专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年新教材八年级上册数学期末试卷精选（冀教版 河北专版）

期末复习第2步·攻专项 专项10全等三角形的综合探究 根据新教材及河北省新中考考情编写 满分：40分得分： 编者按：本专项结合当地期末考情，以全等三角形中“手拉手”“一线三等角”两大核心模型设置 题目，帮助学生集中突破期末高频难点 1.〔高邑县改编〕(10分)如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OC,将OC绕点C按顺时 针方向旋转60°得CD,连接OA,OB,OD,AD.已知∠AOB=110°，∠B0C=. (1)求证：△C0D是等边三角形； (2)当a=150°时，试判断△A0D的形状，并说明理由； (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 1109 2.〔哈尔滨市改编)(10分)【发现问题】(1)如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF, ∠BAC=∠EAF=30°，连接BE,CF,延长BE交CF于点D,则BE与CF的数量关系为 期末 ,∠BDC= 【类比探究】(2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°， 第 连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说 步 明理由. 攻 【拓展延伸】(3)如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连 项 接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上，过点A作AMLBF,垂足为M,则BF,CF,AM之间 的数量关系为 B 图1 图2 图3 河北专版数学八年级上册冀教 31 3.(10分)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1过点C,点A,B在直线1的同侧， BD⊥直线I于点D,AE⊥直线l于点E (1)求证：△AEC≌△CDB. (2)如图2，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(1)中的结论，按照图中所标注 的数据，计算实线所围成的图形的面积 (3)如图3，等边三角形EBC中，EC=BC=3cm,点O在BC上，且OC=2cm,动点P从点E 出发沿射线EC以1cm/s的速度运动，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到 线段OF.设点P运动的时间为ts,直接写出当t为何值时，点F恰好落在射线EB上。 E A B 63 图1 图2 图3 4.（10分)请思考以下问题： (1)如图1，若点D为等边三角形ABC的AC边上一点，以BD为边作等边三角形BDE(BD 期末复习 下方)，连接CE. ①求证：∠ABD=∠CBE; 2步 ②判断线段BC,CE,CD间的数量关系，并说明理由； ③若CD=2,CE=4,则AC= 攻专 问题解决： (2)如图2，等边三角形ABC中，BC=6,点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD为 边作等边三角形BDE(BD下方)，连接ME,则ME的长是否存在最小值？若不存在，请说 明理由；若存在，求出这个最小值， 图1 图2 32 河北专版数学八年级上册冀教∴.LACD=∠APD :∠AED=∠APD+∠PDC=∠ACD+∠PAC, ∴.LPDC=∠PAC. (7分) (3)43 (9分)》 【解析】：AB∥CD,.∠B=∠DCP..∠ACB= ∠ACD=∠DCP.∠ACB+∠ACD+∠DCP=180°， ∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠DCP=60°..△ABC是 等边三角形..AB=AC=BC=2.AC=CP=2, ∴.CD⊥AP,BP=BC+CP=4.AB∥CD,.∠BAP= ∠CEP=90°.AP=WBP2-AB2=2W3.△ABP ≌△ACD,∴.CD=BP=4..S四边形ACPD=S△ACP+ SAADP= AP.CE+iAP:DE-AP.CD-4/3. 专项10全等三角形的综合探究 1.解：(1)证明：：0C绕点C按顺时针方向旋转60° 得CD, .∠0CD=60°，0C=CD. .△C0D是等边三角形. (2分) (2)△AOD是直角三角形 (3分) 理由：△ABC是等边三角形， .BC=AC,∠ACB=60°. :∠OCD=60°，∴.∠ACB-∠AC0=∠OCD ∠AC0,即LBC0=∠ACD.OC=CD, .∴.△BOC≌△ADC. .∠ADC=∠B0C=150°. :△COD是等边三角形， ∴.∠CD0=60° .∠AD0=90° △AOD是直角三角形 (6分) (3),△C0D是等边三角形，.∠C0D=∠CD0=60°. △BOC≌△ADC,∠ADC=∠BOC=&.根据题 意，得∠A0D=360°-∠A0B-∠C0D-a=360°- 110°-60°-x=190°-a,∠AD0=∠ADC-∠CD0= a-60°，.∠0AD=180°-（∠A0D+∠AD0)=50° 当△AOD是等腰三角形时，分三种情况： ①当A0=AD时，∠AOD=∠AD0. 190°-=a-60°. 解得a=125°. ②当OA=OD时，∠0AD=∠AD0. ∴.a-60°=50°. 解得α=110°. 河北专版数学 ③当OD=AD时，∠OAD=∠AOD. .50°=190°-. 解得α=140°. 综上所述，当a为125°，110°或140时，△A0D是等腰 三角形. (10分) 2.解：(1)BE=CF30 (2分) 【解析】设AC与BE交于点O. ∠BAC=∠EAF=30°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 即LBAE=∠CAF. AB=AC,AE=AF,∴.△ABE≌△ACF. ∴.BE=CF,∠ABE=∠ACD. .·∠AOE=∠BAC+∠ABE=∠BDC+∠ACD, .∠BDC=∠BAC=30°. (2)BE=CF,∠BDC=60° (4分) 理由：：∠BAC=∠EAF=120°) ∴.∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE= ∠CAF. AB=AC,AE=AF,.△BAE≌△CAF,∠AEF= ∠AFE=30°. .∴.BE=CF,∠AEB=∠AFC :∠BEF为△EFD的外角， .∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC -30)=60°. (8分) (3)BF=CF+2AM (10分) 【解析】：△ABC和△AEF都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠EAF=90°， .AB=AC,AE=AF,∠BAC-∠CAE=∠EAF- ∠CAE,即LBAE=∠CAF. .△BAE≌△CAF..BE=CF. AMLBF,.M为EF的中点..EF=2AM. .BF BE EF,.BF CF 2AM. 3.解：(1)证明：BDL直线l,AE⊥直线l, ∠AEC=∠CDB=90° .∠CAE+∠ACE=90°. ∠ACB=90°，∠BCD+∠ACE=90°. ∴.∠CAE=∠BCD AC=BC,.△AEC≌△CDB. (3分) (2)与(1)同理可得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD. ..EF=AG=6,AF=BG=CH=3,CG=DH=4. ..FH=AF+AG+CG+CH=16. 实线所围成的图形的面积为S梯形EPD一S△BA S△ACB-S△BGC-S△CHD=S梯形EFD-2S△EFA- 年级上册冀救 2Ac=号EF+Dh0F阳-2×EFAF-2X 3c-BG=50 (7分) (3)当t=4时，点F恰好落在射线EB上.(10分) 【解析】当点F恰好落在射线EB上时，如图. .BC=3 cm,OC=2 cm,.'.OB 1 cm. 由旋转得LF0P=120°，0F=0P. .∠FOB+∠C0P=60°. :△EBC为等边三角形， ∴.LEBC=∠BCE=60. ∴.∠0BF=∠0CP=120°. .∠C0P+∠0PC=60°. ∴.∠FOB=∠OPC..∴.△OBF≌△PCO ∴.PC=OB=1cm. .PC=EP-EC=(t-3)cm, .∴.1=t-3..t=4. “.当t=4时，点F恰好落在射线EB上。 4.解：(1)①证明：：△ABC和△BDE为等边三角形， ∴.LABC=∠DBE=60. .∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD= LCBE. （2分) ②CD+CE=BC. (3分) 理由：：△ABC和△BDE为等边三角形， ..AB=BC=AC,BD=BE. :'LABD=∠CBE,∴.△ABD≌△CBE ..AD=CE..CD+AD=AC,..CD+CE=BC. (5分) ③6 (6分) (2)存在 (7分) 连接CE.:△ABC是等边三角形，AMLBC, ∴.∠BAC=60°，AM平分∠BAC,BM=CM= 2BC=3....BAM=30 分三种情况：I.当点D在线段AM上时，如图①. A B 图① 河北专版数学 :△ABC和△BDE为等边三角形， ∴.AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°. ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD= ∠CBE..△ABD≌△CBE. ∴.AD=CE,∠BCE=∠BAM=30°. (8分) Ⅱ.当点D在线段AM的延长线上时，如图②. A E图② △ABC和△BDE为等边三角形，AB=BC, BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°..∠ABC+ ∠CBD=LDBE+∠CBD,即LABD=LCBE .△ABD≌△CBE..AD=CE,∠BCE=∠BAM=30°. (9分) Ⅲ.当点D在线段AM的反向延长线上时，如图③， 延长EC至点F. B M “C 图③ △ABC与△BDE为等边三角形，.AB=BC, BD=BE,∠ABC=∠DBE=6O°，LABC- ∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠CBE=∠ABD .△ABD≌△CBE..∠BCE=∠BAD=180°- ∠BAM=150°. ∠BCF=180°-∠BCE=30°. ∴.点E在过点C且与直线BC所夹锐角为30°的直 线上移动 由垂线段最短可得当ME⊥CE时，ME的值最小. 此时LMEC=90°，LMCE=30°，ME=2CM=另 ME的最小值为号 (10分) 期末复习第3步·练真题 试卷1石家庄市桥西区 一、选择题 1.D2.C3.B4.A5.D6.B7.A8.B 9.A 年级上册冀救 10