期末复习02认识实数和平方根与立方根期末冲刺讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学期末复习讲义通过知识框架图系统梳理实数概念、平方根与立方根核心内容，用对比表格呈现平方根与立方根的表示方法、被开方数范围等区别，以思维导图形式整合无理数类型、实数与数轴关系等要点，突出双重非负性、符号规律等重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从“无理数近似值估算”等基础题型到“立方根在魔方体积计算中的应用”等实际问题，培养运算能力与应用意识。易错点辨析如“混淆算术平方根与平方根”专项指导，配合压轴题通关训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

期末复习02认识实数和平方根与立方根期末冲刺讲义 期末必备 知识点梳理 1.实数的概念与分类 2.平方根(重点) 3.立方根(重点) 4.易错点辨析 常考题型 精讲精炼 1.无理数的概念 2.无理数近似值的估算 3.实数与数轴的对应关系 4.实数的大小比较的方法 5.算术平方根的定义与求解 6.利用算术平方根的非负性解题 7.平方根的定义与求解 8.由平方根反求原数 9.利用平方根解一元二次方程 10.立方根的定义与求解 11.由立方根反求原数 12.立方根在实际问题中的应用 期末备考 压轴通关 压轴题(19题) 【知识点01.实数的概念与分类】 一.有理数 定义：可以表示成（p,q为整数，q≠0）的数。 形式：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数），有限小数和无限循环小数都属于有理数。 示例：3，−，0.25，0.3˙ 二.无理数 定义：无限不循环小数。 *常见类型 1.含π的数：如π，2π，π−1 2.开方开不尽的数：如，，​ 3.型无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0） 注意：带根号的数不一定是无理数（如=2是有理数） 三.实数 定义：有理数和无理数的统称。 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数（一一对应）。 【知识点02.平方根】 一.算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作 “根号a”。 规定：0的算术平方根是0（=0）。 性质：算术平方根具有双重非负性 被开方数非负：a≥0 算术平方根非负：a≥0 示例：32=9→9的算术平方根是3，即=3 二.平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则这个数x叫做a的平方根，记作±​。 性质 1.正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根。 求法：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 示例：(±2)2=4→4的平方根是±2，即±=±2 区别点 算术平方根 平方根 符号 ± 结果 非负数 两个互为相反数的数 适用范围 a≥0 a≥0 【知识点03.立方根】 一.定义 若一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数x叫做a的立方根，记作，读作 “三次根号a”。 二.性质 1.正数的立方根是正数； 2.负数的立方根是负数； 3.0的立方根是0。 关键：任何实数都有且只有一个立方根。 三.求法 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 示例：23=8→8的立方根是2，即​=2；(−2)3=−8→−8的立方根是−2， 即=−2 四.平方根与立方根对比 对比维度 平方根 立方根 表示方法 若x2=a，则x=±（a的平方根）算术平方根： 若x3=a，则x= 被开方数范围 a≥0（负数没有平方根） 全体实数（正数、负数、0 均可） 根的个数 正数：2 个，互为相反数 0：1 个，为 0 负数：0 个 正数：1 个，正数- 0：1 个，为 0- 负数：1 个，负数 任何实数都只有 1 个立方根 符号规律 正数的两个平方根符号相反；算术平方根非负 立方根符号与被开方数完全相同 逆运算 开平方 ↔ 平方 开立方 ↔ 立方 【知识点04.易错点辨析】 1.混淆算术平方根与平方根 错误：=±4→ 正确：=4，16的平方根是±4 2.忽略算术平方根的双重非负性 例：若+有意义，则x的取值范围是x−2≥0且2−x≥0→x=2 3.误认为带根号的数都是无理数 错误：是无理数 → 正确：=5，是有理数 4.立方根的符号错误 错误：=4 → 正确：=−4 【题型1.无理数的概念】 【典例】下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数） 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 是整数， ∴ 是有理数； ∴ 无理数共个； 故选：C． 【跟踪专练1】下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了无理数的定义，勾股定理．分别计算各数，判断是否为无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此即可得解． 【详解】解：①面积为3的正方形的边长为，是无理数； ②体积为8的正方体的棱长为，2是有理数； ③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为，是无理数； ④长为3、宽为2的长方形的对角线长为，是无理数， 综上所述，其中是无理数的是①③④． 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数的定义，实数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 【题型2.无理数近似值的估算】 【典例】若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 【跟踪专练1】的结果在哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，通过估算的值，并减去3后确定其整数范围即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，即， ∴的结果在4与5之间， 故选：D. 【跟踪专练2】若，其中，为相邻整数，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与61相邻的两个为平方数的整数． 根据，得出，从而确定介于两个相邻整数之间的值，再计算它们的乘积． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因此，， 所以． 故答案为：20． 【题型3.实数与数轴的对应关系】 【典例】如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上，点A对应的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理．根据勾股定理计算出，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， 点M表示的数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 【题型4.实数大小比较的方法】 【典例】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较． 估算出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】在，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 【跟踪专练2】比较大小： ．（填空用“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的近似值计算与实数的大小比较，解题的关键是求出的近似值，再与0.6比较． 先计算的近似值，进而求出的近似值，最后与0.6比较大小． 【详解】解∶ 由于 ，且 ，， ， ，即差值大于 ， 故 ． 故答案为： 【题型5.算术平方根的定义与求解】 【典例】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义逐项计算进行判断即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意； B. ，故原选项正确，符合题意； C. ，故原选项错误，不合题意； D. ，故原选项错误，不合题意． 故选：B 【跟踪专练1】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求一个数的算术平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：小正方形的边长为1， 阴影部分的正方形的边长为： 故选：A． 【题型6.利用算术平方根的非负性解题】 【典例】若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 【跟踪专练2】实数a、b在数轴上的位置如图，则＝ ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定a、b的符号与大小关系，结合相应性质去掉根号和绝对值符号． 由数轴得、，利用、及去掉根号与绝对值，再合并化简． 【详解】解：由数轴得，， ∴ ，，（∵ ）， 则． 故答案为：． 【题型7.平方根的定义与求解】 【典例】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的概念，先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴ 2 的平方根是 ， 即 的平方根是． 故选：C． 【跟踪专练1】已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 【跟踪专练2】若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 【题型8.由平方根求原数】 【典例】一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 【跟踪专练1】已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 【跟踪专练2】数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方根，立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据平方根的性质求出b的值，进而得出a的值，再代入求出，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：数的两个平方根是和， ，即， 解得：， ， ， ， 则的立方根为， 故答案为：3． 【题型9.利用平方根解一元二次方程】 【典例】若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的应用及无理数的估算，通过解方程得到，然后比较相邻整数的平方以确定 的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 即m在4和5之间， 故选：C． 【跟踪专练1】如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了代数式的逆运算与平方根的性质，解题关键是根据数值转换机的流程列出方程，再利用平方根的定义求解． 根据转换机流程列方程，利用平方根性质分别求解即可． 【详解】根据数值转换机的运算规则，可得等式：． 已知，则，开平方得或． 当时，； 当时，． 故答案为：4或． 【跟踪专练2】如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【题型10.立方根的定义与求解】 【典例】若，则a的绝对值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据立方根的定义求出a的值，再根据绝对值的性质求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：3． 【跟踪专练1】给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 【跟踪专练2】已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和求一个数的立方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求出的值，再求出，然后计算，最后求其立方根． 【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴ ， 即， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的立方根为， 故答案为：． 【题型11.由立方根反求原数】 【典例】9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 【跟踪专练1】已知，，那么a，b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据立方根和平方根的定义，分别求出a和b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的个数有（    ） ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，逐一判定即可． 【详解】①0不是最小的整数，因为没有最小的整数，故①错误； ②绝对值等于它的相反数的数是0或负数，故②错误； ③若且，则，同为负数，故③正确； ④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0或，故④错误； ⑤是多项式，不是单项式，故⑤错误； 综上可知，正确的是③． 故选：A． 【题型12.立方根在实际问题中的应用】 【典例】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． .【跟踪专练1】物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数估算的实际应用，立方根的应用，根据题意，得到正方体的棱长为，再利用无理数估算方法求出范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得正方体的棱长为， ∵， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 1．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 2．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 3．下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的性质、绝对值和平方根的概念，以及逻辑判断，熟练掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析每个说法的正确性即可． 【详解】解：说法①：∵ 当 时， 和 均为 0，都不是负数，∴ ①错误； 说法②：取 ，则 ，而 ，两者不相等，∴ ②错误； 说法③：取 ，，则 ，但 ，∴ ③错误； 说法④：∵ 两个数的和为正数，则两个数不能同时为负数（否则和为负），∴ 至少有一个正数，∴ ④正确． 综上，只有说法④正确，正确个数为 1． 故选：A． 4．已知m，n是有理数，且，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 5．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 6．如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 7．已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么 ． 【答案】606 【分析】本题主要考查取整函数，明确取整函数的性质：等价于即每个整数对应一段连续的值，计算每一段的和即可得出结论． 【详解】解：当且仅当（为整数）， 当时，，，共3个，和为； 当时，，，共5个，和为； 当时，，，共7个，和为； 当时，，，共9个，和为； 当时，，，共11个，和为； 当时，，，共13个，和为； 当时，，，共15个，和为； 当时，，，共17个，和为； 当时，，，共18个，和为； ∴， 故答案为：606． 8．已知四个数满足，则之间的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 10．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到． 【详解】解：、分别表示数和， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故B不符合题意； 的面积， 故D符合题意； ，表示的数分别为，， ， ， 一定是无理数，故C不符合题意； ，，， ， ， 的值随的变化而变化， 故A不符合题意． 故选：D． 11．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 12．如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 13．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，一条直角边为4，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解“有趣三角形”，“有趣中线”的定义，以及勾股定理． 由题意可得，可令，设，根据“有趣三角形”的定义，可以分三种情况，“有趣中线”分别是边、、的中线，利用“有趣中线”的定义或勾股定理，分别求解即可． 【详解】解：已知中，，一条直角边为4， 可令，设， 当“有趣中线”是边的中线时，如下图： 由“有趣中线”定义，可得； 当“有趣中线”是边的中线时，如下图： 由“有趣中线”定义，可得， 由是中线可得，， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得（负值舍去）， 即， 当“有趣中线”是边的中线时，由直角三角形的性质可得，斜边是其边中线的2倍，不符合题意， 故答案为：或． 14．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 15．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出，估算出，则，即可解答； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴的平方根为． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 17．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 18．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 19．实践活动：用长方形剪拼正方形． 数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为 ； 操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形． ①新正方形的边长为 ； ②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线． 【答案】（1）；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用面积相等，根据算术平方根即可求解； （2）①利用面积相等，根据算术平方根即可求解； ②利用勾股定理得出直角三角形的直角边，然后进行画图即可． 【详解】解：（1）长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）①长方形的面积为， 根据长方形的面积和正方形的面积相等， ∴正方形的边长为， 故答案为：； ②如图，正方形即为所求． ∵， ∴可以将原长方形切割成4个直角边分别为1和3的直角三角形， 然后剩下的小正方形拼接成的正方形放在中间即可． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02认识实数和平方根与立方根期末冲刺讲义 期末必备 知识点梳理 1.实数的概念与分类 2.平方根(重点) 3.立方根(重点) 4.易错点辨析 常考题型 精讲精炼 1.无理数的概念 2.无理数近似值的估算 3.实数与数轴的对应关系 4.实数的大小比较的方法 5.算术平方根的定义与求解 6.利用算术平方根的非负性解题 7.平方根的定义与求解 8.由平方根反求原数 9.利用平方根解一元二次方程 10.立方根的定义与求解 11.由立方根反求原数 12.立方根在实际问题中的应用 期末备考 压轴通关 压轴题(19题) 【知识点01.实数的概念与分类】 一.有理数 定义：可以表示成（p,q为整数，q≠0）的数。 形式：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数），有限小数和无限循环小数都属于有理数。 示例：3，−，0.25，0.3˙ 二.无理数 定义：无限不循环小数。 *常见类型 1.含π的数：如π，2π，π−1 2.开方开不尽的数：如，，​ 3.型无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0） 注意：带根号的数不一定是无理数（如=2是有理数） 三.实数 定义：有理数和无理数的统称。 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数（一一对应）。 【知识点02.平方根】 一.算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作 “根号a”。 规定：0的算术平方根是0（=0）。 性质：算术平方根具有双重非负性 被开方数非负：a≥0 算术平方根非负：a≥0 示例：32=9→9的算术平方根是3，即=3 二.平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则这个数x叫做a的平方根，记作±​。 性质 1.正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根。 求法：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 示例：(±2)2=4→4的平方根是±2，即±=±2 区别点 算术平方根 平方根 符号 ± 结果 非负数 两个互为相反数的数 适用范围 a≥0 a≥0 【知识点03.立方根】 一.定义 若一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数x叫做a的立方根，记作，读作 “三次根号a”。 二.性质 1.正数的立方根是正数； 2.负数的立方根是负数； 3.0的立方根是0。 关键：任何实数都有且只有一个立方根。 三.求法 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 示例：23=8→8的立方根是2，即​=2；(−2)3=−8→−8的立方根是−2， 即=−2 四.平方根与立方根对比 对比维度 平方根 立方根 表示方法 若x2=a，则x=±（a的平方根）算术平方根： 若x3=a，则x= 被开方数范围 a≥0（负数没有平方根） 全体实数（正数、负数、0 均可） 根的个数 正数：2 个，互为相反数 0：1 个，为 0 负数：0 个 正数：1 个，正数- 0：1 个，为 0- 负数：1 个，负数 任何实数都只有 1 个立方根 符号规律 正数的两个平方根符号相反；算术平方根非负 立方根符号与被开方数完全相同 逆运算 开平方 ↔ 平方 开立方 ↔ 立方 【知识点04.易错点辨析】 1.混淆算术平方根与平方根 错误：=±4→ 正确：=4，16的平方根是±4 2.忽略算术平方根的双重非负性 例：若+有意义，则x的取值范围是x−2≥0且2−x≥0→x=2 3.误认为带根号的数都是无理数 错误：是无理数 → 正确：=5，是有理数 4.立方根的符号错误 错误：=4 → 正确：=−4 【题型1.无理数的概念】 【典例】下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】下列各数中：①面积为3的正方形的边长；②体积为8的正方体的棱长；③两条直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线长，其中是无理数的是 （填序号）． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【题型2.无理数近似值的估算】 【典例】若，是两个连续整数，且，则 ． 【跟踪专练1】的结果在哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【跟踪专练2】若，其中，为相邻整数，则 ． 【题型3.实数与数轴的对应关系】 【典例】如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上，点A对应的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【跟踪专练2】如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【题型4.实数大小比较的方法】 【典例】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【跟踪专练1】在，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小： ．（填空用“”“ ”或“”） 【题型5.算术平方根的定义与求解】 【典例】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则的值是 ． 【跟踪专练2】如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【题型6.利用算术平方根的非负性解题】 【典例】若，则的立方根是 ． 【跟踪专练1】已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【跟踪专练2】实数a、b在数轴上的位置如图，则＝ ； 【题型7.平方根的定义与求解】 【典例】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则的平方根是 ． 【跟踪专练2】若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【题型8.由平方根求原数】 【典例】一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【跟踪专练1】已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【跟踪专练2】数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【题型9.利用平方根解一元二次方程】 【典例】若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【跟踪专练1】如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为 ． 【跟踪专练2】如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【题型10.立方根的定义与求解】 【典例】若，则a的绝对值是 ． 【跟踪专练1】给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【跟踪专练2】已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【题型11.由立方根反求原数】 【典例】9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【跟踪专练1】已知，，那么a，b的大小关系是 ． 【跟踪专练2】下列说法正确的个数有（    ） ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型12.立方根在实际问题中的应用】 【典例】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． .【跟踪专练1】物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【跟踪专练2】已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 1．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 2．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 3．下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知m，n是有理数，且，的值为 ． 5．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为 ． 6．如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 7．已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么 ． 8．已知四个数满足，则之间的大小关系是 ．（用“”连接） 9．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 11．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 12．如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 13．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，一条直角边为4，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于 ． 14．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 15．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 17．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 18．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 19．实践活动：用长方形剪拼正方形． 数学思考：（1）图1是一张长为5，宽为1的长方形纸片．将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形，这个正方形的边长为 ； 操作探究：（2）图2是一张长为5，宽为2的长方形纸片．请将其经过适当的分割、拼接，组成一个与原长方形的面积相等的新正方形． ①新正方形的边长为 ； ②图3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在图3中用实线画出拼接成的新正方形及所有的拼接线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $