专项9 全等三角形的简单证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年新教材八年级上册数学期末试卷精选（冀教版 河北专版）

设点A到BC的距离为hdm. Se=C4BB=8ca,即5×10x45= 1 2 ×2W21×h,h=20W7 7 答：点A到BC的距离为20y7, (10分) 5.解：(1)连接AC.AB=BC=80m,∠ABC=90°， .△ABC是等腰直角三角形 .在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √AB2+BC2=√802+802=80√2(m),∠CAB= 45°. (2分) AD=80m,CD=80W3m,.在△ACD中，AD2+ AC2=802+(80W2)2=(80√3)2=CD2. .△ACD是直角三角形，∠CAD=90°. .·.∠DAB=∠CAD+∠CAB=90°+45°=135° (5分) (2)过点D作DE⊥AB于点E,作点A关于DE的对 称点F,连接DF.由轴对称的性质，得DF=AD= 80m,AE=EF.由(1)知，∠BAD=135°.∴.∠DAE= 45°..△ADE是等腰直角三角形.∴.AE=DE. ..AE2+DE2=2AE2=AD2=802. ∴AE=DE=40W2m. ..AF 2AE 80v2 m. ∴.被监控到的道路长度为80√2m. (10分) 专项9全等三角形的简单证明 1.证明：D为AC的中点， ∴.AD=DC. ·.·DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=90°. .DE=DF, .Rt△ADE≌Rt△CDF. (4分) ∠A=∠C.∴AB=BC .AB=AC, ..AB=BC=AC. .△ABC是等边三角形 (7分) 2.解：(1)AD∥BC,∠DAC=∠ACB=40°. 主、副梯长度相等，.AC=AD .∴∠ADC=∠ACD LADC=a80-∠DAc)=70 (3分) (2)当LDAC=∠CAB时，如图，过点D作DFLAC于 点F 河北专版数学 D 8 ∴.∠DFA=∠ABC=90°. AC=AD,∠DAC=∠CAB,△DAF≌△CAB. ..DF BC=5 m. .点D到AC的距离为5m (7分) 3.解：(1)LCBM如图所示. (2分) (2)直线DE如图所示. (4分) D (3).AB=AC, .点A在线段BC的垂直平分线DE上. ∴.∠DEB=∠AEB=90°. ∠CBM=∠ABE,BE=BE, ∴.△BED≌△BEA. ∴.BD=AB. (8分) 4.解：(1)SSS (2分) (2)证明：.0C=0D,0F=0E,∠C0F=∠D0E, ∴.CE=DF,△COF≌△DOE. (4分) .∴.∠OCP=∠ODP ∠CPE=∠FPD,∴.△ECP≌△FDP (6分) .∴.CP=DP..OP=OP,..△COP≌△DOP ∴.∠COP=∠DOP. .射线OP是∠AOB的平分线. (9分) 5.解：(1)证明：∠BAC=∠PAD, .∠BAC+∠CAP=∠PAD+∠CAP,即∠BAP= LCAD. AB=AC,AP=AD,.△ABP≌△ACD. (3分) (2)证明：，△ABP≌△ACD,.∠B=∠ACD. .AB=AC,AP=AD, LACB-(150-BAC). APD=∠AP-1s80-∠PAD. ∠BAC=∠PAD,∴.∠B=∠ACB=∠APD=LADP. 、年级上册冀救 8 ∴.LACD=∠APD :∠AED=∠APD+∠PDC=∠ACD+∠PAC, ∴.LPDC=∠PAC. (7分) (3)43 (9分)》 【解析】：AB∥CD,.∠B=∠DCP..∠ACB= ∠ACD=∠DCP.∠ACB+∠ACD+∠DCP=180°， ∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠DCP=60°..△ABC是 等边三角形..AB=AC=BC=2.AC=CP=2, ∴.CD⊥AP,BP=BC+CP=4.AB∥CD,.∠BAP= ∠CEP=90°.AP=WBP2-AB2=2W3.△ABP ≌△ACD,∴.CD=BP=4..S四边形ACPD=S△ACP+ SAADP= AP.CE+iAP:DE-AP.CD-4/3. 专项10全等三角形的综合探究 1.解：(1)证明：：0C绕点C按顺时针方向旋转60° 得CD, .∠0CD=60°，0C=CD. .△C0D是等边三角形. (2分) (2)△AOD是直角三角形 (3分) 理由：△ABC是等边三角形， .BC=AC,∠ACB=60°. :∠OCD=60°，∴.∠ACB-∠AC0=∠OCD ∠AC0,即LBC0=∠ACD.OC=CD, .∴.△BOC≌△ADC. .∠ADC=∠B0C=150°. :△COD是等边三角形， ∴.∠CD0=60° .∠AD0=90° △AOD是直角三角形 (6分) (3),△C0D是等边三角形，.∠C0D=∠CD0=60°. △BOC≌△ADC,∠ADC=∠BOC=&.根据题 意，得∠A0D=360°-∠A0B-∠C0D-a=360°- 110°-60°-x=190°-a,∠AD0=∠ADC-∠CD0= a-60°，.∠0AD=180°-（∠A0D+∠AD0)=50° 当△AOD是等腰三角形时，分三种情况： ①当A0=AD时，∠AOD=∠AD0. 190°-=a-60°. 解得a=125°. ②当OA=OD时，∠0AD=∠AD0. ∴.a-60°=50°. 解得α=110°. 河北专版数学 ③当OD=AD时，∠OAD=∠AOD. .50°=190°-. 解得α=140°. 综上所述，当a为125°，110°或140时，△A0D是等腰 三角形. (10分) 2.解：(1)BE=CF30 (2分) 【解析】设AC与BE交于点O. ∠BAC=∠EAF=30°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 即LBAE=∠CAF. AB=AC,AE=AF,∴.△ABE≌△ACF. ∴.BE=CF,∠ABE=∠ACD. .·∠AOE=∠BAC+∠ABE=∠BDC+∠ACD, .∠BDC=∠BAC=30°. (2)BE=CF,∠BDC=60° (4分) 理由：：∠BAC=∠EAF=120°) ∴.∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE= ∠CAF. AB=AC,AE=AF,.△BAE≌△CAF,∠AEF= ∠AFE=30°. .∴.BE=CF,∠AEB=∠AFC :∠BEF为△EFD的外角， .∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC -30)=60°. (8分) (3)BF=CF+2AM (10分) 【解析】：△ABC和△AEF都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠EAF=90°， .AB=AC,AE=AF,∠BAC-∠CAE=∠EAF- ∠CAE,即LBAE=∠CAF. .△BAE≌△CAF..BE=CF. AMLBF,.M为EF的中点..EF=2AM. .BF BE EF,.BF CF 2AM. 3.解：(1)证明：BDL直线l,AE⊥直线l, ∠AEC=∠CDB=90° .∠CAE+∠ACE=90°. ∠ACB=90°，∠BCD+∠ACE=90°. ∴.∠CAE=∠BCD AC=BC,.△AEC≌△CDB. (3分) (2)与(1)同理可得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD. ..EF=AG=6,AF=BG=CH=3,CG=DH=4. ..FH=AF+AG+CG+CH=16. 实线所围成的图形的面积为S梯形EPD一S△BA S△ACB-S△BGC-S△CHD=S梯形EFD-2S△EFA- 年级上册冀救期末复习第2步·攻专项 专项9全等三角形的简单证明 根据新教材及河北省新中考考情编写 满分：40分得分： 编者按：本专项精选期末常考题型，考查全等三角形的判定与性质、尺规作图等核心考点，助力 学生通过专项练习，熟练掌握解题思路与技巧， 1.〔井陉县〕(7分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为 点E,F,且DE=DF 求证：△ABC是等边三角形. 2.（7分)云梯是古代攻城用的一种器械.图1中的云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一 定角度固定于底板上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立 柱、底板、主梯构成一个三角形，图2为其平面示意图.连接CD,∠ABC=90°，BC=5m, AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高！ (1)若AD∥BC,∠ACB=40°，求∠ADC的度数； (2)当∠DAC=∠CAB时，求点D到AC的距离. 副梯 0 立柱、 主梯 期末复习第2步 底板 B 图1 图2 ·攻专 3.〔洛阳市〕(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,请根据要求完成以下任务： (1)利用直尺与圆规，在BC的下方作∠CBM=∠ABC;(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)利用直尺与圆规，作BC的垂直平分线DE,垂足为E,交BM于点D; （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (3)求证：AB=BD. B 河北专版数学八年级上册冀教 29 4.(9分)已知：∠A0B=42°，点C在0A边上，点D在OB边上，且0C=OD (1)如图1，点P在∠AOB内部，且PC=PD,则射线OP为∠AOB的平分线.理由如下：由 PC=PD,OC=OD,OP=OP得△OCP≌△ODP,则∠POC=∠POD,即射线OP是∠AOB的平 分线.其中△OCP≌△ODP的依据是 (选填“SSS”SAS”“ASA”“AAS”或“HL”) (2)在OA上取点E(不与，点O,C重合)，在OB上取点F,使OF=OE,连接CF,DE,交于点 P,作射线OP(如图2).求证：射线OP是LAOB的平分线 A B D 图1 图2 5.(9分)在△ABC和△APD中，AB=AC,AP=AD,∠BAC=∠PAD,B,C,P三点共线，连接 CD,与AP交于点E. 期末复习第 (1)求证：△ABP≌△ACD; (2)求证：∠PDC=∠PAC; 2步 (3)若AB∥CD,AC=CP=2,则四边形ACPD的面积为 ·攻专项 30 河北专版数学八年级上册冀教