2026年上海市普陀区中考数学一模冲刺练习

2026年上海市普陀区中考数学一模冲刺练习 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于的函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，那么等于(    ) A. B. C. D. 3.关于二次函数，下列描述正确的是  (    ) A. 该函数图象的顶点坐标为 B. 该函数图象的对称轴在轴的左侧 C. 该函数图象与轴有两个交点 D. 当时，的值随值的增大而增大 4.关于非零向量、、，下列选项中错误的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果、都是单位向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5.如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是(    ) A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 6.如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若，则           ． 8.如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则的取值范围是        ． 9.已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数的值是        ． 10.抛物线与坐标轴的交点个数为        个 11.如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作交于点设，，点从点运动到点的过程中关于的函数图象如图所示，则该函数图象的顶点的纵坐标的值为        ． 12.将一副直角三角板如图叠放，则三角形与三角形的周长之比为_________． 13.如图，在中，，，垂足为，，，则的长为          ． 14.如图，将沿着方向平移得到，与重叠部分图中阴影部分的面积是的面积的一半，已知，则平移的距离是      ． 15.如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，的面积为，，则的长为______． 16.如图，是高为米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为：，则的长为        ． 17.如图，在中，，，，为边的中点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接则的值为________ 。 18.如图，点、点是双曲线图象上的两点在的左侧延长交轴正半轴于，的中点为连结，，交点为若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且A. 求证：∽ 若，，求的长． 21.本小题分 如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点． 求和的值； 根据图象直接写出的自变量的取值范围； 当长为时，求点的坐标． 22.本小题分 如图是城市广场地下停车场的入口，图是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点，，在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点，该支架的边与的夹角，又测得． 图                                    图 求出该支架的边的长结果保留根号． 若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过米，问安装雨棚的高度是否合格？结果精确至米，参考数据：， 23.本小题分 如图，在梯形中，，是梯形对角线，． 求证：； 以为一边作，交边于点，求证：． 24.本小题分 如图，直线与抛物线交于点，点． 求抛物线的解析式； 点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； 如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时若抛物线的顶点在内包括边界并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 25.本小题分 项目式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组拟做以下微项目探究． 在中，，，是边上一点，且为正整数，是边上的动点，过点作的垂线交边于点． 【探究】 如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【探究】 如图，当时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明． 【探究】 如图，当为正整数时，请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论，请写出结论并证明． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市普陀区中考数学一模冲刺练习 题号 三 总分 得分 一、 选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() A.y=x-1 By=是 c.y=x D.y=x(x-1) 【答案】D 【解析】 【详解】解：A.y=x-1,不是二次函数，故选项A不符合题意： By=是，不是二次函数，故选项B不符合题意； Cy=意，不是二次函数，故选项C不符合题意： D.y=x(x-1)=x2-x,是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D· 2.在Rt△ABC中，∠C=90,c0sA=是，那么sinB等于() A等 B青 c手 D 【答案】C 【解析】解：：∠C=90°， ·∠A+∠B=90°， sinB=cosA=是， 故选：C 3.关于二次函数y=x2-4x+3,下列描述正确的是() A.该函数图象的顶点坐标为(0,3) B.该函数图象的对称轴在y轴的左侧 C.该函数图象与x轴有两个交点 D.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 解：A、:y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ·该函数图象的顶点坐标为(2，-1)，故该选项错误，不符合题意； 第8页，共29页 B、在二次函数y=x2-4x+3, :该函数图象的对称轴为X=·多=·去=2， :该函数图象的对称轴在y轴的右侧，故该选项错误，不符合题意： C、二次函数y=x2-4x十3图象与x轴的交点，则y=0, 即x2-4x+3=0, :4=b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0, ·方程有两个不等的实数根， ·该函数图象与x轴有两个交点，故该选项正确，符合题意： D、在二次函数y=x2-4x+3, :a=1>0,开口向上，对称轴为x=2, ·当x<2时，y的值随x值的增大而减小；当x>2时，y的值随x值的增大而增大，故该选项错误，不符 合题意 故选：C 4.关于非零向量、、，下列选项中错误的是() A如果=6，那么= B.如果京、都是单位向量，那么同=同 C.如果=26，那么a//石 D.如果=+，那么=+ 【答案】D 【解析】解：A、如果=，那么同=同，不符合题意； B、如果、都是单位向量，那么=旧，不符合题意： C、如果=26，那么a//b,不符合题意： D、如果=+，那么≤+，符合题意， 故选：D· 第8页，共29页 5.如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O,下列条件中，不能证明 △B0F兰·DOE的是() A A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 B.EO=FO C.AE=CF D.EF⊥BD 【答案】D 【解析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形 的判定是解题的关键， 由矩形的性质得出AD=BCAD//BC,再由平行线的性质得出∠OBF=∠ODE,∠OFB=∠OED,然 后由全等三角形的判定逐一判定即可. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ·AD=BCAD//BC, ·∠OBF=∠ODE,∠OFB=∠OED, A、:O为矩形ABCD两条对角线的交点， ·OB=0D, 在aB0F和aDOE中， ∠OFB=∠OED ∠OBF=∠ODE, OB-OD ·△BOF≌△D0E(AAS), 故此选项不符合题意； B、在·BOF和aDOE中， I∠OFB=∠OED ∠OBF=∠ODE, 、F0=E0 ··B0F≌·D0E(AAS), 故此选项不符合题意； C、:AE=CF, 第8页，共29页 ·BC-CF=AD-AE, 即BF=DE, 在·BOF和4DOE中， I∠OFB=∠OED BF=DE N∠OBF=∠ODE ··BOF≌△D0E(ASA), 故此选项不符合题意； D、:EF⊥BD, ÷∠B0F=∠D0E=90。, 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定·BOF兰·DOE, 故此选项符合题意； 故选：D 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC,BD于点E ，F,再分别以点E,F为圆心，大于号EF长为半径画弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交 BD,AD于点M,N,则MN的长是() N B耍 a D 【答案】B 【解析】解：设CN与BP交于点O,如图： :矩形ABCD中，AB=6,BC=8, CD=AB=6,AD//BC,∠BCD=∠ADC=90°， ÷BD=VBC2+CD2=V82+6=10' 第8页，共29页 由作图过程知BP平分∠CBD,则∠CBO=∠MBO, :CM⊥BP, .∠C0B=∠M0B=90°， 又：B0=B0, 在△BOC和△BOM中， 1∠CB0=MB0, BO=BO N∠C0B=∠MOB ·△BOC≌△BOM(ASA, :BM=BC=8,DM=BD-BM=2 DN//BC ·△DMN∽△BMC, 器=器，即=骨 ÷DN=2, 在Rt△CDN中，CN=VDN2+CD2=2+62=2W0, :器= 祭= MN=0. 5 故选：B· 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若号=号=异≠0，则= 【答案】寺 【解析】【点拨】本题考查比例的性质. 若号=号=聋≠0，设号=号=聋=k,则a=2k,b=3k,c=4k. “==故答案为 2k+3k4k 第8页，共29页 8.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,3),点B(1,1),若将直线y=x向上平移c个单位长度后与线段 AB有交点，则c的取值范围是_一· 【答案】方≤c≤4 【解析】解：把直线y=x向上平移c个单位长度后得到y=X十C, 若直线过A-2,3),则片×(-2+c=3,解得c=4, 若直线过B(1,1),则×1+c=1,解得c=克， :将直线y=x向上平移c个单位长度后与线段AB有交点，则方≤C≤4， 故答案为：寺≤C≤4. 求得平移后的解析式为y=x+C,分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值，根据题意得到生≤c≤4 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据题意列出关于d的不等式组是解题的关键. 9.已知二次函数y=x2+(a-7)x+6,反比例函数y=是，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都 是整数，则符合条件的正整数a的值是· 【答案】16 【解析】解：联立y=x2+(a-7)x+6,y=景并整理得： x3+(a-7)x2+6x-a=0, 即：x-1[x2+(a-6)x+a=0, 故其中一个根：x=1, a为正整数，x2+(a-6x+a=0方程有一个到两个的根， 4=(a-6)2-4a≥0， 交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数（设为k), 第8页，共29页 $$则 \left( a - 6 \right) ^ { 2 } - 4 a = k ^ { 2 } \left( k$$ 为非负整数)， 整理得： $$\left( a - 8 \right) ^ { 2 } - k ^ { 2 } = 2 8 ，$$ 即： (a-8+k)(a-8-k)=28=4×7=2×14=1×28， 而 a-8+k≥a-8-k， 当 a-8+k=7，a-8-k=4 时，解得：a=13.5(舍去)； 当 a-8+k=14，a-8-k=2 时，解得：a=16 当 a-8+k=28，a-8-k=1 1时， a=22.5 (舍去)； 故a=16. 故答案为：16. 联立 $$y = x ^ { 2 } + \left( a - 7 \right) x + 6 ， y = \frac { a } { x }$$ 并整理得 $$x ^ { 3 } + \left( a - 7 \right) x ^ { 2 } + 6 x - a = \left( x - 1 \right) \left[ x ^ { 2 } + \left( a - 6 \right) x + a \right] = 0 ，$$ ，故其中 一个根： x=1，a 为正整数， $$x ^ { 2 } + \left( a - 6 \right) x + a = 0$$ 方程有一个到两个的根， $$\triangle = \left( a - 6 \right) ^ { 2 } - 4 a \ge 0 ，$$ 交点横、 纵坐标都是整数，则 △ 一定是完全平方数(设 $$则 k \right) ， 且 \left( a - 6 \right) ^ { 2 } - 4 a = k ^ { 2 } \left( k \right.$$ 为非负整数)，讨论确定 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的值. 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，整数的性质 涉及面较广，难度较大 10.抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 与坐标轴的交点个数为个 【答案】3 【解析】解： $$\because \triangle = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times \left( - 5 \right) = 3 6 > 0$$ ：抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 与 轴有2个交点. ：抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5 与 y$$ 轴有 - 个交点 ∴ 抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 与坐标轴的交点个数为2+1=3(个). 故答案为：3. 根据 $$\triangle = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times \left( - 5 \right) = 3 6 > 0 ，$$ ，可知抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 轴有 2 个交点，再根据抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 与 y 轴有 1 个交点，可知抛物线 $$y = x ^ { 2 } + 4 x - 5$$ 与坐标轴的交点个数为3个. 本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题. 第8页，共29页 11.如图1，在矩形ABCD中，CD=5,E是BC边上的一个动点，连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点 F设BE=x,CF=y,点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图象如图2所示，则该函数图象的顶 点P的纵坐标n的值为一 B D 0 m 图1 图2 【答案】青 【解析】解：由图象知BC=4, :CE=BC-BE=4-x· :EF⊥AE, ·∠AEF=90°， ·∠AEB+∠CEF=90o. :四边形ABCD是矩形， ·AB=CD=5,∠B=∠ECF=90o, .∠CEF+∠CFE=90°， ·∠AEB=∠CFE, ·△AEB∽△EFC, “提=器，即录=多， 整理得y=(4x-x2)=(x-2+专， ·点P的坐标为2青) n=专. 故答案为：寺. 先由矩形性质得到AB=CD=5,∠B=∠ECF=90°，进而证的∠AEB=∠CFE,证明△AEB∽ △EFC得到=多，即y=(4x-)=·(&-2)+专，利用二次函数的性质求解即可. 第8页，共29页 本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性 质，证明△AEB∽△EFC是解答的关键 12.将一副直角三角板如图叠放，则三角形D0C与三角形A0B的周长之比为 30 45 【答案】3：1 【解析】【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的 应用.首先设BC=x,由直角三角形的性质，可求得CD与AB的长，继而求得其比值，易证得 △C0D∽△AOB,然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案， 【解答】 解：设BC=X, :△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°， ·AB=BC=X, 在Rt△BCD中，∠D=30°， CD-a-3x. :CD:AB=5:1, :∠ABC=∠DCB=90°， 即AB⊥BC,DC⊥BC, ÷AB//CD, ·△COD△AOB, :△D0C与△A0B的周长比为：V3:1: 故答案为：5：1 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D, AD=3,CD=4,则BD的长为 第8页，共29页 D 【答案】呈 【解析】解：：CD=4,AD⊥BC,AD=3, ·AC=VAD2+CD=5, :在Rt△ABC中，AD⊥BC,∠BAC=90°， ·∠CAB=∠CDA=90o, :∠C=∠C, ·△CDA∽△CAB, “=器， “品=手， CB=空， BD=CB.CD=空-4=￥， 故答案为：是。 先由勾股定理求解AC,再证明△CDA∽△CAB求出CB,最后由线段和差求解即可. 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握识别基本图形 14.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分( A 图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，己知BC=10,则平移的距离是 E C 【答案】10-52 【解析】解：由平移的性质可知，DE/AB, ·△CGE∽△CAB, SALGE ·SA8 (),即()=， 解得，CE=5V2, 第8页，共29页