精品解析：河北省博野中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度高中数学12月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，得. 故选：D. 2. 若平面向量，满足，，且，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，再结合，展开可求出答案. 【详解】由，可知，展开可得， 所以， 又，，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 4. 在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的内角和定理和余弦的倍角公式，求得，再利用余弦定理，即可求得的长. 【详解】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以. 故选：A. 5. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连结，，可得异面直线与所成角为．利用余弦定理可求出，最后可求出的值． 【详解】 连结，， ∵， ∴异面直线与所成角为． 令，则，． ， ∴，．即． ∴.故选A． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 6. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 7. 早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一个石磨的表面积，即求得两个石磨的表面积. 【详解】解：由题意可得一个石磨底面积为：底=， 侧= 所以一个石磨的表面积为：， 所以两个石磨的表面积为：. 故选：D 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由和正弦定理，可得， 由和余弦定理，可得， 整理化简得：，代入化简得， 又由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 11. 在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（ ） A. 与共面 B. 三棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明即可判断；对于B，由等体积法即可判断；对于C，展开平面，即可得到最小值；对于D，取，连接，即可得到截面，从而得到结果. 【详解】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确； 对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误； 对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与 点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确； 对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确. 故选:ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 14. 已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，即可得到、、、四点共面，从而得到平面平面，连接交于点，则线段即为点的轨迹，再由三角形相似得到，则问题转化为求的最小值，设、，，利用勾股定理表示出，再由均值不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】如图取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、， 因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且， 由正四棱柱的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以、、、四点共面， 所以平面平面， 连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点， 所以线段即为点的轨迹， 如图在平面中，过点作，交于点，因为， 所以，所以，所以， 设、，， 依题意，， 所以， 要求动点的轨迹长度的最小值，即求的最小值，即求的最小值， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以，所以，即动点的轨迹长度的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是找到动点的轨迹，再利用均值不等式求出的最小值. 四、解答题 15. 已知复数在复平面内所对应的点为A. （1）若点A在第二象限，求实数m的取值范围； （2）求的最小值及此时实数m的值. 【答案】（1）或 （2）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由点A在第二象限，列出不等式组求解即可； （2）由模的公式得，令，利用二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 由，解得或. 【小问2详解】 ， 令，∵，∴， 则， 所以当，即时，有最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 底面，平面，， 又，，平面， 平面； 【小问2详解】 底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 17. 在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， （1）求长 （2）求的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）由题意有和，计算，，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，， 在中，由余弦定理有：， 所以，所以； 【小问2详解】 由题意有：， ， 所以 ， 所以 ， 所以， 由 ， 所以， 所以. 18. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；（ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 （i）证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． 【小问2详解】 由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 19. 在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，求出的函数解析式，根据参数范围，求出结果； （2）根据向量垂直的性质，以及向量数量积的坐标表示，列出方程，根据判别式，说明是否有解. 【小问1详解】 如图所示，因为点是的中点，所以， 则， 可知， 则，因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 当时，可知，即， 化简得，可知，所以方程无解， 即不存在实数，使得. 附加题 20. 如图所示的四棱锥中，平面，， （1）证明：平面平面； （2）若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法证得在平面上 （ii）利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值． 【小问1详解】 平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 又平面，平面，平面． 平面，平面平面． 【小问2详解】 （i）证明：由(1)知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则有：，，，，， 设，由是球心，可得， ， 解得，，，即． 故点在平面上； （ii）由（i）可得：，． 设直线和直线所成角为． ， 即直线和直线所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学12月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若平面向量，满足，，且，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 8 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 6. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 11. 在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（ ） A. 与共面 B. 三棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 计算：______． 13. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 14. 已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为______． 四、解答题 15. 已知复数在复平面内所对应的点为A. （1）若点A在第二象限，求实数m的取值范围； （2）求的最小值及此时实数m的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 17. 在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， （1）求长 （2）求的余弦值 18. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 19. 在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 附加题 20. 如图所示的四棱锥中，平面，， （1）证明：平面平面； （2）若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $