第三部分 15.1 分式及其基本性质-【假期成才路·寒假】2025-2026学年八年级数学复习与衔接（华东师大版·新教材）

第三部分 新课预习 第15章 15.1 分式及其基本性质 第1课时 分式 知 梳 理 1.分式的定义 形如哈(A,B是 ,且B中 )的式子，叫做分式，其中A叫做分式的 分子，B叫做分式的分母. 2.有理式分类 整式和分式统称 ,整式分为 和 3.分式号有意义、无意义和值为零的条件 (1)分式有意义：分母B (2)分式无意义：分母B (3)分式值为零：分子A=0,且分母B≠0. 4.分式的值为正、为负的条件 (1)分式的值为正数： (2)分式的值为负数： 典例精 析 考点① 分式的概念 【例1】下列式子中，哪些是整式，哪些是 3 第三部分新课预习 分式 分式？ atb 55 atb xty1 atb 3x-2’π’axy，-8'a-b” 2y2-3. 规律与方法：看一个代数式是否为分式，关 键是看其分母中有无字母，有则是分式，没有则 不是分式 、 【变式训练1】下列式子是分式的是 () A登B千 C.+yD.子 考点2分式有无意义的条件 【例2】下列各式中，当x取何值时，分式 有意义？ 7· 假期成才路·八年级数学(HS) 规律与方法：在实数范围内，分式是否有意 义是由分母决定的，当分母不等于零时，分式有 意义，反之则分式无意义 【变式训练2】下列说法错误的() A当x3时，分式有意义 B当x=1时，分式无意义 C不论a取何值，分式都有意义 D.当x=1时，分式的值为0 考点3分式的值是零的条件 【例3】下列各式中，x为何值时，分式的 值为零？ (1)2+2 x-3 3x十3 (2)(x-)(x+3) 规律与方法：要使分式的值为零，应该同时 满足两个条件：分子等于零，分母不等于零， 【变式训练3】若分式引的值为零，则 x的值为 A.0 B.1 C.-1 D.±1 课 后 演 练 【基础过关】 1在代数式号分，， π'+3a+1 x+y 中，分式的个数有 () A.2个B.3个 C.4个D.5个 。3 2.（常别中考)若使分式有意义，则x的取 值范围是 () A.x≠-1 B.x=-1 C.x≥-1 D.x>-1 3,(贵州中考)若分式考的值为0，则实数工 的值为 ) A.2 B.0 C.-2 D.-3 4.一个人上山和下山的路程都是s,上山的速 度是1，下山的速度是v2,则上山和下山的 平均速度是 5.(D使分式82无意义的a值为 (2)若分式十的值不存在，则x= 6.正n边形的一个内角的度数是 一个外角的度数是 7.(1)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米 长的电线，称得它的质量为m克，再称得剩 余电线的质量为n克，那么原来这卷电线的 总长度是 米. (2)将x克含糖10%的糖水与y克含糖30% 的糖水混合，混合后的糖水含糖 8.已知分式2a间u为何值时： (1)分式的值等于0？ (2)分式无意义？ (3)分式的值是正数？ (4)分式的值是负数？ 8 第三部分新课预习 (5)a取-1时，求分式的值. 12.若分式n+2nm+。 1 恒有意义，求a的取值 范围。 9已知分式寻 (1)当x为何值，分式无意义？ (2)当x为何值，分式有意义？ 核心素养 (3)当x为何值，分式值为零？ 1B,已知x=一2时，分式十白无意义，并且当 x=4时，此分式的值为零，求。的值 【能力提升】 10.(1)当x 时，分式2的值为 正数 (2)当x 时，分式的值为负。 1已知分式“+。当x-2时，分式无意 义，则a=;当a<6时，使分式无意义 的x的值共有个. ·39· 假期成才路·八年级数学(HS) 第2课时 分式的基本性质 知 识 梳 1.分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同 一个 ,分式的值 用武子可表示为合-合昌(C≠0)，其 中A、B、C都是整式 2.约分和最简分式 根据分式的基本性质，把分式的分子与 分母的 约去，叫做约分.约分后， 分子与分母不再有 ,这样的分式 叫做 3.通分和最简公分母 把几个异分母的分式分别化为与原来的 分式 的 叫做通分. 通分时，各分母所有因式的 叫做最简公分母 典 例 精析 考点①分式的基本性质 【例1】填空： 1)千322 2x 2-（ x-2 （3)二义=2(x-y≠0)： x+y x2-y2 (4)a'-ab_a-b ab ( 4 规律与方法：分式的基本性质：分式的分子 和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变.注意：分子、分母所乘的数（或 式)必须是同一个非零数（或式） 【变式训练1】若分式，5的a、6的值同 时扩大到原来的10倍，则此分式的值()》 A.是原来的20倍 B.是原来的10倍 C是原来的品 D.不变 考点2约分 【例2】将下列各式约分. (1027a6c 48abici (2)-12x+3y3 3x"y2 (3)x2+6x+9 x2-9; (4)5a26-c) 25a4(c-b)4 规律与方法：分式约分时要注意分子、分母 是多项式时一定要分解因式，转化为整式乘积的 形式.确定公因式的方法：①找分子、分母的系数 的最大公因数；②找分子、分母中相同的字母或因 式（是多项式时一定要分解因式）；③相同的字母 或因式取次数最低的.此外，在约分的过程中还要 注意：进行约分时，一定要约到底，即化成最简分 式或整式，避免只约去一部分公因式 【变式训练2】约分： 0: (2),xy+y x2+2x+1 考点③通分 【例3】通分： -3 (1)- 3 5 8x2y'12x3yz’24xy 222 规律与方法：通分的关键是确定最简公分 母，最简公分母确定的方法：①最简公分母的系 数取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母 的字母因式，取各分母所有不同字母及因式的 最高次幂的积. 【变式训练3】分式0261的 最简公分母是 (②)分式+与号的最简公分每是 4 第三部分新课预习 考点4分式的符号法则 【例4】不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“一”号： (1)9by ax (2)-3n2 2m (3-0 规律与方法：分式的分子、分母、分式本身 的符号中，任意改变其中的两个符号，分式的值 不变 【变式训练4】不改变分式的值，使分式 的分子和分母都不含负号：一 5b -3a -(3a+2b) 2a-b 课后 演练 【基础过关】 1分式可变形为 1 1 A.3十x B.一3+x c 2.下列分式中，最简分式是 ( ) A.22-1 B.x+1 x2+1 x2-1 C.2-2xyty x2-36 x2-xy D. 2x+12 3.下列式子的变形，正确的是 () A.6 B.a+b2 aa a+b C.2x,-4y-x-2y D.m-2=-2m 2x m 假期成才路·八年级数学(HS) 4.若a≠b,则下列分式化简正确的是( 1 x+3 x a+2_a a-2_a (2)x2+6x+9'x-3’2-9 A.6+2b B. 6-2 b 1 c带-会 6 D. 5.约分： (1)10ah_ 2a2+2ab 4ab2 ;(2 3ab+36= 【能力提升】 (3)x-2xy+y-1= x-y-1 山.已知2-3江-4=0，则代数式-4的 6.001z+0.3-( 值是 0.5y-0.01 50y-1 a+b_( 12,已知非零实数，y满是y-z千1，则 a ab? x一y+3义的值等于】 xy 7把分式x0,y≠0)中分子，分母的 13.若x为整数，且±8的值也为整数，则所 与y同时扩大10倍，那么分式的值变为原来 有符合条件的x的值之和. 的 x+1 8.化简：2十2x+1 9化简烈二8- ;当m=1时，原式 的值为 10.通分： -z绿 核心素养 x2 14.已知22-3x+2,试求x+2+的值. ·42·26.(1)证明略(2)∠BPE=140° 27.(1)①x3-27②4x2-2x+1③x-y (2)a5-b 28.(1)EF=BE+DF (2)结论EF=BE十DF仍然成立.理由略 第二部分专题复习 专题一整式的运算 1.B2.B3.C4.45.76.m=27.D8.C9 10.号11.-ax+312.5 13.(1)甬道的面积为5.x2+10xy (2)绿地的面积为x+7xy+12y2 14.(1)2x(x+2)(x-2)(2)(y-2)2 (3)y2-8y+16=(y-4) (4)x2-2x-8=(x-4)(x+2) (5)原式=(x2+y2+2xy)-1=(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1) (6)原式=(a-2b)2-2(a-2b)=(a-2b)(a-2b 2) 15.x=116.号x-22+2x-117.-4 专题二勾股定理及逆定理 1.D2.A3.A4.1005.3-1 6.15号 (2)如图所示： △ABC的面积=5 7.D8.D9.510.3611.1或2或(6√3-9) 12.√6513.96m 14.(1)CD=12,AD=16 (2)△ABC为直角三角形，理由略 专题三 最短路径的求法 1.C2.B3.B4.2√295.106.107.180 8.这个水池深12尺 参考答案 9.（1)绕行一圈的路程为50cm(2)树干高为6m 10.34 4 11.(1)如图，D 木柜的表面展开图是矩形ABCD或ACCA. 故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC 1或AC; (2)最短路径的长是√89 8器 专题四 全等三角形的判定 1.A2.B3.D 4.∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE 5.(4,3)或(-2，-3)或(4，-3)6.2或37.证明略 8.(1)△ACP≌△BPQ,线段PC与线段PQ垂直 （21=1x=1或=2，x=号 9D10A1.12或号 12.(1)证明略(2)AB⊥AC 13.(1)证明略(2)∠G=50°，∠FAG=80 14.(1)BF-AC (2)NE-AC 专题五 等腰三角形的综合应用 1.A2.C3.14.(2,4)或(8,4)或(3,4) 5.(1)证明略(2)证明略(3)BD十AD=BE-AB 6.C7.C82492.510. 11.证明略12.证明略 第三部分 新课预习 第15章 分式 15.1分式及其基本性质 第1课时分式 知识梳理 :1.整式含有字母2.有理式单项式多项式 65· 假期成才路·八年级数学(HS) 3.(1)≠0(2)=0 4.(1)分式的分子、分母同号(2)分式的分子、分母异号 典例精析 考点1 【例】整式有：告的，是言2y3 1 分式有2，者 【变式训练1】B 考点2 【例2】(1)x≠-2；(2)x≠士2；(3)x≠0；(4)x取任 何值 【变式训练2】C 考点3 【例3】(1)x=-2:(2)x=3 【变式训练3】C 课后演练 1.B2.A3.A4.25.1)±2 (2)-1 V1十V2 6.180(n-2)360 n 7.(1)(1+” m ）2+5×10% 是，(3)a<2且a≠0，(4)a>7; 1 8.(1)a=0;(2)a= 63 9.(1)要使分式无意义，则x十3=0，得x=一3. (2)要使分式有意义，则x十3≠0，得x≠一3. (x2-9=0, (3)要使分式值为零，则 x+3≠0. {x≠一所以x=3. x=士3， 解得 10.(1)<7 (2)<311.6212.a>1 核心素养 13.1 第2课时分式的基本性质 知识梳理 1.不等于0的整式不变 2.公因式公因式最简分式 3.相等同分母的分式最高次幂的积 典例精析 考点1 【例1】(1)2x+6;(2)y:(3)(x-y)2;(4)b 【变式训练1】D 考点2 【例2】07器F2)-43),(0a-。 3 【变式训练2】（少原式=一(2）原式=十 x 考点3 【例3】 -3xz2(2x+1) 24x3yz292(x-1) 【变式训练3】(1)10abc(2)(x-2)(x-1) 考点4 【例刊a):3:% 【变式训练4】 56 3a+2b 3a 2a-b 课后演练 1.D2.A3.C4.D 5.%2 (3)x-y+1 x+30+61品0&9m吉 1 3 3 10.(1).最简公分母为12x3, “签22=器 1 12x3 x2-1=3x2-3 4x3 12x3· (2)最简公分母为(x十3)2(x一3)， x-3 小x2+6x+9=(x+3)2(x-3)' x十3 (x+3)3 x-3(x十3)2(x-3)' x x2+3x x2-9=(x十3)2(x-3) 1.号 12.413.14 核心素养 14.24 15.2分式的运算 第1课时分式的乘除 知识梳理 1.分子的积分母的积 2.分子、分母颠倒位置被除式3.乘方 典例精析 考点1 【例】品：2)-品：3)-+ x(x-y) 【变式训练1】(1)C(2)A 6