精品解析：安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛数学试题

安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高二） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，故， 因此，. 故选：C 2. 从1，2，4，8，16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从5个数中取两个数，总共有种取法， 满足“其中一个数是另一个的两倍”的数对有：，共4对， 所以概率为. 3. 若复数，满足，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由和，得是方程的两个根， 解得，它们互为共轭复数，设， 所以. 4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量，向量， 则，， 所以在方向上的投影向量为. 5. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC；利用不等式性质可判断BD. 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 6. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】将式子等价变形为，进而构造函数，利用单调性得，进而根据不等式即可求解. 【详解】因为， 所以. 设，，则，易知在上单调递增，从而，即， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为. 故选:C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理，，对比系数得，即，利用组合恒等式求解即可． 【详解】由二项式定理，， 对比系数得，即， 则所求表达式为， 利用组合恒等式，得. 8. 如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 【答案】A 【解析】 【分析】设，依题意得，代入推得数列递推式，则得等差数列，求其通项即可求得的横坐标. 【详解】因为是等腰直角三角形，可设，则， 代入可得，，即， 再结合与的图象交点可知，， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以有，故，则点的横坐标为20. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（ ） A. B. C. 在上是减函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，利用概率进行转化结合选项可以得出答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以，A正确； ，因为，所以， 所以不可能，B不正确； 因为，所以当增大时，也增大，C不正确； ，D正确. 故选：AD. 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】 抛物线：，焦点， 直线：与抛物线有唯一公共点，即相切， 将代入抛物线得， 由得，化简得，故A正确，B错误. 切点坐标：，， 过点作直线的垂线，斜率为，方程为， 令得，即， 计算， ， ， 故恒成立，故C错误，D正确. 11. 已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（ ） A. ，直线与直线所成的角均为 B. ，使得四面体的体积为 C. 当时，直线与平面所成角的正切值为 D. 当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合图形，利用空间向量法计算，即可判断ABC；由题意可知点分别为正方形、、的中心，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】设，则， 又，所以，解得， 即. A：建立如图空间直角坐标系， 则， 有， 所以，得，故A正确； B：因为，， ，， 有， 所以， 得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 所以四面体的体积为 ， 则该四面体的体积为定值，故B错误； C：由选项B的分析可知，当时，， 易知平面的一个法向量为， 则， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则，所以，故C正确； D：当时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知， 点分别为正方形、、的中心，如图， 则， 有，则， 所以为正三棱柱的高，且，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】解决有关空间角、距离有关的存在性问题时，一般建立空间直角坐标系，把几何对象上的动态点的坐标用参数表示，根据题设要求，建立相应的方程（组），解方程（组），通过参数的值反过来确定几何对象是否存在. 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 乘积式展开后的项数是___________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法， 从第二个括号中选一个字母有种方法， 从第三个括号中选一个字母有种方法， 按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项； 故答案为： 13. 函数的最大值为_____. 【答案】1 【解析】 【详解】 ， 设，即， 因此当，即时,. 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的正六边形的中心为，G、H、M、N、P、Q为圆上的点，，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得出体积的表达式可得，构建函数，，结合导数求解最值即可. 【详解】由题，连接，交于点， 由题，，设，则，， 六棱锥的高， 底面积， 则， 令，，， 令，即，， 则，则， 所以体积最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的递推关系式为. （1）记的前项和为，证明：； （2）若数列各项除以2后所得到的余数构成，记前项和为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）1352 【解析】 【分析】（1）因为，所以，将每一项拆分后可通过累加法消去中间项，得到又，所以； （2）根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列各项除以2后所得余数构成新的周期数列，再计算2027包含多少个完整周期及余下多少项，用周期和乘以周期数加余下项的和即可得到. 【小问1详解】 因为，所以， 则有， 以上各式相加得， 又，所以； 【小问2详解】 根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列各项除以2后所得余数构成新数列1，1，0，1，1，0，… 所以该数列的周期为，1个周期内的项为， 所以. 16. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3． （1）证明：∠PAD＝∠PBC； （2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明； （2）用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小． 【小问1详解】 证明：分别取，的中点，，连接，，， 因为，所以， 又因为，所以， 又因为，，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为垂直平分，所以， 又因为，，所以， 从而可得； 【小问2详解】 解：由（1）知，是二面角的平面角，设，， 在中，， 过点作于，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为， 设直线与平面所成角为，所以， 令，，， 则， 当且仅当，即时，有最大值2， 此时直线与平面所成角为的正弦值最大， 所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为． 17. 在平面直角坐标系中，设A，B两点的坐标分别为，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，设点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）点P，Q在C上，E是平面上不同于P，Q的动点，且满足. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①E在曲线C上；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 设点的坐标为， 由题意可得， 化简得，点的轨迹方程为. 【小问2详解】 设，，， 由可得，， 若由①②推③：当在曲线上，则有， 化简得，， 又，所以，即. 若由①③推②：当E在曲线C上，则有，化简得，再由得，从而可得. 若由②③推①：由得，结合. ， 所以E在曲线C上. 18. （1）证明：当且时，，； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽得的10个号码互不相同的概率为.证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【详解】（1）当时， ； 当，时，构造函数 ，其中且， 则 ，可知， 所以当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增， 所以，故当且时，. 综上，当且时， ，； （2）由题意，从100张卡片中有放回地抽取10次，每次抽取相互独立，总可能结果为， 要使10个号码互不相同，相当于从100个号码中选取10个进行排列，共有种方式. 因此概率为. 对分子中的因数配对并放缩： ， ， ， . 于是. 由（1）可得，对且，有. 即，两边取倒数得. 因此，原不等式得证. 19. 点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且． （1）若，求； （2）射线上的点，，，…满足，， （i）当时，求的最小值； （ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，即可根据余弦定理求解， （2）（i）根据等面积法可得，即可利用不等式乘“1”法即可求解， （ii）由，结合放缩法即可求解. 【小问1详解】 因为D是线段上一点，， 所以故， 所以为的角平分线，又,所以, 若，在中，由余弦定理可得, 故， 由正弦定理可得,故，解得, 由于是最大的边，所以， 【小问2详解】 设， （i）当时，因为,所以在线段的延长线上， 所以， 因为, , 所以 当且仅当,即取等号，此时， 由于,，等号可以取到， 故的最小值为 （ii）当，,所以在线段的延长线上， 所以， 所以, 时，所以， ,， 所以， 综上 【点睛】方法点睛：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高二） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 2. 从1，2，4，8，16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，满足，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（ ） A. B. C. 在上是减函数 D. 10. 已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（ ） A. ，直线与直线所成的角均为 B. ，使得四面体的体积为 C. 当时，直线与平面所成角的正切值为 D. 当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 乘积式展开后的项数是___________. 13. 函数的最大值为_____. 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的正六边形的中心为，G、H、M、N、P、Q为圆上的点，，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的递推关系式为. （1）记的前项和为，证明：； （2）若数列各项除以2后所得到的余数构成，记前项和为，求. 16. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3． （1）证明：∠PAD＝∠PBC； （2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小． 17. 在平面直角坐标系中，设A，B两点的坐标分别为，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，设点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）点P，Q在C上，E是平面上不同于P，Q的动点，且满足. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①E在曲线C上；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 18. （1）证明：当且时，，； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽得的10个号码互不相同的概率为.证明：. 19. 点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且． （1）若，求； （2）射线上的点，，，…满足，， （i）当时，求的最小值； （ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $