微专题1：三角函数的图像与性质讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数图像与性质高考核心模块，按考频排序图像变换与解析式、单调性与最值、对称性与周期、综合应用四大热点题型，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生构建知识体系，突破平移伸缩易错点等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料融合数学思维与数学语言素养，创新“图像变换口诀”“特殊点优选原则”等教学策略，如用“左加右减x，横缩倒数倍”助记变换法则，设置例题、小试牛刀、课后训练分层练习。通过错题警示和规律总结，培养学生逻辑推理与模型建构能力，高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题1：三角函数的图像与性质】 【高考定位】 1.考情趋势 三角函数的图像与性质是高考数学的核心必考模块，近3年全国卷、新高考卷中，该模块题型稳定为“小题+大题”结合：小题（5分/题）多考查单调性、对称性、周期、图像识别与变换，难度中档；大题常作为解答题第一或第二题（12分），结合三角恒等变换、解三角形、平面向量等综合考查，难度中档偏易，是得分关键模块. 核心考查频率排序：图像变换与解析式求解>单调性与最值>对称性与周期>综合应用（与向量、解三角形结合）. 2.考查要求与命题特点 核心要求：掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性）；能熟练进行三角函数图像的平移、伸缩变换；会用辅助角公式化简三角函数式并研究其性质. 命题特点：①注重基础性质的灵活应用，规避复杂计算；②强调“数形结合”思想，通过图像分析性质、解决参数范围问题；③渗透“转化与化归”思想，将复杂三角函数式转化为标准型（或）求解；④综合趋势明显，常与三角恒等变换、解三角形、平面向量、不等式等结合命题. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，该模块总分值约10-17分：小题1-2道（5-10分），覆盖图像变换、单调性、对称性、周期等单一考点；解答题1道（12分），多以“化简求值+性质应用”或“图像分析+综合应用”形式呈现，偶尔与解三角形融合考查. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2.（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 10．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角函数图像变换与解析式求解】 【核心归纳】 1.图像变换核心法则：围绕标准函数（或）的“平移、伸缩”两步变换，分两种经典途径： 2.解析式求解核心：已知图像求（）的参数，遵循“先定A、B，再求，最后找”的步骤： （振幅）：；（纵向平移量）：； （角频率）：由周期确定，，周期可通过图像中“相邻对称轴间距”“相邻对称中心间距”“相邻最值点间距”求解（相邻对称轴/对称中心间距为，相邻最值点间距为）； （相位）：代入图像上的“特殊点”（如最高点、最低点、与轴的交点）求解，优先选择已知单调性的特殊点，避免符号错误. 【易错提示】 平移变换“对象混淆”：左右平移是对“本身”的变换，而非“”，若，需先提取，再计算平移量（如由到，平移量为，而非），这是网络名师强调的高频易错点； 求时“选点不当”：若选择与轴的交点，需判断该点是上升段交点还是下降段交点（上升段对应的递增点，下降段对应递减点），否则易求错的符号； 伸缩变换“方向颠倒”：横坐标伸缩时，“缩短为原来的”等同于“乘以2”，“伸长为原来的2倍”等同于“乘以”，容易与纵坐标伸缩方向混淆. （25-26高三上·江西·月考）【多选题】函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ）经典例题例题 A． B． C．在上单调递增 D．当时，对任意的恒成立 【规律方法总结】 图像变换记忆口诀：“左加右减，上加下减；横伸缩倒数倍，纵伸缩直接倍；先缩后移要变参，先移后缩不变参”； 解析式求解“特殊点优选原则”：优先选择最高点（对应）或最低点（对应），这类点的函数值唯一，可快速锁定；若必须选轴交点，优先选“中间点”（如在两个最值点之间的交点）； 多图像变换问题：可通过“逆推法”验证，即由目标函数图像反向推导原函数图像，检查变换步骤是否正确. （2025·江苏南通·模拟预测）【多选题】已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 （2025·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·山东德州·月考）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（   ）小试牛刀3    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C．若在上有3个极值点，则m取值范围是 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【热点题型二：三角函数的单调性与最值问题】 【核心归纳】 1.单调性求解核心：将复杂三角函数转化为标准型（或），利用复合函数单调性“同增异减”法则求解： 当时：的增区间为，减区间为，令，解不等式即可得原函数的增、减区间； 当或时：先利用诱导公式转化为的形式（如，其增区间对应的减区间），再求解； 2.最值求解核心： 基本型最值：（）的最大值为，最小值为，当且仅当（最大值）或（最小值）时取得； 复合型最值：含二次函数结构（如）或分式结构的三角函数，通过“换元法”转化为二次函数或反比例函数最值（换元后需注意新元的取值范围，如）； 区间型最值：给定的取值范围，需先确定的范围，再结合三角函数图像在该区间内的单调性、极值点，求最值（需注意区间端点的函数值）； 3.单调性应用：利用单调性比较三角函数值大小（先利用诱导公式转化为同一单调区间内的角）、求参数范围（已知函数在某区间单调，转化为不等式恒成立问题）. 【易错提示】 忽略的符号：求解单调区间时，若，未先转化为正，直接套用标准区间，会导致结果完全相反； 换元后“范围丢失”：如求解的最值时，忽略，直接按二次函数的全体定义域求最值，导致错误； 区间型最值“漏查端点”：只关注区间内的极值点，忽略区间端点的函数值，可能错过最值（如函数在区间端点处取得最值）. 【多选题】（2025·四川德阳·一模）已知函数，下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 【规律方法总结】 单调区间求解“三步法”：①化标准型（保证）；②令，求（或）的对应单调区间；③解关于的不等式，写出最终区间（标注）； 最值求解“换元四步走”：①确定换元对象（如）；②明确新元取值范围（如）；③转化为新函数（二次函数、反比例函数等）；④结合新函数单调性求最值； 区间型最值“图像辅助法”：画出三角函数在目标区间内的图像，标注极值点和区间端点，直观判断最值位置，避免漏解. 【多选题】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且小试牛刀2 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. （2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为．小试牛刀3 (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【热点题型三：三角函数的对称性与周期性问题】 【核心归纳】 1.周期性核心： 基本周期：、的最小正周期为；的最小正周期为； 复合函数周期：、（）的最小正周期为；（）的最小正周期为； 周期性质：若（），则是的一个周期，（）也是的周期，解题时优先求最小正周期； 2.对称性核心（对称中心、对称轴）： ：对称中心为（），对称轴为（）； ：对称中心为（），对称轴为（）； 复合函数对称性：的对称中心满足（），解得，对称中心为；对称轴满足（），解得；的对称中心满足（），对称轴满足（）； 3.对称性与周期性的关系：若函数有两条对称轴和（），则的周期；若有两个对称中心和（），则周期；若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期. 【易错提示】 混淆“最小正周期”与“周期”：如的周期可以是、等，但最小正周期是，解题时需明确要求，避免错答； 对称中心“纵坐标遗漏”：复合函数的对称中心纵坐标为，而非，容易误写为； 对称性与周期性关系“系数错误”：将对称轴与对称中心对应的周期记为，忽略“一条对称轴+一个对称中心”时周期为的情况. （2025·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，其中 .经典例题例题 (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 【规律方法总结】 周期求解“三步骤”：①化简函数解析式为标准型；②确定函数类型（正弦、余弦、正切）；③代入对应周期公式计算（注意的绝对值）； 对称性判断“代入验证法”：若判断是否为对称轴，验证是否恒成立；若判断是否为对称中心，验证是否恒成立； 对称性与周期性综合问题“先定性质再求周期”：先通过已知条件确定函数的对称轴或对称中心，再利用两者关系求解周期，最后结合周期求解其他问题. （2025·云南·模拟预测）函数满足，则的取值集合为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 （2025·云南昆明·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．-1 D． 【热点题型四：三角函数综合应用（与向量、解三角形结合）】 【核心归纳】 1.与平面向量结合：常见题型为“向量数量积+三角函数性质”，核心步骤： 利用向量数量积公式化简：若向量，，则，将向量表达式转化为三角函数式； 利用辅助角公式将三角函数式化为标准型； 求解三角函数的性质（单调性、最值、对称性等）； 2.与解三角形结合：常见题型为“三角形边角关系+三角函数最值/范围”，核心步骤： 利用正弦定理（）或余弦定理（等）实现“边化角”或“角化边”； 结合三角恒等变换化简三角函数式，转化为标准型； 根据三角形内角范围（，）确定自变量取值范围，求解最值或范围. 【易错提示】 向量数量积“符号遗漏”：向量数量积公式中夹角的余弦值符号易忽略，导致三角函数式化简错误； 解三角形“角范围限制”：忽略三角形内角和为及各内角大于的条件，导致自变量范围扩大，最值求解错误； “边化角”与“角化边”选择不当：复杂题型中未根据条件灵活选择转化方向，导致计算繁琐或无法求解. （2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 .经典例题例题 【规律方法总结】 向量与三角函数结合题“两步化简法”：①向量运算化简（数量积、模长等）；②三角恒等变换化简，最终转化为标准型求解； 解三角形与三角函数结合题“转化原则”：①求边的最值/范围：优先“角化边”，转化为二次函数最值；②求角的最值/范围：优先“边化角”，转化为三角函数值域问题； 三角形内角范围“精准锁定”：利用将多变量转化为单变量（如），结合三角函数单调性求解. （2025·江西宜春·模拟预测）已知，函数（为常数）.小试牛刀1 (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. （2025·云南·一模）已知函数．小试牛刀2 (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)若， （i）当时，求使成立的x的范围； （ii）在中，角的对边分别为，且．若________求的取值范围．请从以下两个条件中任选一个补充在横线处并作答． ①为锐角三角形且；②的面积为S且． （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（    ） A．变换到 B．变换到 C．变换到 D．变换到 2．（24-25高三下·重庆·月考）设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025·江西·一模）已知函数的定义域为，集合，则（   ） A．若，且在上单调，则的取值范围是 B．若，且在上恰有2个不等的实根，则的取值范围是 C．若，且，则的取值范围是 D．若，且中恰有4个不同元素，则的取值范围是 6．（2025·湖北·模拟预测）函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·模拟预测）如图，为坐标原点，点在函数的图象上，且的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是第三象限角，则 C．若，则 D．的最大值为 8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在内有且仅有3个极大值点 B．的图象关于点对称 C．若，则 D．在上的单调递减区间为 9．（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（   ） A． B．的定义域为 C．是偶函数 D．的值域为 10．（2024·四川·一模），，下列说法正确的是（    ） A．有1解 B．有2解 C． D．，将向右平移个单位得到，为奇函数 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，，则（    ） A．的图象是由的图象向左平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的2倍得到 B．的图象是由的图象向右平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的2倍得到 C．当时，函数的图象与在区间内有两个不同交点 D．当时， 12．（2025·四川广安·模拟预测）已知实数满足，则下列命题正确的是（   ） A．若时，则 B．若，，则是的减函数 C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数 三、解答题 13．（2025·湖北武汉·三模）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 14．（2025·上海虹口·一模）已知，，设. (1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 15．（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题1：三角函数的图像与性质】 【高考定位】 1.考情趋势 三角函数的图像与性质是高考数学的核心必考模块，近3年全国卷、新高考卷中，该模块题型稳定为“小题+大题”结合：小题（5分/题）多考查单调性、对称性、周期、图像识别与变换，难度中档；大题常作为解答题第一或第二题（12分），结合三角恒等变换、解三角形、平面向量等综合考查，难度中档偏易，是得分关键模块. 核心考查频率排序：图像变换与解析式求解>单调性与最值>对称性与周期>综合应用（与向量、解三角形结合）. 2.考查要求与命题特点 核心要求：掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性）；能熟练进行三角函数图像的平移、伸缩变换；会用辅助角公式化简三角函数式并研究其性质. 命题特点：①注重基础性质的灵活应用，规避复杂计算；②强调“数形结合”思想，通过图像分析性质、解决参数范围问题；③渗透“转化与化归”思想，将复杂三角函数式转化为标准型（或）求解；④综合趋势明显，常与三角恒等变换、解三角形、平面向量、不等式等结合命题. 3.分值与题型分布 全国卷/新高考卷中，该模块总分值约10-17分：小题1-2道（5-10分），覆盖图像变换、单调性、对称性、周期等单一考点；解答题1道（12分），多以“化简求值+性质应用”或“图像分析+综合应用”形式呈现，偶尔与解三角形融合考查. 【真题体验】 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2.（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 10．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型一：三角函数图像变换与解析式求解】 【核心归纳】 1.图像变换核心法则：围绕标准函数（或）的“平移、伸缩”两步变换，分两种经典途径： 2.解析式求解核心：已知图像求（）的参数，遵循“先定A、B，再求，最后找”的步骤： （振幅）：；（纵向平移量）：； （角频率）：由周期确定，，周期可通过图像中“相邻对称轴间距”“相邻对称中心间距”“相邻最值点间距”求解（相邻对称轴/对称中心间距为，相邻最值点间距为）； （相位）：代入图像上的“特殊点”（如最高点、最低点、与轴的交点）求解，优先选择已知单调性的特殊点，避免符号错误. 【易错提示】 平移变换“对象混淆”：左右平移是对“本身”的变换，而非“”，若，需先提取，再计算平移量（如由到，平移量为，而非），这是网络名师强调的高频易错点； 求时“选点不当”：若选择与轴的交点，需判断该点是上升段交点还是下降段交点（上升段对应的递增点，下降段对应递减点），否则易求错的符号； 伸缩变换“方向颠倒”：横坐标伸缩时，“缩短为原来的”等同于“乘以2”，“伸长为原来的2倍”等同于“乘以”，容易与纵坐标伸缩方向混淆. （25-26高三上·江西·月考）【多选题】函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ）经典例题例题 A． B． C．在上单调递增 D．当时，对任意的恒成立 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的图像、性质、变换进行逐项计算即可. 【详解】由图象可知，，， 解得，解得. 又函数过点，所以， 则，因为，所以. 所以函数，A正确； 根据函数的变换可知，B错误； ，因为，所以， 此时是单调递增的，C正确； 因为， 所以不等式变为. 因为，所以，所以， 所以，所以要使得不等式恒成立，那么，D正确. 故选：ACD. 【规律方法总结】 图像变换记忆口诀：“左加右减，上加下减；横伸缩倒数倍，纵伸缩直接倍；先缩后移要变参，先移后缩不变参”； 解析式求解“特殊点优选原则”：优先选择最高点（对应）或最低点（对应），这类点的函数值唯一，可快速锁定；若必须选轴交点，优先选“中间点”（如在两个最值点之间的交点）； 多图像变换问题：可通过“逆推法”验证，即由目标函数图像反向推导原函数图像，检查变换步骤是否正确. （2025·江苏南通·模拟预测）【多选题】已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD （2025·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数变化求出的表达式，再求的值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的， 得到函数， 进而， 故选：B. 【多选题】（25-26高三上·山东德州·月考）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（   ）小试牛刀3    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C．若在上有3个极值点，则m取值范围是 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断 . 【详解】由图知， ，所以，所以， ， 因为，所以， 所以， 对于：，故错误； 对于： ，故正确； 对于：，，    根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点， 则，解得，故正确； 对于：，， ，    由图可知，在上只有一个实数根， 则，故错误. 故选：. 【热点题型二：三角函数的单调性与最值问题】 【核心归纳】 1.单调性求解核心：将复杂三角函数转化为标准型（或），利用复合函数单调性“同增异减”法则求解： 当时：的增区间为，减区间为，令，解不等式即可得原函数的增、减区间； 当或时：先利用诱导公式转化为的形式（如，其增区间对应的减区间），再求解； 2.最值求解核心： 基本型最值：（）的最大值为，最小值为，当且仅当（最大值）或（最小值）时取得； 复合型最值：含二次函数结构（如）或分式结构的三角函数，通过“换元法”转化为二次函数或反比例函数最值（换元后需注意新元的取值范围，如）； 区间型最值：给定的取值范围，需先确定的范围，再结合三角函数图像在该区间内的单调性、极值点，求最值（需注意区间端点的函数值）； 3.单调性应用：利用单调性比较三角函数值大小（先利用诱导公式转化为同一单调区间内的角）、求参数范围（已知函数在某区间单调，转化为不等式恒成立问题）. 【易错提示】 忽略的符号：求解单调区间时，若，未先转化为正，直接套用标准区间，会导致结果完全相反； 换元后“范围丢失”：如求解的最值时，忽略，直接按二次函数的全体定义域求最值，导致错误； 区间型最值“漏查端点”：只关注区间内的极值点，忽略区间端点的函数值，可能错过最值（如函数在区间端点处取得最值）. 【多选题】（2025·四川德阳·一模）已知函数，下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函数性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式计算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周期列方程和不等式即可求出范围判断D. 【详解】时，，函数最小正周期为，充分性成立， 当函数最小正周期为时，，必要性不成立， 所以是函数最小正周期为的充分不必要条件，A错误； ， 所以的最大值是，B正确； 若，则时，， 因为在单调递增，所以， 解得，，又，所以，， 解得，， 所以，则，故的取值范围是，C正确； 若， 因为，在单调递增，在单调递减， 所以， 且， 所以，即的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 【规律方法总结】 单调区间求解“三步法”：①化标准型（保证）；②令，求（或）的对应单调区间；③解关于的不等式，写出最终区间（标注）； 最值求解“换元四步走”：①确定换元对象（如）；②明确新元取值范围（如）；③转化为新函数（二次函数、反比例函数等）；④结合新函数单调性求最值； 区间型最值“图像辅助法”：画出三角函数在目标区间内的图像，标注极值点和区间端点，直观判断最值位置，避免漏解. 【多选题】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. （2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且小试牛刀2 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 【答案】(1) (2)值域为，递增区间为，递减区间为，. 【分析】（1）先由周期求，再由求出即可求解； （2）由诱导公式得，利用三角恒等变换得，利用三角函数的性质求出值域和单调区间即可. 【详解】（1）由，得.由，且，所以， 所以； （2）由， 所以 ， 所以的值域为， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由得， 由得，， 所以的递增区间为，递减区间为，. （2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为．小试牛刀3 (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以． 令，得， 故的单调递减区间为． （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到． 令 令，则， 因为，所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数的取值范围为． 【热点题型三：三角函数的对称性与周期性问题】 【核心归纳】 1.周期性核心： 基本周期：、的最小正周期为；的最小正周期为； 复合函数周期：、（）的最小正周期为；（）的最小正周期为； 周期性质：若（），则是的一个周期，（）也是的周期，解题时优先求最小正周期； 2.对称性核心（对称中心、对称轴）： ：对称中心为（），对称轴为（）； ：对称中心为（），对称轴为（）； 复合函数对称性：的对称中心满足（），解得，对称中心为；对称轴满足（），解得；的对称中心满足（），对称轴满足（）； 3.对称性与周期性的关系：若函数有两条对称轴和（），则的周期；若有两个对称中心和（），则周期；若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期. 【易错提示】 混淆“最小正周期”与“周期”：如的周期可以是、等，但最小正周期是，解题时需明确要求，避免错答； 对称中心“纵坐标遗漏”：复合函数的对称中心纵坐标为，而非，容易误写为； 对称性与周期性关系“系数错误”：将对称轴与对称中心对应的周期记为，忽略“一条对称轴+一个对称中心”时周期为的情况. （2025·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，其中 .经典例题例题 (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合函数的最小正周期，求出，再结合正弦函数的对称中心，即可求得答案； （2）由可求出，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，，所以，则有， 所以； 由，可得，， 所以函数的对称中心为； （2）由于，所以， 则有，即， 所以． 【规律方法总结】 周期求解“三步骤”：①化简函数解析式为标准型；②确定函数类型（正弦、余弦、正切）；③代入对应周期公式计算（注意的绝对值）； 对称性判断“代入验证法”：若判断是否为对称轴，验证是否恒成立；若判断是否为对称中心，验证是否恒成立； 对称性与周期性综合问题“先定性质再求周期”：先通过已知条件确定函数的对称轴或对称中心，再利用两者关系求解周期，最后结合周期求解其他问题. （2025·云南·模拟预测）函数满足，则的取值集合为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知条件得出或，所以或，进而得出的取值集合. 【详解】因为函数满足， 即， 所以或， 所以或，所以或，， 又，得或， 则的取值集合为. 故答案为：. （25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A （2025·云南昆明·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．-1 D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值. 【详解】函数. 令，则，则. 故选：D. 【热点题型四：三角函数综合应用（与向量、解三角形结合）】 【核心归纳】 1.与平面向量结合：常见题型为“向量数量积+三角函数性质”，核心步骤： 利用向量数量积公式化简：若向量，，则，将向量表达式转化为三角函数式； 利用辅助角公式将三角函数式化为标准型； 求解三角函数的性质（单调性、最值、对称性等）； 2.与解三角形结合：常见题型为“三角形边角关系+三角函数最值/范围”，核心步骤： 利用正弦定理（）或余弦定理（等）实现“边化角”或“角化边”； 结合三角恒等变换化简三角函数式，转化为标准型； 根据三角形内角范围（，）确定自变量取值范围，求解最值或范围. 【易错提示】 向量数量积“符号遗漏”：向量数量积公式中夹角的余弦值符号易忽略，导致三角函数式化简错误； 解三角形“角范围限制”：忽略三角形内角和为及各内角大于的条件，导致自变量范围扩大，最值求解错误； “边化角”与“角化边”选择不当：复杂题型中未根据条件灵活选择转化方向，导致计算繁琐或无法求解. （2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 .经典例题例题 【答案】 【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可. 【详解】因为 . 又函数最小正周期为，且，所以 . 所以. 当时，，所以. 做函数，的草图如下：      函数图象关于直线对称. 设，则，.， 所以， ， 解得或（舍去）. 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于设，根据题意列出，坐标，根据纵坐标的关系列式，求出的值，再求点纵坐标.特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 【规律方法总结】 向量与三角函数结合题“两步化简法”：①向量运算化简（数量积、模长等）；②三角恒等变换化简，最终转化为标准型求解； 解三角形与三角函数结合题“转化原则”：①求边的最值/范围：优先“角化边”，转化为二次函数最值；②求角的最值/范围：优先“边化角”，转化为三角函数值域问题； 三角形内角范围“精准锁定”：利用将多变量转化为单变量（如），结合三角函数单调性求解. （2025·江西宜春·模拟预测）已知，函数（为常数）.小试牛刀1 (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用向量的数量积结合降幂公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期及单调递减区间； （2）由（1）根据求得，再由求得，然后由余弦定理求得，从而可得三角形面积． 【详解】（1）由题意得 ， 所以的最小正周期， 令，得， 所以的单调递减区间为. （2）由，得，故. 由，得， 即， 因为，所以，所以， 所以， 又，即，所以， 所以. （2025·云南·一模）已知函数．小试牛刀2 (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)若， （i）当时，求使成立的x的范围； （ii）在中，角的对边分别为，且．若________求的取值范围．请从以下两个条件中任选一个补充在横线处并作答． ①为锐角三角形且；②的面积为S且． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据辅助角公式，先对化简，再根据三角函数的性质求最小正周期和对称轴. （2）（i）先求出的表达式，求出的的取值，再结合图象求出的的取值范围. （ii）选①，利用正弦定理，将表示为角的函数，根据三角形内角的取值范围求的范围.选②，根据面积公式及余弦定理将表示出来，结合基本不等式求范围. 【详解】（1）由题意，所以，故的最小正周期为． 令，得． 所以函数图象的对称轴方程为． （2）由题意知． （i）在同一坐标系中，作出函数与直线的图象，如下图所示： 令，即， 当时，由得或， 即或． 又因为，故或； 当时．由得或，，即或． 又因为，故或， 所以结合函数的图象得，使成立的x的范围为． （ii）因为，则， 因为，所以，所以，解得． 选①为锐角三角形且， 由正弦定理：，则 . 因为为锐角三角形，所以，即，得， 则，所以， 所以，故的取值范围为． 选②的面积为且， 由，得． 由余弦定理， 消a得， 变形得，因为，即， 解不等式得，当且仅当时等号成立． 所以的取值范围为． （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（    ） A．变换到 B．变换到 C．变换到 D．变换到 【答案】D 【分析】利用伸缩变换的相关知识一一分析选项即可. 【详解】由题意可知“变换到”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 对于A，B，C选项从变换到都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 即；， 对于D项，从变换到是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位，该变换与题干中的变换不一致，D错误. 故选：D 2．（24-25高三下·重庆·月考）设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数，得到辅助角，根据正弦型函数的性质求出，再代入化简求值即可. 【详解】因为， 所以，其中， 因为恒成立，所以，即， 则. 故选：B. 3．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 4．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求出，由正弦函数的图像变换及正弦函数的单调性可得，从而可求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以，解得， 所以. 将向左平移个单位后，所得函数为. 时，，故. 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 因为，所以，解得， 所以，所以. 故选:B. 二、多选题 5．（2025·江西·一模）已知函数的定义域为，集合，则（   ） A．若，且在上单调，则的取值范围是 B．若，且在上恰有2个不等的实根，则的取值范围是 C．若，且，则的取值范围是 D．若，且中恰有4个不同元素，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式结合角的值化简计算判断A，D，再根据的值结合三角函数的值域计算判断B，C. 【详解】， 当，时，， 因为的单调区间是，所以.，故A正确； 当时.，由得， 所以在上的前3个实根依次为，，，所以，故正确. 当时，，由，若，则不存在， 使得，所以，，故错误； 若中有4个不同元素.则方程在上恰有2个不同实根.所以，，故D正确. 故选：ABD. 6．（2025·湖北·模拟预测）函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数基本关系解方程可判断A，利用正切函数与余弦函数图象可判断BCD. 【详解】因为，∴，故A正确； 作出函数与图象， 通过两个函数的图像可以得到图象有4个交点，故B选项正确； 且4个点两两关于点对称，所以， ，因此D选项正确，C选项错误. 故选：ABD 7．（2025·河南·模拟预测）如图，为坐标原点，点在函数的图象上，且的最小正周期为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是第三象限角，则 C．若，则 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由周期公式即可判断；对于B，由图可知，结合即可判断；对于C，不妨取，由求得的表达式，进一步由即可求得；对于D，，求导得函数单调性、最值即可. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以，解得，A正确； 对于B，，由图可得曲线在处的切线的斜率为正数， 所以. 因为是第三象限角，所以，则，即，B错误； 对于C，不妨取，则. 由题意可得，结合图象可得. ，结合图象可得，解得，C正确； 对于D，设的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则原的图象在坐标系中的解析式为， 设点在坐标系中的坐标为， 则. 令函数， 则. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 即的最大值为，D正确. 故选：ACD. 8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．在内有且仅有3个极大值点 B．的图象关于点对称 C．若，则 D．在上的单调递减区间为 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的正弦可得，利用整体法结合正弦函数的性质判断AD， 证明判断B，求出函数的值域后求出两角的大小再利用两角和的正切公式计算后判断C. 【详解】， 对于A，当时，， 而在内有且仅有2个极大值点， 故在有且仅有2个极大值点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为，故，则， 故，所以，其中， 所以，所以，故C正确； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为. 所以在上的单调递减区间为， 故D正确. 故选：BCD. 9．（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（   ） A． B．的定义域为 C．是偶函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对A，令代入求解；对B，由值域可判断；对C，令，换元求得，由偶函数定义判断；对D，令，则可化为二次函数求解值域. 【详解】对于A：令，则，， 故，故A正确； 对于B：令， 由，则，即定义域为，故B错误； 对于C：由于， 则，又，故， 也即，由于定义域关于原点对称，且， 故是偶函数，故C正确； 对于D：令， 则，对称轴为，其位于定义域区间之内， 所以函数的最小值为． 又，，故函数的最大值在端点处取得为2，值域为，故D正确． 故选：ACD． 10．（2024·四川·一模），，下列说法正确的是（    ） A．有1解 B．有2解 C． D．，将向右平移个单位得到，为奇函数 【答案】AD 【分析】令原方程可化为，结合余弦函数性质判断方程的解，判断AB，由条件结合关系利用两角和正弦公式求结论，判断C，根据函数图象变换结论求，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，所以， 令，则，， 当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 又， 所以存在唯一的，满足条件， 即存在唯一的，满足条件， 即，只有一个解，A正确，B错误； 因为，， 结合选项A知，， 所以， ， 所以，C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数，D正确； 故选：AD. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，，则（    ） A．的图象是由的图象向左平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的2倍得到 B．的图象是由的图象向右平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的2倍得到 C．当时，函数的图象与在区间内有两个不同交点 D．当时， 【答案】BCD 【分析】由三角函数诱导公式以及函数图象变换，可得AB的正误；利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦函数的性质，可得C的正误；由三角函数的对称性，结合辅助角的正切值，可得D的正误. 【详解】对于选项A和B，因为， 所以的图象由的图象向右平移个单位长度，再纵坐标变为原来的2倍得到， 所以A不正确，B正确； 对于选项C，因为，其中， 因为，且取不到， 所以当时，直线与函数一个周期内的图象只有2个交点，所以C正确； 对于选项D，由C分析知，是在内的两个不等根， 由对称性知，， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 12．（2025·四川广安·模拟预测）已知实数满足，则下列命题正确的是（   ） A．若时，则 B．若，，则是的减函数 C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数 【答案】BC 【分析】对于A，根据的大小得到，即可得到的大小；对于B，利用已知条件得到关于的函数解析式，结合复合函数同增异减的原则判断即可；对于C，根据得到关于的函数解析式，结合余弦函数的周期判断即可；对于D，利用这一特例说明一个对应两个的值，即可判断. 【详解】对于A，当时，， 可得或，故A错误； 对于B，若，，则由可得， 根据在上为减函数，在上是增函数， 可知在上为减函数，故B正确； 对于C，因为，，， 所以，其中， 所以，即， 结合余弦函数的周期为，可知是的周期函数，故C正确； 对于D，若，，， 则当时，，可得或，一个对应两个的值， 所以不是关于的函数，故D错误. 故选：BC. 三、解答题 13．（2025·湖北武汉·三模）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象； （2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由表格，，，； （ⅱ）五点法画出函数图象如下， （2）当时，， 当在取得最小值时，，解得， 当在取得最小值时，，解得， 当分别在取得最小值时，，解得， 综上：的取值范围为. 14．（2025·上海虹口·一模）已知，，设. (1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 【答案】(1)函数是非奇非偶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）由可得的奇偶性； （2）先求出函数的解析式，再由正弦定理和余弦定理得到，再利用三角恒等变换对进行化简并结合三角函数的图象性质得到结果. 【详解】（1）当，时，，由， 所以既不关于轴对称，也不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （2）当且函数的最小正周期为时，，， 由在中，，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，所以， ， 由于，，，所以， 即的取值范围是. 15．（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解； （2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. （2）由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $