微专题2：三角恒等变换与解三角形讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换与解三角形核心模块，涵盖公式体系、基本量求解、综合最值及实际应用等高考高频考点，按“基础公式—题型突破—综合建模”逻辑架构知识网络。通过考点梳理、方法总结、真题精讲及分层练习的教学流程，帮助学生系统构建解题框架，精准突破化简求值、边角转化等难点。 资料突出“方法引领+素养落地”特色，创新设计“四步法化简”“角的配凑技巧”等解题策略，结合数学思维培养，如在实际应用题型中通过建模流程训练学生用数学眼光分析问题。分层设置小试牛刀与课后训练题，配合易错提示与规律总结，有效提升学生应试能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题2：三角恒等变换与解三角形】 【高考定位】 1.考情趋势 三角恒等变换与解三角形是高考三角函数模块的核心延伸内容，近3年高考中题型稳定、分值固定，属于“中档必得分”模块:小题（5分/题）多考查三角恒等变换化简求值、解三角形基本量计算，难度中档;解答题（12分）常以“恒等变换+解三角形”综合形式呈现，偶尔结合平面向量、面积最值、实际应用（测量、航海）命题，难度中档偏易. 核心考查频率排序：三角恒等变换（化简、求值）>解三角形基本量求解（边、角、面积）>解三角形综合应用（最值、范围）>恒等变换与向量/不等式融合. 2.考查要求与命题特点 核心要求：熟练掌握两角和与差、二倍角、辅助角等恒等变换公式，能精准完成三角式化简与求值;掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能解决三角形边、角、面积的求解问题，能处理与三角形相关的最值、范围及实际应用问题. 命题特点：①重公式灵活应用，强调“化简优先”，规避复杂计算;②解三角形突出“边角转化”核心，渗透数形结合、分类讨论思想;③综合趋势显著，常与平面向量、基本不等式、三角函数值域融合;④实际应用题型贴近生活，侧重数学建模能力考查. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，该模块总分值约12-17分:小题1道（5分），聚焦恒等变换求值或解三角形基本量计算;解答题1道（12分），多以“恒等变换化简+解三角形综合”形式呈现，部分年份会在压轴题中渗透三角形最值问题. 【真题体验】 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由 ， 由正弦定理，，可得， ， . 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角恒等变换（化简、求值）】 【核心归纳】 1.核心公式体系: 2.两角和与差公式：;;（，）; 3.二倍角公式：;;（，）; 4.辅助角公式：（，终边过点），也可表示为（）; 5.同角三角函数关系：;（，）. 6.化简核心原则：“三统一”——统一角（倍角、和角→单角）、统一函数名（切→弦或弦→切）、统一表达式形式（化为“一角一函数”标准型）;优先降幂、通分、去根号. 7.求值题型分类: 8.给角求值：化简消去非特殊角，转化为特殊角三角函数值; 9.给值求值：通过角的配凑（和差、倍半、互补互余）转化已知角与所求角，结合角的范围判断函数值符号; 10.给值求角：先求所求角的某一三角函数值，再结合角的范围定角（优先选余弦函数，因其在单调递减，定角更精准）. 【积化和差公式（不要求记忆，会推导）】 【和差化积公式（不要求记忆，会推导）】 【易错提示】 易错提示 公式记忆错误：如混淆两角和差余弦公式符号、二倍角降幂公式记错（如将误记为）; 角的范围忽略：给值求值/求角时，未确定角的取值范围，导致符号判断错误或角的大小错解; 切化弦不彻底：正切与弦函数共存时，未统一函数名，导致化简受阻; 辅助角象限判断错误：未根据$a、b$符号确定象限，仅由定角，导致偏差. 【多选题】（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 【规律方法总结】 化简“四步法”：降幂→化同角→化同名→配凑标准型（辅助角公式）; 给值求值“角的配凑技巧”：观察所求角与已知角的和、差、倍、半关系（如所求角、所求角、所求角），通过配凑实现公式应用; 给值求角“定角三步骤”：①求所求角的三角函数值（优先选或）;②缩小角的范围至单值区间;③结合单调性定角; 公式逆用与变形：熟练掌握积化和差逆用、等变形，提升化简效率. 【多选题】（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为，为锐角，所以，，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B： ，所以选项B正确； 选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 【多选题】（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ）小试牛刀2 A． B．β终边在第二象限 C． D． 【答案】AD 【分析】利用三角函数定义即可判断A；判断所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角和差的正余弦公式，即可判断CD. 【详解】由题意可得， A正确； 由于，故可在第一象限或第三象限， 在第一象限时，，则在第二象限， 在第三象限时，，则在第四象限， 即β终边在第二象限或第四象限，B错误； 由于，在第一象限时，， 此时在第二象限，，则， 故； ； 在第三象限时，， 此时在第四象限，，则， 故， ，C错误，D正确； 故选：AD 【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；先求出，再根据两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C选项即可判断D. 【详解】对于A，由， 得，即， 所以， 所以， 所以或（舍去），故A正确； 对于B，由， 得， 即， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得， 所以， 即，又， 所以（舍去），故C错误； 对于D，由C选项知，，故D正确. 故选：ABD 【热点题型二：解三角形基本量求解（边、角、面积）】 【核心归纳】 1.核心定理与公式: 2.正弦定理：（为外接圆半径），变形：、、;; 3.余弦定理：;;;变形：; 4.面积公式：①底高;②;③;④（为内切圆半径）;⑤海伦公式：（）. 5.题型分类与求解策略: 6.AAS/ASA（两角及一边）：优先正弦定理求另两边，再求面积; 7.SAS（两边及夹角）：优先余弦定理求第三边，再求角或面积; 8.SSS（三边）：优先余弦定理求两角，内角和验证; 9.SSA（两边及一边对角）：正弦定理求另一角，需判断“两解、一解、无解”. 10.SSA型解的判断：设已知a、b、A，由判断：①无解;②（一解）;③时一解，时一解，时验证，成立则两解，否则一解. 【易错提示】 SSA型漏解/多解：未判断解的个数，直接由定角; 正弦定理应用忽略角的范围：求出角后未验证与已知角和是否小于，导致“超角”; 余弦定理符号错误：记错公式符号（如将“”误记为“+”）; 面积公式角的对应错误：如中，角非a、b夹角; 遗忘内角和验证：求出两角后未验证和是否小于. 【多选题】（2025·湖南·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ）经典例题例题 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的面积为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、余弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 又， ，故A正确； 对于B，由可得， ， 又由正弦定理可得，故B正确； 对于C，由余弦定理知，即， 代入A中结论得，故C错误； 对于D，由已知得， 由A可知：， 因为，所以该三角形是直角三角形， 所以的面积，故D正确． 故选：ABD 【规律方法总结】 定理选择原则：①两角及一边、SSA→优先正弦定理;②两边及夹角、三边→优先余弦定理;③求面积→优先选含已知角和边的公式; SSA型解题四步骤：求→判断解的个数→求角（注意两解）→求角和边; 验证技巧：用“大边对大角”（）验证结果合理性，避免错误; 计算简化：保留根号或分式至最后化简，利用转化未知角（如）. 【多选题】（2025·广西南宁·模拟预测）设内角的对边分别为，若，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 【答案】AC 【分析】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 所以，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， 所以， 所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为M为中点， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 【多选题】（2025·吉林·模拟预测）已知的面积为，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由整理可得或，再由，判断出，判断出A选项的真假；当时，由，可得的值，判断出B选项的真假；由的面积结合可得AC的值，判断出C的真假；由余弦定理可得AB的值，判断出D选项的真假． 【详解】因为， 所以， 可得，则有， 所以，有或，即或. 若，则，得，显然不成立，所以不成立，故A错误； 若，则，由，有， 所以，因为，所以，所以，所以，故B正确； 因为，所以为锐角，则. 可得，. 又的面积为，则，即，解得，即，故C正确； 由余弦定理，，所以，故D正确. 故选：BCD 【多选题】（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 【答案】ACD 【分析】先由余弦定理求出判断A，再由正弦定理求出判断B，由诱导公式及同角三角函数基本关系式求出后判断C，最后由等积法求出边上的高判断D. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，即， 或（舍去），，故A正确； 在中，由正弦定理得， 即，解得，故B不正确； ，为锐角，， 又，.故C正确； 由， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 又的面积为， 设中边上高的长度为，可得，可得， 的边上高的大小为.故D正确. 故选：ACD. 【热点题型三：解三角形综合应用（最值、范围问题）】 【核心归纳】 1.核心考查方向：边长最值/范围、角的最值/范围、面积最值/范围、与恒等变换/基本不等式融合的综合最值. 2.解题核心思路: 3.边角转化：通过正、余弦定理将所求量转化为单一变量（角的三角函数或边的代数式）; 4.确定变量范围：结合内角和、两边之和大于第三边、三角函数值域（如）约束变量; 5.求最值：利用三角函数单调性、二次函数最值或基本不等式求解. 6.常见转化模型: 7.边化角：由正弦定理将边转化为角的三角函数（如），利用三角函数值域求最值; 8.角化边：由余弦定理将角转化为边的代数式，利用基本不等式求最值（如，结合定值求最小值）; 9.面积最值：将转化为单一变量函数，结合正弦定理或基本不等式求解. 【易错提示】 变量转化不彻底：未转化为单一变量，无法确定最值; 变量范围偏差：未准确利用三角形约束条件（如两边之和大于第三边）缩小范围; 基本不等式应用缺失条件：未验证“一正、二定、三相等”，导致最值无法取到; 三角函数值域忽略角的范围：将角的范围误记为全体实数，导致值域错误. 【多选题】（2025·四川资阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ）经典例题例题 A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断C，利用三角形面积公式判断D即可. 【详解】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【规律方法总结】 最值求解三步法：转化变量→确定变量范围→利用函数/不等式求最值; 转化原则：①求角的最值/范围→优先边化角，转化为三角函数值域问题;②求边的最值/范围→优先角化边，转化为基本不等式问题; 基本不等式应用技巧：遇到、相关最值，可通过“和定积最大、积定和最小”求解，注意验证等号成立条件（如是否符合三角形条件）; 三角函数最值技巧：将表达式化为或形式，结合角的范围求值域. 【多选题】（25-26高二上·吉林通化·开学考试）在中，角所对的边分别为，且，，为角的平分线交于，则（   ）小试牛刀1 A． B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【分析】结合正弦定理，利用三角恒等变换可求角判断A；利用正弦定理化简，可得，再求三角形面积判断B；由三角形面积求出表达式，利用基本不等式可求其最大值判断C；利用余弦定理和重要不等式即可求的范围判断D. 【详解】对于A，结合正弦定理，由， 得 因, 代入得 即 因为，所以，则，得， 又，则有，，故A正确； 对于B，由和正弦定理，得（是外接圆的半径）， 化简得，故的面积为，即B错误； 对于C，因为角的平分线，则，可得， 即，当且仅当时，等号成立，即，故C正确； 对于D，， 即，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD （2025·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（    ）小试牛刀2 A．        ` B．b取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为6 【答案】BC 【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B， 由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况. 【详解】对于A，. 由正弦定理边角互化可得：， 则，故A错误； 对于B，， 则，当且仅当取等号. 由余弦定理，，又， 则，因，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，，则，故C正确； 对于D，由B分析，， 得.. 令，则，由三角形三边关系可得， 则，则. 则，令. 则，令， 因，则在上单调递减， 则，即周长无最大值，恒小于， 故D错误. 故选：BC 【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．的最小值为 B． C．的最大值是 D．的周长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围. 【详解】A：由等面积法有，即， 由，，的平分线交于， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对； B：在中，在中， 由的平分线交于，即，故，故B错； C：由，则，， 所以 ， 又，即时，的最大值是，故C对； D：由A分析有，则，故， 所以，当且仅当时取等号， 由， 所以，故三角形周长为， 令，则周长在上单调递增， 所以，即周长范围是，故D对. 故选：ACD 【热点题型四：三角恒等变换与解三角形的实际应用】 【核心归纳】 1.常见实际场景：测量距离（如两点间不可达距离）、测量高度（如山顶、建筑物高度）、航海问题（航向、距离）、坡度问题. 2.解题核心步骤（数学建模流程）: 3.审题建模：梳理实际问题中的几何关系，画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题; 4.提取已知量：确定三角形中的已知边、角（注意方位角、仰角、俯角、坡度的定义）; 5.选择定理求解：根据已知条件选择正弦定理或余弦定理，结合恒等变换计算未知量; 6.还原实际意义：将计算结果转化为实际问题的答案，补充单位，必要时取近似值. 7.关键概念辨析: 8.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（）; 9.仰角/俯角：从水平线向上/向下转到目标方向的角度（）; 10.坡度：坡面与水平面的夹角，坡度. 【易错提示】 概念理解错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，导致已知角提取错误; 建模失误：未能准确将实际问题转化为解三角形问题，遗漏关键三角形或已知条件; 忽略实际约束：计算结果未结合实际场景验证合理性（如距离为负、角度超范围）; 单位不统一：未将角度单位（度、弧度）或长度单位统一，导致计算错误. （2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A处，测得山顶Q位于其正东方向，且仰角为，该队继续沿南偏西的方向行进400米至营地B处，测得山顶Q的仰角为，则该山顶高于山脚的高度为 米．（结果保留整数，参考数据）经典例题例题 【答案】693 【分析】画出图形，作出辅助线，设米，表达出各边长，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，过点作⊥平面于点，则即为山顶高于山脚的高度， 由题意得米，， 设米，则，， 其中， 在中，由余弦定理得， 即，即， 解得， 则该山顶高于山脚的高度为693米. 故答案为：693 【规律方法总结】 建模技巧：画图时明确“已知什么、求什么”，标注关键角和边，复杂问题可拆分多个三角形求解; 已知角提取技巧：方位角转化为三角形内角时，利用“正北/正南平行”性质求内错角、同旁内角;仰角/俯角对应直角三角形中的锐角; 多三角形问题求解：先解已知条件充足的三角形，将求得的边/角作为另一三角形的已知条件，逐步推进; 近似值处理：根据题目要求保留小数位数，实际问题中通常保留1-2位小数或整数. （2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是 海里.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. （2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）小试牛刀2 【答案】373 【分析】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. （24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（   ）（，结果保留2位小数）小试牛刀3 A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米 【答案】B 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 课后针对训练 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 2．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】将条件式分别利用和差角公式展开，两式相比弦化切得解. 【详解】由，得， ，即， 即得，即. 故选：D. 3．（2025·广东佛山·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】结合角的范围，根据二倍角公式计算出角的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计算. 【详解】，. 又，， ，，. . 故选：D. 4．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 5．（2025·陕西西安·模拟预测）函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6．（2025·云南昭通·模拟预测）记的内角的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得，即， 解得， ， 则． 故选：B． 7．（2025·安徽·模拟预测）已知角满足，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用二倍角公式化简条件得到，再对目标式进行化简并代入求解即可. 【详解】由题意得，则， 解得，所以，， 所以， 故选：B. 8．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 9．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 10．（2025·甘肃嘉峪关·三模）【多选题】在锐角△ABC中，设，，则下列说法正确的是（   ） A． B．边上的高是 C．△ABC面积是 D．△ABC内切圆的面积是 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，余弦定理及面积公式可求答案． 【详解】在锐角中，，所以， 由余弦定理可得，所以； 由，可得； 设边上的高为h，由可得； 设内切圆的半径为r，由，可得， 所以内切圆的面积为，综上可知D错误． 故选：ABC． 11．【多选题】（24-25高三下·湖南长沙·月考）在锐角中，，角的对边分别为，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，化简得到，结合正弦定理，可判定A正确；由，利用余弦定理化简得，结合基本不等式，可判定B正确； 由为锐角三角形，得到，求得，再由，求得，可判定C错误；利用导数可判断结合三角变换公式D正确. 【详解】对于A中，由，可得， 即，即， 由正弦定理，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由余弦定理可得， 化简得， 又由基本不等式得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以B正确； 对于C中，因为为锐角三角形，可得，则， 因为，所以，可得， 又因为，所以，即， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，在锐角，由，且， 整理得， 所以，所以， 故，设， 则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在为增函数，故， 此时，三角形为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD 12．【多选题】（2025·甘肃·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（   ） A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6 C． D． 【答案】ABD 【分析】借助即可判断A；由三角恒等变换得,再结合面积公式和正弦定理即可判断B；借助周长公式和正弦定理即可判断C；借助正弦倍角公式和正弦定理即可判断D. 【详解】令的内切圆半径为，面积为，所以， 所以，即，故A正确； 因为，所以，， 所以 ， 又 所以 又，所以 令的外接圆半径为，由正弦定理可知，, 所以，所以，故B正确； 因为由选项B知，， 所以，故C错误； 由正弦定理和正弦倍角公式得： , 又由选项B知，所以，故D正确； 故选：ABD 13．【多选题】（2025·河南·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 【答案】AB 【分析】对A根据正弦定理进行边换角，再利用三角恒变换即可判断；对B，根据同角三角函数关系结合A选项即可求出，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求得，最后即可求出，对CD利用勾股定理和面积公式即可判断. 【详解】对A，已知，由正弦定理得到， 因为， 代入上式可得：， ，因为，所以，得到，则，故选项 A正确. 对B，由，且，因为，，所以， 可得，. 已知，由正弦定理得，则，. ， 因为，所以. 设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确. 对C，因为，，，根据勾股定理， 的周长为，故选项C错误. 对D，的面积，故选项D错误. 故选：AB. 14．（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可； （2）由，得到，结合角的范围求得，再利用正弦倍角公式求解即可． 【详解】（1）， 令， 解得， 故函数的对称轴为直线. （2）因为，即， 且，则， 可得，则， 则 ， 所以． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）中，． (1)求角C； (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，得， 整理得，即， 而，解得，又，所以或. （2）由（1）及角C为锐角，得， 在中，由正弦定理得，而， 则， ， 因此， 所以的面积为. 16．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，设，进而根据外接圆的性质、三角恒等变换公式可得周长，即可利用余弦函数的性质求解， （2）设，根据正弦定理及题设可得，，即可由正切的和差角公式求解. 【详解】（1）由题意可知：， 结合成等差数列，可得， 所以， 不妨设最小，且， 由于，故为的外接圆圆心， 则， 故的周长 ， 故当时，此时周长最大，且最大值为， （2）设，由，， 则，， 在直角三角形中，， 在中，由正弦定理可得， 则，整理得， 所以， 解得，所以. 17．（24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明； （2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； （2）因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 18．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，则求解即可； （2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可． 【详解】（1）设，则，又，因此， 由为的内角，所以. （2）由（1）知，，又，则，因此， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得， ， 显然，则有，因此当时，取到最小值， 此时，即， 所以的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题2：三角恒等变换与解三角形】 【高考定位】 1.考情趋势 三角恒等变换与解三角形是高考三角函数模块的核心延伸内容，近3年高考中题型稳定、分值固定，属于“中档必得分”模块:小题（5分/题）多考查三角恒等变换化简求值、解三角形基本量计算，难度中档;解答题（12分）常以“恒等变换+解三角形”综合形式呈现，偶尔结合平面向量、面积最值、实际应用（测量、航海）命题，难度中档偏易. 核心考查频率排序：三角恒等变换（化简、求值）>解三角形基本量求解（边、角、面积）>解三角形综合应用（最值、范围）>恒等变换与向量/不等式融合. 2.考查要求与命题特点 核心要求：熟练掌握两角和与差、二倍角、辅助角等恒等变换公式，能精准完成三角式化简与求值;掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能解决三角形边、角、面积的求解问题，能处理与三角形相关的最值、范围及实际应用问题. 命题特点：①重公式灵活应用，强调“化简优先”，规避复杂计算;②解三角形突出“边角转化”核心，渗透数形结合、分类讨论思想;③综合趋势显著，常与平面向量、基本不等式、三角函数值域融合;④实际应用题型贴近生活，侧重数学建模能力考查. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，该模块总分值约12-17分:小题1道（5分），聚焦恒等变换求值或解三角形基本量计算;解答题1道（12分），多以“恒等变换化简+解三角形综合”形式呈现，部分年份会在压轴题中渗透三角形最值问题. 【真题体验】 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角恒等变换（化简、求值）】 【核心归纳】 1.核心公式体系: 2.两角和与差公式：;;（，）; 3.二倍角公式：;;（，）; 4.辅助角公式：（，终边过点），也可表示为（）; 5.同角三角函数关系：;（，）. 6.化简核心原则：“三统一”——统一角（倍角、和角→单角）、统一函数名（切→弦或弦→切）、统一表达式形式（化为“一角一函数”标准型）;优先降幂、通分、去根号. 7.求值题型分类: 8.给角求值：化简消去非特殊角，转化为特殊角三角函数值; 9.给值求值：通过角的配凑（和差、倍半、互补互余）转化已知角与所求角，结合角的范围判断函数值符号; 10.给值求角：先求所求角的某一三角函数值，再结合角的范围定角（优先选余弦函数，因其在单调递减，定角更精准）. 【积化和差公式（不要求记忆，会推导）】 【和差化积公式（不要求记忆，会推导）】 【易错提示】 易错提示 公式记忆错误：如混淆两角和差余弦公式符号、二倍角降幂公式记错（如将误记为）; 角的范围忽略：给值求值/求角时，未确定角的取值范围，导致符号判断错误或角的大小错解; 切化弦不彻底：正切与弦函数共存时，未统一函数名，导致化简受阻; 辅助角象限判断错误：未根据$a、b$符号确定象限，仅由定角，导致偏差. 【多选题】（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 化简“四步法”：降幂→化同角→化同名→配凑标准型（辅助角公式）; 给值求值“角的配凑技巧”：观察所求角与已知角的和、差、倍、半关系（如所求角、所求角、所求角），通过配凑实现公式应用; 给值求角“定角三步骤”：①求所求角的三角函数值（优先选或）;②缩小角的范围至单值区间;③结合单调性定角; 公式逆用与变形：熟练掌握积化和差逆用、等变形，提升化简效率. 【多选题】（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ）小试牛刀2 A． B．β终边在第二象限 C． D． 【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型二：解三角形基本量求解（边、角、面积）】 【核心归纳】 1.核心定理与公式: 2.正弦定理：（为外接圆半径），变形：、、;; 3.余弦定理：;;;变形：; 4.面积公式：①底高;②;③;④（为内切圆半径）;⑤海伦公式：（）. 5.题型分类与求解策略: 6.AAS/ASA（两角及一边）：优先正弦定理求另两边，再求面积; 7.SAS（两边及夹角）：优先余弦定理求第三边，再求角或面积; 8.SSS（三边）：优先余弦定理求两角，内角和验证; 9.SSA（两边及一边对角）：正弦定理求另一角，需判断“两解、一解、无解”. 10.SSA型解的判断：设已知a、b、A，由判断：①无解;②（一解）;③时一解，时一解，时验证，成立则两解，否则一解. 【易错提示】 SSA型漏解/多解：未判断解的个数，直接由定角; 正弦定理应用忽略角的范围：求出角后未验证与已知角和是否小于，导致“超角”; 余弦定理符号错误：记错公式符号（如将“”误记为“+”）; 面积公式角的对应错误：如中，角非a、b夹角; 遗忘内角和验证：求出两角后未验证和是否小于. 【多选题】（2025·湖南·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ）经典例题例题 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的面积为4 【规律方法总结】 定理选择原则：①两角及一边、SSA→优先正弦定理;②两边及夹角、三边→优先余弦定理;③求面积→优先选含已知角和边的公式; SSA型解题四步骤：求→判断解的个数→求角（注意两解）→求角和边; 验证技巧：用“大边对大角”（）验证结果合理性，避免错误; 计算简化：保留根号或分式至最后化简，利用转化未知角（如）. 【多选题】（2025·广西南宁·模拟预测）设内角的对边分别为，若，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 【多选题】（2025·吉林·模拟预测）已知的面积为，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 【热点题型三：解三角形综合应用（最值、范围问题）】 【核心归纳】 1.核心考查方向：边长最值/范围、角的最值/范围、面积最值/范围、与恒等变换/基本不等式融合的综合最值. 2.解题核心思路: 3.边角转化：通过正、余弦定理将所求量转化为单一变量（角的三角函数或边的代数式）; 4.确定变量范围：结合内角和、两边之和大于第三边、三角函数值域（如）约束变量; 5.求最值：利用三角函数单调性、二次函数最值或基本不等式求解. 6.常见转化模型: 7.边化角：由正弦定理将边转化为角的三角函数（如），利用三角函数值域求最值; 8.角化边：由余弦定理将角转化为边的代数式，利用基本不等式求最值（如，结合定值求最小值）; 9.面积最值：将转化为单一变量函数，结合正弦定理或基本不等式求解. 【易错提示】 变量转化不彻底：未转化为单一变量，无法确定最值; 变量范围偏差：未准确利用三角形约束条件（如两边之和大于第三边）缩小范围; 基本不等式应用缺失条件：未验证“一正、二定、三相等”，导致最值无法取到; 三角函数值域忽略角的范围：将角的范围误记为全体实数，导致值域错误. 【多选题】（2025·四川资阳·一模）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ）经典例题例题 A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【规律方法总结】 最值求解三步法：转化变量→确定变量范围→利用函数/不等式求最值; 转化原则：①求角的最值/范围→优先边化角，转化为三角函数值域问题;②求边的最值/范围→优先角化边，转化为基本不等式问题; 基本不等式应用技巧：遇到、相关最值，可通过“和定积最大、积定和最小”求解，注意验证等号成立条件（如是否符合三角形条件）; 三角函数最值技巧：将表达式化为或形式，结合角的范围求值域. 【多选题】（25-26高二上·吉林通化·开学考试）在中，角所对的边分别为，且，，为角的平分线交于，则（   ）小试牛刀1 A． B．的面积为 C． D． （2025·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（    ）小试牛刀2 A．        ` B．b取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为6 【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．的最小值为 B． C．的最大值是 D．的周长的取值范围是 【热点题型四：三角恒等变换与解三角形的实际应用】 【核心归纳】 1.常见实际场景：测量距离（如两点间不可达距离）、测量高度（如山顶、建筑物高度）、航海问题（航向、距离）、坡度问题. 2.解题核心步骤（数学建模流程）: 3.审题建模：梳理实际问题中的几何关系，画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题; 4.提取已知量：确定三角形中的已知边、角（注意方位角、仰角、俯角、坡度的定义）; 5.选择定理求解：根据已知条件选择正弦定理或余弦定理，结合恒等变换计算未知量; 6.还原实际意义：将计算结果转化为实际问题的答案，补充单位，必要时取近似值. 7.关键概念辨析: 8.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（）; 9.仰角/俯角：从水平线向上/向下转到目标方向的角度（）; 10.坡度：坡面与水平面的夹角，坡度. 【易错提示】 概念理解错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，导致已知角提取错误; 建模失误：未能准确将实际问题转化为解三角形问题，遗漏关键三角形或已知条件; 忽略实际约束：计算结果未结合实际场景验证合理性（如距离为负、角度超范围）; 单位不统一：未将角度单位（度、弧度）或长度单位统一，导致计算错误. （2025·广东深圳·模拟预测）某登山队在山脚营地A处，测得山顶Q位于其正东方向，且仰角为，该队继续沿南偏西的方向行进400米至营地B处，测得山顶Q的仰角为，则该山顶高于山脚的高度为 米．（结果保留整数，参考数据）经典例题例题 【规律方法总结】 建模技巧：画图时明确“已知什么、求什么”，标注关键角和边，复杂问题可拆分多个三角形求解; 已知角提取技巧：方位角转化为三角形内角时，利用“正北/正南平行”性质求内错角、同旁内角;仰角/俯角对应直角三角形中的锐角; 多三角形问题求解：先解已知条件充足的三角形，将求得的边/角作为另一三角形的已知条件，逐步推进; 近似值处理：根据题目要求保留小数位数，实际问题中通常保留1-2位小数或整数. （2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是 海里.小试牛刀1 （2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）小试牛刀2 （24-25高一下·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（   ）（，结果保留2位小数）小试牛刀3 A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米 课后针对训练 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2025·广东佛山·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 4．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昭通·模拟预测）记的内角的对边分别为，则（    ） A． B． C．或 D． 7．（2025·安徽·模拟预测）已知角满足，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 9．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃嘉峪关·三模）【多选题】在锐角△ABC中，设，，则下列说法正确的是（   ） A． B．边上的高是 C．△ABC面积是 D．△ABC内切圆的面积是 11．【多选题】（24-25高三下·湖南长沙·月考）在锐角中，，角的对边分别为，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 12．【多选题】（2025·甘肃·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（   ） A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6 C． D． 13．【多选题】（2025·河南·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 14．（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）中，． (1)求角C； (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 17．（24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 18．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $