专项4 解直角三角形-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（冀教版2012 河北专版）

期末复习方略·攻专项 专项4解直角三角形 锁定期末高频考点，快速掌握 说明：本套试卷根据河北省新中考考情编写. 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔唐山市〕Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值 A.不变 B.变大 C.变小 D.无法判断 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB,下列用线段比表示sinA的值，错误的是 CD BC A. B. C.BD CD AC AB ·BC D.BC 北 C 河岸B →东 D 河岸A 第2题图 第3题图 3.一段东西流向且河岸平行的河道如图所示，点A,B分别为两岸上一点，且点B在点A的正北 方向，由点A向正东方向走am到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的 长为 () A.atan55°m B.a C0s55°m C.a sin55°m D.a tan55°n 4在△ABC中，AB=AC=10,0sB=2,则BC的长是 A.4 B.8 C.2W21 D.4W21 5.〔唐山市〕某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100√5m,则此人所在的位置升高了( A.100m B.505 m C.50m D.100√5m 6.若∠a为锐角，且tana是方程x2-2x-3=0的一个根，则sina等于 A.1 B.V2 C.10 D.310 2 10 10 7.数学思想数形结合了构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算 tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D= 15,所以anl15=4C=1 2-√3 =2-√3.类比这种方法，则tan22.5 CD 2+√3(2+√3)(2-√3) 的值为 A.√2+1 B.√2 C.√2-1 1 30 15D B 河北专版数学九年级冀教第1页共3页 专项4 8.中华优秀传统文化情境《天工开物》图1为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一一“碓(dui)”的结 构图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点0，OE⊥l.若BC=4dm,OB=12dm, ∠B0E=60°，则点C到水平线L的距离CF为（结果用含根号的式子表示） A.(6-2√3)dm B B.(6+2√3)dm C.(2√3-2)dm D.(2√3+2)dm 图1 图2 二、填空题 9.〔正定县〕如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么tana的值是 小猫 航行方向 P 门 房间 D 鸟 人 F 0 第9题图 第11题图 第12题图 sinA- 12 10.若△ABC中，∠A,∠B为锐角，满足 2 cos B- 2 =0,则△ABC是 三角形 (选填“钝角”“直角”或“等边”) 11.如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫（小猫位置不变）.如果每块正方形地砖的边长均为1，那么 小猫观察老鼠最大视角的正弦值为 .（不计墙的厚度) 12.〔福建中考〕无动力帆船是借助风力前行的.帆船借助风力航行的平面示意图如图所示，已知帆船航行方 向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N. 根据物理知识，F可以分解为两个力F,与F2,其中与帆平行的力F不起作用，与帆垂直的力F,又可以分 解为两个力f与，f与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400,则6=CD= (单位：N,参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77.) 三、解答题 13.计算：(1)〔张家口市〕2cos45°+2sin60°-tan60°；(2)〔邢台市改编〕2sin30°+4cos30°.tan30°-tan45°. 专项4 河北专版数学九年级冀教第2页共3页 14.〔河北中考)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为；淇淇向前走了3m后 到达点D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B,示意图如图所示.已知，淇淇的眼睛与水平地面 BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E (注：图中所有点均在同一平面) (1)求B的大小及tana的值； (2)求CP的长及sin/APC的值. 弥 D D 线 内 15.〔承德市〕放在水平桌面上的台灯的示意图如图所示，OM垂直于底座且不可转动，支架OA,AB 可分别绕点0，A转动，经调试发现，当∠0AB=115°，∠A0M=160°时，台灯所投射的光线最适 些 合写作业，测量得A到B的水平距离AC=10cm,台灯底座高度为2cm,固定支点0到水平桌 不 面的距离为7.5cm,已知AB+A0=26.14cm,∠C=90°.解决下列问题： (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√2≈1.414.) (1)∠BAC= °，0M=; (2)求点B到桌面的距离. 要 6 答 题 席 河北专版数学九年级冀教第3页共3页 女 期末复习方略·攻专项 专项5反比例函数 锁定期末高频考点，快速掌握 说明：本套试卷根据河北省新中考考情编写. 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.某段道路施工需运送土石方104m3,则土石方日运送量V(m/天)与完成运送任务所需时间 t(天)满足 ( A.反比例函数关系 B.正比例函数关系 C.一次函数关系 D.以上都不是 2.若反比例函数)=k,4的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 毁 A.k>4 B.k>0 C.k<0 D.k<4 弥 3已知反比例函数y=(k≠0)，且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函 线 数图像上的为 ( 不 A.(1,3) B.(-2,1) C.(2,0) D.(-3,0) 题 4.已知一次函数y=x+b和反比例函数y= 品（仙≠0），下列能描述这两个函数大致图像的是 辐 5〔石家庄市〕如图所示，在平面直角坐标系中，过反比例函数y=(x>0)的图像上一点A作 AB⊥y轴于点B,点P在x轴上.若SA4p=2,则k的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 p(kg/m3)个 >V(m3) 0 第5题图 第6题图 6.跨学科物理在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述 这四种气体的密度p(kg/m)与体积V(m)的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在 同一个反比例函数的图像上，则这四种气体的质量最小的是 ) 班 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.日常生活情境听课注意力了通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时 间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随 后开始分散.学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图像如图所示，当0≤x≤10和 河北专版数学九年级冀教第1页共3页 10<x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数的一部分，其中BC∥AD∥x轴.下列结论 错误的是 () A.当0≤x≤10时，对应的函数表达式为y=2x+20 B B.当20≤x≤45时，对应的函数表达式为y=900 x(min) C.点A对应的学生注意力指标y=20 1020 45 D.当学生注意力指标不低于36时，持续时间能达到19min 8.如图，点A在双曲线y=-k(x<0)上，连接0M,作0B1OA,交双曲线y=9(x>0)于点B,连接AB.若 sinB=等则k的值为 A.16 B.2 c号 D.1 二、填空题 9.设题新角度开放性试题在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=4的图像与正比例函数y=mx的图像 没有交点，写出一个满足条件的m值： 10.〔苏州市〕近视眼镜镜片的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距是0.25m. 小江原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，只需佩戴镜片焦距为0.4的眼镜了，则 小江现在所佩戴近视眼镜的度数为 度 11.〔唐山市)如图，点4(3,4)在反比例函数L:y=(x>0)的图像上，点B(3,1),以 点O为位似中心，在AB的右侧将线段AB放大为原来的n倍得到线段AB1 (1)k= B (2)若线段AB,与L总有交点，则n的最大值为 0123456 三、解答题 12.如图，反比例函数y=的图像与一次函数y=-2x+8的图像交于点A(1,a),B(b,2). (1)求a,b的值和反比例函数的表达式； (2)观察图像，直接写出不等式：<-2x+8的解集。 河北专版数学九年级冀教第2页共3页 专项5 13.〔遵化市〕如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图像和矩形4BCD都在第 2 一象限内，AD平行于x轴，且AB=1,AD=2,点A的坐标为(1,4). (1)直接写出B,C,D三点的坐标； (2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点A,C恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩 形平移的距离和飞的值. B 14.中华优秀传统文化情境桔槔了图1是中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻 力臂=动力×动力臂，即F4×l1=F。×12).受桔槔的启发，小轩组装了一个装置如图2所示， 其中，杠杆可绕点0在竖直平面内转动，点0距左端l1=1m,距右端l2=0.4m,在杠杆左端悬 挂重力为80N的物体A. (1)若在杠杆右端挂重物B,杠杆在水平位置平衡时，重物B的重力为 N. (2)为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置.为保持杠杆在水平位置平衡，当重物 B的质量变化时，l,的长度也随之变化.设重物B的重力为xN,l,的长度为ycm,则： ①y关于x的函数表达式是 ②根据下表，填空： x/N 10 20 30 40 50 y/cm 8 3 2 a= ,b= ③在图3的平面直角坐标系中画出该函数的图像， (3)在(2)中所求函数的图像上有一点C(25,c),若点D的坐标为(20,0)，点E在x轴上，且 S△Bc=40,请直接写出点E的坐标， y/cm →x/N 桔槔 B 1020304050 图1 图2 图3 专项5 河北专版数学九年级冀救第3页共3页(2)点P位置如图所示.(-1，-2) 15.解：(1)证明：四边形ABCD为菱形， .LACD=∠BCA. LACD=∠ABE,∴.LBCA=∠ABE. :∠BAC=∠EAB,.△ABC∽△AEB. 2△Mc-AMB投=G AB=6.AC=4.AE=6 64 ..AE =9. 16.解：(1)设正方形零件的边长为xmm,则KD= EF=x mm,AK=AD-KD =(80-x)mm. 四边形EFHG是正方形，∴.EF∥BC. .△AEF△ABC.BC=AD EF AK ￥=80-.解得x=48. 120=80 .正方形零件的边长为48mm. (2)证明：过点A作AD⊥BC分别交BC,GH,EF于 点D,N,M. 根据正方形的性质，得EF∥GH∥BC. .△AEF△AGH,△AGH△ABC,AMLEF,ANL 6m微-品8设 设每个小正方形的边长为a,则AM=AD-DM= AD-2a,AN AD-DN AD-a. ÷40-2a-“,4D-0=30 AD-a 3a’AD BC ..AD=2.5a,BC=5a...BC=2AD. ∠B=30°，AD⊥BC,∴.AB=2AD.∴.AB=BC 专项4解直角三角形 一、选择题 1.A2.D3.D4.B5.A6.D 7.C【解析】如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠C=90°，延长CB至点D,使得AB=BD,则 ∠BAD=∠D. 22.5 C B D LABC=45°，∠D=2ABC=22.5.设AC=1, AC 则CB=1,AB sin2ABc=√2CD=CB+BD= CB+AB=1+√2..tan2.5°=tanD=A CD 1 √2-1 =√2-1.故选C. 1+√2(1+√2)（√2-1） 8.A【解析】延长DC交于点H.OELl,ABLCD, ∠E0H=90°，∠ABH=90°.∠B0E=60°， ∴.∠B0H=30°..∠BH0=90°-∠B0H=60°.在 Rt△OBH中，OB=12,.BH=OB.tan.∠B0H=12 ×an30°=12×5=4V3.:CH=BH-BC= 3 4W3-4..CF=CH-sin.∠BH0=(4√3-4)× 河北专版数学 3=(6-23)dm.故选A 2 二、填空题 9.音10.等边 11.√0【解析】如图所示，小猫观察老鼠的最大 10 视角为∠BAD. 小猫 E 房间 、D C B 根据题意，可得AB2=62+32=45,BD2=22+12= 5,AD2=52+52=50,.AB2+BD2=AD2,BD= √5，AD=5√2..△ABD是直角三角形，∠ABD= 90'.sinLBAD=BD=5=10 AD5√210 12.128【解析】∠PDA=70°，∠PDQ=30°， ∴.∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=40°.由题意可知 AB∥QD..∠BAD=∠ADQ=40°.：在Rt△ABD 中，F=AD=400,∠ABD=90°，∴.F2=BD=AD sin∠BAD=400sin40°≈400×0.64=256.由题 意可知BD⊥DQ..∠BDQ=90°..∠BDC=180°- ∠BDQ-∠PDQ=60°.∴.在Rt△BCD中，5=CD= BD-emBD0=256Xems60=256×2-128 三、解答题 13.解：(1)原式=2×2+2×5-√3 2 2 =√2+√3-√3 =√2 （2)原式=2×分+4x号x得- 2 =1+2-1 =2. 14.解：(1)根据题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6,AB= CD=EQ=1.6,AE=BQ=4,AC=BD=3. ∴.CE=AE-AC=1,PE=PQ-EQ=1,∠CEP=90°. ÷CE=PE,tana=PE=1 AE=4 ∴.B=∠PCE=45°. (2)CE=PE=1,∠CEP=90°， .CP=√CE2+PE2=√2. 如图，过点C作CH⊥AP于点H. D ☆ H 窗户 A B E D 0 九年级冀教 设CH=xm.,tana= CH 1 AH AH=4x. 由勾股定理，得CH2+AH=AC2. .x2+(4x)2=9. 解得x,=317 17 舍去)，x2= 3√17 171 CH=317 17 3W17 sinLAPC CH P =17=3W34 √2 34 15.解：(1)455.5cm (2)过点O作OD⊥AC交AC于点D,如图. B A5 C 160t0 ∠A0M=160°，.∠0AC=70°，LA0D=20° L0AB=115°，.∠BAC=45 :AC=10,∠C=90°， BC=AC-an45°=10，AB=AC eos45°=10V2≈ 14.14. 由题意得，A0=26.14-AB=12. ∴.0D=A0c0s20°≈12×0.94=11.28. .BC+0D+7.5=28.78(cm). 点B到桌面的距离约为28.78cm. 专项5反比例函数 一、选择题 1.A2.A3.B4.C5.B6.A 7.D【解析】设当20≤x≤45时，反比例函数的表 达式为y=会将点c(20,45)代入y=年，得45= 解得k=90.当20≤x≤45时，反比例函数 的表达式为)=900B正确.在y=900中，令： x 45,得y=90=20.六点D(45,20).AD/:轴， 45 .点A(0,20).点A对应的学生注意力指标 y=20.C正确.设当0≤x≤10时，AB所在直线的 函数表达式为y=mx+n.将点A(0,20),B(10,45) 5 代入y=mx+n,得n=20, 解得m=2 10m+n=45. n=20. AB所在直线的函数表达式为y=+20.A正 确，在)=+20中，令y=36,得+20=36解 得=在=90中，令y=36,得x=90=25, 36 :25-号<19，当学生注意力指标不低于36 时，持续时间不能达到19min.D错误.故选D. 河北专版数学 8.A【解析】如图，过点A作ACLx轴于点C,过点B 作BD⊥x轴于点D,则LAC0=∠BD0=90°. Y C O D 0BL0A,∴.LA0B=90.°sinAB0=4 , 沿-号设01=A0=5 0B=VaB-0F=3…0-号 :∠B0D+∠A0C=∠A0C+∠OAC=90°， .∠OAC=∠B0D.∠AC0=∠BD0, :△A0C△0BD.SA0m SAAOC 0A)2 Γ91 9 SMAoG=kSAROD= 2 1 :2之-16=16故选A 9=9 二、填空题 9.-1(答案不唯一)10.250 11.(1)12(2)2 【解析】(1)：点A(3,4)在反比例函数L:y= (x>0)的图像上，.k=3×4=12 (2):以点0为位似中心，在AB的右侧将线段AB 放大为原来的n倍得到线段AB1,∴n>1.点B (3,1),∴点B(3n,n).线段AB1与L总有交点， .当n取得最大值时，点B,在反比例函数的图像 上= .n>1,∴n=2,即n的最大值为2. 三、解答题 12.解：(1)把点A(1,a),B(b,2)分别代人y=-2x+8, 得-2+8=a,-2b+8=2. .a=6,b=3..A(1,6). 把点A(1,6)代人y=名，得k=1×6=6. 6 反比例函数的表达式为y=日 (2)x<0或1<x<3. 13.解：(1)B(1,3),C(3,3),D(3,4) (2)设矩形平移的距离为m,则平移后点A的坐标 是(1,4-m),点C的坐标是(3,3-m). 平移后点A,C恰好同时落在反比例函数的图 像上，.k=1×(4-m)=3×(3-m). .m=2.5.∴.k=1.5. .矩形平移的距离为2.5，k的值为1.5. 14.解：(1)200 (2)①=80 ②48 ③函数图像如图所示. 九年级冀救