第三部分 15.3 可化为一元一次方程的分式方程-【假期成才路·寒假】2025-2026学年八年级数学复习与衔接（华东师大版·新教材）

假期成才路·八年级数学(HS) 15.3 可化为一元 第1课时分式方程 知 识 梳 理 1.分式方程的概念 方程中含有分式，并且分母中含有 的方程叫做分式方程， 2.解分式方程的步骤 (1)找最简公分母，如果分母是多项式，要 先 (2)去分母：方程两边都乘 约去分母，将分式方程化为 (3)解这个整式方程，得到整式方程的 ； (4)检验：代入最简公分母，如果最简公分母 的值为 ,则这个未知数的值是原分式方程的 ;如果最简公分母的值 ,则 这个未知数的值是 (也可 直接代人原分式方程中，看是否使原分式方程 中 典 例 精 析 考点1 解分式方程 7 +3 【例1】(1)x+x+°-xx-1 6 (2)z1-1=+x-2 3 5 次方程的分式方程 规律与方法：解分式方程，关键是找到最简 公分母，化为整式方程.方程两边在乘最简公分 母时，不要漏乘了没有分母的项，也要注意前面 是负号的式子去分母后的符号， 【变式训练1】解分式方程： （1(候丙中考)2z613=1: (2)(上海中考)工-3 2 2 x-2x2-3x+2x-1 考点②增根的概念 【例2】当m取何值时，方程2， 5 Ex+11-x z会产生增根 规律与方法：增根是去分母后的整式方程 的根且使最简公分母的值为0，这类题的解法 是：先去分母，可不化简，这样后面计算更简便， 再令最简公分母为0，求出未知数的值，然后代 入去分母后的方程，求出其中的待定系数 【变式训练2】 6 若方程(x+1)(x一 x一1=1有增根，则它的增根是 ( A.x=0 B.1 C.x=-1 D.x=1或-1 考点3已知分式方程根的符号，求待定系 数取值范围 【例3】若关于x的方程2。四=2 的解为正数，则m的取值范围是多少？ 规律与方法：这类题是先去分母，化为整式 方程，求出未知数，此时方程的解含有待定系数， 根据已知，可求出待定系数的一个范围，然后令最 简公分母不为0，又可求出待定系数的一个范围， 两者结合即可求出待定系数的取值范围. 【变式训练3】关于x的分式方程，2十 2=。的解为正实数，则的取值范围 2-x 是 课后 演练 【基础过关】 1.分式方程-+？1的解为 A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 5 第三部分新课预习 2.(递宁中考)若关于x的分式方程 x二21无解，则a的值为 A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 3.对于实数a、b,定义一种新运算“⑧”为：a⑧b 。-,这里等式右边是实数运算.例如：1 =1 ⑧3= 3=一日则方程x⑧(-2》= 1 x-4 -1的解是 () A.x=4B.x=5C.x=6 D.x=7 4已知x=1是分式方程十1-论的根，则实 数k= 5.(凉山州中考)若关于x的分式方程十+ x-2 2223,则m— 6若分式号与1互为相反数，则工的值是 7若关于x的分式方程2合-2的解 是正数，则k的取值范围是 8.解方程 4 1,221-2-4x+ 3· 假期成才路·八年级数学(HS) （8(商藏中考)异，马 核心素养 12.阅读下列材料：x+1=c+上的解是：=c, (3)2x+2x+2=x2-2 解是：=c,2=-1； xx-2x2-2x1 x十2=c+2的解是x1=c,-2； x+3=c+ 的解是-c, 3 (1)请观察上述方程与解的特征，猜想方程 x+=c+(m≠0)的解，并验证你的 【能力提升】 结论； 9.(1)若分式方程2红8-4=-2+0的解为 (2)利用这个结论求解关于x的方程： x-1 x+1 x+2 整数，则整数a= x1a+2 'a-1 (2)若分式方程，马1 ,m=2有增根，则 这个增根是 10.若整数a使关于x的不等式组 2" 3,有且只有45个整数解，且 4x-a>x+1 使关于y的方程2y++2+60=1的解 y+1 1+y 为非正数，则a的值为 1.已知方程：号石G红+2x-的 m 解为负数，试求m的取值范围. ·54· 第2课时 分式方程的应用 知 识梳 理 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，分析题中的已知事项，求什 么，明确各数量之间的等量关系； (2)设：设未知数，一般情况是求什么就设 什么； (3)列：列方程，根据题中的等量关系列出 方程； (4)解：解方程； (5)检：一是检验求出的解 ;二是检验求出的解 (6)答：回答题中的问题，注意不要漏 写 典 例 精 析 考点①分式方程的应用（行程问题） 【例1】甲、乙两地相距14千米，在一次 郊游中，一部分人骑自行车先走40分钟后其余 的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽 车的速度是自行车速度的3倍，求这两种车的 速度 ·5 第三部分新课预习 规律与方法：行程问题要抓关系：路程=速 度X时间，要找准题目中的主要等量关系.行程 问题还要注意：①速度的单位，②单位的统一 【变式训练1】一艘轮船在静水中的最大 航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可 列方程为 ( 120 90 A. 12090 v+35v-35 35-v35+v 120 90 12090 C. D. v-35v+35 35+v35-0 考点2)分式方程的应用（工程问题） 【例2】甲、乙两人准备整理一批新到的 图书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共 同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才 能完工.问乙单独整理这批图书需要多少分钟 完工？ 规律与方法：工程问题要抓关系：工作总量 =一工作时间X工作效率， 工程问题常见的等量关系有： (1)甲做工作量十乙做工作量=总工作量； (2)合作工作量十独做工作量=总工作量。 【变式训练2】为了建设社会主义新农 村，华新村修筑了一条长3000m公路，实际工 作效率比原计划提高20%，结果提前5天完成 任务.问原计划每天应修路 m 考点3分式方程与不等式组 【例3】某商场计划购进一批甲、乙两种 玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩 假期成才路·八年级数学(HS) 具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具 的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同. (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是 多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件， 其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数.商 场决定此次进货的总资金不超过1000元，求 商场共有几种进货方案？ 规律与方法：列方程解应用题的关键是 审题.一是找量：有几个数量，几种情况；二 是找关系：不同数量之间的关系以及同一个 量在不同情况下的关系.列分式方程解应用 题也必须验根. 【变式训练3】某学校购买了一批数量相 等的象棋和围棋，其中购买象棋用了420元，购 买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋 贵8元.若该校决定再次购买同种围棋和象棋 共40副，且再次购买的费用不超过600元，则 该校最多可再购买 副围棋。 课 后 演练 【基础过关】 1.(绥化中考)用A,B两种货车运输化工原料， A货车比B货车每小时多运输15吨，A货 车运输450吨所用时间与B货车运输300 ·5 吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化 工原料x吨，则可列方程为 () 300_450 A.15十xx R 450_300 C.15+z 450_300 D.15一x 2.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任 务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天 的工作效率比原计划提高了35%，结果提前 40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿 化的面积为x万平方米，则下面所列方程中 正确的是 ( A 80(1+356)_80=40 C 80 B. (1+35%)x 80二40 C.80 80 (1+35%)x =40 D.80_801+356)=40 C 3.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代 的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟 指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为：“50单 位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有 3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之 法”，则可以换得的粝米为 () A.1.8升B.16升C.18升D.50升 4.某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总 产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定 改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计 划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克， 种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均 每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量 为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万 千克，根据题意列方程为 5.“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环 境，计划种植树木6000棵.由于志愿者的加 入，实际每天植树的棵数比原计划增加了 25%,结果提前3天完成任务.则实际每天植 树 棵 6.(重庆中考)列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲 种文创产品的数量比每天生产乙种文创产 品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创 产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品 的数量多100个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量 分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程 进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产 品的数量较改进前每天生产的数量增加同 样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量 较改进前每天增加的数量是乙种文创产品 每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创 产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生 产的乙种文创产品增加的数量. 【能力提升】 7.某学校后勤人员到一家文具店给九年级的 同学购买考试用文具包，文具店规定一次购 买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级 学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付 款1936元；若多买88个，就可享受8折优 惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年 级学生有 人 ·57 第三部分新课预习 核心 素养 8.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着 汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月 份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1 万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年 销售额为100万元，今年销售额只有90 万元 (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少 万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经 销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进 价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元， 公司预计用不多于105万元且不少于99万 元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进 货方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款 汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的 销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还 顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利 相同，a值应是多少？考点2 【例2】(1)a2b,(2)6C 【变式训练2】 (1)2 (2)-8x 9y (3)-ac b m 【例3】原式=m十2m值略 【变式训练3】原式=x十3. 当x=一4时，原式=一4十3=一1. 课后演练 1.A2.D3.B4.B 5①答(2费 3)6.(1)(2), y-2 7.号8.地9.(1)363(2)x+1 na 3y3 10.略1.c12号 (-1)n+1。n 2n+1 核心素养 13.(1) 1 nn+1 2%器 第2课时分式的加减 知识梳理 1.分母分子2.通分同分母的分式加减 典例精析 考点1 【例1a时，②)-m-2 【变式训练1】(1)A(2)a-1 考点2 【例2】 2 a0a2+a2)0 【变式训练2】B 课后演练 1.D2.D3.B4.D5.B 6.(1)x+5(2)1(3)3 7.102(2)18.19.二 1 m-n x-2 10.(1)26c2-262)2a8)e-a+2 24abc 11.原式=a十1 a-1 当a=2时，原式-号岩-8 12.-13.-2 14.原式=十y-x-之二y十2=0. x一y十2 参考答案 核心素养 m=- 2 15.(1) 4x-3 1 1 (2)2x=3-22x+1+z—2 n一3 第3课时分式的混合运算 知识梳理 乘方乘除加减括号内 典例精析 考点1 1 【例1】(1)- m atb'm+l 【变式训练1】(1)A(2)A 考点2 【例2】(1)2 (2)1 (3)-√3 【变式训练2】原式-中 当a=5-1时，原式= 5 课后演练 1.B2.B3.C4.C5.a+26.-a 7(1)-￥ x+y 2}81 9.(1)原式=y(2)原式=1 10原式=十3 x=-2,y=1..原式=-1. 核心素养 13.(1)A=a2+a 1 (2)原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下 所示： 54320123456 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程 知识梳理 1.未知数 2.(1)分解因式(2)最简公分母整式方程(3)解 (4)0增根不为0原分式方程的根分母为0 67· 假期成才路·八年级数学(HS) 典例精析 考点1 【例1】(1)x=1,原方程无解；(2)x=1,原方程无解 【变式训练1】(1)x=4(2)x=5 考点2 【例2】m=-10或-4 【变式训练2】B 考点3 【例3】m<6且m≠0 【变式训练3】k>一2且k≠2 课后演练 1.A2.D3.B 4合5.-16-17.R<4且≠0 80x=42)x=-53)x=-司 9.(1)±1(2)x=110.-61或-59 11.m>1且m≠9 核心素养 13.1)x=ca=2,将=c西= 分别代入原方程，均符合，因此猜想正确. (2x+名=a+。名可化为 x-1+名=a-1+a名 由上述结论可得：x=a,=a+ a-1 第2课时分式方程的应用 知识梳理 (5)是不是分式方程的解是否符合题意(6)单位 典例精析 考点1 【例1】自行车的速度是14km/h,汽车的速度是 42km/h. 【变式训练1】D 考点2 【例1】乙单独整理100分钟完工. 【变式训练2】100 考点3 【例3】(1)甲、乙两种玩具的进价分别为15元/件、25 元/件. (2)商场共有4种进货方案. 【变式训练3】25 课后演练 1.C2.A3.C4.36_36+9=205.500 x1.5x 6.(1)该厂每天生产甲种文创产品的数量100个，每天生 产乙种文创产品的数量是50个. (2)每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个. 7.352 核心素养 8.(1)9万元(2)共有5种进货方案(3)a=0.5 第四部分人学测试卷 八年级下学期入学测试卷 一、选择题 1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.C8.C9.B10.C 二、填空题 11.812.15或-913.-7y-x14.√215.15 16.1417.12或1018.20-1 2n-1 三、解答题 19.(1)4+33(2)-10+183 20.(1)(m+3m)(m-m)(2)-4y(z-2y2 1 x=1 21.(1)0(2) y=1 22.铺这块草坪共需花费8640元. 23.证明略 24.(1)本次测试共调查了50名学生 (2)测试结果为B等级的学生数为18人 条形统计图如图所示， 人数 D测试等级 (3)43.2 25.(1)证明略 (2)BF- 26.(1)5 (2)当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等 (3)当t=3秒或4秒或碧秒时，△PDE为等腰三角形 27.(1AE-BD,AE BD (2)结论成立：AE=BD,AE⊥BD (3)AD的值为17或7 68