第15讲 高考数学三角函数多选（思维导图+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数多选题高频考点，涵盖三角恒等变换、图象与性质、解三角形等核心模块，按“定义公式—图象性质—综合应用”逻辑分层，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 讲义以核心素养为导向，创新采用“选项拆分+分步验证”解题策略，如用整体代换法分析复合函数性质，培养数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的变式训练，配合陷阱规避指南，助力学生高效提升解题准确率，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第15讲 高中数学三角函数多选专题训练 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 解题策略 2 题型归纳 2 题型01：三角函数定义公式 2 题型02：根据三角函数图像求函数及性质 11 题型03：先平移伸缩变换再求性质 40 题型04：三角函数的性质 52 题型05：含绝对值的三角函数 89 题型06：先恒等变换再求性质 116 题型07：三角函数与导数 141 题型08：与其它函数结合 177 题型09：三角函数与平面向量 197 题型10：三角函数与解三角形 200 三角函数多选题是高考数学的高频中档题型，常聚焦核心考点并注重知识综合，分值占三角函数专题总分的20%-30%，是拉开得分差距的关键题型之一。以下从高考分析、学习目标、解题策略三部分展开系统解读。 1. 命题频率与分值 近四年（2022-2025）新高考全国卷中，三角函数多选题年均出现1-2道，多位于选择题第9-11题区间，每题5分。该题型在三角函数专题中占比稳定，配合单选、解答题，共同支撑起全卷11%-18%的分值权重，是专题得分的重要组成部分。 2. 核心考点分布 多选题考点覆盖集中且综合性强，核心围绕三大模块展开，且常相互融合考查： • 三角恒等变换：高频考查和差倍角公式、同角三角函数关系的逆用与变用，是多选题的基础解题工具，2025年全国I卷第11题便以此为核心设计选项。 • 三角函数图象与性质：重点考查y=A\sin(\omega x+\varphi)的周期性、单调性、对称性、零点及最值，常结合图象变换或参数求解出题，灵活度较高。 • 解三角形：多与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的应用，包括边角关系转化、面积计算、最值与范围问题，2025年全国I卷已将其作为三角函数多选题压轴题考查。 3. 命题特点 • 基础性与技巧性并重：既强调公式、定理的直接应用，又注重公式逆用、整体代换等技巧，避免简单记忆性考查。 • 知识交汇性突出：常与平面向量、导数等知识轻度交汇，偶尔结合生活场景建模，凸显对综合应用能力的考查。 • 选项设计陷阱明确：易错点集中在复合函数单调性判断、边角转化方向混淆、公式符号错误等，每个错误选项均对应典型备考误区。 1. 熟练掌握三角恒等变换、图象性质、解三角形三大模块核心公式与定理，能快速精准调用，杜绝公式混淆或遗忘。 2. 具备多选题选项拆分能力，能独立分析每个选项的考查方向，精准识别命题陷阱，提升选项判断的准确率。 3. 掌握数形结合、整体代换、边角互化等核心思想方法，能高效解决考点融合或轻度知识交汇的多选题。 4. 形成规范的解题流程，减少计算失误与步骤跳跃，确保在有限时间内稳定拿到多选题分数。 1. 核心思想方法 • 数形结合法：遇到图象与性质相关题目时，快速绘制简易函数图象，通过图象直观判断周期性、对称性、零点个数等，降低抽象思维难度。 • 整体代换法：处理y=Asin(x+)性质问题时，令t=x+，将复合函数转化为基本正弦/余弦函数，结合t的取值范围分析性质。 • 边角互化法：解三角形多选题中，若条件含“边角混合”，优先根据目标选择转化方向——求边的关系用正弦定理化角为边，求角的关系用正弦定理化边为角。 2. 分步解题流程 1. 审题定位：快速通读题目，明确题干条件（如函数解析式、三角形边角条件）与各选项考查的核心考点，划定解题范围。 2. 逐选项分析：多选题需“逐一验证、独立判断”，避免因一个选项错误影响整体思路，对不确定的选项可先标记，优先解决有把握的选项。 3. 陷阱规避：计算时注意公式符号（如二倍角余弦公式的三种形式），判断单调性时关注复合函数的定义域ω的正负，解三角形时留意角的取值范围（0,)内正弦值对应两个角）。 4. 验证排查：完成所有选项判断后，结合题干条件二次验证正确选项的一致性，确保无逻辑矛盾或计算失误。 3. 典型题型突破 • 图象与性质综合题：先由题干条件求出函数解析式（确定A,,)），再逐一分析选项中的周期、单调区间、最值等，重点关注\omega对周期和单调性的影响。 • 恒等变换与解三角形融合题：先通过三角恒等变换化简题干条件（如降幂、和角公式展开），再结合正余弦定理转化边角关系，进而判断选项正误，2025年全国I卷第11题即为此类题型的典型代表。 题型01：三角函数定义公式 【典型例题1】已知，那么下列命题中成立的是（    ） A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第二象限角，则 D．若、是第四象限角，则 【答案】CD 【解析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小. 如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，， 此时，故A错； 如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，， ∴，故B错； 如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ，， ∴，故C正确； 如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ， ∴，故D正确. 故选：CD. 【典型例题2】已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 【典型例题3】已知，且，则下列命题中成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】BD 【解析】举反例判断A，C；利用角的范围，结合余弦函数以及正切函数的单调性可判断B，D. 对于A，不妨取，，满足题意，但是，A错误； 对于B，由，，因为，故，由于在上单调递减，故，B正确； 对于C，不妨取，，满足题意，而，C错误； 对于D，由，，因为，故，由于在上单调递增，故，D正确 故选：BD. 【变式训练1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点.则（    ）    A．若A点的横坐标为，点的纵坐标为，则 B． C． D．以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为 【变式训练1-2】正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（    ） A．的定义域为； B．的最小正周期为； C．的值域为； D．图象的对称轴为直线. 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 【变式训练1-4】已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】已知为坐标原点，点，，，，，则　　 A． B． C． D． 【变式训练1-6】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交该圆于点B，记点B的纵坐标y关于的函数为．则下列说法正确的是（ [endnoteRef:2] ）． [2: ] A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的单调递增区间为 D. 若，，则 题型02：根据三角函数图像求函数及性质 【典型例题1】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 【典型例题2】如图是函数（，，）的部分图像，则（    ）    A．的最小正周期为 B．是的函数的一条对称轴 C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】AD 【解析】先根据图像可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D. 由图像可知， ， ，即，故A正确； ，此时， 又 在图像上， ，解得， ， ，， ， 当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误； 将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为： 不为奇函数，故C错误； 令 ，解得 ， 当 时， ，不合题意 时， ；时， ；时， ； 又因为函数在上有且仅有两个零点 ，解得 ，故D正确. 故选：AD. 【典型例题3】如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得. 设， 则的最小正周期为：， 所以，因为的最大值为，最小值为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，故A正确， ，故B不正确； ，故D正确； ，故C不正确. 故选：AD. 【典型例题4】已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（　  　）    A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.由题意结合函数图象可得，解得， 故， 由，所以， 又，所以， 所以，， 对于A，因为， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为， 所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误； 对于C，由，得， 所以函数在区间上单调递增，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度， 得，故D错误. 故选：AC. 【典型例题5】已知函数部分图像如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位到的图像，则下列关于的成立是（    ）    A．图像关于y轴对称 B．图像关于中心对称 C．在上单调递增 D．在最小值为 【答案】BD 【解析】根据的图像，求出的解析式，然后根据平移求出的解析式，即可判断A,B,C,D四个选项.，且， 结合的图像可得：， ； 结合的图像可得： ， 设的周期为T，则由图可知：， 故. ， ， 所以关于原点对称，A错，B对； 在上单调递增，故C错； ，, ,最小值为，故D对； 故选：BD. 【变式训练2-1】函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．在区间上单调递减 C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数 D．方程在区间内有4个根 【变式训练2-2】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．点是的一个对称中心 D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称 【变式训练2-3】已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．在区间上单调递增 C．在区间上有且仅有2个极小值点 D．在区间上有且仅有2个极大值点 【变式训练2-4】函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【变式训练2-5】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是　　 A．的最小正周期为 B． C．函数在上单调递增 D．函数为奇函数 【变式训练2-6】已知的图象如图所示，其中，，，，为的极大值点和极小值点，，为与轴的交点，、均与轴垂直，，，且四边形为平行四边形，则下列说法一定正确的是　　 A． B． C． D．为一个对称中心 【变式训练2-7】已知函数，，的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是　　 A．函数最靠近原点的零点为 B．函数的图象与轴交点的纵坐标为 C．函数是偶函数 D．函数在上单调递增 【变式训练2-8】已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．是函数的一个周期 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 【变式训练2-9】如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）    A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心 C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增 【变式训练2-10】函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（ [endnoteRef:3] ） [3: ] A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的单调递增区间为 D. ，其中为的导函数 【变式训练2-11】已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ [endnoteRef:4] ） [4: ] A. 的定义域为 B. 当时，取得最大值 C. 当时，的单调递增区间为 D. 当时，有且只有两个零点和 【变式训练2-12】如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ [endnoteRef:5] ） [5: ] A. 点的纵坐标为 B. 是的一个单调递增区间 C. 对任意，点都是图象的对称中心 D. 的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到 【变式训练2-13】函数（，）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:6] ） [6: ] A. B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 函数是偶函数 【变式训练2-14】如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:7] ） [7: ] A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过往复运动一次 C. 时小球是自下往上运动 D. 当时，小球到达最低点 【变式训练2-15】已知函数的部分图象如图所示，则（ [endnoteRef:8] ） [8: ] A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【变式训练2-16】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ [endnoteRef:9] ） [9: ] A. B. C. 点是的一个对称中心 D. 函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称 【变式训练2-17】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:10] ） [10: ] A. 的图象关于点对称 B. 在区间的最小值为 C. 为偶函数 D. 的图象向右平个单位后得到的图象 【变式训练2-18】已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（ [endnoteRef:11] ） [11: ] A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上的减区间为 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【变式训练2-19】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（ [endnoteRef:12] ） [12: ] A. 当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m B. 盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C. 盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒 D. 盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 【变式训练2-20】已知函数的部分图象如图所示，其中，且的面积为，则下列函数值恰好等于的是（ [endnoteRef:13] ） [13: ] A. B. C. D. 【变式训练2-21】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ [endnoteRef:14] ） [14: ] A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 题型03：先平移伸缩变换再求性质 【典型例题1】已知函数，下列结论中正确的有（    ） A．若，则是的整数倍 B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 【答案】CD 【解析】利用诱导公式可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 对于A选项，若， 则或， 可得或，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标变为原来的，再向左平移个单位得到，B错； 对于C选项，因为， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，当时，， 所以，函数在上单调递增，D对. 故选：CD. 【典型例题2】已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可. 因为 ， 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 当时，，则， 由得，可得，所以，，解得， 故选：CD. 【典型例题3】已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AD 【解析】根据函数与的最小正周期相同，求得，经验证求得，再求出值，再对各个选项逐项验证. 由题意，函数与的最小正周期相同，则，且. 当时，，其一个对称中心为， 也是的一个对称中心， 所以，所以，， 又，所以， 所以，，，有极大值，无极小值，不合题意； 当时，，其一个对称中心为， 也是的一个对称中心， 所以，所以，， 又，所以， 所以，，，有极小值，满足题意. ，，A项正确，B项不正确； ，不是偶函数，C项不正确； 当时，，函数在上单调递减，则在上单调递增，D项正确. 故选：AD 【变式训练3-1】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．在上单调递减 B．在上有2个零点 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【变式训练3-2】将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则函数的周期可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知函数（，）的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数在上单调递减 C．方程在上有3个解 D．函数在上有两个极值点 【变式训练3-4】已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知函数，先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　 A． B．的图象关于对称 C．的最小正周期为 D．在上单调递减 【变式训练3-6】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ [endnoteRef:15] ） [15: ] A. B. C. D. 【变式训练3-7】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ [endnoteRef:16] ） [16: ] A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 图象关于直线对称 【变式训练3-8】将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则（ [endnoteRef:17] ） [17: ] A. B. 在上单调递减 C. 在上有3个极值点 D. 直线是曲线的切线 【变式训练3-9】已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数（ [endnoteRef:18] ） [18: ] A. 是奇函数 B. 图象关于直线对称 C. 在上是减函数 D. 在上的值域为 【变式训练3-10】函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，都存在，使得，则的可能值为（ [endnoteRef:19] ） [19: ] A. B. C. D. 题型04：三角函数的性质 【典型例题1】已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（    ） A． B． C．直线是函数的对称轴 D． 【答案】BC 【解析】对于A，根据正弦型函数的周期性的性质，结合周期计算公式，可得答案； 对于B，利用整体思想，根据正弦函数的极值性质，建立方程，可得答案； 对于C，利用整体思想，根据正弦函数的对称性，建立方程，可得答案； 对于D，利用函数解析式，可得答案. 对于A，因为函数的最小正周期为，所以，所以，故A项错误； 对于B，因为是的一个极值点，所以，所以，因为，所以，故B项正确； 对于C，，当时，，故C项正确； 对于D，，故D项错误. 故选：BC 【典型例题2】已知函数的初相为，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．函数的一个单调递减区间为 C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数在区间上的值域为 【答案】AB 【解析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项． 由题意知，所以． 对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于选项B，由，，得，， 则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确； 对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以为奇函数，故C项错误； 对于选项D，因为，所以， 所以， 所以， 即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB. 【典型例题3】定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 C．图象的一个对称中心为 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可． 依题可知，于是，于是， ∴，又， ∴，∴， 对于A，由，则的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为， 所以将的图象向右平移个单位长度后得， 则，所以不关于原点对称，故B错误； 对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； 对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABC． 【典型例题4】已知函数，则（    ） A．若在区间上为增函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】由求出的范围，然后根据正弦函数的性质对每个选项逐一判断即可. 当时，， 对于A，若在区间上为增函数，则，解得，故正确； 对于B，若在区间上有两个零点，则，解得，故错误； 对于C，若在区间上有且仅有一个极大值，则，解得，故正确， 对于D，若在区间上有且仅有一个最大值，则，解得，故错误， 故选：AC 【典型例题5】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为 【答案】BD 【解析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答. 对于A，当时，，，最大值为2，A错误； 对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误； 对于D，函数的最小正周期，D正确. 故选：BD. 【变式训练4-1】函数的图像关于点中心对称，且在区间内恰有三个极值点，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间内有3个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数 【变式训练4-2】设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（    ） A．在单调递减 B．的一条对称轴为 C．的周期为 D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为 【变式训练4-3】已知函数在上有最大值，则（    ） A．的取值范围为 B．在区间上有零点 C．在区间上单调递减 D．存在两个，使得 【变式训练4-4】已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．若函数在上存在零点，则的最小值为 D．函数在上一定存在零点 【变式训练4-5】已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（    ） A．图像的对称轴方程为 B．在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上单调递减 【变式训练4-6】已知函数.如下四个命题 甲：该函数的最大值为； 乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为； 丙：该函数图象关于对称； 丁：该函数图像可以由的图象平移得到. 有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定 C．函数的极小值点为 D．函数在区间上单调递增 【变式训练4-7】已知函数.若，分别为的极大值与极小值，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．在上的图像与直线没有交点 C．在上没有对称轴 D．在上有一个零点 【变式训练4-9】已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在上有且仅有一个零点 【变式训练4-10】已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到余弦函数的图象 【变式训练4-11】已知函数，则（    ） A．若在区间上为增函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 【变式训练4-12】已知函数，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．函数的图象可以由向右平移个单位得到 D．若函数在上恰有两个极大值点，则 【变式训练4-13】已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为 C．若在单调递减，则 D．若在上只有1个零点，则 【变式训练4-14】已知函数满足．下列说法正确的是（    ）． A． B．当，都有，函数的最小正周期为 C．若函数在上单调递增，则方程在上最多有4个不相等的实数根 D．设，存在，，则 【变式训练4-15】设函数，，下列说法正确的是　　 A．当时，的图象关于直线对称 B．当时，在，上是增函数 C．若在，上的最小值为，则的取值范围为 D．若在，上恰有2个零点，则的取值范围为 【变式训练4-16】已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为．则下列说法正确的是　　 A． B． C．函数在上一定单调递增 D．在轴右侧的第一个最低点的横坐标为 【变式训练4-17】已知函数的一个对称中心为，则下列说法正确的是　　 A．越大，的最小正周期越小 B．当时，，使 C．当时，在区间上具有单调性 D．当时，是偶函数 【变式训练4-18】已知函数，，．如下四个命题： 甲：该函数的最大值为； 乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为； 丙：该函数图象关于，对称； 丁：该函数图像可以由的图像平移得到． 有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是　　 A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定 C．函数的极小值点为 D．函数在区间，上单调递增 【变式训练4-19】已知函数，，若为的一个极值点，且的最小正周期为，则　　 A． B． C．的图象关于点，对称 D．为偶函数 【变式训练4-20】已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列结论正确的是（    ） A． B． C．在间上单调递增 D．图象关于点对称 【变式训练4-21】关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一条对称轴 B．是函数的一个对称中心 C．将曲线向左平移个单位可得到曲线 D．函数在的值域为 【变式训练4-22】已知，，下列结论正确的是（    ） A．若使成立的，则 B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则 C．若在上恰有6个极值点，则的取值范围为 D．存在，使得在上单调递减 【变式训练4-23】已知函数是偶函数，其图象的两个相邻对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象在处取得极大值 【变式训练4-24】已知函数的图像关于直线对称，则（ [endnoteRef:20] ） [20: ] A. 函数的图像关于点对称 B. 函数在有且仅有2个极值点 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【变式训练4-25】已知函数，则（ [endnoteRef:21] ） [21: ] A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 使取得最小值的的集合为 D. 的图象可由曲线向右平移个单位长度得到 【变式训练4-26】已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（ [endnoteRef:22] ） [22: ] A. 的最大值为 B. 在上的图像与直线没有交点 C. 在上没有对称轴 D. 在上有一个零点 【变式训练4-27】已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则（ [endnoteRef:23] ） [23: ] A. B. C. D. 【变式训练4-28】已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ [endnoteRef:24] ） [24: ] A. 的最小正周期为 B. C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D. 函数在上有且仅有一个零点 【变式训练4-29】已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:25] ） [25: ] A. 该函数解析式为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的定义域为 D. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为. 【变式训练4-30】已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（ [endnoteRef:26] ） [26: ] A. B. 的最小值为 C. 若函数在上存在零点，则的最小值为 D. 函数上一定存在零点 【变式训练4-31】设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（[endnoteRef:27] ） [27: ] A. 的图象关于点对称 B. 在上有且只有5个极值点 C. 在上单调递增 D. 的取值范围是 【变式训练4-32】已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有（ [endnoteRef:28] ） [28: ] A. B. 函数为奇函数 C. D. 若，则直线为图象的一条切线 题型05：含绝对值的三角函数 【典型例题1】关于函数，下列选项正确的有（    ） A．为偶函数 B．在区间上单调递增 C．的最小值为2 D．在区间上有两个零点 【答案】ABD 【解析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据可得C不正确；分段解方程可得D正确. 由，得，，得，， 所以的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，故A正确； 当时，，， 因为，所以，，，所以， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为，故C不正确； 当时，，， 令，得，无解； 当时，函数无意义， 当时，，， 令，得，得，无解， 当时，函数无意义， 当时，，， 令，得，得，得， 当时，函数无意义， 当，，， 令，得得，无解， 当时，函数无意义， 当时，，， 令，得，得，得， 综上所述：在区间上有两个零点和.故D正确. 故选：ABD 【典型例题2】关于函数，则下列结论正确的有（ ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在单调递增 【答案】AC 【解析】利用函数的奇偶性定义、三角函数的周期性以及函数周期的求法判断AB；再根据周期性研究函数在区间上的最值、以及单调性，判断CD. 由题知，定义域为， ， 所以是奇函数，故A正确； 因 ， 所以是的周期，故B错； ， 当且仅当时，等号成立， 由得， 即，所以，故C正确； 因， ， 则， 所以在上不是单调递增的，故D错. 故选：AC 【典型例题3】已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线 C．当时，在区间上单调递增 D．存在实数，使得在区间上恰有2023个零点 【答案】BCD 【解析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D. 对于A，， 故 ，即为的一个周期， 说明不是的最小正周期，A错误； 对于B， ， 故图象的一条对称轴为直线，B正确； 对于C，当时，，则， 由于正弦函数在上单调递增，且， 故在上单调递增，且， 此时， 而在上单调递减，则在上单调递增， 故在上单调递增，C正确； 对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为， 故的最小正周期为， 当时，， 当时，，则在上的零点为和， 故当时，恰有个零点， 且第个零点为， 故当时，恰有个零点， 即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确，故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断. 【变式训练5-1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．若函数在区间上恰有2023个零点，则 【变式训练5-2】声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的为（    ） A．在上是增函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．若，则． 【变式训练5-3】已知函数，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数，且是它的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．的最大值为2 D．在区间上单调递减 【变式训练5-4】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．是曲线的对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．若函数在上恰有2021个零点，则 【变式训练5-5】已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上为增函数 D．的最大值为 【变式训练5-6】下列函数中，最大值是1的函数有　　 A． B． C． D． 【变式训练5-7】已知函数，则下列说法中正确的有　　 A．函数的图象关于点，对称 B．函数图象的一条对称轴是 C．若，，则函数的最小值为 D．若，，则的最小值为 【变式训练5-8】已知函数，则下列说法正确的是　　 A．的最小正周期是 B．的值域是 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【变式训练5-9】关于函数的叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间单调递減 C．在有4个零点 D．是的一个周期 【变式训练5-10】已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．是的一个单调递增区间 C． D．当时， 【变式训练5-11】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．存在，使得对任意的都成立 【变式训练5-12】已知函数，则(    ) A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为1 D．的最大值为 【变式训练5-13】关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上为增函数 C．的值域为 D．函数在区间上有六个零点 【变式训练5-14】已知函数，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:29] ） [29: ] A. 的值域为 B. 的图像关于点中心对称 C. 的最小正周期为 D. 的增区间为（） 【变式训练5-15】已知函数，则（ [endnoteRef:30] ） [30: ] A. 是一个最小正周期为的周期函数 B. 是一个偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 的最小值为，最大值为 【变式训练5-16】已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（ [endnoteRef:31] ）. [31: ] A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 方程在上有三个解 D. 在上单调递减 【变式训练5-17】已知函数，则（[endnoteRef:32] ） [32: ] A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上为增函数 D. 的最大值为 【变式训练5-18】已知函数，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:33] ） [33: ] A. 的图象关于点对称 B. 图象的一条对称轴是 C. ，则的最小值为 D. 若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是 【变式训练5-19】已知函数，则下列说法正确的是（ [endnoteRef:34] ） [34: ] A. 是以为周期的函数 B. 直线是曲线的对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 若函数在区间上恰有2023个零点，则 【变式训练5-20】若，时，函数（是实常数）有奇数个零点，记为，且，则（ [endnoteRef:35] ） [35: ] A. 的最小正周期是 B. 的对称轴方程为 C. D. 对任意的，使得 题型06：先恒等变换再求性质 【典型例题1】已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ABC 【解析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可； 选项A正确； 所以函数的最小正周期为选项B正确； 根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确； 根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递增区间），函数不单调，选项D错误； 故选：ABC. 【典型例题2】已知函数，，则正确的是（    ） A． B．是函数的零点 C．函数是非奇非偶函数 D．为图象的一条对称轴 【答案】ACD 【解析】由三角恒等变换将函数化简得，根据正弦型三角函数的值域、零点、奇偶性、对称性逐项判断即可. 因为，所以，故A正确； 由于，故不是函数的零点，故B不正确； ，且，故函数是非奇非偶函数，故C正确； 由于，所以为图象的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD. 【典型例题3】已知函数的图象关于对称，则（    ） A．的最大值为2 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可. 因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 所以，其最大值为2，故A正确； 令， 定义域为，， 所以即是偶函数，故B正确； 时，，在单调递增， 在单调递减，故C错误； 把的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象， 因为， 所以的图象不关于点对称，故D错误. 故选：AB 【典型例题4】已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称 C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是 【答案】BD 【解析】化简可得，进而根据已知求出，.根据图象变换可得.求出即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D. 因为. 由可得，. 由已知可得，，所以，. 将函数的图象沿轴向左平移个单位， 可得的图象， 横坐标伸长到原来的2倍得到函数的的图象，所以. 对于A项，因为，所以函数不是偶函数，故A项错误； 对于B项，因为，所以的图象关于点对称，故B项正确； 对于C项，因为，所以. 因为函数在上单调递增，在上单调递减，故C项错误； 对于D项，因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，，故D项正确. 故选：BD. 【典型例题5】已知函数是的两个极值点，且，下列说法正确的是（    ） A． B．在上的单调递增区间为 C．在上存在两个不相等的根 D．若在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】利用三角变换公式可得，根据结合周期公式可求，故可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，讨论的单调性后可判断C的正误，求出在上的值域后可求实数的取值范围. ， 由是的两个极值点，且得的最小正周期， 所以，解得，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以， 当时，， 而在单调递增，在上为减函数，在上增函数， 令，故；，故； 故在上的增区间为，，故B错误. 对于选项C： 当时，，令，故， 而在上为减函数，在上为增函数， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 故在上存在两个不相等的根，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以， 故，所以， 因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以，解得：，故选项D正确. 故选：ACD. 【典型例题6】已知均为第二象限角，且，则可能存在（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】利用二倍角公式进行化简变形，得到的关系，然后分类讨论即可. 因为均为第二象限角，所以， 所以，，化简得：，即. 若，则，得 在第二象限，故A错； 若，则，因为为第二象限角， 所以，, 但是由为第二象限角，可得，为第三、四象限角或终边在轴负半轴，显然角的位置不同，不可能相等，所以C错误； 由终边相同的角的概念结合上面的计算易知，可以出现，的情况，故B，D正确. 故选：BD. 【典型例题7】已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将通过诱导公式化为，再将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 解：由题知，，是的三个根， 可化为，即， 所以可得或，， 解得或，， 因为，所以不成立， 当，成立时，取，解得， 取，解得，取，解得， 取，解得（舍）， 故，，， 所以选项A正确； 因为，所以选项B错误； ， 故选项C正确； 而 ， 根据积化和差公式：， 所以原式可化为： ，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的； （2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； （3）积化和差公式：，，，. 【变式训练6-1】已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象 【变式训练6-2】已知函数，则　　 A．函数的最小正周期为 B．点，是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称 D．函数在区间，上单调递减 【变式训练6-3】已知函数，则　　 A．的最小正周期为 B．，是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间，上单调递增 【变式训练6-4】已知函数关于对称，则下列结论正确的是　　) A． B．在上单调递增 C．函数是偶函数 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 【变式训练6-5】若函数，则（ [endnoteRef:36] ） [36: ] A. 函数的一条对称轴为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的最小正周期为 D. 若函数，则的最大值为2 【变式训练6-6】已知函数是的两个极值点，且，下列说法正确的是（ [endnoteRef:37] ） [37: ] A. B. 在上的单调递增区间为 C. 在上存在两个不相等的根 D. 若在上恒成立，则实数的取值范围是 【变式训练6-7】若函数，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:38] ） [38: ] A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于对称 D. 函数的图象关于点对称 【变式训练6-8】已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【变式训练6-9】已知，则下列说法中正确的是（ [endnoteRef:39] ） [39: ] A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 是函数图象的一个对称中心 【变式训练6-10】已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（ [endnoteRef:40] ） [40: ] A. B. 函数的图象关于对称 C. 可以等于5 D. 的最小值为2 【变式训练6-11】已知函数则（ [endnoteRef:41] ） [41: ] A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【变式训练6-12】已知函数，满足，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:42] ） [42: ] A. 的值域为 B. 的最小值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 是偶函数 【变式训练6-13】已知函数．若曲线经过点，且关于直线对称，则（ [endnoteRef:43] ） [43: ] A. 的最小正周期为 B. C. 的最大值为2 D. 在区间上单调递增 【变式训练6-14】将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（ [endnoteRef:44] ） [44: ] A. 是奇函数 B. 的周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的单调递增区间为 【变式训练6-15】下列命题为真命题的是（ [endnoteRef:45] ） [45: ] A. 若，则 B. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 C. 函数的单调递增区间为 D. 的最小正周期为 【变式训练6-16】设函数（）最小正周期为，则（ [endnoteRef:46] ） [46: ] A. B. 函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在区间上单调递增 【变式训练6-17】已知函数在上有且仅有条对称轴；则（[endnoteRef:47] ） [47: ] A. B. 可能是的最小正周期 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上可能有个或个零点 【变式训练6-18】若函数的最小正周期为，则（[endnoteRef:48] ） [48: ] A. B. 在上单调递增 C. 在内有5个零点 D. 在上的值域为 【变式训练6-19】已知函数在区间内存在两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 题型07：三角函数与导数 【典型例题1】已知函数，则下列说法正确的有（ [endnoteRef:49] ） [49: ] A. 若，则 B. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C. 若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（涉后导数） D. 是的导函数，令.则在上的值域为 【答案】ABC 【解析】利用正弦函数的最值和周期性可判断A，根据图象平移和奇偶性可判断B，根据正弦函数的零点可判断C，再根据导数运算公式和正弦函数的图象性质可判断D. A选项，由， 故，必有一个最大值和一个最小值， 则为半个周期长度，正确； B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确； C选项，， 在上有且仅在4个零点， 结合正弦函数的性质知：， 则，正确； D选项，由题意， 则在时，，故值域为，错误. 故选：ABC. 【典型例题2】已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 【典型例题3】已知函数的部分图象如图所示，则（[endnoteRef:50] ） [50: ] A B. 在区间上单调递增 C. 将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D. 函数的零点个数为7 【答案】ABD 【解析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答. 观察图象知，函数的周期，则，而， 即有，由知，，因此，A正确； 显然，当时，，因此单调递增，B正确； 将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得， 而，C错误； 由，得，令，则， 令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点， 当时，，令，， 函数在上都递减，即有在上递减，， ，因此存在，， 当时，，当时，，有在上递增，在递减， ，， 于是存在，，当时，，当时，， 则函数在上递减，在递增，，， 从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图， ，，， 从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点， 所以函数的零点个数为7，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 【典型例题4】已知是的导函数（    ） A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的 B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的 C．的对称中心坐标是 D．是的一条切线方程. 【答案】BC 【解析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A，B；由三角函数的性质可判断C；由导数的几何意义可判断D.， 是由横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移，故A错误； 函数图象将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得， 再向右平移个长度单位，得，即，故B正确； 因为，令， 则，则的对称中心坐标是，故C正确； 因为，所以， 由导数的几何意义令，可得：， 即，解得: ，所以切点为， 而不在上，故D错误. 故选：BC. 【典型例题5】随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数为周期函数，且最小正周期为 D．函数的导函数的最大值为3 【答案】ABD 【解析】判断与的关系可判断AC；讨论奇偶性可判断B；求出导函数，结合余弦函数的性质可判断D.因为函数，定义域为， 对于A， ， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，，所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确； 对于C，由题知，故C错误； 对于D，由题可知，且，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练7-1】已知函数，其中，，则（ ） A. 若存在最小正周期且，则 B. 若，则存在最小正周期且 C. 若，，则的所有零点之和为2 D. 若，，则在上恰有2个极值点（涉后导数） 【变式训练7-2】设函数其中，．若，，且相邻两个极值点之间的距离大于，，设，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上存在唯一极值点 【变式训练7-3】声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（    ） A．在上是增函数 B．的最大值为 C．的最小正周期为 D． 【变式训练7-4】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的值域为 D．的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到 【变式训练7-5】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D．函数的零点个数为7 【变式训练7-6】声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的为（    ） A．在上是增函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．若，则． 【变式训练7-7】已知是的导函数，，则下列结论正确的为（    ） A．与的图像关于直线对称 B．与有相同的最大值 C．将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像 D．当时，与都在区间上单调递增 【变式训练7-8】已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数在上有两个极值点 【变式训练7-9】已知函数的图象的一条对称轴为，则（    ） A．当时，在上存在零点 B．是的导数的一个零点 C．在区间上单调，则 D．当ω为偶数时，是偶函数 【变式训练7-10】已知函数，则（    ） A．函数不是周期函数 B．函数的图象只有一个中心对称点 C．函数的单调减区间为 D．曲线只有一条过点的切线 【变式训练7-11】已知直线与函数的图象相交，，，是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是　　 A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 B．若，则 C．若在上无最值，则的最大值为 D． 【变式训练7-12】已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 C. 若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为 D. 是的导函数，令．则在上的值域为 【变式训练7-13】已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象的对称中心是 C. 函数的零点是 D. 在上单调递增 【变式训练7-14】已知函数的图象关于直线对称，那么（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为 【变式训练7-15】已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期函数 B. 有对称轴 C. 有对称中心 D. 上单调递增 【变式训练7-16】已知函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 【变式训练7-17】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在点处的切线方程为 【变式训练7-18】已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 曲线在处的切线斜率为 【变式训练7-19】已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 区间上有3个零点 B. 要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C. 的周期为，最大值为1 D. 的值域为 【变式训练7-20】在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（ ） A. 函数为周期函数，且为其一个周期 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的导函数的最大值为4.（涉后导数） 【变式训练7-21】已知函数，则（ ） A. 是偶函数，也是周期函数 B. 的最大值为 C. 的图像关于直线对称 D. 在上单调递增 【变式训练7-22】已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 在区间有两个零点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【变式训练7-23】 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 在区间上单调（涉后导数） 题型08：与其它函数结合 【典型例题1】已知函数，，则以下结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数与的图象有偶数个交点 D．当时， 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为， 所以函数的最小正周期为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以函数的图象关于点成中心对称，故B正确； 对于选项C：因为， 所以函数的图象关于点成中心对称， 即函数与的图象均关于点成中心对称， 因为，即为函数与的一个交点， 当，函数与的图象有个交点， 则当，函数与的图象有个交点， 综上所述：函数与的图象有个交点，为奇数个，故C错误； 对于选项D：当时，则，所以， 且，，， 所以，故D正确； 故选：ABD 【典型例题2】已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 关于轴对称 C. 关于中心对称 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】根据函数周期性，对称性逐项检验即可判断ABC，利用正余弦函数的性质可判断D． A中，因为，所以，所以A正确； B中，由A可得，，所以，所以可得是函数的对称轴，所以B正确； C中，因为，而，所以对称轴为，所以C不正确； D中，因为，所以，所以D不正确， 故选：AB． 【典型例题3】已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 时，在区间单调递增 D. 时，在区间既有极大值点也有极小值点 【答案】BC 【解析】】验证可知，，由此可得AB正误；利用三角恒等变换公式可化简得到，令，结合复合函数单调性的判定可知C正确；令，结合导数可求得当时，的单调性，结合复合函数单调性可确定单调性，由极值点定义可知D错误. 对于A，， 不是的周期，A错误； 对于B，， 的图象关于直线对称，B正确； 对于C，； 当时，，，， 令，则，； 与在上均单调递减，在上单调递减， 又在上单调递减， 由复合函数单调性可知：在上单调递增，C正确； 对于D，由C知：； 当时，，，； 令，则，； ，当时，在上恒成立， 在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数单调性可知：在上单调递增，在上单调递减， 则当时，在上有极大值点，无极小值点，D错误. 故选：BC. 【典型例题4】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 既是奇函数，又是周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AB 【解析】根据奇函数和周期函数的定义即可判断选项；根据对称轴的性质即可判断选项；根据二倍角的余弦公式化简换元成关于正弦的三次函数，利用导数判断函数的单调性求出最值，进而判断选项；利用导数的正负与函数的单调性的关系即可判断选项. 对于，因为函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数； 又因为，所以函数为周期函数，故选项正确； 对于，若函数的图象关于直线对称，则成立， 因为，所以，故选项正确； 对于，因为函数，令，则函数可化为，，令，解得， 所以在和上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以函数的最大值为， 故选项错误； 对于，因为，若函数在上单调递增，则在上恒成立，取，则，故选项错误， 故选：. 【变式训练8-1】已知函数，，则下列说法不正确的是（    ） A．与的定义域都是 B．为奇函数，为偶函数 C．的值域为，的值域为 D．与都不是周期函数 【变式训练8-2】1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如的纯音合成的复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 当时，最小值为0，则 【变式训练8-3】已知，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．有对称轴 C．有对称中心 D．在上单调递增 【变式训练8-4】高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如已知函数，函数则下列说法中正确的有（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称 C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根 【变式训练8-5】关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数图象关于直线对称 C．函数在上递增 D．函数的最大值为1 【变式训练8-6】已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 【变式训练8-7】已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的递增区间是， C．函数的对称中心， D．当，函数的值域是 【变式训练8-8】若函数，则（    ） A．的最小正周期为π B．的图像关于直线对称 C．的最小值为-1 D．的单调递减区间为 【变式训练8-9】已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．关于轴对称 C．关于中心对称 D．的值域为 【变式训练8-10】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-11】已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数在上有两个极值点 【变式训练8-12】已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（    ） A．存在实数α，使l1l2， B．存在实数α，使l2l3； C．对任意实数α，都有l1⊥l4 D．存在点到四条直线距离相等 【变式训练8-13】已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练8-14】函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，都存在，使得，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练8-15】已知函数，则（ ） A. 与均在单调递增 B. 的图象可由的图象平移得到 C. 图象的对称轴均为图象的对称轴 D. 函数的最大值为 【变式训练8-16】已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 在区间 上，有且只有一个极值点 D. 过 作y=的切线，有无数条 【变式训练8-17】关于函数有以下四个选项，正确的是（ ） A. 对任意的a，都不是偶函数 B. 存在a，使是奇函数 C. 存在a，使 D. 若的图像关于对称，则 题型09：三角函数与平面向量 【典型例题1】已知为坐标原点，点，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算，结合和差角的余弦公式变形判断作答. 对于A，，A正确； 对于B，， ， ， 因此，B正确； 对于C，由选项B知，C正确； 对于D，， 显然与不恒等，即不恒成立，D错误. 故选：ABC 【典型例题2】重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【解析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设 ，可得，由，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D. 如图，作 ,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系， 则 , 设 ，则, 由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故，故D正确， 故选：ABD 【变式训练9-1】在中，，，，下列命题为真命题的有　　 A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【变式训练9-2】设，是大于零的实数，向量，，其中，，，定义向量，，，，记，则　　 A． B． C． D． 题型10：三角函数与解三角形 【典型例题1】中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（    ） A．若，则必有两解 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若，且该三角形有两解，则的范围是 【答案】AC 【解析】根据正弦定理可判断选项A；已知条件得出角的关系，可判断选项B；化边为角可判断选项C；根据正弦定理可判断选项D，进而可得正确选项. 对于A，若，则， 又，所以必有两解，故A正确； 对于B，若，则或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理得：， 即，而，故， 所以一定为直角三角形，故C正确； 对于D，若，且该三角形有两解，所以， 即，也即，故D错误. 综上所述，只有AC正确， 故选：AC. 【典型例题2】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】求得大小关系判断选项A；举反例否定选项B；求得大小关系判断选项C；求得的正负情况判断选项D. 选项A：在中，若，则，则.判断正确； 选项B：令，则 .判断错误； 选项C：在中，若，则， 又余弦函数在单调递减，则.判断正确； 选项D：在中，若，则， ，又正切函数在单调递增， 则.判断正确. 故选：ACD 【典型例题3】在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【解析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得. 在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得： ， 即有，而，则， 又， 由正弦定理、余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 又是锐角三角形且，有，，解得， 因此， 由得：，， 所以， 结合选项，的可能取值为，，. 故选：ACD 【变式训练10-1】在△ABC中，已知a＝2b，且，则（    ） A．a，c，b成等比数列 B． C．若a＝4，则 D．A，B，C成等差数列 【变式训练10-2】已知的三个内角所对边的长分别为，若，则下列正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若平分交点，且，则的最小值为 【变式训练10-3】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知锐角，下列说法正确的是　　 A． B． C．，，则 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第15讲高中数学三角函数多选专题训练 目录 思维导图 3 高考分析 2 学习目标 3 解跟题略 3 题型归纳 2 题型01：三角函数定义公式… 题型02：根据三角函数图像求函数及性质 11 题型03：先平移伸缩变换雨求性质 40 题型04：三角函的性质… 52 题型05：含绝对值的三角函数… 89 题型06：先恒等变换再求性质… 116 题型07：三角函数与导数， 141 题型08：与其它函数结合 177 题型09：三角函数与平面向量 197 题型10：三角函数与解三角形… 200 思维导图 6:先恒等变换再求性质 1:三角函数定义公式 7:三角函数与导数应用 2:根据三角函数图像求函数及性质 8:三角函数与其它函数结合 3:先平移伸缩变换再求性质 三角函数多选专题 9:三角函数与平面向量 4:三角函数的性质 10:三角函数与解三角形 5:含绝对值的三角函数 1 高考分析 三角函数多选题是高考数学的高频中档题型，常聚焦核心考点并注重知识综合，分值占三角函数专题总分的 20%-30%,是拉开得分差距的关键题型之一。以下从高考分析、学习目标、解题策略三部分展开系统解读。 1.命题频率与分值 近四年(2022-2025)新高考全国卷中，三角函数多选题年均出现1-2道，多位于选择题第9-11题区间，每题 5分。该题型在三角函数专题中占比稳定，配合单选、解答题，共同支撑起全卷11%-18%的分值权重，是专 题得分的重要组成部分。 2.核心考点分布 多选题考点覆盖集中且综合性强，核心围绕三大模块展开，且常相互融合考查： ·三角恒等变换：高频考查和差倍角公式、同角三角函数关系的逆用与变用，是多选题的基础解题工具， 2025年全国I卷第11题便以此为核心设计选项。 ·三角函数图象与性质：重点考查y=Asin(omega x+arphi)的周期性、单调性、对称性、零点及最值， 常结合图象变换或参数求解出题，灵活度较高。 ·解三角形：多与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的应用，包括边角关系转化、面积计算、 最值与范围问题，2025年全国I卷已将其作为三角函数多选题压轴题考查。 3.命题特点 ·基础性与技巧性并重：既强调公式、定理的直接应用，又注重公式逆用、整体代换等技巧，避免简单 记忆性考查。 ·知识交汇性突出：常与平面向量、导数等知识轻度交汇，偶尔结合生活场景建模，凸显对综合应用能 力的考查。 ·选项设计陷阱明确：易错点集中在复合函数单调性判断、边角转化方向混淆、公式符号错误等，每个 错误选项均对应典型备考误区。 学习目标 1.熟练掌握三角恒等变换、图象性质、解三角形三大模块核心公式与定理，能快速精准调用，杜绝公式混淆 或遗忘。 2.具备多选题选项拆分能力，能独立分析每个选项的考查方向，精准识别命题陷阱，提升选项判断的准确率。 3.掌握数形结合、整体代换、边角互化等核心思想方法，能高效解决考点融合或轻度知识交汇的多选题。 4.形成规范的解题流程，减少计算失误与步骤跳跃，确保在有限时间内稳定拿到多选题分数。 解题策略 1.核心思想方法 ·数形结合法：遇到图象与性质相关题目时，快速绘制简易函数图象，通过图象直观判断周期性、对称 性、零点个数等，降低抽象思维难度。 ·整体代换法：处理y=Asin(ωx+P)性质问题时，令t=ωx+p,将复合函数转化为基本正弦/余弦函数， 结合t的取值范围分析性质。 ·边角互化法：解三角形多选题中，若条件含“边角混合”，优先根据目标选择转化方向一一求边的关系 用正弦定理化角为边，求角的关系用正弦定理化边为角。 2.分步解题流程 1.审题定位：快速通读题目，明确题干条件（如函数解析式、三角形边角条件）与各选项考查的核心考 点，划定解题范围。 2.逐选项分析：多选题需“逐一验证、独立判断”，避免因一个选项错误影响整体思路，对不确定的选项 可先标记，优先解决有把握的选项。 3.陷阱规避：计算时注意公式符号（如二倍角余弦公式的三种形式），判断单调性时关注复合函数的定义 域ω的正负，解三角形时留意角的取值范围(0，π)内正弦值对应两个角)。 4.验证排查：完成所有选项判断后，结合题干条件二次验证正确选项的一致性，确保无逻辑矛盾或计算 失误。 3.典型题型突破 ·图象与性质综合题：先由题干条件求出函数解析式（确定A,ω，P),再逐一分析选项中的周期、单调 区间、最值等，重点关注omega对周期和单调性的影响。 ·恒等变换与解三角形融合题：先通过三角恒等变换化简题干条件（如降幂、和角公式展开），再结合正 余弦定理转化边角关系，进而判断选项正误，2025年全国I卷第11题即为此类题型的典型代表。 3 题型归纳 题型01：三角函数定义公式 【典型例题1】已知sina>sinB,那么下列命题中成立的是() A.若a、B是第一象限角，则cosa>cos B.若a、B是第二象限角，则tana>tanB C.若a、B是第二象限角，则cosa>cosB D.若a、B是第四象限角，则tana>tanB 【答案】CD 【解析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小 如图(1)，a、B的终边分别为OP、OQ,sina=MP>NQ=sinB, 此时cosa=OM<ON=cosB,故A错； y M N (1) 如图(2)，OP、OQ分别为角a、B的终边，sina=MP>NQ=sinB, ∴.tana=AC<AB=tanB,故B错： NM O (2) 如图(2)，角a,B的终边分别为OP、OQ,sina=MP>NQ=sinB, ∴.cosB=ON<OM=cosa,故C正确； 如图(4)，角a,B的终边分别为OP、OQ,sina=MP>NQ=sinB 4 ∴.tana=TH>TK=tanB,故D正确. y↑ 故选：CD. H (3) 【典型例题2】已知0为坐标原点，点P(cosa,sina),P(cosB,-sinB),P(cosa+B),sin(a+β)， A1,0,则() A.OP-OP B.AP=AP C.0A.0p:=0p.0p, D.04.OP =OP,.OP 【答案】AC 【解析】A、B写出O正，OP,、AP,AP的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标， 应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. A:OP=(cosa,sina),OP,=(cos B,-sin B),=cos2a+sin2a =1, 1OE=V(cosB)2+(-sinB)2=1,故0p=p,,正确； B:AP =(cosa-1,sin a),AP,(cos B -1,-sin B), 49作cosa-+sna=v6osa-2cosa1+sma=20-cosa）-4sn号=21sin号引，同理 |码上VosB-1P+sin2B=21sim1,枚1丽1不一定相等，错误 C:由题意得：OA.OP=1×cos(a+B)+0×sin(a+B)=cos(a+B), Op.0p,=cosa·cosB+sina·(-sinβ)=cos(a+B),正确； D:由题意得：OA.Op=1×cosa+0×sina=cosa,OP,·OP,=cosB×cos(a+B)+(-sinB)×sin(a+B) =cosB+(α+B)=cos(a+2β)，故一般来说0A·0E≠0E,·0E故错误； 故选：AC 【典型例题3】已知o,B∈(0,2π且sina<sinB,则下列命题中成立的是() A.若o,B是第一象限角，则cosa<cosB 5 B.若，B是第二象限角，则cosa<cosB C.若o,B是第三象限角，则tana<tanB D.若a,B是第四象限角，则tana<tan阝 【答案】BD 【解析】举反例判断A,C;利用角的范围，结合余弦函数以及正切函数的单调性可判断B,D. 对于A,不妨取a二石，B=,满足题意，但是cosa>cosB,A错误 3 对于B,由， B∈T 因为sina<sinB,故a>B,由于y=cosr在 2, 上单调递减，故 cosa<cosB,B正确； 对于C,不妨取a= 5π B= 石，满足题意，面ana=1>anB= ,C错误； 6 3 对于D,由o,B∈ 3 2 ,2π，因为sina<sinB,故a<B,由于y=tanx在 受2上单调送路校 tand<tanB,D正确 故选：BD 【变式训练1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，锐角Q,B的终边分别与单位圆交于A,B两点.则() A若A点的损坐标为号。8点的织坐标为专·则口+即 65 B.sin(a+B<sin a sin B C.sina>sina+β+sinf D.以sina,sinB,sin(a+B)为三边构成的三角形的外接圆的面积为 3 【答案】AB 【解析】根据三角函数定义结合两角和的余弦公式可判断A:利用两角和的正弦公式结合正余弦函数的性质可判断 B,C;判断sina,sinB,sin(a+B)）可构成三角形，并结合正余弦定理求得三角形外接圆面积可判断D.对于A, 12 5 由已知得，cosa= 7?·snB=4,ox,B为锐角，则sina=二 13,cosB=三，则 cos(a+β)=cosa cos B-sina sinβ= 治故A确 对于B,a,Be0引a+Be0,.co0.小cope(0, ,.sin(a+B=sina cosB+cosa sin B<sina+sinβ，故B正确： 对于C,cosa+B)e-1,1), .sina=sin(a+β)-β=sina+B)cosβ-cosa+β)sinp<sin(a+β)+sin阝，故C错误； 对于D,同理sinB=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina<sin(a+B)+sina, 结合B、C可知sina,sinB,sin(au+B),可以作为三角形的三边： 设该三角形为△A'B'C',角，B,C所对的边长分别为sina,sinB,sin(a+B),由余弦定理可得， cosC= sin2a+sin2B-sin2(a+B)sin2a+sin2B-(sina cosB+cosasin B)2 2 sina sinβ 2 sin a sinβ sin2a+sin2β-sin2acos2f-cos2asin2β-2 sina cosβcosa sinβ 2 sina sinβ sin2a1-cos2β+sin2β1-cos2a -cosa cos B 2 sina sinβ sin'a sinsi sinacosa cosB 2sin2a sin2B -cosa cos B 2sina sin B 2sina sin B =sina sin B-cosa cos)β=-cosa+β)， ..sinC'=1-cos2(a+B)=sin(a+B), 设外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=4B_sim(a+B sinC'sina+β) =1, 4故D错误， R=2S= 故选：AB. 【变式训练l-2】正割(Secant)及余割(Cosecant).这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先 引入，sC,csC这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义 正荆seca=,余知cca=L已知函数=。+，给出下列说法正确的是() cosa sina secx cscx A.f(x)的定义域为{xx≠kπ，k∈Z; B.f(x)的最小正周期为2π； C.f(x的值域为[-2，-lU(-1,U1,2]: D.fx)图象的对称轴为直线x=-工+kxk∈Z). 【答案】BC 【解析】由辅助角公式化一，再根据cosx≠O,six≠0，即可求出函数的定义域，即可判断A;根据正弦函数的 周期性即可判断B;根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C;根据正弦函数的对称性即可判断D. 1 1 f(x)= 一十 secx cscx =cosx+sinx=2sin 但cosx≠0，sinx≠0，得x≠还(k∈Z 即f(x)的定义域为xx≠ kn ,kez' 故A错误； 2 ∫(x)的定义域关于原点对称， 故f(x的最小正周期与函数y=√2sinx+不的最小正周期一致，均为2元，故B正确： 4 当x=0,元，元 时，y=万m+妥到的值分别为1L-1.-l. 而函数y=smx+)的值域刘[-5.]， 再结合周期性可知，f(x)的值域为-√2，-U(-1,U山，√2，故C正确： 骨受+eZ,得x=子红eZ, 令x+ 即(y图象的对称轴为直线x=子+红keZ,故D错误。 故选：BC 【变式训练1-3】在平面直角坐标系xOy中，己知任意角O以坐标原点0为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终 边经过点P(,y小，且0P=rr>0),定义sc9)=+3x,称“icos0)”为“正余弦函数”对于“正 2r 余弦函数f(x)=si(cosx)”,下列结论中正确的是() A.将fx)图象向右平移”个单位长度，得到的图象关于原点对称 2 B.fx)在区间-2x,2上的所有零点之和为 π C.f(x)在区间 π3π 上单调递减 3’4 D.f(x)在区间(0,7π上有且仅有5个极大值点 【答案】ABC 【解析】根据三角函数的定义及“正余弦函数”的定义求出∫(x)的解析式，在根据正弦函数的性质一一分析即可 8 。因为x=rcosx,%=rsinx, 所以f(x=si(cosx)=+5x-rsinx+V3 rcosx 2r 2r -cosx=sinx+ 3 对于A:将f(y)图象向右平移个单位长度得到y=sn =sinx, y=sinx为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确； 对于B:令f=inx+写=0，即x+于=keZ,解得x=-+:,keZ, π 又r小2x2小，所以=经或x号或x=受或x-经 3 3 3 所以/1到在区-2,2上的所有零之和为誓+（引号+智-智，枚B正确 对于C:由x∈ π3π 3’4 所+臣 所以f(x在，3π 34 上单调递减，故C正确； 对于D自e07,则+号昏号）令 +T=元+2m,k∈Z,解得x=+2k,keZ, 32 6 所以x)在区间(0,7x上的极大值点有，13红，25江，37还共4个，枚D错误： 6'6 6 6 故选：ABC 3 【变式训练1-4】己知角a的终边与单位圆交于点 5 则sina+2cosa=() 3sina-cosa A. B.- 10 C. 2 9 15 D5 【答案】AC 【解析】点 了少代入单位圆的方程求出点儿可得ana,再由弦化切可得答案 3 “角a的终边与单位圆交于点 25*听=1，“6= 4 4.∴.tana= 5， 3 5 当tanc= 4 时， sina +2cosa tana+2 10 3 3sina-cosa 3tana -19: 当tana=- 4 时， sina+2cosa tana+22 3 3sina-cosa 3tana-1 15' 故选：AC 【变式训练1-5】己知0为坐标原点，点P(cosa,sina),卫(cosB,-sinB),P(cos(a+B),sin(a+B)》, A1,0),则() 9 A.OP OP B.IAPHAPI C.OA.OP=OP.OP D. 【答案】AC 【解析】法一、：P(cosa,sina),E(cosB,-sinB),E(cos(a+B),sin(a+B),AL,0), .Op=(cosa,sina),OE=(cosB,-sinβ)， OP (cos(a +B),sin(a+B)),4=(1,0), AP =(cosa-1,sina),AB =(cosB-1,-sin B), 则OE=√cos2a+sin2a=1,1OE=Vcos2B+(-sinB)2=1,则OF曰OE1,故A正确： AP =(cosa-1)+sin'a =cos'a sin'a-2cosa+1=2-2cosa, AP =(cos B-1)2+(-sin B)2=cos2B+sin2B-2cosB+1=2-2cosB, |APAPI,故B错误； OA.OE=l×cos(a+B)+0×sin(a+B)=cos(a+B), OP.OP =cosa cos B-sina sin B=cos(a+B), .OA.OE=OE.OE,故C正确； OA.OE=1×cosa+0×sina=cosa, OP.OB=cosBcos(a+B)-sinBsin(@+B)=cos[B+(a+B)]=cos(@+2B). ∴.OA·OE≠OE·OE,故D错误. 故选：AC· 法二、如图建立平面直角坐标系， P P2 10