微专题3：三角恒等变换及解三角形中的最值与范围讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换及解三角形中的最值与范围高考核心考点，按单一三角函数型、二次型、面积与边长型、角的范围及含参数型四大题型系统架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建转化思想与解题框架，突破三角模块难点。 讲义以高考命题规律为导向，融合易错提示与分层练习，创新“定角域→判单调→求最值”等解题策略，通过边化角、角化边转化训练培养学生数学思维与模型观念。设置基础巩固到综合应用分层练习，助力教师把控复习节奏，提升学生三角模块应考能力。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题3：三角恒等变换及解三角形中的最值与范围】 【高考定位】 1.考情趋势 三角恒等变换与解三角形中的最值与范围问题是高考三角函数模块的核心难点与高频考点，近3年考查频率稳居三角模块前3位.题型覆盖小题（5分/题）与解答题（12分，多为第二问）：小题多单独考查单一三角函数或简单解三角形场景的最值/范围；解答题常以“恒等变换化简+最值求解”“解三角形+最值拓展”形式呈现，或二者融合考查，难度中档偏上，是区分中档生与优生的关键题型. 核心考查频率排序：单一三角函数最值（型）>三角形面积最值>二次型三角函数最值>三角形边长（和/差）最值>三角形角的范围>含参数三角函数最值>与向量/基本不等式融合的综合最值.新高考卷更侧重“转化思想+综合应用”，全国卷兼顾基础转化与拓展延伸. 2.考查要求与命题特点 核心要求：熟练掌握三角恒等变换公式（二倍角、辅助角等）、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能实现三角式化简与边角灵活转化；掌握三角函数单调性、值域及三角形内角和、边长关系等隐含条件的应用；能结合换元法、基本不等式、数形结合等思想求解各类最值与范围问题；能处理含参数场景下的最值求解与参数范围推导. 命题特点：①重“化简转化”，所有最值问题均需先将表达式化为“一角一函数”或单一变量形式，解三角形最值需额外实现“边化角”或“角化边”；②隐含条件“必用性”，三角函数有界性（）、三角形内角和（）、边长约束（两边之和大于第三边）是限定范围的关键；③思想融合性强，高频渗透数形结合、转化与化归、分类讨论思想；④场景固定化，三角恒等变换最值多以纯三角函数表达式为背景，解三角形最值多以“已知一边一角”“已知两边关系”为题干背景. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，两类问题总分值约10-17分：小题1-2道（5-10分），分别考查三角恒等变换与解三角形最值；解答题中作为核心问（通常为第二问），分值6-8分，多为综合型最值问题.新高考多选题中偶尔出现，考查多维度范围判断（如角的范围、边长范围、函数值域同时判断）. 【真题体验】 1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 3．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 4．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 6．（2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 . 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角恒等变换中的最值与范围（单一三角函数型）】 【核心归纳】 1.标准型结构与最值原理： 2.核心结构：（），同理适用于型（注意的值域为，无最值，仅考查指定区间内的范围）； 3.最值求解：当时，最大值为，最小值为，当且仅当（型最大值）、（型最小值）时取得（）;时，最值与时相反. 4.常见变式与转化方法： 5.含绝对值型：，先求内层的值域，再取绝对值得到最终范围; 6.指定区间型：已知，求的最值，核心是先确定的取值范围，再结合（）的单调性求值域; 7.化简转化：非标准型需通过三角恒等变换化为标准型，如利用二倍角降幂、辅助角公式等（例：化为）. 【易错提示】 忽略的符号：直接默认求最值，导致最大值与最小值颠倒; 指定区间内“单调性判断错误”：未准确确定的范围，或记错的单调区间，导致最值求解错误（如误以为在上单调递增）; 绝对值型最值漏解：未先求内层值域，直接对标准型最值取绝对值（如，内层，绝对值后值域为，而非的错误推导）; 型函数误求最值：忽略的值域为，错误认为其有最大值或最小值. （25-26高三上·山东·月考）已知函数图象与直线的两个相邻交点间的距离为.经典例题例题 (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【规律方法总结】 标准型最值“三步法”：①化标准型，明确的值;②判断的符号，确定最值与的关系;③结合三角函数的有界性（）求最值; 指定区间最值“定角域→判单调→求最值”：①由的范围求的范围（“角域”）;②画出（或）在该角域内的图像，标注单调区间;③计算角域端点和极值点的函数值，对比得到最值; 绝对值型最值“分层求解”：先求不含绝对值的内层函数值域，再根据绝对值的几何意义（非负性）求外层值域; 快速验证技巧：利用特殊值验证，如求在上的最值，可代入计算，对比结果合理性. （2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为 平方米．小试牛刀1 （2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地是直角三角形，且 ， ，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .小试牛刀2 （2025·宁夏中卫·二模）函数在上的值域为 ．小试牛刀3 【热点题型二：三角恒等变换中的最值与范围（二次型三角函数型）】 【核心归纳】 1.常见结构类型： 2.纯二次型：、（）; 3.含交叉项型：（可通过二倍角公式化简消去交叉项）; 4.分式二次型：（换元后转化为分式函数最值）. 5.核心解题思路——换元法： 6.换元原则：令或，将二次型三角函数转化为二次函数; 7.换元关键：明确新元的取值范围（，因）; 8.化简前置：含或的交叉项型，先通过二倍角公式化简（如，），再判断是否需要换元. 9.二次函数最值求解：根据二次函数的开口方向（的符号）和对称轴，结合的范围，分情况讨论最值：①对称轴在内，最值在顶点和区间端点处取得;②对称轴在外，最值在区间端点处取得. 【易错提示】 换元后“忽略的范围”：将视为全体实数求二次函数最值，未限定（如，误将视为，得到最小值1，实际，最小值为2）; 化简时“公式错误”：二倍角降幂公式记错（如误记为），导致化简后函数结构错误; 交叉项型“未化简直接换元”：如，未先令（则），直接分别换元导致解题复杂或错误; 分式二次型“未验证分母不为零”：换元后未确认分母在内是否为零，导致定义域遗漏，最值求解错误. （2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 .经典例题例题 【规律方法总结】 换元“三步骤”：①化简函数式（含交叉项先消去）;②确定换元对象（或），明确;③转化为二次函数或分式函数，结合定义域求最值; 二次函数最值“分类讨论标准”：以对称轴与区间的位置关系为分类依据，避免漏讨论或重复讨论; 交叉项型“快速换元技巧”：遇到与共存的形式，优先令（），利用转化，简化计算; 分式二次型“转化技巧”：当分子分母为同次二次式时，可采用“分离常数法”转化为或的形式，再结合二次函数值域求最值. （23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .小试牛刀1 （2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C．0 D． （25-26高一上·全国·单元测试）在中，，则当取最大值时，（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型三：解三角形中的最值与范围（面积与边长型）】 【核心归纳】 1.三角形面积的最值与范围： 2.核心公式与转化方向：基础面积公式（边角对应是关键）;外接圆关联公式（为外接圆半径）;转化逻辑：①边化角：由正弦定理、，将面积转化为“单一角的三角函数”（如）;②角化边：由余弦定理将角转化为边的关系，结合基本不等式求的最值（如已知，通过求最大值）. 3.常见题干背景与求解策略：已知一边一角（如，）：由余弦定理，得，代入面积公式得;已知两边之和（如）：结合基本不等式，代入面积公式求最值;已知角的范围（如）：将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求范围. 4.三角形边长（和/差/积）的最值与范围： 5.核心转化路径：①边化角：由正弦定理、、，将边长转化为角的三角函数，结合角的范围求值域;②角化边：由余弦定理将角的关系转化为边的代数式，结合基本不等式、边长约束（两边之和大于第三边）求最值. 6.常见题型与求解策略：单一边长最值（如求的最小值）：由正弦定理转化为的三角函数，或由余弦定理结合基本不等式求解;边长和/差最值（如求的最大值）：由正弦定理转化为，利用和角公式化简为“一角一函数”（如），当时取最值;边长乘积最值（如求的最大值）：通过余弦定理结合基本不等式求解. 7.隐含约束条件：角的约束（）;边长约束、、（求范围时需验证）. 【易错提示】 面积公式“边角对应错误”：如用时，角并非、的夹角，导致面积表达式错误; 基本不等式应用“缺等号条件”：如由求最大值时，未验证是否能构成三角形; 边化角后“角的范围遗漏”：未结合三角形内角和限定角的范围，导致三角函数值域求解错误; 边长最值“未验证边长约束”：求出范围后未检验是否满足两边之和大于第三边，导致结果无效; 忽略的定值属性：在含外接圆半径的公式中，误将视为变量，导致转化逻辑混乱. （25-26高三上·广东·月考）在中，内角的对边分别为，已知，则面积的最大值为 .经典例题例题 【规律方法总结】 面积最值“两步走”：①选对面积公式（优先含已知角/边的公式）;②转化求最值（基本不等式求最值或边化角求三角函数值域）; 已知一边一角求面积最值“快速公式”：若已知，，则（当且仅当时取等号）; 边长最值“转化原则”：已知角的约束优先边化角，已知边的关系优先角化边; 边长和/差“化简技巧”：利用和角公式将化简为“定值角+变量角”形式，借助余弦函数有界性求最值; 验证技巧：求出最值后，验证等号成立时三角形是否存在（如时满足内角和为），边长范围需验证两边之和大于第三边. （25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. （25-26高三上·河北·月考）记的内角A，B，C的对边分别为，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若的角平分线交于点. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【热点题型四：解三角形中的最值与范围（角的范围型）及含参数最值】 【核心归纳】 1.三角形角的范围问题： 2.核心求解思路：①角化边：由余弦定理，结合边的约束判断角的范围（如）;②边化角：由正弦定理，结合内角和约束求范围;③三角恒等变换：化简角的表达式，结合三角函数值域求范围. 3.常见题型与约束条件：已知边的比例关系（如）：由余弦定理求角的余弦值定范围;已知边长不等式（如）：由得（钝角三角形）;已知角的三角函数关系（如）：由正弦定理转化为边的关系，再求角的范围. 4.含参数三角函数最值（跨模块通用）： 5.常见参数类型：参数在系数上（如、）;参数在自变量约束上（如，）;参数在三角函数内部（如）. 6.核心解题思路：明确“变量”与“参数”，将函数视为关于自变量的函数，参数作为常数参与运算;分类讨论参数（如系数正负、区间与单调区间关系）;已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，再建立方程/不等式求解，验证等号成立条件. 【易错提示】 余弦值符号与角的范围对应错误：如误将视为; 边化角后“忽略角的单调性”：如由得，未排除的无效情况; 角的范围“未综合所有约束”：仅由单一条件求范围，未结合内角和、边的关系缩小范围; 参数与变量混淆：将参数视为变量，导致函数结构分析错误; 含参数最值“分类讨论不全面”：遗漏参数为零、对称轴与区间端点重合等关键情况. （25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 角的范围“求解三步法”：①选择转化路径（角化边或边化角）;②得到三角函数不等式（如）;③由三角函数单调性及内角和确定范围; 钝角/锐角三角形判断“核心公式”：角为钝角;角为锐角;锐角三角形三个角的余弦值均大于0; 定角范围“优先用余弦”：余弦函数在上单调递减，定角更精准，避免多解; 含参数最值“逆向求解法”：已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，建立方程/不等式求解后，验证等号成立条件和定义域有效性; 参数讨论“边界优先原则”：优先讨论参数使函数性质发生变化的边界值（如参数为零、对称轴与区间端点重合），避免遗漏. （24-25高二下·湖南郴州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 （24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （24-25高一下·福建宁德·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽六安·月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为 ． 4．（25-26高三上·上海·月考）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且，则的最大值为 . 5．（2025·广东深圳·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则的最大值为 ． 6．（2025高三下·全国·专题练习）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的最小值为 . 7．（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ． 8.（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ． 9．（24-25高一下·山东滨州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是 ． 10．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时， . 11．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 12．（25-26高三上·山西·月考）在中，内角的对边分别是，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 13．（25-26高三上·山西大同·期中）如图，在矩形甬道中（假定甬道，可以无限延伸），，，，分别为边，上的动点，且，设.    (1)若的面积记为，写出函数解析式； (2)求的最小值. 14．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 15．（25-26高三上·江苏盐城·期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 16．（25-26高三上·山东临沂·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 17.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， (1)求的值； (2)求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题3：三角恒等变换及解三角形中的最值与范围】 【高考定位】 1.考情趋势 三角恒等变换与解三角形中的最值与范围问题是高考三角函数模块的核心难点与高频考点，近3年考查频率稳居三角模块前3位.题型覆盖小题（5分/题）与解答题（12分，多为第二问）：小题多单独考查单一三角函数或简单解三角形场景的最值/范围；解答题常以“恒等变换化简+最值求解”“解三角形+最值拓展”形式呈现，或二者融合考查，难度中档偏上，是区分中档生与优生的关键题型. 核心考查频率排序：单一三角函数最值（型）>三角形面积最值>二次型三角函数最值>三角形边长（和/差）最值>三角形角的范围>含参数三角函数最值>与向量/基本不等式融合的综合最值.新高考卷更侧重“转化思想+综合应用”，全国卷兼顾基础转化与拓展延伸. 2.考查要求与命题特点 核心要求：熟练掌握三角恒等变换公式（二倍角、辅助角等）、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能实现三角式化简与边角灵活转化；掌握三角函数单调性、值域及三角形内角和、边长关系等隐含条件的应用；能结合换元法、基本不等式、数形结合等思想求解各类最值与范围问题；能处理含参数场景下的最值求解与参数范围推导. 命题特点：①重“化简转化”，所有最值问题均需先将表达式化为“一角一函数”或单一变量形式，解三角形最值需额外实现“边化角”或“角化边”；②隐含条件“必用性”，三角函数有界性（）、三角形内角和（）、边长约束（两边之和大于第三边）是限定范围的关键；③思想融合性强，高频渗透数形结合、转化与化归、分类讨论思想；④场景固定化，三角恒等变换最值多以纯三角函数表达式为背景，解三角形最值多以“已知一边一角”“已知两边关系”为题干背景. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，两类问题总分值约10-17分：小题1-2道（5-10分），分别考查三角恒等变换与解三角形最值；解答题中作为核心问（通常为第二问），分值6-8分，多为综合型最值问题.新高考多选题中偶尔出现，考查多维度范围判断（如角的范围、边长范围、函数值域同时判断）. 【真题体验】 1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 3．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得： ， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以 ，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得 ，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 4．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     6．（2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角恒等变换中的最值与范围（单一三角函数型）】 【核心归纳】 1.标准型结构与最值原理： 2.核心结构：（），同理适用于型（注意的值域为，无最值，仅考查指定区间内的范围）； 3.最值求解：当时，最大值为，最小值为，当且仅当（型最大值）、（型最小值）时取得（）;时，最值与时相反. 4.常见变式与转化方法： 5.含绝对值型：，先求内层的值域，再取绝对值得到最终范围; 6.指定区间型：已知，求的最值，核心是先确定的取值范围，再结合（）的单调性求值域; 7.化简转化：非标准型需通过三角恒等变换化为标准型，如利用二倍角降幂、辅助角公式等（例：化为）. 【易错提示】 忽略的符号：直接默认求最值，导致最大值与最小值颠倒; 指定区间内“单调性判断错误”：未准确确定的范围，或记错的单调区间，导致最值求解错误（如误以为在上单调递增）; 绝对值型最值漏解：未先求内层值域，直接对标准型最值取绝对值（如，内层，绝对值后值域为，而非的错误推导）; 型函数误求最值：忽略的值域为，错误认为其有最大值或最小值. （25-26高三上·山东·月考）已知函数图象与直线的两个相邻交点间的距离为.经典例题例题 (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式为，结合函数性质确定函数的周期，进而求参数值； （2）由正弦型函数的性质求区间值域即可. 【详解】（1）由题意 由直线的两个相邻交点间的距离为， 结合正弦函数图象性质知，函数的最小正周期为，故，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 结合正弦函数图象知，，所以， 所以函数的值域为. 【规律方法总结】 标准型最值“三步法”：①化标准型，明确的值;②判断的符号，确定最值与的关系;③结合三角函数的有界性（）求最值; 指定区间最值“定角域→判单调→求最值”：①由的范围求的范围（“角域”）;②画出（或）在该角域内的图像，标注单调区间;③计算角域端点和极值点的函数值，对比得到最值; 绝对值型最值“分层求解”：先求不含绝对值的内层函数值域，再根据绝对值的几何意义（非负性）求外层值域; 快速验证技巧：利用特殊值验证，如求在上的最值，可代入计算，对比结果合理性. （2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为 平方米．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】由题意可得，，可得，利用三角恒等变换求得最大值即可. 【详解】设，因为，， 所以，， 所以， 则四边形的面积为， ， 因为，所以，所以， 所以当时，的最大值为， 所以面积S的最大值为. 故答案为：. （2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地是直角三角形，且 ， ，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】首先设，在中，根据正弦定理表示，以及在中表示，再根据，结合三角函数的运算公式，以及性质，即可求解的最小值，同时求面积的最小值. 【详解】设，则， 由正弦定理得，且， 由知： ，则， 则的面积最小值为. 故答案为： （2025·宁夏中卫·二模）函数在上的值域为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】先利用三角函数的二倍角公式、诱导公式等对函数进行化简，再结合的取值范围求出函数的值域. 【详解】 由，得，则， 所以，所以， 所以的值域为. 故答案为：. 【热点题型二：三角恒等变换中的最值与范围（二次型三角函数型）】 【核心归纳】 1.常见结构类型： 2.纯二次型：、（）; 3.含交叉项型：（可通过二倍角公式化简消去交叉项）; 4.分式二次型：（换元后转化为分式函数最值）. 5.核心解题思路——换元法： 6.换元原则：令或，将二次型三角函数转化为二次函数; 7.换元关键：明确新元的取值范围（，因）; 8.化简前置：含或的交叉项型，先通过二倍角公式化简（如，），再判断是否需要换元. 9.二次函数最值求解：根据二次函数的开口方向（的符号）和对称轴，结合的范围，分情况讨论最值：①对称轴在内，最值在顶点和区间端点处取得;②对称轴在外，最值在区间端点处取得. 【易错提示】 换元后“忽略的范围”：将视为全体实数求二次函数最值，未限定（如，误将视为，得到最小值1，实际，最小值为2）; 化简时“公式错误”：二倍角降幂公式记错（如误记为），导致化简后函数结构错误; 交叉项型“未化简直接换元”：如，未先令（则），直接分别换元导致解题复杂或错误; 分式二次型“未验证分母不为零”：换元后未确认分母在内是否为零，导致定义域遗漏，最值求解错误. （2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 .经典例题例题 【答案】/ 【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简得，最后根据为锐角及正弦函数的性质求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为为锐角，所以两边同除得， 所以. 因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为. 故答案为： 【规律方法总结】 换元“三步骤”：①化简函数式（含交叉项先消去）;②确定换元对象（或），明确;③转化为二次函数或分式函数，结合定义域求最值; 二次函数最值“分类讨论标准”：以对称轴与区间的位置关系为分类依据，避免漏讨论或重复讨论; 交叉项型“快速换元技巧”：遇到与共存的形式，优先令（），利用转化，简化计算; 分式二次型“转化技巧”：当分子分母为同次二次式时，可采用“分离常数法”转化为或的形式，再结合二次函数值域求最值. （23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】化简可得，令且，所以函数的值域等价于在区间上的值域，利用二次函数求出在区间上的值域即可. 【详解】由题可得： ，令，则，令， 所以函数的值域等价于在区间上的值域， 由于，所以当时，，， 则函数的值域为， 故答案为： （2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的最小正周期可得的值，利用诱导公式与二倍角公式将转化为，结合正弦函数的性质即可得所求最值. 【详解】由已知， 所以， 又， 所以， 所以 ， 又，则当时，有最小值. 故选：B. （25-26高一上·全国·单元测试）在中，，则当取最大值时，（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角的性质及三角恒等变换得且，再由差角正切公式整理得 ，法一：应用基本不等式求最值确定，法二：应用换元法及对勾函数性质求最值确定. 【详解】由，得， 即，所以， 易知，则，显然， 所以 ， 法一：， 当且仅当时，取得最大值，此时， 由三角形内角范围，知； 法二：令， 由对勾函数的性质，的最小值为，当且仅当时取最小值， 所以，此时， 由三角形内角范围，知. 故选：A 【热点题型三：解三角形中的最值与范围（面积与边长型）】 【核心归纳】 1.三角形面积的最值与范围： 2.核心公式与转化方向：基础面积公式（边角对应是关键）;外接圆关联公式（为外接圆半径）;转化逻辑：①边化角：由正弦定理、，将面积转化为“单一角的三角函数”（如）;②角化边：由余弦定理将角转化为边的关系，结合基本不等式求的最值（如已知，通过求最大值）. 3.常见题干背景与求解策略：已知一边一角（如，）：由余弦定理，得，代入面积公式得;已知两边之和（如）：结合基本不等式，代入面积公式求最值;已知角的范围（如）：将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求范围. 4.三角形边长（和/差/积）的最值与范围： 5.核心转化路径：①边化角：由正弦定理、、，将边长转化为角的三角函数，结合角的范围求值域;②角化边：由余弦定理将角的关系转化为边的代数式，结合基本不等式、边长约束（两边之和大于第三边）求最值. 6.常见题型与求解策略：单一边长最值（如求的最小值）：由正弦定理转化为的三角函数，或由余弦定理结合基本不等式求解;边长和/差最值（如求的最大值）：由正弦定理转化为，利用和角公式化简为“一角一函数”（如），当时取最值;边长乘积最值（如求的最大值）：通过余弦定理结合基本不等式求解. 7.隐含约束条件：角的约束（）;边长约束、、（求范围时需验证）. 【易错提示】 面积公式“边角对应错误”：如用时，角并非、的夹角，导致面积表达式错误; 基本不等式应用“缺等号条件”：如由求最大值时，未验证是否能构成三角形; 边化角后“角的范围遗漏”：未结合三角形内角和限定角的范围，导致三角函数值域求解错误; 边长最值“未验证边长约束”：求出范围后未检验是否满足两边之和大于第三边，导致结果无效; 忽略的定值属性：在含外接圆半径的公式中，误将视为变量，导致转化逻辑混乱. （25-26高三上·广东·月考）在中，内角的对边分别为，已知，则面积的最大值为 .经典例题例题 【答案】 【分析】根据正弦定理化角为边得，由余弦定理得，利用同角三角函数基本关系得，利用基本不等式求得，即可求得面积的最大值. 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 因此，所以的面积，即面积的最大值为. 故答案为： 【规律方法总结】 面积最值“两步走”：①选对面积公式（优先含已知角/边的公式）;②转化求最值（基本不等式求最值或边化角求三角函数值域）; 已知一边一角求面积最值“快速公式”：若已知，，则（当且仅当时取等号）; 边长最值“转化原则”：已知角的约束优先边化角，已知边的关系优先角化边; 边长和/差“化简技巧”：利用和角公式将化简为“定值角+变量角”形式，借助余弦函数有界性求最值; 验证技巧：求出最值后，验证等号成立时三角形是否存在（如时满足内角和为），边长范围需验证两边之和大于第三边. （25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，利用余弦定理可得，由正弦定理化简可得即可求解；（ⅱ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到即可求解. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故， 即，由可知 （2）（ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得， 而，故，同理， 故，得到 （ⅱ） ， 而，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. （25-26高三上·河北·月考）记的内角A，B，C的对边分别为，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若的角平分线交于点. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）应用正弦定理及三角恒等变换得，结合三角形内角的性质，求角的大小； （2）（i）由，应用三角形面积公式得，再应用基本不等式求最大值；（ii）设，则，应用正弦定理得、，进而得、，再由余弦定理得，从而得，令并应用导数研究最小值. 【详解】（1）由正弦定理知，， 所以，， 所以，，可得； （2）（i）由，， 则， 所以，而，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以最大值为； （ii）设，则， 在中，则，同理， 所以， 由， 由，所以， 综上，，令， 令，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【热点题型四：解三角形中的最值与范围（角的范围型）及含参数最值】 【核心归纳】 1.三角形角的范围问题： 2.核心求解思路：①角化边：由余弦定理，结合边的约束判断角的范围（如）;②边化角：由正弦定理，结合内角和约束求范围;③三角恒等变换：化简角的表达式，结合三角函数值域求范围. 3.常见题型与约束条件：已知边的比例关系（如）：由余弦定理求角的余弦值定范围;已知边长不等式（如）：由得（钝角三角形）;已知角的三角函数关系（如）：由正弦定理转化为边的关系，再求角的范围. 4.含参数三角函数最值（跨模块通用）： 5.常见参数类型：参数在系数上（如、）;参数在自变量约束上（如，）;参数在三角函数内部（如）. 6.核心解题思路：明确“变量”与“参数”，将函数视为关于自变量的函数，参数作为常数参与运算;分类讨论参数（如系数正负、区间与单调区间关系）;已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，再建立方程/不等式求解，验证等号成立条件. 【易错提示】 余弦值符号与角的范围对应错误：如误将视为; 边化角后“忽略角的单调性”：如由得，未排除的无效情况; 角的范围“未综合所有约束”：仅由单一条件求范围，未结合内角和、边的关系缩小范围; 参数与变量混淆：将参数视为变量，导致函数结构分析错误; 含参数最值“分类讨论不全面”：遗漏参数为零、对称轴与区间端点重合等关键情况. （25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 【规律方法总结】 角的范围“求解三步法”：①选择转化路径（角化边或边化角）;②得到三角函数不等式（如）;③由三角函数单调性及内角和确定范围; 钝角/锐角三角形判断“核心公式”：角为钝角;角为锐角;锐角三角形三个角的余弦值均大于0; 定角范围“优先用余弦”：余弦函数在上单调递减，定角更精准，避免多解; 含参数最值“逆向求解法”：已知最值求参数时，先求最值关于参数的表达式，建立方程/不等式求解后，验证等号成立条件和定义域有效性; 参数讨论“边界优先原则”：优先讨论参数使函数性质发生变化的边界值（如参数为零、对称轴与区间端点重合），避免遗漏. （24-25高二下·湖南郴州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形得到，求出，由正弦定理和三角恒等变换得到，换元后，，，由基本不等式求出最小值. 【详解】， 故， ， ，即， 因为，所以，， 由正弦定理得 因为，所以，，， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A （24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，得到，最后根据基本不等式求最值的可求得结果. 【详解】由余弦定理，即， 由正弦定理知，， 即，即， 在中，且、同号，故， 所以.当且仅当时，等号成立 故. ∵， ∴，时.取得最小值. 故选：B. （24-25高一下·福建宁德·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求出边角关系，判断各角的范围，再根据正弦定理转边为角，再依据基本不等式，求出最值即可，也可直接根据余弦定理求出的表达式，直接根据基本不等式，求出余弦值的范围，判断角的范围，进而求出正切值的最大值. 【详解】法一：由余弦定理得，所以， 即，又，代入可得：， 化简得，解得， 故， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以最大值为； 法二：由余弦定理得， 所以，则，所以最大值为． 故选：C. 课后针对训练 1．（24-25高一下·四川德阳·期末）若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将化简得，再将用和来表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】，，即， 由正弦定理得，， ，即， ，① 当时，，，， 此时，不满足题意，， ①式两边同时除以得，， 不妨设，则， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 3．（25-26高三上·安徽六安·月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以，所以 （其中）， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·月考）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设的外接圆半径，根据题意并结合正弦定理得，再根据得，，最后根据三角恒等变换求最值即可得答案. 【详解】解：设的外接圆半径，则， 由正弦定理知， 所以 ，即, 因为，即，所以，即， 所以，， 所以， ，其中 因为，所以， 所以，当时，有最大值. 故答案为： 5．（2025·广东深圳·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，再利用正弦定理和得，,从而化简，结合二次函数求最值. 【详解】因， 则， 则， 因为锐角三角形，则，则， 因，则，则, 因，且，则， 因，则，, 则 , 因，，则，则，则， 则当时，取最大值. 故答案为： 6．（2025高三下·全国·专题练习）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角中，若， 则，有， 法一：由余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 所以的最小值为2. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，又， 设函数，由双勾函数性质可知，在上单调递增， 故，所以的取值范围为. 所以的最小值为2. 故答案为：2 7．（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理和已知条件得，进而利用正弦定理边角互化得，由余弦的和差角公式可得，即可代入化简求解. 【详解】由余弦定理得， 由正弦定理，得， 因为， 又，所以， 所以，即， 化简得,解得． 又,故 所以的取值范围是． 故答案为： 8.（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合及，应用三角恒等变换有 ，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可. 【详解】因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故 故答案为： 9．（24-25高一下·山东滨州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，利用余弦定理求出，再利用正弦定理，结合三角恒等变换求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而，解得， 由是锐角三角形，得，则 由正弦定理， 得 ， 因为，所以， 所以， 所以 所以周长的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时， . 【答案】/ 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，由辅助角公式结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为h，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 又， ， 令，则，则， ∴当时，取得最大值，此时，. 故答案为：． 11．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解. 【详解】（1）, 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； （2）因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 12．（25-26高三上·山西·月考）在中，内角的对边分别是，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，并结合正弦差角公式得，进而得； （2）根据，结合正弦差角公式化简得，再根据三角函数求范围即可. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以. （2）解：因为，所以，所以 所以 ， 因为，， 所以. 所以，的取值范围为 13．（25-26高三上·山西大同·期中）如图，在矩形甬道中（假定甬道，可以无限延伸），，，，分别为边，上的动点，且，设.    (1)若的面积记为，写出函数解析式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，并用它们分别表示，利用三角形面积公式可求得的面积解析式； （2）根据，利用整体代换的方法可求得的取值范围，从而得到其最小值. 【详解】（1）由题可知，. 由题图可知，，所以，又， 所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理，得， 所以 即. （2） 因为，所以，所以. 所以的取值范围是，所以. 所以当，即时，取得最小值. 14．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 则 ， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. 15．（25-26高三上·江苏盐城·期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由角平分线定理得出，结合余弦定理可得出，于是得出，，由及可得出的值，进而得出、，进而可求得的值； （3）由角平分线定理可得出，即得出，结合及两式相除并结合正弦定理、三角恒等变换得出，求出角的取值范围，可求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 整理得， 因为，所以，故，可得， 因为，所以. （2）因为的角平分线交于点，且， 由角平分线定理可得， 又因为，由余弦定理可得， 所以，故，， 因为，则， 可得，故，，， 因此. （3）因为为锐角三角形，且，则，解得， 由角平分线定理可得，即，解得， 故①， 又因为②， ①②得，故 ， 因为，则， 因为，故， 所以，因此. 16．（25-26高三上·山东临沂·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式、辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）（i）利用三角形的面积公式可得出，结合余弦定理可得出，由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得线段的长； （ii）由正弦定理结合两角差的正弦公式得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，可得出的取值范围，设，可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围，即为所求. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为， 化简得， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得. （2）（i）由余弦定理可得，即， 又因为，可得，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ，故； （ii）由正弦定理得， 因为为锐角三角形，且，由得， 所以，则，故， 设，则，所以，解得， 因此长度的取值范围是. 17.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）根据等面积法求出，方法一：利用均值不等式求出，进而得到的取值范围； 方法二：利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围. 【详解】（1）由题意，由余弦定理得， 又，则， 又由正弦定理：，解得. （2）由（1）得，则， ， 则， 方法一：由， 解得（当且仅当时取等号）， 又因为，故， 从而得. 方法二：在中，由正弦定理得， 即， 则 ， 又，则， ， 即， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $