第10讲高考正余弦定理复习讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学正余弦定理高考复习讲义，全面覆盖解三角形核心考点，按“基础公式-边角互化-面积问题-综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、解题策略总结、20类题型归纳及分层训练，帮助学生系统构建知识网络，突破边角互化、最值范围等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型分类为特色，创新采用“定理应用+解题技巧”双轨教学，如通过正弦定理边角互化、余弦定理结合均值不等式求范围等策略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合真题精讲，确保学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第10讲 高考正余弦定理讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：正弦定理解三角形 6 题型02：余弦定理解三角形 8 题型03：边角互化 11 题型04：三角形解的个数判断 14 题型05：三角形的形状问题 18 题型06：三角形的面积 32 题型07：三角形面积最值范围问题 39 题型08：三角形四心 53 题型09：三角形的中线问题 59 题型10：三角形的角平分线问题 64 题型11：三角形的垂（高）线问题 72 题型12：利用均值不等式求范围问题 77 题型13：利用三角函数求范围问题 87 题型14：角度边长周长等最值取值范围问题 89 题型15：多三角形问题 106 题型16：解三角形的实际应用 111 题型17：正余弦定理与向量综合 134 题型18：正余弦定理与三角函数综合 143 题型19：解答题 151 题型20：新定义问题 158 巩固提升 162 一． 单选题 162 二． 多选题 179 三． 填空题 191 四． 解答题 202 1. 考频：高频必考点，选择/填空/解答题均会涉及，解答题常作为三角大题第一问，或结合解三角形、三角函数性质、向量综合考查 2. 分值：5~12分，基础题+中档题为主，极少出难题，是必须拿满的分数板块 3. 核心考向：①边角互化求边长/角度；②判断三角形形状；③求三角形面积；④结合最值（均值不等式、三角函数值域）考查 1. 熟记正余弦定理公式及变形，能快速根据已知条件选对定理 2. 掌握边角互化核心技巧，突破“边化角、角化边”关键转化 3. 会结合三角形内角和、三角恒等变换解综合题，规避易错点（如多解问题） 4. 熟练计算三角形面积，能应对与面积相关的最值、范围问题 知识点1 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 3、正弦定理解决的两类问题 类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点2 余弦定理 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点3 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3）（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； （4）(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 知识点4 三角形形状的判断 1、利用余弦定理判断三角形 （1）为直角三角形或或 （2）为锐角三角形，且，且 （3）为钝角三角形，且，且 （4）若，则或 2、利用正弦定理判断三角形 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 技巧一.边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 技巧二.三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 技巧三.角平分线问题处理方法 1.角平分线“拆”面积： 2.角平分线定理性质： 3.利用等角的余弦定理：cos∠BAD=cos∠CAD 4.大三角形与小三角形同时使用余弦定理：cos∠BAC=cos2∠BAD . 技巧四.中线的处理方法 1.向量法： 2.双余弦定理法（补角法）： 如图设，在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式即可 3倍长中线法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4. 中线分割的俩三角形面积相等. 技巧五.高线的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 四、解题策略（分题型+秒杀技巧） 题型1：已知两角一边（AAS/ASA）→ 优先用正弦定理 1. 步骤：①用内角和求第三角；②正弦定理求剩余两边；③求面积（可选） 2. 技巧：无需讨论，唯一解，直接代公式计算即可 题型2：已知两边及一边对角（SSA）→ 必用正弦定理，重点防多解 1. 步骤：①正弦定理求对角的正弦值；②根据“大边对大角、正弦值≤1”判断解的个数；③求剩余边角 2. 易错点：sinθ有锐角/钝角两解，需结合边长验证取舍 题型3：已知两边及夹角（SAS）/ 已知三边（SSS）→ 优先用余弦定理 1. SAS题型：①余弦定理求第三边；②余弦定理/正弦定理求剩余角；③面积用已知夹角的面积式 2. SSS题型：①余弦定理求最大角（避免多解）；②正弦定理求剩余小角；③验证内角和为π 题型4：判断三角形形状→ 边角互化是核心 1. 策略1（边化角）：转化为三角恒等式，利用三角变换化简（如\sin2A=\sin2B→A=B或A+B=π/2） 2. 策略2（角化边）：转化为整式方程，因式分解（如a²=b²→a=b；a²+b²=c²→直角三角形） 题型5：三角形最值/范围问题→ 2大核心解法 1. 角的范围：用余弦定理+均值不等式（如a²+b²≥2ab，求\cos C最小值） 2. 边的范围：用正弦定理+三角函数值域（转化为A的三角函数，结合A∈(0,π)求最值） 高频易错点避雷 1. 忽略三角形隐含条件：大边对大角，内角∈(0,π)，两边之和大于第三边 2. 多解问题漏取舍：SSA题型必验证，正弦值对应两角度时，看是否符合边长关系 3. 公式用错：求角优先用余弦定理（结果唯一），求边优先用正弦定理（计算简便） 题型01：正弦定理解三角形 【典型例题1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由正弦定理即可求解.由正弦定理，得， 又，所以，所以为锐角，所以．故选：C． 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______. 【答案】 【解析】由题知，，，在中，由正弦定理，得， 所以，解得，因为中，，所以，所以. 【变式训练1-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得. 因为，，，由正弦定理可得，即， 因为，所以或， 当时，，不满足， 所以.故选：A 【变式训练1-2】已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 【答案】 【解析】由正弦定理可转化题干条件为，再利用余弦定理可得，再由面积公式可得，结合，以及余弦定理，联立求解即可 解：由及正弦定理可得，即， ∴ ∵，∴ 由的面积为，得 又∵， ∴，整理得， ∴.故答案为： 【变式训练1-3】已知的三个内角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，所以得：， 由正弦定理可得：即， 所以，故选：B. 【变式训练1-4】在中,已知,,,则角的度数为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题知,,, 在中,由正弦定理可得:,解得, 因为,,所以或.故选:C 【变式训练1-5】中，若，，则_________ 【答案】 【解析】由题意中，若，， 则, 因为为锐角， 故. 题型02：余弦定理解三角形 【典型例题1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（ ） A． B． C．92° D．135° 【答案】B 【解析】， 设， 最大，即最大， ， 又，.故选：B. 【典型例题2】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解 ∵， ∴ ， ∴， ①当时，，为直角三角形．∵，，∴； ②当时，则有，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得， 综上，或．故选：C． 【典型例题3】一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=4，BC=6，则DE=________. 【答案】 【解析】根据给定条件，利用余弦定理求出AB长即可作答. 依题意，在中，，则，而AC=4，BC=6， 由余弦定理得：， 矩形中，. 故答案为： 【变式训练2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______. 【答案】/ 【解析】利用余弦定理的推论求解. 解：因为，所以， 由余弦定理的推论，得， 因为，所以.故答案为：. 【变式训练2-2】在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______. 【答案】. 【解析】根据已知条件结合余弦定理求解即可. 由，得， 由余弦定理得，因为， 所以，故答案为：. 【变式训练2-3】已知在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，解得， 所以，所以为直角三角形，则在中，． 故选：A. 【变式训练2-4】（多选）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】BC 【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，. 所以，即， 又a＞0，解得，故选：BC. 【变式训练2-5（1）在中，已知，求的值； （2）在中，已知，解这个三角形． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】（1）因为， 所以，所以； （2）因为， 所以，即，解得或， 当时，则，所以； 当时，由余弦定理得，所以， 综上所述，或. 题型03：边角互化 【典型例题1】在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可. 解：因为， 所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A 【典型例题2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______. 【答案】 【解析】根据正弦定理可知，， 所以， 而，所以. 【变式训练3-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果. 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以. 因为， 由余弦定理得， 即， 又，所以，所以， 由正弦定理得，所以. 设的外接圆的半径为， 所以，解得， 所以的外接圆的面积为.故选：B. 【变式训练3-2】已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ） A．2 B． C．4 D．16 【答案】B 【解析】由三角形面积公式得到，进而求出，由余弦定理求出答案. 由题意，，所以，， 所以， 解得或（舍去）．故选：B 【变式训练3-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，即， 又，所以，所以，所以. 因为， 由余弦定理得，即， 又，所以，所以， 由正弦定理得，所以. 设的外接圆的半径为，所以，解得， 所以的外接圆的面积为.故选：B. 【变式训练3-4】已知的内角所对的边分别为，，则角______. 【答案】 【解析】将等式两边同时乘以得， 由正弦定理得， 又在中，得 ，. 【变式训练3-5】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得，，即， 所以，因为，所以. （2）设，则， 所以，解得，， 所以， 由正弦定理，，所以. 【变式训练3-6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 整理得， 即 所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以． （2）由且， 由余弦定理，可得，即， 解得或（舍），所以． 题型04：三角形解的个数判断 【典型例题1】（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，. 【答案】AD 【解析】对于A，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，A正确； 对于B，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，B错误； 对于C，由正弦定理得：，无解，C错误； 对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ） A．4 B．5 C．7 D．10 【典型例题3】在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意在中，若，则, 由正弦定理得， 可解，则需有，解得， 故边a的取值范围是. 【变式训练4-1】在中，若，则此三角形（ ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以满足的有两个， 所以此三角形有两解.故选：B. 如图：要使有两个解，则， 即，解得：，故选：BC 【变式训练4-2】在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【解析】利用正弦定理求解. 由正弦定理可得可得， 所以无解，所以三角形的解的情况是无解，故选:C. 【变式训练4-3】在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】根据三角形的性质，以及正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可求解. 对于A中，由，，可得，所以三角形只有一解； 对于B中，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C中，由正弦定理，可得， 可得有两解，所以三角形有两解； 对于D中，由余弦定理得，可得有唯一的解，所以三角形只有一解. 故选：C. 【变式训练4-4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可 如图， ，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故 或 故选：D 【变式训练4-5】判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________. ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【解析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 【变式训练4-6】已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为___________. 【答案】 【检查】根据题意和正弦定理求得，分类讨论，即可求解. 由正弦定理，可得， 当时，，此时唯一； 当时，有两个值，不唯一； 当时，，即，，唯一， 综上可得，实数 的取值范围是.故答案为： 【变式训练4-7】在中，、所对的边长为、，，. （1）若，求； （2）讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）由正弦定理求得B的正弦值，进而求解； （2）解法一：固定边（即）和角，以为圆心，边（即）为半径作圆弧，该圆弧与角除外的另一边所在射线的交点即为点.利用几何方法判定解的个数的不同情况的条件；解法二：利用正弦定理求得，其中，转化为函数与水平直线交点的个数，然后利用正弦函数的图象的性质求解. （1）由正弦定理，得或； （2）解法一：如图所示： ①，即时，无解； ②或，即或时，有一解； ③，即时，有两解. 解法二： 应用正弦定理，得（*），其中， 方程（*）的解的个数，即函数与水平直线交点的个数. 如图所示： 当，即时，无解； 当或，即或时有一解； 当，即时有两解； 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，讨论三角形的解的个数，涉及几何作图方法和三角函数的图象的应用，属中档题. 题型05：三角形的形状问题 【典型例题1】在中，若，，则形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.因为, 所以, 因为 所以， 所以，可得或， 又因为，,所以 所以，，， 所以为等边三角形.故选：C. 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果. 在中，， ，即， 则为直角三角形，故选：B. 【典型例题3】将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的 【答案】A 【解析】不妨设为斜边，则，各边增加1之后，为三边中最长的边，所对角为新三角形的最大角，设新三角形最大角为，计算，分析正负，即得解. 由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故， 各边增加1，可得三边长为：， 此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角， 不妨设新三角形最大角为，故， 由于，，为三角形的三条边，故，，又 为锐角， 因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.故选：A 【典型例题4】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． ∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形，故选：C． 【典型例题5】在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 化简可得， 即， 即，所以或， 即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：A 【典型例题6】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形.故选：D. 【变式训练5-1】已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 【答案】D 【解析】先利用同角三角函数基本关系得 ，结合正余弦定理得，求出角,再利用，化简得在结合条件求出角，进而得C,则三角形的形状就可以判断了. 由题得： ，即， 由正弦定理及余弦定理得，又 , 整理得 ，   故 为顶角为的等腰三角形。故选：D 【变式训练5-2】若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】化简，结合余弦定理可得，再利用正余弦定理对化简可得，从而可判断出的形状 由，得， 化简得，所以由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，所以为等边三角形，故选：B 【变式训练5-3】已知在中，，且，则该的形状为（    ）[附：] A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】由已知条件结合正弦定理得，化简后可得，然后由余弦定理求得，由结合正弦定理和三角函数恒等变换公式可得，从而可判断出三角形的形状 由， 又∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 由， 而， ∴ ∴，即， ∴． ∴为等边三角形，故选：D． 【变式训练5-4】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（    ） A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案 由结合正弦定理可得， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以，故为直角三角形，故选：C 【变式训练5-5】已知内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】利用正弦定理边角关系及三角形内角性质求出角B，再由向量数量积定义和三角形面积公式求出角A，即可判断形状. 由题设及正弦定理边角关系有，而且， 所以，又，可得， 所以，故，而，又， 所以，故，，可得， 综上，为正三角形. 故选：C 【变式训练5-6】在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】解：由得：，且， ∴，且， ∴， ∴， 化简整理得：，即， ∴或，又， ∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C. 【变式训练5-7】（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，边上的高为，则为等腰三角形 B．若，，，则为直角三角形 C．若，，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】对于A：作边上的高为，因为，， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以， 所以，A正确；   对于B：因为，，，所以由正弦定理可得，解得， 因为，所以或，当时，三角形为钝角三角形，B错误； 对于C：因为，，所以 又，所以，即， 所以， 因为，所以，即，， 所以或，当时，，所以， 所以，C正确； 对于D：因为， 所以， 所以， 因为角A，B，C最多有一个钝角，所以最多有一个为负数， 因为，所以， 因为，所以，D正确.故选：ACD 【变式训练5-8】在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】因为在，， 所以， 又，所以，， 所以为等腰三角形.故选：A. 【变式训练5-9】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由题意得：，即，故， 因为，所以，故，即 因为，所以，即，故， 故，故，所以为直角三角形.故选：A 【变式训练5-10】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】∵，所以，又，∴， ∵，∴，，，∴， 从而，为等边三角形，故选：C． 【变式训练5-11】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ） A．A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】BD 【解析】对于A，若，则，则B为锐角， 不能判定为锐角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，则，且， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为，所以， 即，所以， 因为，所以，所以， 所以是等腰三角形，故D正确.故选：BD. 【变式训练5-12】（多选题）（22-23高一下·山东泰安·期中）中，分别为内角的对边，则（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，由，得，由正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以，所以或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误， 对于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，所以B正确， 对于C，由，得，所以由余弦定理得， 因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以由正弦定理得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以，所以D正确，故选：BD 【变式训练5-13】长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【解析】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 【变式训练5-14】（多选题）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】中，因为，由正弦定理可得， 即，在三角形中，， 所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确； 中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确； 中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确； 中，因为，即，可得， 由正弦定理可得， 所以，又因为， 所以，而， 所以，即为直角三角形，所以正确．故选：． 【变式训练5-15】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得. 因为， 所以， 由正余弦定理可得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D 【变式训练5-16】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A 【变式训练5-17】（多选）在中，分别为的对边，（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】A选项，因为，所以， 由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确； B选项，因为，所以， 由正弦定理得：，即， 所以或，故或， 则为等腰三角形或直角三角形，B错误； ，由正弦定理得：， 又因为，所以， 因为，所以，所以，故， 因为，所以，C正确； 因为， 所以，即， 因为，所以， 结合，所以一负二正，所以为钝角三角形， D正确.故选：ACD 【变式训练5-18】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题： ①若，则为锐角三角形； ②若，则为等腰三角形； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为 ． 【答案】①③④ 【解析】① ，而， 所以都为锐角，正确； ②由正弦边角关系：，则，， 所以或（），故为等腰或直角三角形，错误； ③由正弦边角关系：，， 所以，故为等腰三角形，正确； ④由，而，故， 且，故，则为等边三角形，正确. 故答案为：①③④ 【变式训练5-19】在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是__________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】由正弦定理及， 得 ，，， ，又， 由余弦定理， 得， 即，， 为等腰直角三角形． 【变式训练5-20】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可. 由及正弦定理，得 所以或， 故是等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【变式训练5-21】对于三角形形状的判断，以下说法正确的有： ①若，则为等腰三角形； ②若，则为等边三角形． ③，则为直角三角形． ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则为钝角三角形． 【答案】②④⑤ 【解析】对于①，，则, 即，由于，则， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由可得， 即，故， 同理由可得, 故为等边三角形，②正确． 对于③，不妨取,满足，但不是直角三角形．③错误； 对于④，因为 ，故， 即， 又，所以 ， 故，由于，故， 同理可得，结合 ， 故≌≌,可得， 故为等边三角形，④正确； 对于⑤，由得， 即，即， 由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确， 故答案为：②④⑤ 题型06：三角形的面积 【典型例题1】几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦定理确定，外接圆圆心为对应等边三角形的中心，确定，利用勾股定理得到，为等边三角形，计算面积即可. 中，，故，，故，，， 外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接，， 则，故， ，，故， ，，则， 根据对称性知：，故为等边三角形， 其面积.故选：C. 【典型例题2】中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∴，展开得， ∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故， ∴， ∴，， 所以的面积. 【典型例题3】已知在中，角的对边分别为，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则角的大小是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由韦达定理可求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得结果. 由于是方程的两个实数根，由韦达定理可得， 据题意，得，. ，解得或. 故选：D. 【典型例题4】在中，分别是角所对的边.若，的面积为，则的值为______ 【答案】 【解析】先根据三角形的面积公式求出边，再利用余弦定理即可得解. 由，的面积为， 得，所以， 则， 所以.故答案为：. 【典型例题5】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，得，即， 因为，所以， 所以，所以； （2）由余弦定理得， 即，解得， 所以． 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，已知点P（cos t，sin t），A（2，0），当t由变化到时，线段AP扫过的区域的面积等于    （    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意作图，点P在单位圆上，考虑AP与单位圆相切的情况，求出AP扫过的图形，再求出面积. ， 点P在以原点为圆心的单位圆O上，起始点为图中的 ， 终点为 ，显然 ， AP扫过的面积为图中阴影面积， 与 等底同高， ， 所以AP扫过的面积就是扇形CDO的面积，OC与OD的夹角 ， 扇形CDO的面积 ；故选：B. 【变式训练6-2】如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________． 【答案】 【解析】连接，设，过点作交于点，过点作交于点，即可表示出，，，再根据平面几何的性质得到，从而表示出，结合二次函数的性质求出的最大值及此时的值，再根据梯形面积公式计算可得. 连接，设，，过点作交于点，过点作交于点， 设圆的半径为，则， 则，， 因为，所以，则，即梯形为等腰梯形， 所以， 所以 ， 所以当，即时，， 所以，，，所以，， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-3】在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________． (1)求角A的大小； (2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积． 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【解析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可. 选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得. 选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果. （2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果. （1）若选择①，∵．∴， ∵，∴，即， ∵∴；若选择②，∵， ∴， ∴， ∴，， ∵∴； 若选择③，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，又∵．∴， ∴，∵，∴； （2）设，，， 在中，用余弦定理可得， 即 ①， 又∵在中，， 即.即，即 ②， 在中，用余弦定理可得， 即 ③，③+①可得， 将②式代入上式可得，． 【变式训练6-4】在中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【解析】因为在中，，，， 所以的面积为，故答案为： 【变式训练6-5】在中，若，，的面积为，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又，解得， 由余弦定理， 所以. 故答案为： 【变式训练6-6】在中，角的对边分别为，且，则的面积为 . 【答案】或 【解析】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，可知， 由余弦定理可得， 即，解得或，所以的面积为 或.故答案为：或. 【变式训练6-7】记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 【答案】1 【解析】由，得，得，所以的面积为. 【变式训练6-8】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由整理得， ，由，； （2）， 由正弦定理得，①，又，②， 由①②得，. 【变式训练6-9】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】（1）由已知及正弦定理得， ∵ ∵， ∵ ∴. （2）∵  ∴, 又∵  ∴,所以． 题型07： 三角形面积最值，范围问题 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【解析】因为，所以由正弦定理得， 则， 因为，所以， 所以，则， 由余弦定理可得，即， 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立， 连结，因为，所以， 所以，则，， 则． 故答案为：. 【典型例题2】已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. (1)求的取值范围； (2)若，求三角形ABC面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且都为锐角，所以， ， 所以，由正弦定理可得， 又，所以， 整理得，即有， 所以，即，所以. 在锐角三角形中，,且，所以； 令，则，， 令，则， 因为，所以，所以为增函数， 又，所以，即的取值范围是. （2）由（1）得. 因为，由，得； 设三角形ABC的面积为,则 ， 因为，所以， 设，，，，为减函数， 所以，所以. 【典型例题3】如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏. (1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）； (2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围. 【答案】(1)百米；(2)， 【解析】（1）解：因为点是等腰三角形的顶点，且，， 所以，由余弦定理可得，，解得， 又因为，故， 在中，，，所以， 在中，由余弦定理可得，， 解得，故， 所以连廊的长为百米． （2）解：设图②中的正的边长为，， 则，， 设， 则， ， 所以， 在中，由正弦定理可得，， 即， 即 即（其中为锐角，且， 所以，即； 图③中，设，， 因为，且， 所以，，， 所以， ， 所以， 所以当时，取得最大值，无最小值，即，故 【变式训练7-1】某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，设，，因为，， 所以，，所以， 因为， ， 所以，在中，由正弦定理，，即， 所以，因为，所以，所以，所以，其中，所以，，所以面积的最小值为．故答案为： 【变式训练7-2】如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 【答案】(1)、且；(2)；(3)最小值为. 【解析】（1）由，且，，则； 由，且，，，则. 所以，，. （2）为等腰直角三角形，则，即， 所以，而，则，且， 所以. （3）若，则， 令， 则且， 所以，则或（舍）， 存在，使，此时成立， 综上，的面积的最小值为 【变式训练7-3】如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长； (2)若点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 【答案】(1)千米；(2)； 【解析】（1）解：由条件知，，又因为，则，所以. 又因为当时，有，且，所以. 所以曲线段ABCD的解析式为，. 由，即，或 解得，又因为，所以，，所以； 或，无论k为何值都不符合，舍去， 所以，即该学生走过的路BO的长为千米. （2）由题可知，当时，，所以 则，，，所以. 在中，，，，， 则由正弦定理，可得， 故可得，故 ， 即，当时，，此时S取得最大值. 【变式训练7-4】从①；②；③； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值． （注：若选择多个条件，按第一个解答计分） 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）若选①：由正弦定理得，即 因为，所以， 所以，整理得， 又因为,则，所以 若选②：因为，由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，所以，即， 因为，所以； 若选③：因为，所以， 即， 又因为，所以 又因为，所以， 因为，所以； （2）在锐角中，由（1）得，， 所以 ， 由，所以 所以的取值范围为. （3）当取得最大值时，，解得； 在中，令，    则，所以； 又， 所以， 所以． 所以 ，而, 故当时等号成立,所以面积的最大值为． 【变式训练7-5】在中，角所对的边分别为，且. (1)求的最大值； (2)若，，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解：在中，满足， 由余弦定理得， 当且仅当时取等，所以， 又因为，且函数在区间上为单调递减函数， 所以的最大值为. （2）解：因为，可得，所以， 又因为，所以，整理得， 所以 . 【变式训练7-6】如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为. (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，在中，， 所以，所以， 又因为， 在中， 因为，所以， 所以， 所以， 即梯形的面积为. （2）在中，，所以，， 又因为，所以， 在中，，所以， 所以， 又因为，， 所以， 即. （3）由（2）得，因为 ， 因为，所以， 所以当即时，有最小值， 又因为， 所以的最小值为 【变式训练7-7】已知中，角、、所对的边分别是、、，，且． (1)求角． (2)，为所在平面内一点，且满足，求的取值范围，并求当取得最大值时四边形的面积．(四点按逆时针排列)． 【答案】(1)；(2)的取值范围为，当取得最大值时四边形的面积. 【解析】（1）解：因为，所以， 所以，所以， 所以， 由正弦定理得：， ，即， 所以即， 因为为三角形内角，所以即， 又由，可得， 可得， 所以，所以可得， ，且是锐角，所以，； （2）由（1）可知，所以为直角三角形， 又因为，所以， 所以点在以为直径的圆上，如图， 因为，所以，， 设为中点，连结，则，， ，所以当三点共线时，取得最值， 当点三点共线且在线段上时，取得最小值 当点三点共线且在线段上延长线时，取得最大值， 所以的取值范围为， 当取得最大值时，如图： 设，则， 所以，， 所以， 在直角中，， 所以，而的面积为， 所以当取得最大值时四边形的面积， 综上：的取值范围为，当取得最大值时四边形的面积. 题型08： 三角形四心 【典型例题1】三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，是的垂心，分别交于，则是的（    ）    A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】因为是的垂心，所以， 所以，所以四点共圆，所以， 又因为是的垂心，，所以 所以，所以四点共圆，， 所以，即平分. 同理：平分，平分，所以是的内心.故选：A. 【典型例题2】（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有，，， 所以， 即，故B正确； 对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又，， 则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，，得到，，进而即可求解． 【典型例题3】已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的 （填三角形的四心） 【答案】外心、重心、垂心 【解析】由题：，所以O是外接圆的圆心 取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心 ，，， 即，同理可得，即P是三角形的垂心. 故答案为：外心、重心、垂心 【点睛】方法点睛：1、是的重心；2、是的外心；3、是的垂心 【变式训练8-1】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【解析】记为的中点，连接，作，如图， 则，， 因为， 所以， 所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心.故选：D. 【变式训练8-2】在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】直角三角形中，，为中点，的重心为，如图所示，    ， 则，； 直角三角形中，，的外心为，则为中点，如图所示，    ，则，； 直角三角形中，，的垂心为，则与点重合，， 则，； 直角三角形中，，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，    直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， ，. 最大，所以当取最大值时，.故选：B. 【变式训练8-3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【解析】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心.故选：B 题型09：三角形的中线问题 【典型例题1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得. 依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. 故选：D. 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________. 【答案】 【解析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可． 连接AO，延长AO交BC于D， 由题意得D为BC的中点，，所以， 因为， 所以，得. 故 故答案为： 【典型例题3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若是的中线，且，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解； （2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解. （1）由及二倍角的余弦公式，得， 即，于是有，及正弦定理，得， 由余弦定理，得， . （2）因为是的中线，所以，两边平方，得 ,由（1）知，，， 所以， 所以 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式训练9-1】在中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，根据余弦定理得， 则，则，则， 如图，建立平面直角坐标系， 则，， 可得， 则.故选：A. 【变式训练9-2】如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，. 因为 . 由为的重心，所以，. 在中，由余弦定理，得：. 故选：B 【变式训练9-3】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线长为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，从而解得； （2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，即可求出，再检验即可. （1）解：因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 由，所以，又为锐角，所以. （2）解：在中，， 所以， 即，整理得， 解得（舍去）或. 此时，，，为等边三角形，符合题意，故. 【变式训练9-4】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. （1）由正弦定理可将原等式化为 在中， ∴ ∴，又在中， ∴，∴，即， 而，，故即. （2）由 ，可得, 在中，, , ， 设，，而边上的中线, 在中， 得即， ∴， ∴ 【变式训练9-5】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由条件变形结合余弦定理可得； （2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得. （1）由，得， 即， 因为，所以． （2）选①，由，， 则      所以．         选②，因为，， 所以， 即，   解得． 选③，依题意，得， 由，， 则     . 故 题型10：三角形的角平分线问题 【典型例题1】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 在中， ∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得， 在中，则，故选项A正确； 在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即， 由，解得，故选项C正确； 在中， ∵，则， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 【典型例题2】如图，四边形中，与相交于点，平分，，，则______．    【答案】 【解析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解； 在中，，，不妨记，则， 由余弦定理得 ， 所以， 由正弦定理得，则， 又平分， 所以. 故答案为：. 【典型例题3】在中，角的对边分别为，的面积为，且满足. （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在中求出角，再由正弦定理求出边、，再由结合三角形的面积公式即可求解. （1）在中，由余弦定理可得，所以 由三角形的面积公式可得， 因为，所以， 整理可得：，即， 因为，所以 （2）由（1）知：，为的角平分线， 所以，由可得 在中，由正弦定理可得：，即， 因为， 所以，， 由可得： 整理可得：，解得：， 所以线段的长为. 【变式训练10-1】在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 【答案】 【解析】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 【变式训练10-2】在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，，所以，因为，所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，.故选：A 【变式训练10-3】（多选题）已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（    ） A．若点是的中点，，则 B．若平分，则 C．三角形外接圆面积最大值为 D．若，且是的中点，则一定是直角 【答案】ABD 【解析】对于A，因为点是的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 故，故A正确； 对于B， 在中，由正弦定理可得， 因为平分，， 所以，所以， 同理，中，，所以， 又，所以， 所以，故B正确； 对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径， 即， 因为，所以， 所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误； 对于D，设，， 在中，由正弦定理可得，， 又因为，所以，即， 在中，，所以， 同理在中,有， 因为是的中点，即，即， 得则，或， 当时，即，即，即是等腰三角形， 而，所以， 所以，故D正确.故选：ABD. 【变式训练10-4】在中，为的角平分线，若，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】依题意设，则， 又，即， 即， 即，又，所以， 所以，即， 所以， 由余弦定理可得 ，所以（负值已舍去）. 故选：B 【变式训练10-5】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. （1）由正弦定理，得， 得，得， 因为，所以，即. （2）因为，所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 【变式训练10-6】在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 【答案】(1)或，；(2)① ；②时，S取到最小值 【解析】（1）由题意，得到，求得或和或，即可求解； （2）①利用正弦定理，求得，结合面积公式，即可求解； ②利用二倍角公式和积化和差公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解. （1）解：因为，可得， 又因为，可得或，所以或， 由，可得或， 所以或， ． （2）解：①在和中使用正弦定理，可得 于是． ②利用二倍角公式和积化和差公式可得： ， 由题意可得，所以， 当，即时，S取到最小值． 【变式训练10-7】已知的三个内角，，的对边分别为，，满足. （1）求； （2）若，，角的角平分线交边于点，求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角； （2）利用余弦定理可得的值，进而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解. （1）由正弦定理化边为角可得： ， 即 所以， 因为，所以 即. 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数据可得：即. 解得：或(舍). 所以，所以， 在中，由是的角平分线，得， 则， 在中，由正弦定理得：即， 可得：. 题型11：三角形的垂（高）线问题 【典型例题1】在中，角为锐角，已知外接圆的半径为，，___________，求BC边上的高. ①②③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】若选择条件①，根据正弦定理，和余弦定理求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件②，由正弦定理可知，再根据余弦定理，求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件③，根据正弦定理求，再根据余弦定理求，最后结合三角形面积公式，即可计算BC边上的高. 解：选①在中，由正弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： 选②：由 由正弦定理得： 由余弦定理得： 选③，由正弦定理得： 由余弦定理得：， ，即，， 解得：，， 【典型例题2】已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用两角和差的正弦公式求得，再结合同角的商数关系即可得出结论； （2）结合同角的基本关系求出，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. （1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=， 所以, ， 所以，即； （2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为. 【变式训练11-1】在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可 （2）选①则不合题意； 选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可； 选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可 （1）方法一：在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以. 所以. 在中，，所以，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理 得， 整理得所以，所以. （2）选条件②：由（1）知 因为在中，，所以 又，所以所以 设边上高线的长为h，则 . 选条件③： 因为 所以， 由余弦定理得 所以. 设边上高线的长为h，则 【变式训练11-2】已知中，角所对的边分别为边上的高为 (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由三角函数的基本关系式求得的值，结合面积公式得到，再结合正弦定理，即可求解； （2）由（1）得到，根据余弦定理化简得到，进而得到，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由，因为，解得， 则， 又由正弦定理得，所以. (2)由（1）知，所以， 由余弦定理得， 则， 当，即时，取得最大值. 【变式训练11-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理化边为角，即可化简求出； （2）由面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求出. 解：（1）在中，由及正弦定理，得 ， 又， 所以，又，所以，又因为，所以． （2）由（1）知，中，，又边AB上的高为3， 所以的面积，即． 又中，由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以c的最小值为． 【变式训练11-4】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，且BC边上的高为，求a. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果. （2）由面积公式可得，再由条件结合余弦定理即可求得结果. （1）由正弦定理，原式可化为， 由于， 整理得. 又∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴，即. （2）由题意可知，由，得， 又，∴，， 由余弦定理知，解得. 题型12： 利用均值不等式求范围问题 【典型例题1】若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图所示：    设，， ，， 由， 得 化简得，由是的外心可知， 是三边中垂线交点，得，代入上式得 ，所以， 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，. 所以， 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 所以，当且仅当“”时，等号成立. 所以的最大值为.故选：C. 【典型例题2】在中，是边上一点，且，若是的中点，则 ；若，则的周长的最大值为 . 【答案】 / / 【解析】因为是的中点，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 即，所以， 若，，，由上述知， 所以，则，故，则， 在中，由余弦定理得， 即 ， 则，即，当且仅当时，等号成立， 故，即的周长的最大值为.   故答案为：；. 【典型例题3】在中，角的对边分别为，，，满足，，则 ，的面积最大值为 ． 【答案】 12 3 【解析】由可得， 由，则，， 因为，所以，故， 又，， 则， 因为，所以， 则， 即， 故， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 则，则； 因为，则， 则， 当且仅当，即时取得等号．故，面积最大值为．故答案为：12，3 【变式训练12-1】在中，已知，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由得， 即， 又由余弦定理得：， 化简得：， ， 当且仅当时，等号成立， 将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边， 故有最小值，且为锐角，此时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故有最大值，最大值为．故答案为： 【变式训练12-2】．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（  ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可. 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以. 因为是边BC的中点，所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即面积最大为． 故选：B 【变式训练12-3】在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值. 因为， 根据正弦定理及诱导公式得， ，，， 即，，则，则 解得,所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 根据余弦定理得，即， 设的周长为， 所以， 设，则， 根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得： 在上为单调增函数，故， 故， 当且仅当时取等. 故选：C. 【变式训练12-4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先用正弦定理角化边整理可得，由余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式分析可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可. ∵，则， 整理得，则， ∵为锐角三角形，则，故， 由面积为， 可得当面积取到最大值，即为取到最大值， ∵，即，即， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 故当为等边三角形时，面积取到最大值， 设的内切圆半径为，则，解得， 故内切圆面积为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解三角形求面积的取值范围（或最值）的两种方法： （1）利用余弦定理建立三边之间的关系，结合不等式求取值范围（或最值）； （2）利用正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换和三角函数求取值范围（或最值）. 【变式训练12-5】在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，，若. 又， （2）由（1）知. 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，得， ， , 设，，在区间单调递减， ，即, 【变式训练12-6】如图，在四边形中，，，，.    (1)若，求； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，，，所以. 在中，，， 所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以. （2）过点作于点，由，，，， 可得，，    设，当时，点在点的右侧，如图①，，则. 当时，点在点的左侧，如图②，，则. 又，所以当，且时， . 当时，点与点重合，，满足上式， 所以，其中. 令，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值， 因为，所以为锐角， 所以当时，取得最大值. 【变式训练12-7】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，. (1)求B及a，c； (2)若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，又 ，解得, ，或 由余弦定理， 得， 当时，，又，所以，， 当时，，矛盾 所以，， （2）设△内切圆的圆心为，半径为，由（1）知：△ABC为等边三角形， 则， 从而（其中指的周长）， ， ， ，则 ， 又，当且仅当等号成立 ， ，当且仅当时等号成立，. 即内切圆半径的最大值为 【变式训练12-8】在中，角所对的边分别为． (1)求的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理可得：， 当且仅当，即时取得最小值，故，所以的最大值为； （2）， 由正余弦定理可得， 由题意可得，所以上式可化为， 由三角形三边关系可得，即， 所以，即，故， 所以 题型13：利用三角函数求范围问题 【典型例题】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理边化角可得，由△ABC为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域. ∵，即：，，∴， ∴由正弦定理得：，即：， ∴， ∴或，解得：或（舍）， 又∵△ABC为锐角三角形，则， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即的取值范围.故选：B. 【变式训练13-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【检查】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算即可得到，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，进而可求得的最大值． 由已知，根据正弦定理得，，则， ∴，又，∴， ∴ ∵，∴， ∴当，即时，的最大值为1，即的最大值为1．故选：C． 【变式训练13-2】已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用余弦定理、正弦定理求解即可. 由正弦定理及，得， 根据余弦定理， 得， 令，所以， 因此，即， 由题意可知A是锐角，所以， 因此，所以．故选:A. 题型14：角度边长周长等最值取值范围问题 【典型例题1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故选：D. 【典型例题2】记锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由正弦边角关系知：， 所以，故或（舍），则， 而，，则，且， 又， 则， 令，则，仅当时等号成立， 当时，，当时，， 综上，. 故答案为： 【典型例题3】中，已知，，为上一点，，. (1)求的长度； (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设，，则. 在与中，由余弦定理知： ，即， ，即. ， ，可得. ， ，即.解得，. . （2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径. 为外接圆上任意一点， 当在点时，. 当在点时，. 当在优弧上时，， 设，则. 中，由正弦定理知，. ， 当时，的最大值为. 当在劣弧上时，， 设，则. 中，由正弦定理知，. . 当时，的最大值为. 综上，的最大值为. 【典型例题4】在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．    (1)若，求的长度； (2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为的角平分线，， 所以， 因为 所以，             所以. （2）在中，由正弦定理得，， 所以，     又，则， 又，所以，又，则.                                     在，由正弦定理得，， 所以 ，                    因为是锐角三角形，所以，于是， 则，所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为. 【变式训练14-1】在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以.故选：C. 【变式训练14-2】中，，是角的平分线，且，则的最小值为（    ） A． B． C．    · D． 【答案】B 【解析】根据等面积法得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 根据题意，设，如图， 因为，，则， 所以， 即， 所以，则，故，即， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 【变式训练14-3】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用，三角形面积公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用换元法即可求解 中，由余弦定理得，， 且的面积为，由，得， 化简得；又，，所以， 化简得，解得或（不合题意，舍去）； 因为，所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以； 设，其中， 所以 ， 又，所以时，y取得最大值为， 时，；时，，且． 所以，即的取值范围是，故选：D 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 【变式训练14-4】（多选）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为 【答案】AD 【解析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD. 解：已知， 由正弦定理得，， 即，因为， 所以，又，且，所以．所以是等边三角形，A选项正确； 在中，由余弦定理得，，则， 即，所以A，B，C，D四点不共圆，B选项错误； 设，，由余弦定理得： ， 所以四边形ABCD面积， 即，因为，所以， 所以当，即时，S取得最大值，无最小值， C选项不正确，D选项正确；故选：AD. 【变式训练14-5】设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为△为锐角三角形，所以，，， 即，，，所以，； 又因为，所以，又因为和正弦定理得， 由，即 ， 所以，令，则， 又因为函数在上单调递增，所以函数值域为， 则的周长的取值范围为.故选：C. 【变式训练14-6】在锐角中，，则角的取值范围为______，的最小值为______. 【答案】 【解析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后由基本不等式可得． 由和， 可得， 由正弦定理得， 所以， 整理得， 即， 因为, 所以或（舍去），即， 又为锐角三角形，所以，解得， 故，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：；． 【变式训练14-7】1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图，根据题意，设，则， 在中，由余弦定理有，也即 ① 在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 故，则，由①，      ②， 且， 所以， 设，则， 由题意，，所以，所以， 而，由对勾函数的性质可知， 所以，由②， 在上单调递减， 所以. 【变式训练14-8】我国南宋著名数学家秦九韶（约）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有满足，且的面积是，则的周长为 ． 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得， 设，则， 可得的面积是，解得， 则，所以的周长为. 故答案为：. 【变式训练14-9】设的内角所对的边分别为，若，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）由正弦定理得为的外接圆半径）， 可得：，将其代入得，即， 又由题意知，所以， 解得，所以，在中由余弦定理得： ， 所以，所以， 所以， ， 由题意可知，所以，所以， 所以； （2）因为，由（1）知， 所以． 【变式训练14-10】已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④. (1)求的长； (2)为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围. 上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一. 你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程. 【答案】(1)选择见解析，；(2)选择见解析， 【解析】（1）删除条件①：设，，则. 在中，， 即， 同理在中，， 即，联立，可得，． 即，，故； 删除条件④：设，则，在中， ， 同理在中，， 因为，所以，即， 解得：，所以； 删除条件②：在中，， 所以，解得或，不唯一，不符合题意； 删除条件③：在中，， 即，解得或，不唯一，不符合题意. （2）若删去①：由（1）知，设，因为，则. 在中，由正弦定理知,则，， 所以的周长 ， 因为为锐角三角形，则， 所以，又，所以当时，在边上， 所以，因为在为单调增函数，则， 所以.所以周长的取值范围为. 若删去④：由（1）知，则在中，由余弦定理得 ，因为，则， 设，则. 在中，由正弦定理知,则，， 所以的周长 ， 因为为锐角三角形，则， 所以，又，所以当时，在边上， 所以，因为在为单调增函数，则， 所以.所以周长的取值范围为. 【变式训练14-11】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 又，由余弦定理得， 即， 所以， 由基本不等式可知， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知， 则 ， 令，因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 【变式训练14-12】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用二倍角、辅助角和两角和差公式化简已知等式可求得，结合的范围可求得结果； （2）由可知或，结合的范围可确定，利用两角和差公式化简得到，由的范围可求得结果. （1）由得：， ， 即， ，， ，，，解得：. （2）由（1）知：， ，，， 或，即或； ，当时，，不合题意，， ， ，，. 【变式训练14-13】记的内角的对边分别为，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）已知，由正弦定理角化边，在利用余弦定理即可得，即可求出角A； （2）已知，利用余弦定理可得，则可求出的周长为，由于，利用均值不等式即可求出周长的最小值，及此时的b值. （1）解：由正弦定理，得， 所以，即， 又，所以. （2）解：由余弦定理得，把代入，整理得， 因为，所以的周长为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当的周长最小时，． 【变式训练14-14】在中，角、、所对的边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． （1）解：因为 ； （2）解：根据余弦定理可知：， ， 又 ，即， ，当且仅当时，，故的最大值是． 题型15：多三角形问题 【典型例题1】如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，° (1)求的值； (2)求sinC的值； (3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=，求BD的长. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由余弦定理即可求解. （2）由正弦定理即可求解. （3）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可. （1）由余弦定理得：＝7 ∴ （2）由正弦定理：得. （3）如图所示： 过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300， ∴，，在Rt中，=.       ∴        ∴ ∴ 【典型例题2】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得； （2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得． （1）由已知， 所以； （2）设，则，，， 由正弦定理得， ，， ， ， 是锐角，，故解得， 由正弦定理，所以． 【变式训练15-1】如图，在中，已知是边上的一点，. (1)求； (2)求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理计算求解； （2）由正弦定理计算． （1）在三角形中，由余弦定理得 ， 因为 所以 （2）因为，所以 在三角形中， 所以 由正弦定理 解得 【变式训练15-2】如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)求； (2)过点A作，交线段于点，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用余弦定理，结合整体法即可得解； （2）先由题意求得，再利用正弦定理求得，从而在中求解即可. （1）因为，则， 所以由余弦定理得，， 又，所以. （2）因为，则， 所以， 又，则， 所以在中，由正弦定理得，， 又， 所以在中，. 【变式训练15-3】兰州市新开的滑冰馆备受年轻人的喜欢，此馆的平面设计如图所示，其中区域为休息区，，，区域为滑冰区，．现为了安全起见，将滑冰区周围筑起护栏．若，求护栏的长度（的周长）.    【答案】 【解析】利用余弦定理求出的长，分析出为直角三角形，计算出边、的长，即可求得的周长，即为所求. 解：区域为休息区，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，，所以，， 区域为滑冰区，在中，，， 所以，，， 所以，的周长为. 护栏的长度为． 【变式训练15-4】在平面五边形ABCDE中，已知， (1)当时，求DC； (2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据余弦定理，结合五边形内角和定理进行求解即可； （2）根据五边形的面积，结合梯形面积公式进行求解即可； （1）连结EB，在中，，， 由余弦定理可得， ，所以，同时可得， ，又由五边形内角和可求得， 所以， 进而四边形BCDE为等腰梯形过点C作CM⊥BE于M， 可求得， 进而； （2）， 又，所以， 设边长为x，所以， 则 化简整理得，解得，或， 又，， 所以BC的取值范围是. 题型16：解三角形的实际应用 【典型例题1】某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度． 在Rt△ABM中，有， 在△ACM中，有，，， 由正弦定理得， 故， 在Rt△CDM中，有， 又， 则．故选：C． 【典型例题2】某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离. ①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离； ③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离. 综上可得，一定 【典型例题3】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米.故选：A 【典型例题4】某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（    ） A．50米 B．100米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】根据题意作出示意图，如图所示， 设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，， 所以米，米， 在中，，， 由余弦定理得， 即，整理，解得不符合题意，舍去）． 综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米．故选：． 【典型例题5】一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【解析】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时.故选：A. 【变式训练16-1】湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】因为， 所以 又可得米.故选：D. 【变式训练16-2】如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为 米（精确到1米）． 【答案】267 【解析】设该扇形的半径为米，连接. 由题意，得(米)，（米）， 在中， 即 解得（米).故答案为：267. 【变式训练16-3】在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为 ． 【答案】 【解析】解： 由题意，当人沿岸边跑的轨迹和人在水中游的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船. 由题意，当时，人不可能追上船， 当时，人不必在岸上跑，从同一地点直接下水就可追上小船 所以. 设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人、船运动的路线满足如图所示的三角形. 因为，， 所以由余弦定理得，即 ， 所以， 要使此关于的方程在内有实数解，则有，且 ，解得， 所以当时，人能追上小船， 所以小船被此人追上的最大速度为. 故答案为：. 【变式训练16-4】在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 小时.（注：） 【答案】/ 【解析】设缉私船最快在处追上走私船，追上走私船需小时， 则，， 在中，已知， 由余弦定理得，， ，即， 由正弦定理得，则， ， 为东西走向，， 在中，由正弦定理得，则，且为锐角， ，， ，即，小时. 故答案为：. 【变式训练16-5】如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）． 【答案】 【解析】由题意可得，， 在中，由余弦定理可得 ，即， 解得，故答案为：. 【变式训练16-6】如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B的距离为米； （2）在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，，所以铁塔高为米. 【变式训练16-7】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    【答案】 【解析】如图所示，作垂足为，则， 由题意知，设， 在中，由正弦定理得，可得， 在中，， 所以， 因为，所以当时，取得最小值， 此时. 故答案为：. 【变式训练16-8】南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为 m．    【答案】 【解析】 作于，作于E， 由题意易知，， 易知， ， 所以， 在中，由题意可知， 根据正弦定理有， 所以.故答案为：. 【变式训练16-9】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【答案】 【解析】在三角形中，， 所以，所以， 在三角形中， ， 由正弦定理得 ， 在三角形中，， 所以 （海里）.   故答案为： 【变式训练16-10】如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示） 【答案】 【解析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得．设山高，则，延长交于，如图， 则，因此，，，， 在中由正弦定理得， 所以，故答案为：． 能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.故选：C 【变式训练16-11】目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°. (1)求出山高BE（结果保留整数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？ 参考数据:. 【答案】(1)；(2)，∠ACB最大 【解析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可； （2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解. （1）由题意可知，， 在中，， 所以， 在中，， 所以出山高； （2）由题意知，且， 则， 在中，， 在中，， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以取得最大值时，， 又因为，所以此时最大， 所以当时，最大. 【变式训练16-12】某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上． (1)第一块草坪的三条边米，米，米，若，（如图），区域内种植郁金香，求郁金香种植面积． (2)第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，（如图），区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值． 【答案】(1)平方米；(2)450平方米 【解析】（1）利用余弦定理求得，进而在直角三角形中计算求解； （2）设，则，利用正弦定理求得，进而得到，然后利用三角函数恒等变换和三角函数的性质求得最小值. （1）∵，∴米，米． 在中：，， 在中：， 所以平方米． （2）在中：， 设，则， 在中：，． 所以， 所以， 其中 ，当时取等号， 所以，即当时，紫罗兰种植面积取得最小值450平方米． 【变式训练16-13】如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为. (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据几何关系求出、、的长度，然后利用梯形面积公式即可求解； （2）根据几何关系用，，来表示、、的长度，先求出梯形的面积，再利用即可得到答案； （3）利用三角恒等变换化简，并根据的范围得到的最小值，再根据即可得到的最小值. （1）因为，在中，， 所以，所以， 又因为， 在中， 因为，所以， 所以， 所以， 即梯形的面积为. （2）在中，，所以，， 又因为，所以， 在中，，所以， 所以， 又因为，， 所以， 即. （3）由（2）得，因为 ， 因为，所以， 所以当即时，有最小值， 又因为， 所以的最小值为 【变式训练16-14】为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，. (1)求的长度. (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，所以， 在中，由余弦定理，得 . （2）在中，由余弦定理，得， 所以， 所以. 在中，由余弦定理，得 ，解得. 假设小夏先去地，走路线，路长， 假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， 假设小夏先去地，走路线，路长， 由于， 所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. 【变式训练16-15】周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等个主要部分组成（如图1所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点处测得塔楼的仰角为，无人机在处沿仰角为的方向飞行米后到达处，测得，且，，，，五个点都在同一平面内（如图2所示）. (1)求塔楼到地面的高度； (2)如果广播电视塔的天线的长是米，无人机从到的飞行过程中，在点处观看天线的视角为（即），为了拍摄到天线最为清晰的图像，要求视角最大.若点处距离地面的高度为米，那么为何值时，无人机拍摄到天线的图像最清晰？ 【答案】(1)米；(2) 【解析】（1）因为，所以，. 又，，所以. 连结，过点作，垂足为， 则 . 在中，因为， 所以， 即塔楼到地面的高度是米. （2）过作，垂足为，因为，所以， 因为在上，，所以. 所以，. 所以 ，. 令，则，. 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 此时，，因此，当米时，视角最大，无人机拍摄到天线的图像最清晰. 【变式训练16-16】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【解析】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【变式训练16-17】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】(1)两船相距海里；(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【变式训练16-18】（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________ （2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ； （i）用分别表示和，并求出的取值范围； （ii）若地到直线的距离为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）（i），，；（2）的最大值为10． 【解析】解：（1）因为，且，所以， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，得，即，又，可得，得，即， 由余弦定理得，可得，由，得，所以有， 令内切圆的半径为R，故，，得，代入，得 ，故，故内切圆半径的最大值为； 故答案为：. （2）（i）在中，，， 由余弦定理得，， 又，所以 ， ①， 在中，，， 由余弦定理得， ， ②， ①+②得即 ①-②得，所以 又，所以，即， 又，即，所以． （ii），故， 又，设， 所以，， 又，，在上都是增函数； 所以，在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10． 【变式训练16-19】杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①；② （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）在中，由正弦定理知，，解得， 选①：，， ， 在中，； 若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负）， 故服务通道BE的长度 ； （2）在中，由余弦定理知，， ， ，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为． 题型17：正余弦定理与向量综合 【典型例题1】在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：    (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得 ，又因为，则，，故. 若选②，因为，由正弦定理可得，， 且，则，且， 所以，其中， 所以，则. （2）由题意可得，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 则，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又因为为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，所以； 当为锐角，则，即， 则，即，所以； 综上可得， 又因为， 则， 因为，则， 且在上单调递减，， 所以，即， 所以． 【典型例题2】如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.      (1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设， ①求的最小值； ②设的面积为，的面积为，求的最小值. (2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值. 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）①因为，所以， 又， 因为E，O，F三点共线，所以， 所以， 当且仅当取等号， 所以的最小值为； ②， 又由①知， 所以 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）设D为BC的中点，则， 所以， 所以， 又， ， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 【典型例题3】已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，. (1)求； (2)求证：. (3)求的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）延长交于D，则D为BC中点，    ， G是重心，， ； （2）设， ，， ，， ∵且三点共线， ∴，∴ 即； （3）由（2），， ， ，，可知， ， ，， 则当时，取得最小值，当时，取得最大值， ，则的取值范围为. 【变式训练17-1】在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，且的面积. （i）求证：； （ii）已知点在上，且满足，延长到，使得，连接，求. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）在中，∵，∴ ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，∴. （2）（i）由三角形面积公式得，，∴， 由余弦定理得，， ∴， ∵，∴，∴； （ii）由（i）得，， ∴， 取的中点，所以， 则 设，则H再CE上， 因为，所以， 平行四边形ACGH是菱形， ∴即为的角平分线， 设，∵为角的平分线，∴ ∴在中，， ∵，∴， 在中，，∴ ∵，∴， 又∵，∴为等边三角形， ∴. 在中，，由余弦定理得， ∴， 根据余弦定理得，， ∴.    【变式训练17-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．    (1)求边的长度； (2)若，求的余弦值； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由已知， 由正弦定理角化边可得，. 由余弦定理角化边可得，， 整理可得，，即. 因为，所以． （2）因为为中点，所以. 设，的夹角为， 则. 又， 所以， 整理可得， 解得或. 又，所以，， 所以，所以的余弦值为． （3）由（2）可得，. 由已知可设，，， 所以，，，. 因为，所以. 由可得，，即. 由G，E，F三点共线，得，即. 所以 . 因为，所以， 即，所以， 所以，即，即， 所以， 所以，所以的取值范围为． 【变式训练17-3】已知H是内的一点，． (1)若H是的外心，求∠BAC； (2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设为的中点，为中点， 是的外心，所以， 点H在边和的垂直平分线上，， ， ， 即①，同理， 可得②， 联立①②得，而，则， ，.    （2）是的垂心，，即， ， 化简得，① 同理 ， 化简得，②， 联立①②得，则，， 则.    题型18：正余弦定理与三角函数综合 【典型例题1】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 令，解得， 故的单调递增区间为； （2），故 因为，所以，故，， 又，由正弦定理得，即， 故， 所以 ， 因为，所以，， 由于在上单调递增，故， 故，. 所以周长的取值范围是. 【典型例题2】已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为，且，若角满足，求的取值范围； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有2023个零点，求常数与的值. 【答案】(1)；(2)；(3)，. 【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，， 令，得， 由于直线为函数的一条对称轴，所以，， 得，由于，，则， 因此，； （2），由三角形的内角和定理得，. ，且，，. ， 由，得，由锐角三角函数的定义得，， 由正弦定理得，， ， ，且，，，. ，因此，的取值范围是； （3）将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为， ， 令，可得， 令，得，， 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号， （i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根， 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意； （ii）当，则， 当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上无实数解， 因此，关于的方程在区间上有个根，合乎题意； 此时，，得， （iii）当时，则，当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上无实数根，方程在区间上有两个实数解， 因此，关于的方程在区间上有个根，不合乎题意， 综上所述：，. 【典型例题3】已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)在中，A为锐角且，，猜想的形状并证明. 【答案】(1)；(2)直角三角形，证明见解析 【解析】（1）由题意可得，， 故， 又因为，故， 所以，所以. （2）为直角三角形.证明如下： 因为，所以，又A为锐角，所以，解得， 由得，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以，所以为直角三角形. 【变式训练18-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函数．    (1)若，求的值域； (2)若对于任何有意义的边a，在上有解，求b的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题设知：， 又a＝b＝1，故 ， 即， ∵令，∴，抛物线开口向上，对称轴， 因为，所以当时，最小且为， 当t＝1时，最大且为，所以．故的值域为； （2），根据条件得，得到， 又，所以．设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 因为，可得， 当时，即，可得， 当时，即，可得，所以，0＜a＜2． 由（1）易知： ． 依题意对于任意a值，使得恒成立， 因为，所以， 即， 又－4＜－2a＜0，所以，有解即可． 令，，，容易知道在上是增函数， 故，只需的最大值大于等于0即可，又，故． 【变式训练18-2】已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，角所对应的边分别为，若，且，求的值； (3)设函数，记最大值为最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；(2)的值为2；(3)． 【解析】（1）依题意，， 所以函数的最小正周期为. （2）因为，由（1）知， ，解得， 在中，由余弦定理得，即，而 解得， 所以的值为2. （3）由（1）（2）知，，，， 则， 令，则， 因此，函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 因此在上，函数单调递增，单调递增，则， 因为，即有，解得， 函数，即在定义域内不存在零点， 显然，即，，函数的定义域为， 于是原问题转化为函数在上无零点， 即的最大值小于1恒成立，显然当时，，有，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式训练18-3】在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点. (1)求a，b的值； (2)若，求c的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设，则.由得，①， ，∴方程①有两个不相等的实数根，分别设为，， ∴，不妨假定. 当时，，方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去. 同理不合题意，舍去. 当时，方程与方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去. 当时，，即时，， 根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和为9， 则. 当时，，即时，，根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去. 所以，此时，解得:. （2）∵，，， ∴在中，由余弦定理得， 解得:. 由于， ∴c的取值范围是. 题型19：解答题 【典型例题1】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得； （1）解：若选①， 由正弦定理可得 即，又，所以，即， 因为，所以； 若选②，即， 即， 所以，即，所以，即， 因为，所以； （2）解：依题意，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，即，即，所以， 当为锐角，则，即， 即，即，即，即，所以， 综上可得， 又，则 因为，所以，而在上单调递减，所以， 即，即，所以，则. 【典型例题2】如图，在平面四边形ABCD中，. (1)若，求线段AC的长： (2)求线段AC长的最大值． 【答案】(1)；(2)6. 【解析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答. （2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答. （1）在中，，，由余弦定理得： ，即，解得， 在中，，由余弦定理得：， 所以. （2）设， 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当，即时取“=”，此时， 所以当时，线段AC长取最大值6. 【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. 【变式训练19-1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可. （2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值. （1）由，故，而， 所以，故. （2）由，故，即， 由余弦定理知：，即， 所以，即，又， 故， 由，则或（舍）， 所以，则，即， ，而， 所以，当时有最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值. 【变式训练19-2】已知中，点在边上，，， (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由求得，结合已知可得为正三角形，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得答案. （2）由余弦定理可求得，设，转化为有正实根的问题，分类讨论求得参数t的范围，即可求得答案. (1) 由可得，由于， 故为正三角形，而，故 , 则 , 故 , 所以 ,则； (2) 设，则， 所以 ， , 故，设， 则，即有正实根， 当时， 不合题意，舍去； 当时，若方程有两正实根，则 ， 解得 ，此时， 故方程有两异号根时，，解得， 当时，方程为，两根为0和4，符合题意， 综合上述，, 故的最小值为,则的最小值为. 【变式训练19-3】凸四边形是四个内角都小于的四边形．如图，凸四边形中，，，是等腰直角三角形，，设． (1)求的取值范围； (2)设四边形的面积为S，求的解析式，并求S的最大值． 【答案】(1)；(2)，；最大值为 【解析】（1）由，，可得，则 由四边形中四个内角都小于，可得 又△中， 则 则，解之得 又，则 （2）△中， 则四边形的面积 其中，， 又因为，则 所以当时，S最大值为 【变式训练19-4】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求c； (2)点A，B，C分别在等边△DEF的边DE，EF，FD上（不含端点）.若△DEF面积的最大值为7，求c. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，再利用余弦定理可求出， （2）由三角形面积的最大值求出的最大值，设，则，然后分别在和中利用余弦定理表示出，从而可表示，化简后利用三角函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出 （1）因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, ， ， 因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以，， 因为，， 所以由余弦定理得， ，， ，得（舍去），或 （2）由（1）可知，， 由于△DEF面积的最大值为7，则，得 所以的最大值为， 因为，所以， 因为，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得 所以，得， 在中，由正弦定理得， 所以，得， 所以 ，其中， 所以当时，取得最大值， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 解得或（舍去）， 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是分别在和中利用余弦定理表示出，从而可得，化简后利用三角函数的性质可求得其最大值，考查计算能力，属于较难题 题型20：新定义问题 【典型例题1】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，，，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由，可知， 又，所以， 由可得； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，， 则， 同理， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得，， 则， 令， 由， 则， 同理：， ， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：ABD. 【变式训练20-1】费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】 由，则， 因为，故， 则，即， 即，， 则，故，故的三内角都小于， 则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为； 又，则， 则，解得，故， 因为， 即， 所以， 则. 故答案为： 【变式训练20-2】阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请回答下面的问题： (1)已知的周长为36，且满足，求这个三角形的面积； (2)已知的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； (3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 【答案】见解析 【解析】（1）因为的周长为36，所以， 由正弦定理得， 所以，，， 所以三角形的面积； （2）因为的三边长分别为，，， 所以三角形的面积； （3）选择秦九韶公式，证明如下： ． 若选海伦公式，先如上证明秦九韶公式，再接续如下： ． 1． 单选题 1.在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理及得 ，不妨记， 因为，所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果. 已知角，， 由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，所以，所以. 又，所以.故选：C. 3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理把化为，再结合余弦定理求角即可 ∵，∴，结合即可求得． 由余弦定理可得. 又∵，∴．故选：D 4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论. ，由正弦定理，得， 即 ∴，可得， 又，∴， 则的形状为等腰三角形.故选：A. 5.内角、、的对边分别是、、，若、、成等差数列，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件可得，再结合余弦定理，即可求出 解：因为、、成等差数列，所以， 由余弦定理可得， 解得，故选：D 6.一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中,可求得，在中，可求得,再由正弦定理可求得m，在中，根据即可求得答案. 解：因为在中，，，所以，， 又因为在中，，， 所以, 由正弦定理可得，所以m, 又因为在中，， 所以m.故选：D. 7.平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（    ） A．25米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【解析】用分别表示，在中，利用余弦定理可得答案. 在中，，， 在中，，， 在中，由余弦定理得， 即，解得米.故选：C. 8.已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解. 由及正弦定理，得, 因为，所以, 所以,即， 当时，因为，所以， 当时，所以，即， 因为所以， 所以为等腰或直角三角形.故选：D. 9.在锐角△中，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A.根据正弦定理直接判断；B.根据余弦定理直接判断；C.根据正弦定理和二倍角公式直接判断；D.由正弦定理边角互化直接判断. 解：对于A.由正弦定理可得，所以必成立，故A正确； 对于B.由余弦定理可知，所以，所以不正确； 对于C.由正弦定理可知， 若满足，即 ,即，则，所以只有时，才成立，所以不正确； 对于D.根据正弦定理（其中R为△的外接圆的半径），则，故不正确.故选：A. 10.在△ABC中，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，已知，，， 由余弦定理得：，故选：A 11.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 由余弦定理得，①， 由三角形的面积公式得， 代入①得，， ， 由于， 所以.故选：C 12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理可得， 则， ，，， ，为内角， ，则， ，故选：D. 13.中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】在中，因为，，，所以， 即，解得或（舍去），所以.故选：A. 14.已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【解析】∵，， ∴，， ∴． ∵为锐角三角形，∴，∴．而，∴． 由余弦定理可得，∴，∴， 则．故选：C 15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得，即，则， 若有一解，则 ①，则， ②，则， 综上，的取值范围为，故选：D. 16.在中，角，，所对的边分别为，，，若A：B：C=3:2:1，则a:b:c=（ ） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1::2 D．2::1 【答案】D 【解析】由，又，则， 由，即，所以，故选：D 17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由边化角可得， 因为， 所以，即，所以， 因为，所以,所以， 所以解得，所以， 所以是直角三角形，故选:B. 18.已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】连接．因为平面平面，所以， ．在Rt中，， 所以． 所以在Rt中，． 因为在中，，所以是直角三角形， 且． 因为，所以点在以点为圆心，为半径的圆上． 作于点，因为点到直线的距离，且， 所以圆与线段交于两点，记为和，记圆与线段的交点为，如图所示． 在中，由余弦定理得，代入数据，解得； 同理，在中，．因为，所以点在线段上． 因为点在内部，所以点在弧上（不含点和）． 设，当点在点时，． 在Rt中，，即，解得． 当点在点时，．在Rt中，， 即，则． 在中，， 由余弦定理得， 代入数据，解得． 因为随着的增大，点靠近点，线段的长增大，点靠近点， 所以的取值范围为．结合选项可知，的值可能是．故选：B． 19.在三棱锥中，平面，，且．若，则当三棱锥的体积最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：设，则． 在中，由余弦定理知，， （负值已舍去）．由，知．平面， ． 设，则． 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 当时，最大， 此时． 故选：B． 方法二 ：设，则． 在中，由余弦定理知， ，（负值已舍去）． 由,知．平面， ， 当且仅当，即时取“=”， 此时．故选：B． 20.已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以.   故选：B. 21.在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以， 由正弦定理得，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设边的中点为，则， 因为，所以， 即为的中点，所以：.故选：A. 22.中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 在中，，故或， 当时，，故，不合要求，舍去， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 由正弦定理得， 故因为，所以， 故， 因为，所以， 故， 因为，所以，，， 故. 故选：B 23.已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以由正弦定理得，得， 由余弦定理得，所以， 即，由正弦定理得， 因为，则 所以，即. 因为为锐角三角形， ， 又在上单调递增，所以，则， 因为为锐角三角形， . 所以.故选：D. 24.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，由正弦定理，即， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 因为，所以或（舍去）， 所以，所以， 所以，即 所以，即的周长的取值范围为. 故选：C 25．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【答案】B 【解析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，从而得到的长度. 因为中，⊥，m，， 所以m， 因为中，⊥，， 所以， 由题意得：， 故， 在中，由正弦定理得：， 即， 故m， 故m故选：B 26．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 【答案】C 【解析】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到的关系式，从而利用基本不等式求得，由此得解. 由题可得，，即， 又，所以，则， 因为，所以，则， 所以，即， 又因为，， 所以，整理得， 所以， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 故周长的最小值为. .故选：C. 27．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得. ，，即， ， ，则故选：D 28．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解 ∵， ∴， ∴， ①当时，，为直角三角形． ∵，，∴； ②当时，则有，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得， 综上，或．故选：C． 29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得到B的取值范围，先求出，，再根据正弦定理得到，再结合二次函数性质即可求得的取值范围． ，，，， 由正弦定理可得， 令，则， 由二次函数性质知，．故选：C． 30．在锐角中，角的对边分别为，.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理得，进而可得，结合锐角三角形求A的取值范围，利用三角恒等变换整理得，换元结合对勾函数求取值范围. 【详解】∵，由正弦定理可得， 则 ， 即， 又∵，则， ∴， 又∵，则，即， 由题意可得，解得， ∵，则， ∴ 令，且在上单调递减，则， 故的取值范围为.故选：C. 31．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理及两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解. 因为， 所以， 整理得， 因为，所以． 又，所以． 因为的面积为，， 所以，解得，， 所以，则．故选:D. 2． 多选题 1.（多选）一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【解析】锐角三角形的三边长为，，其充要条件为：最大角的余弦值大于零. 结合三角形大边对大角可知： 较小两边平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形. 所以对于A，，符合； 对于B，，不构成三角形三边，不符合 对于C，，不符合； 对于D，，符合.故选：AD． 2.（多选）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．a>c C．c>a D． 【答案】ACD 【解析】由正弦边角关系知：，则， 所以，而，则，A正确； 由上知：，即，B错误，C正确； 由知：， 则， 又，故，则，即，D正确.故选：ACD 3.（多选）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，，，则只有一解 【答案】ABD 【解析】对于A，因为的三个角满足， 所以由正弦定理化简得，设，为最大边， 由余弦定理得， 所以为钝角，所以是钝角三角形，故A正确； 对于B，由及正弦定理，得,解得，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误； 对于D，由正弦定理得，解得， 因为,所以，所以只有一解，故D正确.故选：ABD. 4.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BC 【解析】由题设，则，即，故， 所以不为钝角，否则、都为钝角，则， 又，即， 整理得，故， ，且为三角形内角，则， 综上，的面积， 故A、D错误，B、C正确.故选：BC 5.在中，已知，下列结论中正确的是（    ） A．这个三角形被唯一确定 B．一定是钝角三角形 C． D．若，则的面积是 【答案】BC 【解析】设，然后结合正弦定理，余弦定理分别对选项进行判断，即可得到结果. 依题意可设，则 对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误； 对于B，因为， 所以，则三角形为钝角三角形，故B正确； 对于C，由正弦定理可知，，故C正确； 对于D，因为，即，即， 又因为，所以 则，故D错误.故选:BC. 6.的内角的对边分别为，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，是等腰三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】由三角形大角对大边，结合正弦定理可知A正确；根据余弦函数在上的单调性可知B正确；由正弦值相等可知或，由此可知是等腰或直角三角形，知C错误；利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得，由此可得，知D正确. 对于A，当时，，由正弦定理可知：，A正确； 对于B，，在上单调递减，当时，，B正确； 对于C，当时，或，或， 是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由正弦定理得：，， ，，，即， 是等腰三角形，D正确. 故选：ABD. 7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，且的面积为，则的最小边长为2 C．若时，是唯一的，则 D．若时，周长的范围为 【答案】ABD 【解析】根据题干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根据各个选项的条件逐一求解即可. 对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得： ，整理得： ，即。 ，则，故A选项正确； 对于选项B：因为，且的面积为，则由正弦定理得，而又 ，解得，所以，而，由余弦定理得：,则，所以三角形中边长为最小边，，故B选项正确； 对于选项C：当时，而又，由正弦定理，即，唯一， ，故C选项错误; 对于选项D： ， ， 则有 即，而， 所以周长 的范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 8．（多选题）如图，的三个内角对应的三条边分别是，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AB 【解析】在，因为，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或（舍去），所以A正确； 由且，可得为等腰三角形，所以， 所以，解得，所以B正确； 又由， 在直角中，，可得，所以， ，所以，可得， 所以C错误； 又由的面积为，所以D错误. 故选：AC. 9．（多选题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则下列选项正确的是（  ） A． B．若，则 C．外接圆的半径 D． 【答案】CD 【解析】对A、C：由题知，得，代入， 得，即，得， 故C正确， 则，故A错误； 对B：若，则，故B错误； 对D：因为，所以， 所以， 由，得， 所以，即，故D正确. 故选：CD. 10．（多选题）在中，三个内角所对的边分别为，若，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C．为直角三角形 D． 【答案】AC 【解析】因为， 由正弦定理得， 因为， 化简得， 则，， 所以，故A正确； 由余弦定理得， ， 即，即， 解得或， 当时，，则，， 当时，，则， ，故BD错误，C正确， 故选：AC 11．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ） A． B．向量，夹角的最小值为 C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为 【答案】AC 【解析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案. ，，故A对； ，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对； ，故D错. 故选：AC 12．已知的内角所对应的边分别是，它的外接圆半径为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的外接圆半径为1 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】根据正余弦定理，三角形内角关系，三角形面积公式结合基本不等式求最值即可得出结论. 解：因为，有正弦定理，得 所以，又，所以，则，故A正确，B错误； 所以，则，所以的外接圆半径为1，故C正确； 由余弦定理，所以， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，则面积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 13．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 14．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（    ） A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则 【答案】ABD 【解析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确； 对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确； 对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误； 对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、 故选：ABD. 15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【解析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D. 由题意得在锐角中，， ∴由正弦定理可得 ， 又 ， 故 ，即， ，为锐角， ， 即 ，故选项A正确； 在锐角中，，，故B正确； 由，故C错误； , 又 ， ， 令，则， 由对勾函数性质可知，在时单调递增， ，， 故，故D正确． 故选： ． 16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（    ） A．当时，满足条件的三角形共有1个 B．若是钝角三角形，则 C．若，则 D．当时，的周长为 【答案】BD 【解析】对于A选项： 由余弦定理有：……① 代入①式有：……② 上式判别式 故②式无解，即不存在，故A选项错误. 对于B选项： 当时，； 故显然成立； 当时，……③ 对③式两边同乘以有：； 当时，； 故显然成立； 综上所述三种情况都有：恒成立，故B选项正确； 对于C选项： 当时，， 当时，时，得不出， 故C选项错误. 对于D选项： ……④ 上式化简有： 即：……⑤ 由⑤式得： 故, 所以， 故. 故D选项正确.故选：BD. 17.已知中，内角，，满足，则下列不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项A，不妨取，满足， 但不成立，故A错误； 对于选项B，由，得， 即， 构造函数，则， 故在上单调递减  . 因为，所以，故， 可得  . 因为在上单调递增，所以，即  . 因为在上单调递减，所以，即  . 可得，故B错误； 对于选项C，因为，，即， 可得，故C错误； 对于选项D，因为，即， 由正弦定理， 可得， 即，故D正确  .故选：ABC 3． 填空题 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则=___________. 【答案】 【解析】∵A：B：C=1：2：3，，∴ ∴由正弦定理得： 2.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则三角形外接圆半径为_____________． 【答案】## 【解析】因为，， 由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为. 3.边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________． 【答案】 【解析】设边长为10，14，16分别对应边a，b，c， 由余弦定理得：, 因为，所以，则， 故三角形中最大角与最小角的和为. 4.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】根据余弦定理和正弦定理得到：， 即，故，，故. 5.在中，.若为锐角三角形，则外接圆的面积的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由锐角三角形列出不等式，解出，再由正弦定理得到三角形外接圆半径的取值范围，然后计算出外接圆的面积的取值范围. 在锐角中，解得.所以.故外接圆的面积. 故答案为： . 6.如图，在平面四边形中，，，，，则___． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值. 在中，由正弦定理可得：， 所以①， 在中，由正弦定理可得：， 所以②， 又因为，所以由①②可得：， 解得：， 所以在中，由余弦定理得： ， 解得： . 故答案为: . 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，则△ABC面积的最小值为______． 【答案】 【解析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值. 本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养． 因为，所以． 由余弦定理易得，又所以． 因为AD平分角A，所以∠BAD＝∠CAD＝60°． 由，得， 即，得，当且仅当b＝c时，等号成立，所以△ABC面积的最小值为． 故答案为：． 8.如图所示，在等腰直角中，为中点，分别是线段上的动点，且，当时，则的值为 . 【答案】 【解析】因,则,, 又为中点，则,, 设,则由余弦定理，，同理 ， 在中，由余弦定理，， 在中，，故得，， 化简得，，解得，（舍去）， 故.故答案为：. 9.在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则 ． 【答案】5 【解析】因为， 所以的最大内角为边长的边所对应的角， 因为最大角的正弦值为，又对于非等边三角形，最大角大于， 所以最大角的余弦为， 由余弦定理可得，又 所以.故答案为：. 10．中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 【答案】/ 【解析】 如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，，故答案为： 11．在中，若，，则 ． 【答案】 【解析】由正弦定理得， 所以， 所以，故答案为：2 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【解析】在中，， 由余弦定理得，即，解得或（舍去）. 由正弦定理得，即 解得，， 所以.故答案为：. 13．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然后由余弦定理求得，再由面积公式计算． ∵，， ∴， ∴，展开得， ∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故， ∴， ∴，， 所以的面积.故答案为：． 14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA=2csinB，cosB=，b=3，则△ABC的面积为________． 【答案】## 【答案】见解析 【解析】由已知结合正弦定理可得，然后利用余弦定理可求，.再由同角关系求，并利用三角形的面积公式求三角形面积． 由结合正弦定理得，，又， 所以， 因为，， 由余弦定理可得，， 解得，，， 因为， 所以， 则的面积． 故答案为：. 15．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可. 由及正弦定理，得 所以或， 故是等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形 16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】根据正弦定理和余弦定理得到，解得答案. 根据余弦定理和正弦定理得到：， 即，故，，故.故答案为： 17.若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，所以，所以， 因为，所以. 因为外接圆的半径为，所以，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，即. 令， 根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以，即， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 18.如图，已知为等边三角形，点 G是的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点设，，且设的周长为，的周长为，设，记，则 ，的值域为 . 【答案】 3 【解析】连接 AG并延长，交 BC于点 F，则 F为 BC中点， 所以，又G为重心， ， 又三点共线，，; 设的边长为1，则， 在中， ， ， ， ， ， . ，， 又， ，， ， ，故答案为：3；. 19.在锐角中，角的对边分别为，，，若，则 ，的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理得， 故，即， 因为，所以，故， 因为，解得. ， 其 ， 所以. 因为为锐角三角形，故，， 解得，所以， 所以，， 从而 故答案为：， 20.在锐角中，内角的对边分别为．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以由正弦定理边化角得， 又因为， 对比即得， 整理得，由正弦定理边化角得， 又， 所以， 化简得， 逆用两角差的正弦公式得， 因为是锐角三角形， 所以， 所以，即， 所以， 解得， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 21．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，从而可表示出的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案. 由题意在中，满足，即, 即，而， 故，又, 则，同理， 故 ， 又,故， 则， 故答案为： 22．在中，内角、、的对边分别是、、，且.若是边的中点，且，则面积的最大值为______. 【答案】 【解析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角，分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果. ，由正弦定理可得， 即，由余弦定理可得. ，. 是边的中点，， ，所以， 即，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，. 故答案为：. 4． 解答题 1.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)如图所示，当取得最大值时，若在所在平面内取一点与在两侧），使得线段，，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）若选①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 若选②，利用余弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 若选③，利用余弦定理计算可得； （2）由（1）得，，则，利用三角恒等公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）由（2）求出，令，，，利用正弦定理、余弦定理得到，，再根据面积公式及三角恒等变换公式计算可得； (1)解：若选①：因为，由正弦定理得， 所以． 整理得，所以， 又，所以； 若选②：因为由余弦定理得，化简得，， 所以，又，所以； 若选③：因为，由余弦定理得， 化简得，又，所以； (2)解：由（1）得，，得， 所以， 由，所以，所以的取值范围是； (3)解：当取得最大值时，，解得； 令，，，则由正弦定理可得：，∴； 又由余弦定理得：， ∴，∴． ，当时等号成立； ∴面积的最大值为． 2.在中，角对应的边分别为，已知. (1)若，求周长的最大值； (2)若，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用余弦定理集合基本不等式可求得，即可得，从而求得周长的最大值； （2）解法一，由条件可得，由余弦定理得，再由正弦定理边化角得，化简可证明结论； 解法二，由，且，可得，由余弦定理推得，再结合正弦定理可得，可证明结论. (1)因为，且，由余弦定理可知，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即周长的最大值为； (2)因为，且，所以， 由余弦定理可知，，所以， 由正弦定理可知，， 因为，所以， 所以， 又因为，所以，即. （2）解法二：因为，且，所以. 由余弦定理得， 即,由正弦定理得. 由于，所以，或. 若，则是以为斜边的等腰直角三角形，此时， 故成立. 3.已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为， (1)求角； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角;(2)根据正弦定理以及三角形面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围. （1）因为，由正弦定理可得， ，且 且 故 所以，. （2）由正弦定理可得，，且 则， 由(1)知，则，且是锐角三角形， 即，， 所以，即， 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若C＝9A，b＝2，求a； (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用余弦定理结合已知可求出的关系，从而可求出，再利用正弦定理即可得出答案； （2）由（1）可知B＝2A，再根据△ABC是锐角三角形，求得的范围，将所求化边为角，利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质即可得解. (1)解：因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 即， 则， 化简得， 所以或， 所以或（舍去）， 因为，，所以，，， 则， 因为， 所以； (2)解：由（1）可知B＝2A，因为△ABC是锐角三角形， 所以，即，解得， 则， 因为，所以的取值范围为． 5.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）因为，即， 所以．因为，所以； （2）由余弦定理得，所以，即．① 因为，所以．② 将②代入①，得， 整理得．因为，所以． 6.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积． （1）求C； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）因为，由正弦定理得：， 即，即， 因为，所以，即， 由得：. （2）由得：，即，即， 由余弦定理可得：， 故，则， 令，则，解得， 由正弦定理得：，故的值为或． 7.在中，角所对的边分别为．已知． （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，由余弦定理可得， 可得，因为所以． 由，则， 正弦定理得：，则． （2）因为， 所以． 8.在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的大小； （2）和的值． 条件①：；条件②：． 【答案】（1）若选择①：；若选择②： （2）若选择①：，；若选择②：． 【解析】（1）选择①：． 在中，因为，， 所以由正弦定理得． 因为，所以．所以．所以． 选择②：． 在中，因为，， 所以由正弦定理得． 在中，，所以．所以． （2）选择①：． 因为，所以．所以． 因为，所以． 所以． 所以． 由正弦定理得，即． 因为，所以． 选择②：． 因为，所以．所以． 因为，所以． 所以． 所以． 因为，所以． 由正弦定理得，所以． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a，b． 【答案】(1)；(2)a=b=4 【解析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果； （2）根据三角形面积得，再结合余弦定理可求出结果. （1）依题意由得， 根据正弦定理得， 则， 则， 所以， 由于，所以，所以， 所以，则， 由于，则． （2）由题意：，所以ab=16． 又由余弦定理以及c=4， 得，所以，所以，所以a=b=4． 10．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知． (1)若，证明：△ABC为等腰三角形； (2)若，求b的最小值． 【答案】(1)证明过程见详解；(2) 【解析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形； （2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值． （1）因为，，所以由余弦定理可得，即， 整理得，即，所以△ABC为等腰三角形． （2）因为， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得， 又，所以， 所以， 当时，取最小值，且最小值为． 11．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围. （1）由及余弦定理 得， 由正弦定理得：， 又， ， ， ， 都是锐角， ，即. （2）令 ， 由（1）得， 在锐角三角形中，，即， 解得，， 令，， 又函数在上单调递增， ， 故的取值范围是. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，内切圆的面积为，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解； (2)利用等面积法可得，从而得，再根据余弦定理，联立方程组求出，从而可求三角形的面积. （1）因为，所以， 所以 因为，所以． 所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以． （2）因为内切圆的面积为，所以内切圆半径． 由于，所以，① 由余弦定理得，， 即，② 联立①②可得，即， 解得或（舍去）， 所以． 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若O是的内心，，且，求面积的最大值. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）由正弦定理进行边变角，可得到，即可求得答案； （2）由余弦定理可得，则，在中，利用余弦定理可得到，即可求得最大面积 （1）因为，所以， 由正弦定理得， 所以，因为，所以， 因为，所以或 （2）因为，且，所以由余弦定理得，所以A为锐角，由（1）知. 因为是的内心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以面积的最大值为. 14．记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点. (1)证明：； (2)若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由结合三角形面积公式和余弦定理，解得，再根据角平分线和面积公式由得，化简既可； （2）由内角平分线定理结合（1）中的结论，求出，再由余弦定理求，可得三角形周长. （1）由可知，， 所以，又，故，如图所示， 所以，得， 化简整理得； （2）因为，故，所以，又， 化简得，解得，又， 故，所以的周长为. 15．在中，已知． (1)求； (2)若是边上的一点，且，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，利用正弦定理角化边，再由余弦定理边化角，化简得，可求； （2）由，可得，两边平方得，化简后利用基本不等式可得， 可求面积的最大值. （1）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，故 ，又C为三角形内角， . （2）， 由，则，可得， 则有，即， 整理得到，当且仅当 时等号成立， 所以，故面积的最大值为 . 16.某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．    (1)设，试用表示； (2)为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由． 【答案】(1)；(2)当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250. 【解析】（1），， ，，， 设,，则,， 则，， 则，则， 即， 即 则， 则， 则 则 则， 则， 则， 则， 则， 则， 即，即， 即. （2）设， 由（1）得， 则， ， ， ， ，， ， 要使花卉育苗区的面积最大，则，即， 故当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250. 17.已知函数. (1)若为函数一个零点，求. (2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，即有， 则 ； （2）， 则，故， 又，即有，故， 由， 则， 故， 又， 故有： ， 由为锐角三角形， 故有，解得, 故， 故， 故， 又， 故. 18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)若，求C； (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1)或(2) 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或者， 由，得，从而， 由得 ， ∴，则，而，故 综上，或； （2）∵，∴，即， 由（1）知，， 又，∴， ∴， 由正弦定理，，， ，当且仅当时取等号， ∴的最小值为. 19.在中，，，所对的边分别为，，，已知. (1)若，求的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故，得. （2）在中，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故. 据正弦定理，可得， 所以， 即， 所以，， 因为，所以，或， 即或（舍）. 所以. 因为是锐角三角形，所以得， 所以，故， ，所以的取值范围是. 20.如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．    (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意，即，故，因为Q为线段AP上一点， 设， 又，， 即，又不共线， 所以，解得， 所以； （2）， 由（1）知，， ， 所以 ， 设， 当时，，所以的最小值为 （3）在△ABP中，，． 在△QPC中，设，， 在△ABP中，，即，，，， 在中，，即， ， 所以的周长． 代入上式得：． 令． ，而． 在中，，，，， ，，即 又． ，设，则， 即，，得，即， ，设，则， 即，，得，即， ， ， 所以， 因此的周长的取值范围是． 21.重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 22.已知的内角，，的对边分别为，，，，设，且. (1)求角的大小； (2)延长至，使，若的面积，求的长. 【答案】见解析 【解析】（1）由可知， 即，可得. 由可得，由正弦定理可知， 因为，所以，因此或. 分别代入， 当时，，不成立. 因此. （2）由，可知，即，因此为等边三角形，即， ，整理得，即， 在中，. 因此的长为. 23.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角所对的边分别为，已知_________． (1)求； (2)若，且，求的周长． 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）选择条件①：因为， 在中，由余弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 因为， 所以， 选择条件②：因为，所以， 由正弦定理得. 即， 则， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为，所以，即， 即， 又因为， 所以， 由于，所以的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以的周长为. 24.如图，梯形中，，．    (1)求证：； (2)若，，求梯形的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）连接，由，得，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，则， 而，所以. （2）由（1）知，又，则， 而，于是，，， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得：， 于是，解得或， 当时，连接，在中，由余弦定理得： ， 解得，而此时，矛盾， 当时，，解得，符合题意， 此时梯形的高， 所以梯形的面积. 25.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若，，求△ABC的面积. 【答案】见解析 【解析】（1），即，， 也即，，解得，又，故. （2），，也即，由余弦定理可得，即，， 解得，故. 26.在中，三个内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)延长至点，使满足：，求. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，由余弦定理可变形为， 所以，由正弦定理得， 所以， 所以，所以， 因为，所以，又，所以. （2）在中，由（1）可知，所以， 由正弦定理可得， 所以， 在中，因为，所以， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即， 整理化简得，所以. 27.在中，内角的对边分别为，若. (1)求的值； (2)若的周长为5，求外接圆的半径与内切圆半径的比值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，即. （2）由（1）知，所以，又的周长为5，所以， 由余弦定理得，所以，解得， 因为，且，所以， 所以，从而， 由正弦定理得，所以，所以. 28.的内角、、的对边分别为、、． (1)请利用向量方法证明：； (2)若为锐角三角形，请利用向量方法证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：在中，， 所以，， 即； （2）证明：过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为， 与的夹角为， 因为，且，则，即， 所以，，即， 因为为锐角三角形，则，同理可证， 因此，. 29.某同学为了估算教学楼的高度，在教学楼的附近找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上取点使、、三点共线，在点处测得建筑物楼顶以及教学楼楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，则此同学估算该教学楼的高度是多少？ 【答案】见解析 【解析】如图所示，在中，， 所以， 根据题意，可得， 在中，由正弦定理得， 可得， 在直角中，. 所以估算此教学楼的高度是. 30.的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若点D在BC边的延长上，且，证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又， 所以化简为. 又，所以. 因为，所以. （2）因为， 所以， 所以. 由（1）可知：，所以 所以，， 所以. 31.请从“①；②.”两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______. (1)求A； (2)设AD是的平分线，且面积为，求线段AD的长度. 【答案】见解析 【解析】（1）若选①，在中，由， 得， 即，而，因此，又， 所以. 若选②，由，得， 在中，，即，解得，即， 所以. （2）因为，且面积为，， 由AD是的内角平分线，得， 显然，因此， 即，解得， 所以. 32.在中，C为钝角，. (1)求C； (2)若b＝6，且的面积为，求的周长. 【答案】见解析 【解析】（1）因为C为钝角，所以，所以， 因为， 所以，所以； （2）因为三角形的面积为，所以a＝4. 由余弦定理，可得， 所以， 所以的周长为. 33.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且. (1)求C； (2)若，，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求. 【答案】见解析 【解析】（1）依题意，由正弦定理得， 由余弦定理，，则， 则，因为，所以. （2）如图所示，因为，，所以， 又因为CD为的平分线，所以，. 因为，所以在中，， 又，所以为等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即，得. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 高考正余弦定理讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：正弦定理解三角形 6 题型02：余弦定理解三角形 8 题型03：边角互化 11 题型04：三角形解的个数判断 14 题型05：三角形的形状问题 18 题型06：三角形的面积 32 题型07：三角形面积最值范围问题 39 题型08：三角形四心 53 题型09：三角形的中线问题 59 题型10：三角形的角平分线问题 64 题型11：三角形的垂（高）线问题 72 题型12：利用均值不等式求范围问题 77 题型13：利用三角函数求范围问题 87 题型14：角度边长周长等最值取值范围问题 89 题型15：多三角形问题 106 题型16：解三角形的实际应用 111 题型17：正余弦定理与向量综合 134 题型18：正余弦定理与三角函数综合 143 题型19：解答题 151 题型20：新定义问题 158 巩固提升 162 一． 单选题 162 二． 多选题 179 三． 填空题 191 四． 解答题 202 1. 考频：高频必考点，选择/填空/解答题均会涉及，解答题常作为三角大题第一问，或结合解三角形、三角函数性质、向量综合考查 2. 分值：5~12分，基础题+中档题为主，极少出难题，是必须拿满的分数板块 3. 核心考向：①边角互化求边长/角度；②判断三角形形状；③求三角形面积；④结合最值（均值不等式、三角函数值域）考查 1. 熟记正余弦定理公式及变形，能快速根据已知条件选对定理 2. 掌握边角互化核心技巧，突破“边化角、角化边”关键转化 3. 会结合三角形内角和、三角恒等变换解综合题，规避易错点（如多解问题） 4. 熟练计算三角形面积，能应对与面积相关的最值、范围问题 知识点1 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 3、正弦定理解决的两类问题 类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点2 余弦定理 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点3 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3）（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； （4）(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 知识点4 三角形形状的判断 1、利用余弦定理判断三角形 （1）为直角三角形或或 （2）为锐角三角形，且，且 （3）为钝角三角形，且，且 （4）若，则或 2、利用正弦定理判断三角形 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 技巧一.边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 技巧二.三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 技巧三.角平分线问题处理方法 1.角平分线“拆”面积： 2.角平分线定理性质： 3.利用等角的余弦定理：cos∠BAD=cos∠CAD 4.大三角形与小三角形同时使用余弦定理：cos∠BAC=cos2∠BAD . 技巧四.中线的处理方法 1.向量法： 2.双余弦定理法（补角法）： 如图设，在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式即可 3倍长中线法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4. 中线分割的俩三角形面积相等. 技巧五.高线的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 四、解题策略（分题型+秒杀技巧） 题型1：已知两角一边（AAS/ASA）→ 优先用正弦定理 1. 步骤：①用内角和求第三角；②正弦定理求剩余两边；③求面积（可选） 2. 技巧：无需讨论，唯一解，直接代公式计算即可 题型2：已知两边及一边对角（SSA）→ 必用正弦定理，重点防多解 1. 步骤：①正弦定理求对角的正弦值；②根据“大边对大角、正弦值≤1”判断解的个数；③求剩余边角 2. 易错点：sinθ有锐角/钝角两解，需结合边长验证取舍 题型3：已知两边及夹角（SAS）/ 已知三边（SSS）→ 优先用余弦定理 1. SAS题型：①余弦定理求第三边；②余弦定理/正弦定理求剩余角；③面积用已知夹角的面积式 2. SSS题型：①余弦定理求最大角（避免多解）；②正弦定理求剩余小角；③验证内角和为π 题型4：判断三角形形状→ 边角互化是核心 1. 策略1（边化角）：转化为三角恒等式，利用三角变换化简（如\sin2A=\sin2B→A=B或A+B=π/2） 2. 策略2（角化边）：转化为整式方程，因式分解（如a²=b²→a=b；a²+b²=c²→直角三角形） 题型5：三角形最值/范围问题→ 2大核心解法 1. 角的范围：用余弦定理+均值不等式（如a²+b²≥2ab，求\cos C最小值） 2. 边的范围：用正弦定理+三角函数值域（转化为A的三角函数，结合A∈(0,π)求最值） 高频易错点避雷 1. 忽略三角形隐含条件：大边对大角，内角∈(0,π)，两边之和大于第三边 2. 多解问题漏取舍：SSA题型必验证，正弦值对应两角度时，看是否符合边长关系 3. 公式用错：求角优先用余弦定理（结果唯一），求边优先用正弦定理（计算简便） 题型01：正弦定理解三角形 【典型例题1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由正弦定理即可求解.由正弦定理，得， 又，所以，所以为锐角，所以．故选：C． 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______. 【答案】 【解析】由题知，，，在中，由正弦定理，得， 所以，解得，因为中，，所以，所以. 【变式训练1-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式训练1-2】已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 【变式训练1-3】已知的三个内角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】在中,已知,,,则角的度数为（ ） A． B． C．或 D． 【变式训练1-5】中，若，，则_________ 题型02：余弦定理解三角形 【典型例题1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（ ） A． B． C．92° D．135° 【答案】B 【解析】， 设， 最大，即最大， ， 又，.故选：B. 【典型例题2】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解 ∵， ∴ ， ∴， ①当时，，为直角三角形．∵，，∴； ②当时，则有，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得， 综上，或．故选：C． 【典型例题3】一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=4，BC=6，则DE=________. 【答案】 【解析】根据给定条件，利用余弦定理求出AB长即可作答. 依题意，在中，，则，而AC=4，BC=6， 由余弦定理得：， 矩形中，. 故答案为： 【变式训练2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______. 【变式训练2-2】在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______. 【变式训练2-3】已知在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】（多选）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（ ） A．4 B．5 C． D． 【变式训练2-5（1）在中，已知，求的值； （2）在中，已知，解这个三角形． 题型03：边角互化 【典型例题1】在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可. 解：因为， 所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A 【典型例题2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______. 【答案】 【解析】根据正弦定理可知，， 所以， 而，所以. 【变式训练3-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式训练3-2】已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ） A．2 B． C．4 D．16 【变式训练3-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知的内角所对的边分别为，，则角______. 【变式训练3-5】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求. 【变式训练3-6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的大小． 题型04：三角形解的个数判断 【典型例题1】（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，. 【答案】AD 【解析】对于A，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，A正确； 对于B，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，B错误； 对于C，由正弦定理得：，无解，C错误； 对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ） A．4 B．5 C．7 D．10 【典型例题3】在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意在中，若，则, 由正弦定理得， 可解，则需有，解得， 故边a的取值范围是. 【变式训练4-1】在中，若，则此三角形（ ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【变式训练4-2】在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式训练4-3】在中，内角，，对应的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练4-4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练4-5】判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________. ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【变式训练4-6】已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为___________. 【变式训练4-7】在中，、所对的边长为、，，. （1）若，求； （2）讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 题型05：三角形的形状问题 【典型例题1】在中，若，，则形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.因为, 所以, 因为 所以， 所以，可得或， 又因为，,所以 所以，，， 所以为等边三角形.故选：C. 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果. 在中，， ，即， 则为直角三角形，故选：B. 【典型例题3】将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的 【答案】A 【解析】不妨设为斜边，则，各边增加1之后，为三边中最长的边，所对角为新三角形的最大角，设新三角形最大角为，计算，分析正负，即得解. 由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故， 各边增加1，可得三边长为：， 此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角， 不妨设新三角形最大角为，故， 由于，，为三角形的三条边，故，，又 为锐角， 因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.故选：A 【典型例题4】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． ∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形，故选：C． 【典型例题5】在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 化简可得， 即， 即，所以或， 即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：A 【典型例题6】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形.故选：D. 【变式训练5-1】已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 【变式训练5-2】若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练5-3】已知在中，，且，则该的形状为（    ）[附：] A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式训练5-4】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（    ） A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练5-5】已知内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练5-6】在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式训练5-7】（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，边上的高为，则为等腰三角形 B．若，，，则为直角三角形 C．若，，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 【变式训练5-8】在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式训练5-9】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式训练5-10】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练5-11】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ） A．A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 【变式训练5-12】（多选题）（22-23高一下·山东泰安·期中）中，分别为内角的对边，则（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则 【变式训练5-13】长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【变式训练5-14】（多选题）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 【变式训练5-15】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式训练5-16】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练5-17】（多选）在中，分别为的对边，（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【变式训练5-18】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题： ①若，则为锐角三角形； ②若，则为等腰三角形； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为 ． 【变式训练5-19】在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是__________． 【变式训练5-20】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________ 【变式训练5-21】对于三角形形状的判断，以下说法正确的有： ①若，则为等腰三角形； ②若，则为等边三角形． ③，则为直角三角形． ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则为钝角三角形． 题型06：三角形的面积 【典型例题1】几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦定理确定，外接圆圆心为对应等边三角形的中心，确定，利用勾股定理得到，为等边三角形，计算面积即可. 中，，故，，故，，， 外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接，， 则，故， ，，故， ，，则， 根据对称性知：，故为等边三角形， 其面积.故选：C. 【典型例题2】中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∴，展开得， ∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故， ∴， ∴，， 所以的面积. 【典型例题3】已知在中，角的对边分别为，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则角的大小是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由韦达定理可求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得结果. 由于是方程的两个实数根，由韦达定理可得， 据题意，得，. ，解得或. 故选：D. 【典型例题4】在中，分别是角所对的边.若，的面积为，则的值为______ 【答案】 【解析】先根据三角形的面积公式求出边，再利用余弦定理即可得解. 由，的面积为， 得，所以， 则， 所以.故答案为：. 【典型例题5】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，得，即， 因为，所以， 所以，所以； （2）由余弦定理得， 即，解得， 所以． 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，已知点P（cos t，sin t），A（2，0），当t由变化到时，线段AP扫过的区域的面积等于    （    ） A．2 B． C． D． 【变式训练6-2】如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________． 【变式训练6-3】在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________． (1)求角A的大小； (2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积． 【变式训练6-4】在中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【变式训练6-5】在中，若，，的面积为，则的值为 . 【变式训练6-6】在中，角的对边分别为，且，则的面积为 . 【变式训练6-7】记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______. 【变式训练6-8】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【变式训练6-9】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求的值． 题型07： 三角形面积最值，范围问题 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【解析】因为，所以由正弦定理得， 则， 因为，所以， 所以，则， 由余弦定理可得，即， 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立， 连结，因为，所以， 所以，则，， 则． 故答案为：. 【典型例题2】已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. (1)求的取值范围； (2)若，求三角形ABC面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且都为锐角，所以， ， 所以，由正弦定理可得， 又，所以， 整理得，即有， 所以，即，所以. 在锐角三角形中，,且，所以； 令，则，， 令，则， 因为，所以，所以为增函数， 又，所以，即的取值范围是. （2）由（1）得. 因为，由，得； 设三角形ABC的面积为,则 ， 因为，所以， 设，，，，为减函数， 所以，所以. 【典型例题3】如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏. (1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）； (2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围. 【答案】(1)百米；(2)， 【解析】（1）解：因为点是等腰三角形的顶点，且，， 所以，由余弦定理可得，，解得， 又因为，故， 在中，，，所以， 在中，由余弦定理可得，， 解得，故， 所以连廊的长为百米． （2）解：设图②中的正的边长为，， 则，， 设， 则， ， 所以， 在中，由正弦定理可得，， 即， 即 即（其中为锐角，且， 所以，即； 图③中，设，， 因为，且， 所以，，， 所以， ， 所以， 所以当时，取得最大值，无最小值，即，故 【变式训练7-1】某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为 ． 【变式训练7-2】如图，在等边中，，点分别在边上，且，，    (1)用表示; (2)若为等腰直角三角形，求的取值范围； (3)若，求的面积的最小值 【变式训练7-3】如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长； (2)若点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 【变式训练7-4】从①；②；③； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值． （注：若选择多个条件，按第一个解答计分） 【变式训练7-5】在中，角所对的边分别为，且. (1)求的最大值； (2)若，，求面积的最大值. 【变式训练7-6】如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为. (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值. 【变式训练7-7】已知中，角、、所对的边分别是、、，，且． (1)求角． (2)，为所在平面内一点，且满足，求的取值范围，并求当取得最大值时四边形的面积．(四点按逆时针排列)． 题型08： 三角形四心 【典型例题1】三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，是的垂心，分别交于，则是的（    ）    A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】因为是的垂心，所以， 所以，所以四点共圆，所以， 又因为是的垂心，，所以 所以，所以四点共圆，， 所以，即平分. 同理：平分，平分，所以是的内心.故选：A. 【典型例题2】（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有，，， 所以， 即，故B正确； 对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又，， 则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，，得到，，进而即可求解． 【典型例题3】已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的 （填三角形的四心） 【答案】外心、重心、垂心 【解析】由题：，所以O是外接圆的圆心 取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心 ，，， 即，同理可得，即P是三角形的垂心. 故答案为：外心、重心、垂心 【点睛】方法点睛：1、是的重心；2、是的外心；3、是的垂心 【变式训练8-1】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式训练8-2】在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练8-3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 题型09：三角形的中线问题 【典型例题1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得. 依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. 故选：D. 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________. 【答案】 【解析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可． 连接AO，延长AO交BC于D， 由题意得D为BC的中点，，所以， 因为， 所以，得. 故 故答案为： 【典型例题3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若是的中线，且，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解； （2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解. （1）由及二倍角的余弦公式，得， 即，于是有，及正弦定理，得， 由余弦定理，得， . （2）因为是的中线，所以，两边平方，得 ,由（1）知，，， 所以， 所以 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式训练9-1】在中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线长为，求. 【变式训练9-4】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【变式训练9-5】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 题型10：三角形的角平分线问题 【典型例题1】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 在中， ∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得， 在中，则，故选项A正确； 在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即， 由，解得，故选项C正确； 在中， ∵，则， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 【典型例题2】如图，四边形中，与相交于点，平分，，，则______．    【答案】 【解析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解； 在中，，，不妨记，则， 由余弦定理得 ， 所以， 由正弦定理得，则， 又平分， 所以. 故答案为：. 【典型例题3】在中，角的对边分别为，的面积为，且满足. （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在中求出角，再由正弦定理求出边、，再由结合三角形的面积公式即可求解. （1）在中，由余弦定理可得，所以 由三角形的面积公式可得， 因为，所以， 整理可得：，即， 因为，所以 （2）由（1）知：，为的角平分线， 所以，由可得 在中，由正弦定理可得：，即， 因为， 所以，， 由可得： 整理可得：，解得：， 所以线段的长为. 【变式训练10-1】在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 【变式训练10-2】在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【变式训练10-3】（多选题）已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（    ） A．若点是的中点，，则 B．若平分，则 C．三角形外接圆面积最大值为 D．若，且是的中点，则一定是直角 【变式训练10-4】在中，为的角平分线，若，，，则（    ） A． B． C． D．6 【变式训练10-5】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【变式训练10-6】在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 【变式训练10-7】已知的三个内角，，的对边分别为，，满足. （1）求； （2）若，，角的角平分线交边于点，求的长. 题型11：三角形的垂（高）线问题 【典型例题1】在中，角为锐角，已知外接圆的半径为，，___________，求BC边上的高. ①②③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】若选择条件①，根据正弦定理，和余弦定理求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件②，由正弦定理可知，再根据余弦定理，求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件③，根据正弦定理求，再根据余弦定理求，最后结合三角形面积公式，即可计算BC边上的高. 解：选①在中，由正弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： 选②：由 由正弦定理得： 由余弦定理得： 选③，由正弦定理得： 由余弦定理得：， ，即，， 解得：，， 【典型例题2】已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用两角和差的正弦公式求得，再结合同角的商数关系即可得出结论； （2）结合同角的基本关系求出，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. （1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=， 所以, ， 所以，即； （2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为. 【变式训练11-1】在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练11-2】已知中，角所对的边分别为边上的高为 (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【变式训练11-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值． 【变式训练11-4】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，且BC边上的高为，求a. 题型12： 利用均值不等式求范围问题 【典型例题1】若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图所示：    设，， ，， 由， 得 化简得，由是的外心可知， 是三边中垂线交点，得，代入上式得 ，所以， 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，. 所以， 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 所以，当且仅当“”时，等号成立. 所以的最大值为.故选：C. 【典型例题2】在中，是边上一点，且，若是的中点，则 ；若，则的周长的最大值为 . 【答案】 / / 【解析】因为是的中点，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 即，所以， 若，，，由上述知， 所以，则，故，则， 在中，由余弦定理得， 即 ， 则，即，当且仅当时，等号成立， 故，即的周长的最大值为.   故答案为：；. 【典型例题3】在中，角的对边分别为，，，满足，，则 ，的面积最大值为 ． 【答案】 12 3 【解析】由可得， 由，则，， 因为，所以，故， 又，， 则， 因为，所以， 则， 即， 故， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 则，则； 因为，则， 则， 当且仅当，即时取得等号．故，面积最大值为．故答案为：12，3 【变式训练12-1】在中，已知，则的最大值为 ． 【变式训练12-2】．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（  ） A．16 B． C． D． 【变式训练12-3】在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-5】在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【变式训练12-6】如图，在四边形中，，，，.    (1)若，求； (2)求的最大值. 【变式训练12-7】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，. (1)求B及a，c； (2)若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值. 【变式训练12-8】在中，角所对的边分别为． (1)求的最大值； (2)求的取值范围． 题型13：利用三角函数求范围问题 【典型例题】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理边化角可得，由△ABC为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域. ∵，即：，，∴， ∴由正弦定理得：，即：， ∴， ∴或，解得：或（舍）， 又∵△ABC为锐角三角形，则， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即的取值范围.故选：B. 【变式训练13-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练13-2】已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型14：角度边长周长等最值取值范围问题 【典型例题1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故选：D. 【典型例题2】记锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由正弦边角关系知：， 所以，故或（舍），则， 而，，则，且， 又， 则， 令，则，仅当时等号成立， 当时，，当时，， 综上，. 故答案为： 【典型例题3】中，已知，，为上一点，，. (1)求的长度； (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设，，则. 在与中，由余弦定理知： ，即， ，即. ， ，可得. ， ，即.解得，. . （2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径. 为外接圆上任意一点， 当在点时，. 当在点时，. 当在优弧上时，， 设，则. 中，由正弦定理知，. ， 当时，的最大值为. 当在劣弧上时，， 设，则. 中，由正弦定理知，. . 当时，的最大值为. 综上，的最大值为. 【典型例题4】在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．    (1)若，求的长度； (2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为的角平分线，， 所以， 因为 所以，             所以. （2）在中，由正弦定理得，， 所以，     又，则， 又，所以，又，则.                                     在，由正弦定理得，， 所以 ，                    因为是锐角三角形，所以，于是， 则，所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为. 【变式训练14-1】在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】中，，是角的平分线，且，则的最小值为（    ） A． B． C．    · D． 【变式训练14-3】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练14-4】（多选）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为 【变式训练14-5】设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-6】在锐角中，，则角的取值范围为______，的最小值为______. 【变式训练14-7】1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是 . 【变式训练14-8】我国南宋著名数学家秦九韶（约）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是．现有满足，且的面积是，则的周长为 ． 【变式训练14-9】设的内角所对的边分别为，若，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【变式训练14-10】已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④. (1)求的长； (2)为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围. 上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一. 你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程. 【变式训练14-11】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【变式训练14-12】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 【变式训练14-13】记的内角的对边分别为，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，当的周长最小时，求的值． 【变式训练14-14】在中，角、、所对的边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 题型15：多三角形问题 【典型例题1】如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，° (1)求的值； (2)求sinC的值； (3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=，求BD的长. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由余弦定理即可求解. （2）由正弦定理即可求解. （3）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可. （1）由余弦定理得：＝7 ∴ （2）由正弦定理：得. （3）如图所示： 过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300， ∴，，在Rt中，=.       ∴        ∴ ∴ 【典型例题2】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得； （2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得． （1）由已知， 所以； （2）设，则，，， 由正弦定理得， ，， ， ， 是锐角，，故解得， 由正弦定理，所以． 【变式训练15-1】如图，在中，已知是边上的一点，. (1)求； (2)求的长. 【变式训练15-2】如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)求； (2)过点A作，交线段于点，且，求． 【变式训练15-3】兰州市新开的滑冰馆备受年轻人的喜欢，此馆的平面设计如图所示，其中区域为休息区，，，区域为滑冰区，．现为了安全起见，将滑冰区周围筑起护栏．若，求护栏的长度（的周长）.    【变式训练15-4】在平面五边形ABCDE中，已知， (1)当时，求DC； (2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围． 题型16：解三角形的实际应用 【典型例题1】某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度． 在Rt△ABM中，有， 在△ACM中，有，，， 由正弦定理得， 故， 在Rt△CDM中，有， 又， 则．故选：C． 【典型例题2】某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离. ①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离； ③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离. 综上可得，一定 【典型例题3】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米.故选：A 【典型例题4】某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（    ） A．50米 B．100米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】根据题意作出示意图，如图所示， 设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，， 所以米，米， 在中，，， 由余弦定理得， 即，整理，解得不符合题意，舍去）． 综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米．故选：． 【典型例题5】一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【解析】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时.故选：A. 【变式训练16-1】湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练16-2】如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为 米（精确到1米）． 【变式训练16-3】在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为 ． 【变式训练16-4】在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 小时.（注：） 【变式训练16-5】如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为 （）． 【变式训练16-6】如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【变式训练16-7】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    【变式训练16-8】南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为 m．    【变式训练16-9】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【变式训练16-10】如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示） 【变式训练16-11】目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°. (1)求出山高BE（结果保留整数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？ 参考数据:. 【变式训练16-12】某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上． (1)第一块草坪的三条边米，米，米，若，（如图），区域内种植郁金香，求郁金香种植面积． (2)第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，（如图），区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值． 【变式训练16-13】如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为. (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值. 【变式训练16-14】为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，. (1)求的长度. (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，所以， 在中，由余弦定理，得 . （2）在中，由余弦定理，得， 所以， 所以. 在中，由余弦定理，得 ，解得. 假设小夏先去地，走路线，路长， 假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， 假设小夏先去地，走路线，路长， 由于， 所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. 【变式训练16-15】周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等个主要部分组成（如图1所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点处测得塔楼的仰角为，无人机在处沿仰角为的方向飞行米后到达处，测得，且，，，，五个点都在同一平面内（如图2所示）. (1)求塔楼到地面的高度； (2)如果广播电视塔的天线的长是米，无人机从到的飞行过程中，在点处观看天线的视角为（即），为了拍摄到天线最为清晰的图像，要求视角最大.若点处距离地面的高度为米，那么为何值时，无人机拍摄到天线的图像最清晰？ 【变式训练16-16】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【变式训练16-17】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【变式训练16-18】（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________ （2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ； （i）用分别表示和，并求出的取值范围； （ii）若地到直线的距离为，求的最大值． 【变式训练16-19】杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①；② （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？ 题型17：正余弦定理与向量综合 【典型例题1】在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：    (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得 ，又因为，则，，故. 若选②，因为，由正弦定理可得，， 且，则，且， 所以，其中， 所以，则. （2）由题意可得，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 则，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又因为为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，所以； 当为锐角，则，即， 则，即，所以； 综上可得， 又因为， 则， 因为，则， 且在上单调递减，， 所以，即， 所以． 【典型例题2】如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.      (1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设， ①求的最小值； ②设的面积为，的面积为，求的最小值. (2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值. 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）①因为，所以， 又， 因为E，O，F三点共线，所以， 所以， 当且仅当取等号， 所以的最小值为； ②， 又由①知， 所以 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）设D为BC的中点，则， 所以， 所以， 又， ， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 【典型例题3】已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，. (1)求； (2)求证：. (3)求的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）延长交于D，则D为BC中点，    ， G是重心，， ； （2）设， ，， ，， ∵且三点共线， ∴，∴ 即； （3）由（2），， ， ，，可知， ， ，， 则当时，取得最小值，当时，取得最大值， ，则的取值范围为. 【变式训练17-1】在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，且的面积. （i）求证：； （ii）已知点在上，且满足，延长到，使得，连接，求. 【变式训练17-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．    (1)求边的长度； (2)若，求的余弦值； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【变式训练17-3】已知H是内的一点，． (1)若H是的外心，求∠BAC； (2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值． 题型18：正余弦定理与三角函数综合 【典型例题1】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 令，解得， 故的单调递增区间为； （2），故 因为，所以，故，， 又，由正弦定理得，即， 故， 所以 ， 因为，所以，， 由于在上单调递增，故， 故，. 所以周长的取值范围是. 【典型例题2】已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)在中，角A、B、C所对的边分别为，且，若角满足，求的取值范围； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有2023个零点，求常数与的值. 【答案】(1)；(2)；(3)，. 【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，， 令，得， 由于直线为函数的一条对称轴，所以，， 得，由于，，则， 因此，； （2），由三角形的内角和定理得，. ，且，，. ， 由，得，由锐角三角函数的定义得，， 由正弦定理得，， ， ，且，，，. ，因此，的取值范围是； （3）将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为， ， 令，可得， 令，得，， 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号， （i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根， 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意； （ii）当，则， 当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上无实数解， 因此，关于的方程在区间上有个根，合乎题意； 此时，，得， （iii）当时，则，当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 由于方程在区间上无实数根，方程在区间上有两个实数解， 因此，关于的方程在区间上有个根，不合乎题意， 综上所述：，. 【典型例题3】已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)在中，A为锐角且，，猜想的形状并证明. 【答案】(1)；(2)直角三角形，证明见解析 【解析】（1）由题意可得，， 故， 又因为，故， 所以，所以. （2）为直角三角形.证明如下： 因为，所以，又A为锐角，所以，解得， 由得，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以，所以为直角三角形. 【变式训练18-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函数．    (1)若，求的值域； (2)若对于任何有意义的边a，在上有解，求b的取值范围． 【变式训练18-2】已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，角所对应的边分别为，若，且，求的值； (3)设函数，记最大值为最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围． 【变式训练18-3】在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点. (1)求a，b的值； (2)若，求c的取值范围. 题型19：解答题 【典型例题1】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得； （1）解：若选①， 由正弦定理可得 即，又，所以，即， 因为，所以； 若选②，即， 即， 所以，即，所以，即， 因为，所以； （2）解：依题意，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，即，即，所以， 当为锐角，则，即， 即，即，即，即，所以， 综上可得， 又，则 因为，所以，而在上单调递减，所以， 即，即，所以，则. 【典型例题2】如图，在平面四边形ABCD中，. (1)若，求线段AC的长： (2)求线段AC长的最大值． 【答案】(1)；(2)6. 【解析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答. （2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答. （1）在中，，，由余弦定理得： ，即，解得， 在中，，由余弦定理得：， 所以. （2）设， 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当，即时取“=”，此时， 所以当时，线段AC长取最大值6. 【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. 【变式训练19-1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【变式训练19-2】已知中，点在边上，，， (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【变式训练19-3】凸四边形是四个内角都小于的四边形．如图，凸四边形中，，，是等腰直角三角形，，设． (1)求的取值范围； (2)设四边形的面积为S，求的解析式，并求S的最大值． 【变式训练19-4】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求c； (2)点A，B，C分别在等边△DEF的边DE，EF，FD上（不含端点）.若△DEF面积的最大值为7，求c. 题型20：新定义问题 【典型例题1】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，，，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由，可知， 又，所以， 由可得； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，， 则， 同理， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得，， 则， 令， 由， 则， 同理：， ， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：ABD. 【变式训练20-1】费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ． 【变式训练20-2】阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请回答下面的问题： (1)已知的周长为36，且满足，求这个三角形的面积； (2)已知的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； (3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 1． 单选题 1.在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（    ） A． B． C． D． 3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5.内角、、的对边分别是、、，若、、成等差数列，，且，则（    ） A． B． C． D． 6.一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（    ） A． B． C． D． 7.平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（    ） A．25米 B．米 C．30米 D．米 8.已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 9.在锐角△中，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10.在△ABC中，已知，则（ ） A． B． C． D． 11.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A．4 B．6 C． D． 13.中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（ ）． A． B． C．或 D．或 14.已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16.在中，角，，所对的边分别为，，，若A：B：C=3:2:1，则a:b:c=（ ） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1::2 D．2::1 17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 18.已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（    ） A． B． C． D．1 19.在三棱锥中，平面，，且．若，则当三棱锥的体积最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 20.已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 21.在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 22.中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23.已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 26．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（    ） A．7 B． C． D．4 27．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（   ） A． B． C． D． 28．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．在锐角中，角的对边分别为，.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 1.（多选）一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（多选）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．a>c C．c>a D． 3.（多选）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，，，则只有一解 4.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的面积为 5.在中，已知，下列结论中正确的是（    ） A．这个三角形被唯一确定 B．一定是钝角三角形 C． D．若，则的面积是 6.的内角的对边分别为，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，是等腰三角形 D．当时，是等腰三角形 7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，且的面积为，则的最小边长为2 C．若时，是唯一的，则 D．若时，周长的范围为 8．（多选题）如图，的三个内角对应的三条边分别是，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 9．（多选题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则下列选项正确的是（  ） A． B．若，则 C．外接圆的半径 D． 10．（多选题）在中，三个内角所对的边分别为，若，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C．为直角三角形 D． 11．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ） A． B．向量，夹角的最小值为 C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为 12．已知的内角所对应的边分别是，它的外接圆半径为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的外接圆半径为1 D．面积的最大值为 13．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 14．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（    ） A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则 15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（    ） A．当时，满足条件的三角形共有1个 B．若是钝角三角形，则 C．若，则 D．当时，的周长为 17.已知中，内角，，满足，则下列不成立的是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则=___________. 2.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则三角形外接圆半径为_____________． 3.边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________． 4.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______. 5.在中，.若为锐角三角形，则外接圆的面积的取值范围为___________. 6.如图，在平面四边形中，，，，，则___． 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，则△ABC面积的最小值为______． 8.如图所示，在等腰直角中，为中点，分别是线段上的动点，且，当时，则的值为 . 9.在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则 ． 10．中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 11．在中，若，，则 ． 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 13．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______． 14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA=2csinB，cosB=，b=3，则△ABC的面积为________． 【答案】## 15．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________ 16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______. 17.若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 . 18.如图，已知为等边三角形，点 G是的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点设，，且设的周长为，的周长为，设，记，则 ，的值域为 . 19.在锐角中，角的对边分别为，，，若，则 ，的取值范围为 . 20.在锐角中，内角的对边分别为．若，则的取值范围为 ． 21．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______. 22．在中，内角、、的对边分别是、、，且.若是边的中点，且，则面积的最大值为______. 4． 解答题 1.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)如图所示，当取得最大值时，若在所在平面内取一点与在两侧），使得线段，，求面积的最大值． 2.在中，角对应的边分别为，已知. (1)若，求周长的最大值； (2)若，证明：. 3.已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为， (1)求角； (2)若，求的取值范围． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若C＝9A，b＝2，求a； (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围． 5.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，且，证明：． 6.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积． （1）求C； （2）求的值． 7.在中，角所对的边分别为．已知． （1）求的值； （2）求的值 8.在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的大小； （2）和的值． 条件①：；条件②：． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a，b． 10．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知． (1)若，证明：△ABC为等腰三角形； (2)若，求b的最小值． 11．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，内切圆的面积为，求的面积． 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若O是的内心，，且，求面积的最大值. 14．记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点. (1)证明：； (2)若，求的周长. 15．在中，已知． (1)求； (2)若是边上的一点，且，求面积的最大值． 16.某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．    (1)设，试用表示； (2)为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由． 17.已知函数. (1)若为函数一个零点，求. (2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围. 18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)若，求C； (2)若，且，求的最小值． 19.在中，，，所对的边分别为，，，已知. (1)若，求的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 20.如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．    (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围． 21.重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 22.已知的内角，，的对边分别为，，，，设，且. (1)求角的大小； (2)延长至，使，若的面积，求的长. 23.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角所对的边分别为，已知_________． (1)求； (2)若，且，求的周长． 注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分． 24.如图，梯形中，，．    (1)求证：； (2)若，，求梯形的面积． 25.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若，，求△ABC的面积. 26.在中，三个内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)延长至点，使满足：，求. 27.在中，内角的对边分别为，若. (1)求的值； (2)若的周长为5，求外接圆的半径与内切圆半径的比值. 28.的内角、、的对边分别为、、． (1)请利用向量方法证明：； (2)若为锐角三角形，请利用向量方法证明：. 29.某同学为了估算教学楼的高度，在教学楼的附近找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上取点使、、三点共线，在点处测得建筑物楼顶以及教学楼楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，则此同学估算该教学楼的高度是多少？ 30.的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若点D在BC边的延长上，且，证明：. 31.请从“①；②.”两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______. (1)求A； (2)设AD是的平分线，且面积为，求线段AD的长度. 32.在中，C为钝角，. (1)求C； (2)若b＝6，且的面积为，求的周长. 33.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且. (1)求C； (2)若，，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $