，最大值为，故A错误，B正确； 由，所以当时，， 即， 即或， ， 所以或，. 当时，， 即， 即或， ， 所以，， 综上所述，方程在上有三个解，故C正确； 取时，， 令，即； 令，即； 由于，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上有增有减，则在上有增有减，故D错误. 故选：BC. 【变式训练2-6-1】函数的值域是． 【变式训练2-6-2】函数，的值域为 ． 【变式训练2-6-3】已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 . 【变式训练2-6-4】给出以下命题： ①若α、β是第一象限角且，则； ②函数有三个零点； ③函数是奇函数； ④函数的周期是； ⑤函数，当时恒有解，则a的范围是. 其中正确命题的序号为 . 【变式训练2-6-5】函数在上的值域为，则的值为 ． 【变式训练2-6-6】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．若函数在区间上恰有2023个零点，则 七．三角换元法求最值 1.二次型双变量可以三角换元. 2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元. 【典型例题1】若，那么的最大值为 . 【答案】 【解析】设，利用三角函数有界性得函数的最大值. 设， 所以 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查辅助角公式，考查三角函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式训练2-7-1】设、且，求的取值范围是 . 【变式训练2-7-2】已知实数满足，则的最大值为 ． 【变式训练2-7-3】设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为 ． 【变式训练2-7-4】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7-5】“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为.若点，Q是圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 八．三角换元法与向量求最值 【典型例题1】如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为 . 【答案】. 【解析】如图所示：作平行四边形，分别在上，故，计算得到，，，得到答案. 如图所示：作平行四边形，分别在上，故. 故，设， 根据正弦定理：，， 故，， 故， 其中，当时，有最大值为 .故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用，意在考查学生的综合应用能力. 【典型例题2】已知边长为的正△ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则 ；（2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）利用圆的弦长公式即求； （2）以B为原点建立平面直角坐标系，可得内切圆方程为，可设，由条件可得，再利用辅助角公式及三角函数的性质即得. （1）∵边长为的正△ABC，内切圆的圆心为O， 由等边三角形的性质可知，内切圆的半径为2，又圆心O到直线l的距离为1， ∴. （2）如图以B为原点建立平面直角坐标系，则， 内切圆方程为，由题知点M在圆上，可设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∵，∴. 故答案为：；. 【典型例题3】（多选）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，，则（    ） A．最大值为1 B．·最大值是8 C．最大值为 D． 最大值是 【答案】AD 【解析】建系，设，根据向量的坐标运算结合三角函数的有界性逐项分析运算. 如图，以AB 的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设， 可得， 则， 由题意可得，解得. 对于A：∵，且，可得当，取到最大值1， ∴最大值为1，故A正确； 对于B：·， ∵，可得当时，取到最大值1， ∴·最大值是，故B错误； 对于C：∵，其中， 由，则， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，则；当时，则； ∴最大值是1，故C错误； 对于D： ， ∵，则， 则当，即时，取到最大值1， ∴ 最大值是，故D正确； 故选：AD. 【点睛】方法定睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用． 【变式训练2-8-1】已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是 ． 【变式训练2-8-2】在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为 ． 【变式训练2-8-3】已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为 ． 【变式训练2-8-4】在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为 ． 【变式训练2-8-5】如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1．点P是上任一点，设． (1)记，求的表达式； (2)若，求的取值范围． 九：三角换元法与根号型求最值 无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征. 1.单根号，一般是齐次关系. 2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x. 3.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约. 【典型例题1】若，则的取值范围是 【答案】 【解析】首先求出的取值范围，令，将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 解：因为 所以解得，令， 则 所以， 因为，所以，所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题. 【典型例题2】设r，满足，则r的取值范围是 ． 【答案】 【解析】原方程可变形为，再设，，进而可得，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可. 将配方得， 设，，得： ， 又因为，， 所以.故答案为：. 【变式训练2-9-1】设，则的最小值是 ． 【变式训练2-9-2】已知，则的最大值为 . 十．换元法求最值 【典型例题1】函数f(x)=()的值域是   A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 【答案】C 【解析】由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论,求解函数的值域即可. 令，则：，即：， 分类讨论： 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 综上可得：函数f(x)=( )的值域是, 故选：C 【典型例题2】函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先对原式进行变形，然后再利用换元法求函数的最值. 由题知， 整理得， 令，易知， 所以知在时是单调递减函数， 因为， 整理得， 解得，代入中有的最大值为， 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，结合考查了函数最值问题，属于难题. 【变式训练2-10-1】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-10-2】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C．，0 D． 十一．距离与斜率型 【典型例题1】函数的最大值为（    ）. A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】利用三角函数的平方关系将转化为点到点的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果. 因为 ， 所以， 故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值， 因为，，， 所以， 当且仅当时，等号成立，则， 经检验，此时，， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【典型例题2】设圆上两点，满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】首先由数量积公式可得，再根据绝对值的几何意义得表示两点，分别到直线的距离之和，再以直线为轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示，根据角的范围求值域. 由，得. 设表示两点，分别到直线的距离之和. 取直线为轴重新建立直角坐标系后，则表示两点，分别到轴的距离之和. 在新的直角坐标系下，设， 则有. 由对称性，不妨设点在轴上或上方，即. 所以， 时，， 得，则， 当时，， ，此时 综上得， 从而得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解的几何意义，并正确转化为三角函数问题，注意需讨论角的范围，写出分段函数的形式. 【变式训练2-11-1】已知函数，若集合，则实数的取值范围为 . 【变式训练2-11-2】存在实数使得，则实数的取值范围为 . 【变式训练2-11-3】已知，，，则的最小值为 . 【变式训练2-11-4】函数的值域为 . 十二．参变分离 【典型例题1】不等式对于所有实数x都成立，求的取值范围. 【答案】的取值范围是 . 【解析】将原不等式按参数分离，利用判别式法可得，利用正弦函数的图象性质解不等式可求的取值范围. 将原不等式按参数分离，得. 即.① 由“判别式法”可求得：.从而. 要使原不等式对一切都成立，当且仅当①对一切都成立，这又等价于，即， ， ∴的取值范围是 . 【变式训练2-12-1】已知函数的最大值和最小值分别是，则为(  ) A．1 B．2 C．-1 D．-2 十三．复合函数型 【典型例题1】设函数，若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图象，设，设关于有两个不同的实数根、，可得知、，进而可知关于的二次方程在区间内有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 作出函数的简图如图， 令，要使关于的方程 有且仅有个不同的实根， 则方程有两个不同的实数根、，且由图知、， 设，则有，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于难题. 【变式训练2-13-1】已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是 . 【变式训练2-13-2】已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，关于的方程恰有两个实根，求的取值范围. 题型03：三角函数的值域与最值求参数 【典型例题1】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围. 由，则内不存在最值， 即，则，，则或， 由，则中恒成立， 只需且， 或； 所以的取值范围是. 故选：D 【典型例题2】若函数，的值域为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别令和求得对应，结合正弦函数的图象讨论在或处取得，即可求解. 令，解得：或，， 令，解得：，， 当，时，则，， 此时的最小值为； 当，时，则，， 此时的最小值为； 故选：C． 【典型例题3】（多选）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】BD 【解析】根据正弦函数的性质，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论. 因为，所以， 所以由题意得，Z， 解得，Z, 为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符. 时，；时，. 因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确. 故选：BD． 【典型例题4】已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可. 因为当时，， 要使有最大值，则时，函数值的范围不超过 可得 解得. 故选：A. 【典型例题5】已知是奇函数，当时，，且，则实数的值为 . 【答案】 【解析】根据题意，得到，结合函数的解析式，代入即可求解. 因为是奇函数，且，可得 又因为当时，， 可得， 解得，即实数的值为. 故答案为：. 【变式训练3-1】已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】在锐角中，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知函数的图像上相邻最高点和最低点的距离为，且在上有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知函数的图像上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】已知函数在区间上的值域为，则 . 【变式训练3-10】已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【变式训练3-11】当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-12】若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【变式训练3-13】已知函数在区间上的值域为，则 . 题型04：三角函数的周期性 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 【复习指导】：求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝； 对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，． 形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝. (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． 【典型例题1】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求正弦（型）函数的最小正周期 化，由正弦型函数的周期性即可求解. 由题意，得，所以的最小正周期.故选：A. 【典型例题2】 （1）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. A选项，，，A选项不符合. B选项，，，B选项不符合. C选项，，，C选项不符合. D选项，，， 所以是周期为的周期函数； ，此时且在上递减， 则在上递增，符合题意，D选项正确.故选：D （2）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用三角函数的二倍角公式化简，由计算函数周期，并根据正弦、余弦函数的单调性即可判断正误. 解：对于A，的周期， 当时，， 而在上单调递减，A选项错误； 对于B，的周期，B选项错误； 对于C，的周期， 当时，， 而在上单调递增，C选项正确； 对于D，的周期， 当时，， 而在上单调递减，D选项错误；故选：C. （3）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切型函数的周期公式计算可得. 解：对于函数，显然， 所以函数的最小正周期.故选：B （4）函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】直接根据正切函数的周期公式得答案. 函数的最小正周期为.故答案为： （5）设，则__________. 【答案】 【解析】确定的周期为4，且，计算得到答案. ，，， ，， ，的周期为4， 且， 所以. 故答案为： 【典型例题3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由周期公式直接求解可得. 由周期公式得.故选：A 【典型例题4】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求正切（型）函数的周期、二倍角的正切公式 借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得. ， 又，可得， 即，且、，故. 故选：C. 【典型例题5】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求正切（型）函数的周期 根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果 【详解】由周期公式得.故选：B 【典型例题6】已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设的最小正周期为，由图象可知，可推得或.根据，可推得.分别求解以及，即可得出答案. 设的最小正周期为， 由图象可知， 则，所以，所以或. 又由题图知，，则， 解得. 解可得，不满足条件； 解可得，， 当且仅当时，符合题意. 所以，，此时.故选：B. 【典型例题7】已知函数在上的图象大致如图所示，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图象确定周期的范围，得出，再由特殊点求出即可得解. 由图可知，，则． ，．解得，，故， 则，所以， 故的最小正周期为．故选：B 【变式训练4-1】函数的最小正周期是 ． 【变式训练4-2】已知函数的最小正周期为，则 . 【变式训练4-3】法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数之和，若某一乐声的数学表达式为，则关于函数有下列四个结论： ①的一个周期为2；                ②的最小值为－； ③图像的一个对称中心为（，0）；      ④在区间（，）内为增函数． 其中所有正确结论的编号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②④ 【变式训练4-4】下列函数中，周期为且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】以下函数中最小正周期为的个数是（    ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-6】函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【变式训练4-7】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知函数，则函数的最小正周期是　　 A． B． C． D． 【变式训练4-9】已知函数，则下列说法中正确的有　　 A．函数的值域为 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的最小正周期为 D．函数在上是增函数 【变式训练4-10】给出下列命题： ①函数不是周期函数； ②函数在定义域内为增函数； ③函数的最小正周期为； ④函数，的一个对称中心为，． 其中正确命题的序号为　 　． 【变式训练4-11】已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）函数的单调递增区间和对称轴方程． （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【变式训练4-12】已知函数，则（　　） A．2025 B． C． D． 【变式训练4-13】已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-14】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．存在，使得函数是偶函数 C．当时，函数在上的最大值为 D．当时，函数的图象关于点中心对称 【变式训练4-15】函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是 . 【变式训练4-16】已知函数 ，下列命题正确的有（    ） A．在区间上有3个零点 B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．的周期为，最大值为1 D．的值域为 【变式训练4-17】（多选）已知函数，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数，且是它的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的最大值为2 D．在区间上单调递减 【变式训练4-18】（多选）关于函数，有下述四个结论正确的有（    ） A．f(x)的一个周期为； B．f(x)在上单调递增； C．. 的值域与f(x)相同 D．f(x)的值域为 【变式训练4-19】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的周期为 B．关于点对称 C．在上的最大值为 D．在上的所有零点之和为 题型05：求三角函数的单调区间 求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 【复习指导】：(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【解题规律·提分快招】 函数 图象 递增区间 递减区间 无 【典型例题1】函数，的增区间为______． 【答案】见解析 【解析】由，可得，令，解得， 即函数在的单调增区间为.故答案为：.（开闭均可） 【典型例题2】函数的单调减区间为__________． 【答案】见解析 【解析】 令得 ,解得， 所以单调减区间是， 故答案为： 【典型例题3】不等式的解集是________． 【答案】见解析 【解析】正切函数最小正周期为，在上单调递增，， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【典型例题4】函数的单调递减区间为______. 【答案】见解析 【解析】因为 ，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，.故答案为：， 【典型例题5】函数的递增区间为___________. 【答案】见解析 【解析】因为，令, 解得，所以递增区间为， 故答案为: . 【典型例题6】函数的单调递增区间为______． 【答案】见解析 【解析】由， 解得， 所以函数的单调递增区间为（）。故答案为：（） 【典型例题7】 （1）下列区间是函数的单调递减区间的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取， 得到，对比选项得到答案. ，取，， 解得，，当时，D选项满足.故选：D. （2）函数的的单调递减区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将给定函数变形成，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得. 函数，由得： ， 所以函数的的单调递减区间是：. 故选：B （3）函数在上的单调递减区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可. 由题设，， 令，可得，， ∴在上的单调递减区间是.故选：C. （4）已知函数，则（     ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. （5）函数的单调递增区间为（     ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案. 根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间， 令 ，，解得 ，， 所以函数的单调递增区间为，，故选：A. （6）下列关于函数的说法正确的是（     ） A．最小正周期为 B．图像关于点成中心对称 C．在区间上单调递增 D．图像关于直线成轴对称 【答案】B 【解析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可． 解：函数， 当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确； 函数的最小正周期为，所以A错误； 当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误．故选：B． （7）已知函数，则它的单调递增区间是_________ 【答案】 【解析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果． 函数， 令， 整理得：， 所以函数的单调递增区间为：． 故答案为：． 【变式训练5-1】已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】函数的递增区间为___________. 【变式训练5-4】函数的单调递增区间为______． 【变式训练5-5】下列函数中，以π为周期，且在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-6】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】已知函数，且.若的最小值为，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-9】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-10】下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-11】下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-12】已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 【变式训练5-13】已知则满足（    ） A．周期是，在上单调递增 B．周期是，在上单调递减 C．周期是，在上单调递增 D．周期是，在上单调递减 【变式训练5-14】下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-15】函数的单调递减区间为______. 【变式训练5-16】已知函数，且． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 题型06：根据单调性求参数 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得. 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减 1． 单调性求参数 【典型例题1】已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 即函数的单调递减区间为， 令，则函数其中一个的单调递减区间为： 函数在区间内单调递减， 则满足，得，所以的取值范围是.故选：D. 【典型例题2】将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围. 函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像， 令，，整理得，，由于函数在上单调递增，故，，解得，， 所以，．故选：B． 【典型例题3】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，化简，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 由函数 ， 令，解得，且， 即函数的单调递增区间为且， 要使得在区间上单调递增， 则满足，解得，其中， 又由，解得，因为，所以， 所以，即实数的取值范围为.故选：A. 【变式训练6-1-1】将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-2】规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【变式训练6-1-3】已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-4】多选）若函数在上单调，则的取值可以为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-5】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【变式训练6-1-6】若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-7】设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-8】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则ω的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6-1-9】已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-10】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二．不单调与 取值范围问题 函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴 【典型例题1】已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 由于为正整数， 当时，，此时 故此时在上单调，时不符合， 当时，，此时 且 故此时在先增后减，因此不单调，符合， 当时，，此时， 而的周期为，此时在上不单调，符合，但不是最小的正整数， 同理要求符合，但不是最小的正整数，故选：B 【典型例题3】已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【解析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解. 由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以，又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个.故选：C. 【典型例题4】已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为 ． 【答案】2 【解析】依题意得，即． 因为当时，， 所以()， 则 ，()，解得：(). 令k＝0，则1≤ω≤2，而，故， 又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．故答案为：2 【变式训练6-2-1】已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练6-2-2】已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练6-2-3】函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-4】已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练6-2-5】已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 题型07：三角函数的奇偶性 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　 2.函数具有奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 1． 判断奇偶性 【典型例题1】（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项： 对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意， 对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意， 对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：． （2）下列函数中为周期是的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 对于A，为偶函数,且最小正周期为,所以A正确; 对于B，为偶函数,但不具有周期性,所以B错误; 对于C，为奇函数，所以C错误; 对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误. 综上可知,正确的为A 故选:A （3）（多选）下列函数中周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用诱导公式可将A、B、D分别化为、、即可判断周期及其奇偶性，进而判断选项正误. A中，，周期为且为偶函数，错误； B中，，周期为且为奇函数，正确； C中，，周期为且为奇函数，正确； D中，，周期为且为奇函数，正确； 故选：BCD. （4）函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【解析】化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案. 由题意得， 所以，故为奇函数， 周期，故选：A （5）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解析】根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得，在分别求出和的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果. 因为 ， 所以， 所以，所以为偶函数，故A错误，B正确； 又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.故选：B. （6）已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】令，探讨函数的奇偶性，再借助奇偶性即可计算作答. 依题意，的定义域为，关于数0对称， 设，则， 于是得函数为奇函数，则有，而， 所以. 故答案为： 【典型例题2】下列函数中，定义域为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可. 对于A，函数的定义域为，为偶函数； 对于B，函数的定义域为，为奇函数； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数； 对于D，函数的定义域为， 因为为奇函数，所以函数为奇函数. 故选：D. 【典型例题3】下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数的化简、求值——诱导公式、求余弦（型）函数的奇偶性 利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可. 对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误.故选：B 【变式训练7-1-1】函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数 【变式训练7-1-2】下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-3】下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-4】已知函数是偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练7-1-5】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【变式训练7-1-6】已知函数为偶函数，则 ． 【变式训练7-1-7】将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 . 二．奇偶性求参 【典型例题1】若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 【典型例题2】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，再由为奇函数，求得，进而得到取得最小值. 由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数， 又由为奇函数，所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为.故选：. 【变式训练7-2-1】若函数为奇函数，则的最小值为 . 【变式训练7-2-2】已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练7-2-3】（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 【变式训练7-2-4】把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练7-2-5】已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 . 【变式训练7-2-6】已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【变式训练7-2-7】若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2-8】已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练7-2-9】定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 题型08： 对称轴与对称中心 【解题规律·提分快招】(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 一:对称轴 【典型例题1】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【解析】将原函数平移后借助诱导公式及正弦函数的性质即可得. 由题意可得， 令，则， 当时，有，其余选项均不符合. 故选：D. 【典型例题2】已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 当，则，， 依题意可得，解得，故选：A 【典型例题3】若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦函数的对称性直接求解. 因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以.故选：C. 【典型例题4】若函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得. 依题意，函数是偶函数，则， 即，而，所以.故选：B 【典型例题5】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 【答案】/ 【解析】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为．故答案为： 【变式训练8-1-1】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-2】已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-3】已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-1-4】函数的图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-5】已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ． 【变式训练8-1-6】设函数对任意的均满足，则 【变式训练8-1-7】将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【变式训练8-1-8】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的对称轴方程为________ 【变式训练8-1-9】将函数的图象向左平移m个单位（），若所得函数的图象关于直线对称，则m的最小值为（    ） A． B． C． D． 二:对称中心 【典型例题1】函数的一个对称中心是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据两角和正弦余弦公式及二倍角的余弦公式，再结合余弦函数的性质即可求解. . 由，得，此时. 所以的对称中心为. 当时，的一个对称中心为.故选：C. 【典型例题2】已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 由周期公式和正切函数的取值得到函数表达式，再利用换元法求出正切函数的对称中心； 由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故． 令，解得．结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心．故选：B. 【典型例题3】若为奇函数，则 .（填写符合要求的一个值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据为奇函数，可得，求解可得答案. 依题意，， 当为奇函数， 此时，则.故答案为：（答案不唯一）. 【典型例题4】已知函数的一个对称中心是，则的值为______. 【答案】 【解析】根据题意，得到，即，解得，进而求得的值，得到答案. 由函数的一个对称中心是， 则，即，可得， 解得， 因为，所以当时，可得.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的对称中心，准确运算是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 【典型例题5】函数图像的对称中心为___________ 【答案】 【解析】依据正切函数的性质，代换即可求出对称中心． 因为函数的对称中心为，所以令， 解得 ，故的对称中心为． 【点睛】本题主要考查正切函数的对称性． 【典型例题6】函数图像的一个对称中心为，其中，则点对应的坐标为______________. 【答案】 【解析】根据正切函数的对称中心为即可求出. 因为的对称中心为， 所以由 的对称中心为可知， 又， 所以，故填. 【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，涉及正切函数的对称中心，属于中档题. 【变式训练8-2-1】已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-2】设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-3】下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-4】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-5】函数的一个对称中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-6】已知函数，则的对称中心是______． 【变式训练8-2-7】下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-8】已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为__________． 三:对称轴对称中心 【典型例题1】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的单调递减区间为 【答案】D 【解析】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由余弦（型）函数的周期性求值 选项A，根据图象可得，可得，即可判断选项A的正误；利用的性质，整体代入法，直接求出的对称轴、对称中心及单调区间，即可判断出选项B，C和D的正误. 对于选项A，由图知，得到，又，则，所以选项A正确， 对于选项B，由，得，，当时，对称轴为，所以选项B正确， 对于选项C，由，得，当时，对称中心为，所以选项C正确， 对于选项D，由，得， 所以的单调递减区间为，所以选项D错误， 故选：D. 【典型例题2】已知函数，则下列命题正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【解析】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 结合正弦型函数的图象与性质验证依次判断各选项即可. 对于A，，的图象关于直线不对称，A错误； 对于B，由，得的图象关于点不对称，B错误； 对于C，由，得， 由正弦函数性质知在区间上单调递增，C正确； 对于D，图象向右平移个单位得到，故不是偶函数，D错误. 【典型例题3】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（    ） A． B．当时，在区间上不单调 C．在区间上无最大值 D．在区间上的最小值为 【答案】A 【解析】把相位看成一个整体变量，再结合正弦曲线，即可分析各选项. 对于A，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含，    所以，得.故A正确； 对于B，当，且时，设，则， 由正弦函数在区间是单调递减，故B错误； 对于C，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，故C错误； 对于D，由，设，则， 由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心， 则说明相邻的那条对称轴不在这个区间内，所以结合正弦曲线可知， 这条对称轴正好取到最大值，说明在这个区间内没有取到最小值，故D错误； 故选：A. 【变式训练8-3-1】已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【变式训练8-3-2】若函数的最大值为，则 ，的一个对称中心为 【变式训练8-3-3】定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______. 【变式训练8-3-4】已知函数，则的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于中心对称 D．关于中心对称 【变式训练8-3-5】已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则 ． 【变式训练8-3-6】已知函数，则的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于中心对称 D．关于中心对称 【变式训练8-3-7】已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练8-3-8】（多选题）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 题型09：已知对称轴对称中心求参数 一．已知对称轴问题 【典型例题1】已知函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 因为，所以，则， 又因函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 又因为，所以当时，.故选：C. 【典型例题2】已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】求出函数的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得. 函数，的图象向左平移个单位后所得函数， 函数的图象与的图象关于直线对称，则， 于是对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因此，解得，而，则， 所以当时，取得最小值.故选：A 【典型例题3】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则的取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到，，从而求出的取值集合，再由的取值范围求出，结合正弦函数的单调性，求出的范围，即可得解. 的图像向左平移个单位长度后，得到， 因为关于轴对称，所以，，解得，， 因为，故当时，， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故，解得，因为，所以，故. 故选：B 【典型例题4】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象，已知函数的一个零点是，且直线是的图象的一条对称轴，则当取最小值时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数图象的平移变换可得，进而结合零点和对称轴可得，，进而求得的最小值，进而求解. 由题意得， 令，即， 所以或，， 因为为函数的一个零点， 所以或，，① 又是的图象的一条对称轴， 所以，，② ①②得，， 即，， 由于，所以时，取最小值为， 此时，即.故选：A. 【变式训练9-1-1】已知函数，若且，则的最小值为（    ） A．11 B．5 C．9 D．7 【变式训练9-1-2】函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-3】已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-4】把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-5】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为 . 【变式训练9-1-6】已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【变式训练9-1-7】已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（    ） A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调递增 【变式训练9-1-8】已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-9】已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-10】若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-11】已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（    ） A． B． C． D． 二．已知对称中心求参数 【典型例题1】已知函数，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由求出的取值，再根据，分是函数的一个对称中心与不是对称中心两种情况讨论，分别求出的最小值，即可得解. 因为，所以，则或， 又，，当是函数的一个对称中心时，， 若，则，所以，则，又，所以当时；若，则， 所以，则，又，所以当时； 当不是函数的一个对称中心时，因为，即， 所以，所以，又，所以当时， 综上所述：.故选：C 【典型例题2】已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解． 因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：， 所以， 又即：， 所以或 由得：， 由得：， 所以的最小值为。故选A 【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求 【典型例题3】若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可. 由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以， 由于，则， 因为，所以可得：， 故选：C 【典型例题4】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题可得， 的图象关于点对称， 所以，解得， ，故的最小值为.故答案为：. 【变式训练9-2-1】已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练9-2-2】已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【变式训练9-2-3】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得函数是奇函数，则的最小值为 . 【变式训练9-2-4】若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ． 【变式训练9-2-5】将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数的图像，下列结论中：①的图像关于点对称；②在上的值域为；③的图像关于直线对称；④在区间上单调递减.其中正确的结论有 . 【变式训练9-2-6】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ,实数m的取值范围是 . 【变式训练9-2-7】已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 【典型例题1】已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的图象在区间上单调递增 【答案】C 【解析】根据正弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可. A：，显然不是最值，所以本选项不正确； B：，显然的图象不关于点对称，所以本选项不正确； C：，由A可知，本选项正确； D：，显然不是的子集，因此本选项不正确， 故选：C 【典型例题2】对于函数，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C．在上单调递减 D．的图象关于点中心对称 【答案】C 【解析】由可得的最大值为，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以B错误；根据余弦函数的减区间可知在上单调递减，所以C正确；由可知D不正确. ， 所以当，，即，时，取得最大值为，故A错误； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以B错误； 由，得，所以是的一个单调递减区间，所以在上单调递减，所以C正确； 因为，所以点不是的图象的对称中心，所以D不正确. 故选：C. 【变式训练10-1】已知函数，下列说法正确的有（    ） ①函数最小正周期为； ②定义域为 ③图象的所有对称中心为； ④函数的单调递增区间为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练10-2】（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式训练10-3】（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为 【变式训练10-4】（多选）已知函数，则下列描述中正确的是（    ）． A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的最小正周期为2 C．函数的单调增区间为， D．函数的图象没有对称轴 题型11：利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值 【典型例题1】设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得. 由，且，故， 即有，解得， 又，，故，即， 综上，.故选：B. 【典型例题2】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先得到平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性得到，，即可求出的取值，从而得解. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到， 因为关于原点对称， 所以，， 所以，， 所以的最小值为.故选：C 【变式训练11-1】已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则=（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-4】若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【变式训练11-5】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （    ） A． B． C． D． 题型12：三角函数比较大小 【典型例题1】已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小. 因为， ，，由正弦函数在上递增知：，故选：A. 【典型例题2】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定与c的大小即可. 因为在上单调递增，所以， 又定义域上单调递增，所以， 而在上单调递减，所以，所以.故选:A 【变式训练12-1】已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知，为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-5】已知角，则数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 题型13：五点法求三角函数解析式 【典型例题1】函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据题意求出函数的周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可得函数的解析式，再根据平移变换的原则即可求出的解析式.由题意可知的周期满足，得， 即，得， 所以，因为点是图象的一个点， 所以，， 则，又，所以， 所以，将的图象向右平移2个单位长度， 得到函数.故选：D. 【典型例题2】已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定图象，由可得，由时可得函数的单调性，进而确定及其导函数图象求解. 观察图象知，，而，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 因此最大值为1的函数图象为函数的图象，即， 由，求导得，则，解得， 即，由，得，又， 于是，所以函数的解析式为.故选：C 【典型例题3】函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数图象求得函数的解析式为，再由平移规则即可得. 根据图像可知，可得，即； 又，可得， 解得，由可知；即可得， 把函数的图像向右平移得到； 即.故选：A 【典型例题4】下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用图象易得值和周期，从而可求，代入最值点坐标确定，即得. 由图可得： ，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则， 把点代入中，可得：， 故，即， 所以.故选：C. 【变式训练13-1】函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 ． 【变式训练13-3】函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练13-4】多选题）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ）． A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 【变式训练13-5】已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ． 【变式训练13-6】（多选题）函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（    ）    A． B．为图象的一条对称轴 C．可以等于5 D．的最小值为2 【变式训练13-7】（多选题）已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ）    A． B．这个简谐运动的初相为或 C．在上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 【变式训练13-8】已知函数的部分图象如图所示，若，，则正整数的取值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练13-9】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A．当时，的最小值为 B．在区间上单调递增 C．的最小正周期为 D．的图象关于直线对称 【变式训练13-10】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练13-11】已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下五个说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数在上单调递减； ③函数的图象关于直线对称； ④将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称； ⑤当时，. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练13-12】已知 A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（    ） A． B． C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减 【变式训练13-13】已知函数的图象如图，点，在的图象上，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若四边形为平行四边形，且面积为，则 ， . 【变式训练13-14】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图像关于点对称 C．的图像关于直线对称 D．函数为偶函数 题型14：三角函数图像的伸缩变换 由函数的图像变换为函数的图像． 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换． 的图像的图像 的图像 的图像 【典型例题1】要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果. 因为， 而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，故选：A. 【典型例题2】已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是(   ) A．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】B 【解析】首先对化简为，再利用三角函数平移压缩拉伸的原则，即可得到答案. 对于,,所以先将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选：B. 【典型例题3】（多选题）已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（    ） A． 函数的最小正周期为1 B．函数图象的一条对称轴为 B． C．函数在上单调递减 D．函数在上恰有5个零点 【答案】AC 【解析】求函数零点或方程根的个数、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求cosx型三角函数的单调性 由为偶函数得，再由图象变换结合已知求出，即得，然后借助余弦函数的图象性质逐项判断即得.由函数为偶函数，得，而，则， 因此，， 由，得，于是，解得，则， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，函数图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C正确； 对于D，由，得，解得， 由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误. 故选：AC 【典型例题4】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 根据函数图象平移结论求得，再根据的图象关于关于点对称，列方程即可求解. 由题可得， 的图象关于点对称， 所以，解得， ，故的最小值为.故答案为：. 【典型例题5】先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式，利用伸缩和平移变换写出的函数表达式，再求对称轴方程.先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 向左平移个单位长度得到 ， 令，，解得，， 可取，则.故答案为：（答案不唯一）. 【典型例题6】将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 求出变换后的图象对应的函数式，再利用验证法求得结果. 依题意，所得图象对应的函数为， 对于A，，A不是；对于B，，B是； 对于C，，C不是；对于D，，D不是.故选：B 【变式训练14-1】若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】把函数图象上所有点先向左平移个单位长度，再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-3】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-4】为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式训练14-5】要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【变式训练14-6】函数在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数的图象,只要把函数的图象上所有的点（   ）   A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式训练14-7】已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到 【变式训练14-8】将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-9】已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练14-10】已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-11】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式训练14-12】将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 . 【变式训练14-13】（多选题）已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（   ） A．为偶函数 B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则 题型15：利用图像平移求函数解析式或参数值 【典型例题1】已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】结合函数平移法则写出平移后的解析式，进而得解. 的图象向左平移个单位长度后的解析式为 ，由题知，，所以， 所以，即，由题知，当时，.故选：A 【典型例题2】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解析】首先得到平移后的函数解析式，根据的对称性求出的值，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 若的图象关于直线对称，则，，解得，， 又，所以，故， 则，所以为非奇非偶函数，故A、B错误； 当，则，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，故D错误.故选：C 【典型例题3】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数图象的平移变换,结合奇函数，即可得到答案. 依题意函数的图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得，即， 因为为奇函数，所以，解得， 因为，所以.故选：D. 【变式训练15-1】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】已知函数，先将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-5】将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的图象与y＝ksinxcosx（k＞0）的图象关于，则m+k的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-6】函数的图象向左平移个单位后得到的图象，若是的一个零点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-7】函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-8】已知函数，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若，是关于x的方程在内的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-9】已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练15-10】设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则 ． 题型16： 与有关的问题（另有专题） 【典型例题1】已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数 在同一坐标系中，作出函数的图象，即可根据交点个数列不等式求解. 由可得， 在同一坐标系中作出的图象如下：   要使在上恰有4个不同的零点，则 且，解得，故选：B 【典型例题2】若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求含sinx的函数的奇偶性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 由题得，即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以，故选：A. 【典型例题3】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【答案】D 【解析】利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求参数 由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案． 由题意，得，∴， 又，∴（）． ∵是的一个单调区间，∴T，即， ∵，∴，即． ①当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ②当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ③当，即时，，，∴，． ∵，∴，此时在上单调递增， ∴符合题意，故选：D 【典型例题4】设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 由对任意的实数x都成立得，即有，求解即可 ∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.故选：D 【典型例题5】已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调，则， 所以其中，解得， 所以，解得，又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是.故选：C. 【变式训练16-1】已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上递减 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象 【变式训练16-2】若将函数()的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式训练16-3】将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式训练16-4】（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 【变式训练16-5】将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-6】已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-7】已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练16-8】已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-9】已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【变式训练16-10】已知函数，若在上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-11】已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-12】已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-13】函数在上有唯一的极大值，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-14】已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-15】已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-16】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练16-17】已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-18】若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-19】设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-20】已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-21】已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型17：三角函数图像性质解答题 【典型例题1】函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)，；(3)．【难度】0.65 【解析】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 （1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. （1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得，； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.   由图象可知符合题意的的取值范围为. 【典型例题2】已知函数的部分图象如图所示. (1)求的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值. 条件①：函数是奇函数； 条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2；(2)最大值为1，最小值为 【解析】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式 （1）根据题意可得，即可得的值； （2）若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判断. （1）设的最小正周期为， 由题意可得：，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 若选条件①：函数是奇函数， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到， 且，则， 可得，解得，则， 又因为，则， 可知：当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 若选条件③：因为，即， 且，则， 可知，即，不合题意，舍去. 【典型例题3】已知的内角的对边分别为，若，且. (1)求； (2)把的图象向右平移个单位长度，再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、根据极值点求参数 （1）先用正弦定理将角化成边，再用余弦定理即可求解； （2）先由函数的图象变换得出函数的解析式，再结合函数的图象特点即可求解. （1）解：（1）因为， 所以 由正弦定理得 由余弦定理得. 即，因为，所以 （2））解法一：由（1）知的图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象向上平移个单位长度，得到的图象， 所以. 令，则 在上恰有两个极值点， 由的图象可知，， 所以的取值范围是 解法二：由（1）知的图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象向上平移个单位长度，得到的图象， 所以. 令得即， ，所以， 所以的取值范围是. 【典型例题4】已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求： (1)求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标； (2)若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值. 【答案】(1)；（）；（）；(2) 【解析】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 （1）利用二倍角公式、辅助角将化为，然后根据函数性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解； （2）利用函数平移变换得，利用函数的性质得到进行求解. （1） ， 当选条件①时，，解得； 当选条件②时，， 显然条件②不合理； 当选条件③时，，即， 解得； 综上所述，条件①③能确定函数解析式， 且； 令， 得， 所以函数的单调递增区间为（）； 令，得，， 所以函数的对称中心坐标为，； （2）将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得到的图象，再向右平移单位， 得到函数的图象， 即； 因为，所以， 因为在区间上的最小值为， 所以，解得. 所以的最大值为. 【典型例题5】已知函数． (1)求函数在上的单调递增区间; (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 （1）先化简，根据正弦函数的周期性即可得出答案； （2）根据三角函数图象的平移变换和对称性求出、，再由三角函数的性质求解即可. （1） 因为，所以． 所以当，即：时，函数单调递增． 所以函数的单调递增区间为. （2）由题意可知： 因为函数的图象关于点成中心对称． 所以．解得：． 因为，所以．所以． 当时，．因为在上的值域为 所以．解得：．所以的取值范围为． 【典型例题6】已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 （1）根据函数图象可得，得，由图象和公式求得，由求得，即可求解； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域. （1）根据函数图象可得，，，， ，得，， 又，，， ，，得，， 又，， ； （2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到， 再向下平移一个单位得到， 再向左平移个单位得到， ， 当时，， 又函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即值域为 【变式训练17-1】已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 (1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式； (2)求方程在区间上所有解的和. 【变式训练17-2】已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.记的内角，，的对边分别为，，，，， (1)求角； (2)若角的平分线交于，求的长. 【变式训练17-3】在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（    ） ①函数的图象关于点成中心对称； ②函数的解析式可以为； ③函数在上的值域为； ④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【变式训练17-4】将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域． 【变式训练17-5】如图是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【变式训练17-6】已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 【变式训练17-7】已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【变式训练17-8】已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【变式训练17-9】函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值． 【变式训练17-10】已知函数的周期为． (1)求； (2)求函数的对称中心； (3)已知，，求的值． 【变式训练17-11】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数的值域. 【变式训练17-12】已知函数．求： （I）函数的最小正周期； （II）函数的单调增区间． 【变式训练17-13】已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【变式训练17-14】已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围. 【变式训练17-15】已知函数. (1)解关于的不等式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值 【变式训练17-16】已知函数. (1)求函数图像的对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 【变式训练17-17】已知函数． (1)求函数的对称轴方程及单调递减区间； (2)求函数在区间的值域； 【变式训练17-18】已知函数. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若在区间上恰有两个零点，，求的值. 【变式训练17-19】已知函数. (1)求函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若关于的方程在恰有4个不同的解,求的取值范围. 【变式训练17-20】已知函数在区间上的最大值为3. (1)求使成立的的取值集合； (2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. 【变式训练17-21】已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． (1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由； (2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； (3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围． 题型18： 三角函数在生活中的应用 （1）研究的性质时可将视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【典型例题1】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（    ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 【答案】A 【解析】三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数，令时，即可求解. 设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设函数表示游客离底面的高度， 因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要， 周期，，所以， 即， 当时，游客在点，其中以为终边的角为， 所以， 当时，可得 所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为. 故选：A. 【典型例题2】筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【解析】三角函数在生活中的应用 画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案. 假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图， 由已知可得， 所以，处在劣弧时高度不低于米， 转动的角速度为/每秒， 所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，故选：D. 【典型例题3】近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 . 【答案】 【解析】三角函数在生活中的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得. 以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速， 设点，圆上两点A、B始终保持， 则，要使A、B两点的竖直距高为0， 则，第一次为0时，，解得， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴. 【变式训练18-1】我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 . 【变式训练18-2】多选题海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．当时，水深度达到 D．已知函数的定义域为，有个零点，则 【变式训练18-3】多选题在新农村建设中，某村准备将如图所示的内区域规划为村民休闲中心，其中区域设计为人工湖（点D在的内部），区域则设计为公园，种植各类花草.现打算在，上分别选一处E，F，修建一条贯穿两区域的直路，供汽车通过，设与直路的交点为P，现已知米，，，米，，段的修路成本分别为100万元/百米，50万元/百米，设，修路总费用为关于的函数，（单位万元），则下列说法正确的是（    ）   A． 米 B． C．修路总费用最少要400万元 D．当修路总费用最少时，长为400米 【变式训练18-4】多选题通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（    ） A．的长为 B． C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小 【变式训练18-5】筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 . 一、单选题 1．下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．函数相邻极值点的距离为，则为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 6.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则时，的值域为（    ） A． B． C． D． 7．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 8．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（    ） A． B． C． D． 10.设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 12.设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13.已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 14.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 16.关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 17.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 18.函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 19.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.已知函数，以下结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B．函数在单调递减 C．函数的值域为 D．函数在内有6个零点 21.设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ） A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值 22.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A． B． C． D． 23.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 24.已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 25.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 26.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 27.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 28.已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 29.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 30.已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称 31.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32.把函数图象上所有点先向左平移个单位长度，再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 33.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 34.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35.已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 36.如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（   ）    A． B． C． D． 37.已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38.已知，，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 40.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 41.函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 42.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．若，则的值为 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象关于点对称 43.把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 44.关于函数，有下列四个命题．甲：；乙：；丙：在上单调递增；丁：对任意，总有．其中恰有一个是假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 1.已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为的一个对称中心 D．最小正周期为 2．已知，则下列说法正确的有（    ） A．图象对称中心为 B．的最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 3.（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 4.（多选题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 5.已知函数恰有5个零点，则的值可能为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．对函数下列说法正确的是（    ） A．任取，都有恒成立； B．对于一切恒成立； C．函数有3个零点； D．若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则； 7．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 8.（多选）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．若函数在上存在零点，则的最小值为 D．函数在上一定存在零点 9.已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．若的根为，则 D．若在上恒成立，则的最大值为 10.已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三、填空题 1．函数，的值域为 ． 2．函数，若，则 ． 3.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 4.函数在上的最大值是 ． 5.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则 . 6.已知函数的部分图像如图所示，则 . 7.已知函数，若的最小正周期为，则 ；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则 . 8.写出同时满足下列条件的函数的一个解析式 .． 9.如果函数的图象可以通过的图象平移得到，则称函数为函数的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是 .（填上正确选项的序号即可） ①，；    ②，； ③，；    ④，. 10.已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 11.已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 12.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.若，则的最小值为 . 13.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 . 14.已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 15.已知函数的部分图象如图所示，且，，则 ． 16.函数的部分图象如图所示，已知，且，则 ． 17.将函数的图象上所有点的横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍，向下平移1个单位长度，向左平移个单位长度，最后所有点的纵坐标不变横坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的取值范围为 18．函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点；    ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点；    ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为 . 四、解答题 1．已知函数的图象经过点，且关于直线对称． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递减，求的最大值； (3)当取最大值时，求函数在区间上的值域． 2．已知函数； (1)确定函数的单调增区间； (2)当函数取得最大值时，求自变量x的集合． 3.设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4.设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第07讲高考三角函数图像性质讲义 目录 思维导图… .3 高考分析 .3 学习目标. 0.3 知识要点 .3 解题策略 11 题型归纳 16 题型01：三角函数的定义域， ..16 题型02：三角函数最值或值域. .30 一，利用单调性求最值最值 31 二：先恒等变换再利用单调性。 …41 三.二次函数与最值… …49 四.分式型最值… 60 五.sinx与cosx和差换元求最值 …68 六.绝对值型求最值 .83 七.三角换元法求最值 91 八.三角换元法与向量求最值。 .96 九：三角换元法与根号型求最值… 106 十.换元法求最值 .108 十一，距离与斜率型 .110 十二.参变分离 116 十三.复合函数型 .117 题型03：三角函数的值域与最值求参数， 121 题型04：三角函数的周期性. 132 题型05：求三角函数的单调区间…。 .155 题型06：根据单调性求参数. .169 一.单调性求参数… ...169 二.不单调与w取值范围问题… 177 题型07：三角函数的奇偶性… ..182 一.判断奇偶性… ..182 二.奇偶性求参… 191 题型08：对称轴与对称中心… 197 一对称轴。 198 二：对称中心… .204 三：对称轴对称中心… 211 题型09：已知对称轴对称中心求参数 .220 一，已知对称轴问题 220 二.已知对称中心求参数… .229 题型10：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 .236 题型11：综合利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值 .240 题型12：三角函数比较大小 244 题型13：五点法求三角函数解析式… ..…248 题型14：三角函数图像的伸缩变换… ,268 题型15：利用图像平移求函数解析式或参数值 281 题型16：与w有关的问题（另有专题） 290 题型17：三角函数图像性质解答题.. .307 题型18：三角函数在生活中的应用 .341 巩固提升 352 3 思维导图 1:三角函数的定义域题1 10:代入检验法判断三角函数的单调 区间、对称轴、对称中心 2:三角函数最值或值域 11:与w有关的问题 3:三角函数的值域与最值求参数 12:综合利用三角函数单调性、奇偶 性、周期性和对称性求参数的值 4:三角函数的周期性 13:五点法求三角函数解析式 高考三角函数图像 5:求三角函数的单调区间 性质讲义 14:三角函数图像的伸缩变换 6:根据单调性求参数 15:三角函数处比较大小 7:三角函数的奇偶性 16:三角函数图像性质解答题 8:对称轴与对称中心 17:三角函数在生活中的应用 9:已知对称轴对称中心求参数 高考分析 1.考情定位核心基础考点，选择填空必出题(1-2道，5-10分)，解答题常与三角恒等变换、解三角形结合 (12分左右)，难度覆盖基础中档，极少出难题。 2.高频考向：①图像平移/伸缩变换（平移“左加右减只对×”是易错点）；②奇偶性、周期性、单调性、对 称性判定；③最值/值域求解（含参数范围题是中档难点）；④图像识图（给图求解析式、给解析式判图像）； ⑤与零点、不等式结合的综合小题。 3.命题趋势：近年更侧重数形结合，结合参数考查分类讨论思想，小题灵活多变，解答题侧重基础应用，适 配新高考“重基础、考能力”导向。 学习目标 1.核心目标：吃透y=sinx、y=cosx、y=tanx三大基础函数的图像与所有性质，做到烂熟于心。 2.能力目标：能快速处理y=Asi(ox+p)+B(A≠0，⊙≠O)的图像变换，精准求A/o/p参数；熟练判断奇偶、 周期、单调区间、对称中心对称轴；会求含参三角函数的最值与参数范围。 3.易错目标：规避“平移变换忽略o系数”“单调区间混淆正负”“tanx定义域遗漏”三大高频易错点。 知识要点 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简圈 (一)正弦函数的图像 在直角坐标系中画出以原点0为圆心的单位圆，⊙0与x轴正半轴的交点为4(1,0)在单位圆上，将点A绕着点 O旋转弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标为=8n.由此，以为横坐标，为纵坐标画点， 即得到函数图象上的点T(,血) T(To.sinzo) ππ 若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使的值分别为0,6,3,2， 2π，它们所对应的角的终边 与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(,s山)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上 的点。 由诱导公式一可知，函数y=sin,xe[2kx,2(k+1),ke乙且k≠0的图象与y=smx,rc0,2k∈Z的图象 形状完全一致，因此将函数y=s血x,x∈0,2的图象不断向左、向右平移每次移动2π个单位长度，就可以得到 正弦函数y=sinx,xeR的图象。 y=sinx,x∈R 4标-7红-3 5 2π-3n 2 2m3八/4标 2 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。 (二)五点（画图）法 在函数y=sinx,x∈0,2元的图象上，以下五个点 o小xo(经-小(2xo 在确定图象形状时起关键 作用。描出这五个点，函数y=s血x,x∈0,2的图象形状就基本确定了，因此，在精确度要求不高时，常先找出 这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。这种近似的“五点（画图）法”是非常实用 的。 (三)余弦函数的图像 osx=sin +x y=cosx=sin +x x∈R 对于函数y=cosx,由诱导公式 得 ，而函数 y=sin 2+t,x∈R 的图象可以通过正弦函数y=s1n,x∈R的图象向左平移2个单位长度而得到，所以，将正 弦函数的图象向左平移2个单位长度，就得到余弦函数的图象。 彩=C0St,E∈R y=inx,x∈R 3 ,人1∠7-3 .2T 3、 ---2--- 2 、2 余弦函数y=csr,x∈R的图象叫做余弦曲线。它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。 知识点二：正弦、余弦、正切函数的圈象与性质 正弦函数、余弦函数的图像和性质 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 -1,1 【-1,1 最小正周期 2π 2元 奇偶性 奇函数 偶函数 增区间 号3+e2) [2kπ-π，2kπ](keZ) 单调性 减区间 2k元+，2k元+ 3π 21 2(kEZ) [2kπ，2kπ+π(k∈Z) 当x=2k元(k∈Z)时，ys=1, = π+2kπ(keZ 最值 当 时，ae=l; 当 3n+2kπ(k∈Z 当x=π+2kπ(k∈Z)时， 时，ymn=-l」 Ymin =-1 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) *0 (kEZ) 对称性 对称轴方 程 术=n+ 2(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 知识点三：y=Asin(x+与y=Acos(x+(A>0,w>0)的圈像与性质 (1)最小正周期：T-2刀 w (2)定义域与值域：y=Asin(wx+,y=Acos(wx+列的定义域为R,值域为[-A,月. (3)最值 假设A>0,w>0. ①对于y=Asin(wx+), 当Wx十中=严+2kxk∈Z时，函数取得最大值A 当wx+中=-元+2kk∈Z)时，函数取得最小值-在 2 6 ②对于y=Acos(wx+, 当wx+中=2kπ（化∈Z)时，函数取得最大值A; 当wx+中=2kπ+π（飞∈Z)时，函数取得最小值-A, （4)对称轴与对称中心 假设A>0,w>0. ①对于y=Asin(wx+p), 当wx,+p=kx+T(keZ,即sin(wx,+) =±1时，y=sin(wx+)的对称轴为x=x, 当wx。+中=kπ(k∈Z),即sin(wx+)=0 时，y=sin(wx+)的对称中心为(x。,0). ②对于y=Acos(wx+p, 当wx。+=kπ(k∈Z),即cos(wx,+)=±1 时，y=cos(wx+)的对称轴为x=x 当此+=kr+ke2即co+) =0时，y=cos(wx+)的对称中心为(x,0). 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位 置 (5)单调性. 假设A>0,w>0. ①对于y=Asin(wx+), wx+中∈[7+2k元，T+2kx]keZ)→增区间； re度+2x经+2次0e刀→减K间 ②对于y=Acos(wx+), wx+中E[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)→增区间； x+中e[2kπ，2kπ+π]k∈Z)→减区间. 7 (6)平移与伸缩 由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin(2x+乃)+3的图像的步骤； π 方法：(x→X+一→2x+ ),先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆我们“想欺负” 3 (相一期一幅)三角函数图像，使之变形 y=Sin的图像_向左平移智个单位 y=Sn(c十乃)的图像所有点的横坐标变为原来的 3 纵坐标不变 =sn2x士的图像有标为来格：今y2sn2x+的图像 横坐标不变 向上平移3个单位y=2Sin(2x+乃)+3 3 方法二：(x→x+ 2 →2x+乃).先周期变换，后相位变换，再振幅变换。 π 31 y=sin的图像 所有限怀装为限来的片，y=Sn2的图像向空个位 纵坐标不变 y=sin2Gc十乃）=sin(2c+)的图像所布点的氢华标为来的2造) 6 横坐标不变 y=2sin(2x+T)的图像向上甲移3路单位→y=2sin(2x+)+3 π、 3 31 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在 题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变 量x”发生多大变化，而不是“角+p”变化多少. 知识点四：正切函数的性质 (1)正切函数的周期性 由诱导公式m任+刊=，xeR且+k红及e2 可知，正切函数是周期函数，周期是π. (2)正切函数的奇偶性 由诱导公式tam(-3)=tanxx∈R且2十不ke乙 可知，正切函数是奇函数 (3)正切函数的图像 设2)，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(6,%)。过点B作x轴的垂线，垂足为M, tanx=)o=MB AT =AT 过点1(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T,则6OMOA x∈0， 由此可见，当 2)时，线段AT的长度就是相应角x的正切值。我们可以利用线段A7画出函数 y=tanx,xE0 2)的图象。 0 M 41,0) 当 2)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于2时，AT的长度趋向于无穷大。相应 π y=tanx,x∈0， X= 地，函数 的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线2。 1111111111111. 01 2 y=tanx,x∈0， π y=tanx,x∈ .0 根据正切函数是奇函数，只要画 3 的图象关于原点的对称图形就可得到 2 的图 ππ y=tanx,x∈ 象：根据正切函数的周期性，只要把函数 2'2)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到 =tanx.x∈R,x≠ +kπ，k∈Z 正切函数 2 的图象，我们把它叫做正切曲线。 9 5x 2m 解析式 y=tanx 定义域 x|xeR,且r≠T+km,k∈Z 值域 R 最小正周期 2 奇偶性 奇函数 单调性 只有单调增区间： 对称性 (k0(keZ) 无对称轴， 对称中心为2 渐近线 x= 2+kx(kez) 解题方法总结 1:关于三角函数对称的几个重要结论； （1)函数y=mx的对称轴为x=k红+ke2),对称中心为化x0ke2: (2)函数y=c0Sx的对称轴为x=k(k∈Z),对称中心为(Kπ+T,0k∈Z): (3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为（ 元，0k∈Z)； 2 (4)求函数y=Asin(x++b(w≠0)的对称轴的方法；令w+=T+kπ化∈Z),得 2 元+k元 x=2 一化∈2)；对称中心的求取方法：令x+=k∈2)，得x=k红乎，即对称中心为 w 10