专题2-2 圆锥曲线定值定点与定直线问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆锥曲线定值、定点与定直线问题，系统梳理定值问题（斜率、距离等与变量无关）的两种求解策略，定点问题的参数引入与直线系分析方法，以及5个常用结论，构建从概念到策略再到应用的学习支架。 资料特色在于覆盖椭圆、双曲线、抛物线三大曲线，例题与练习层次递进，通过引进变量、方程思想培养数学思维，以具体实例（如椭圆斜率之积定值）强化数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

专题2-2圆锥曲线定值定点与定直线问题 一、知识点 1.定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 一般策略 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 1）数轴上 2）平面 2.定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 一般策略 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程. 3.常用结论 结论1.过圆锥曲线上的任意一点作互相垂直的直线交圆锥曲线于点，，则直线必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2.过圆锥曲线的准线上任意一点作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点，，则直线必过焦点. 结论3.过圆锥曲线外一点作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点，，则直线已知且必过定点. 结论4.过圆锥曲线上的任意一点作斜率和为的两条直线交圆锥曲线于，两点，则为定值. 结论5.设点，是椭圆上关于原点对称的两点，点是该椭圆上不同于，两点的任意一点，直线，的斜率分别是，，则. 二、题型训练 1.定值问题 例1.已知点是离心率为的椭圆上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 例2.已知双曲线的右焦点为，离心率. （1）求的方程； （2）若直线过点且与的右支交于，两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 例3.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．    （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 例4.已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 练习： 1.已知椭圆离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 2.已知双曲线的实轴长为，离心率为．过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，若直线，的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 3.已知是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.    （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）如图所示，过点的直线与交于，两点，与轴交于点，设，，求证：是定值. 4.已知抛物线，是上纵坐标为的点，以点为圆心，为半径的圆（为原点）交的准线于，两点，且. （1）求抛物线的方程. （2）过点作直线，分别交于，两点，且使的平分线与轴垂直，问：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 5.如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：． （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点，，，使，证明：为定值，并求此定值． 6.已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 7.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由. 8.已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于点，，直线，分别交直线于点，．求证：为定值． 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线交的右支于，两点，当垂直于轴时，，到的一条渐近线的距离之和为. （1）求的方程； （2）证明：为定值. 10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，. （1）求的值. （2）若斜率不为的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于，两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 11.在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为，记的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值． 12.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点，． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上一点（异于、），直线，与轴分别交于，两点．证明在轴上存在两点，，使得是定值，并求此定值． 13.已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若，，过点的动直线交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 14.已知点到的距离是点到的距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点，过的直线与点的轨迹交于，两点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 15.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于，两点，直线，与直线的交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 16.已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于，两点，线段的中点为. （1）求抛物线的方程； （2）当轴时，求直线的斜率； （3）求证：为定值，并求出该定值. 2.定点问题 例5.已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，直线，的斜率均存在.并分别记为，. （1）求椭圆的标准方程 （2）证明直线过定点. 例6.已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于. （1）求证：； （2）若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 例7.在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线. （1）求曲线的方程； （2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 练习： 1.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率. （i）对于给定的数值（且），若，证明：直线经过定点； （ii）记（i）中的定点为，求点的轨迹方程. 2.已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）过作直线，分别交于，两点，交轴于，两点，其中，在的两侧，且，设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点. 3.已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，当为的上顶点时，. （1）求的方程； （2）过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的中点为，的斜率为，的斜率为，证明：是定值. 4.已知过点的直线与抛物线交于，两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. （1）求抛物线的方程； （2）若为上异于点，的任意一点，且直线，与直线交于点，，证明：以为直径的圆过定点. 5.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 6.已知双曲线的一条渐近线为，椭圆的长轴长为，其中.过点的动直线交于，两点，过点的动直线交于，两点. （1）求双曲线和椭圆的方程； （2）是否存在定点，使得四条直线，，，的斜率之和为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 7.已知椭圆的左焦点为，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）过的两条互相垂直的直线分别交于，两点和，两点，若，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 8.已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 9.已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆在的内部，，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 10.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 3.定直线问题 例8.椭圆的上顶点为，下顶点为，离心率为，点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线交椭圆于，两点（不同于，两点），若直线与直线交于点，试问是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 例9.已知双曲线的实轴长为，两渐近线的夹角为． （1）求双曲线的方程： （2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程． 练习： 1.已知抛物线的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，两点． （1）若，求的值； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 2.已知曲线． （1）若曲线是椭圆，求的取值范围． （2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 3.已知，为椭圆左右两个顶点，动点是椭圆上异于，的一点，点是右焦点．当点的坐标为时，． （1）求椭圆的方程． （2）已知点的坐标为，直线与椭圆交于另一点，判断直线与直线的交点是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 4.如图，已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点作直线与双曲线的渐近线交于，两.点，且点在线段上，，. （1）求的方程； （2）设，是的左､右顶点，过点的直线与交于，两点，试探究直线与的交点是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 5.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由． 6.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，直线交抛物线于，两点，为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于，两点，直线与交于点，求证：点在定直线上． 7.如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.当直线的倾斜角为时，.    （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-2圆锥曲线定值定点与定直线问题 一、知识点 1.定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 一般策略 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 1）数轴上 2）平面 2.定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 一般策略 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 3.常用结论 结论1.过圆锥曲线上的任意一点作互相垂直的直线交圆锥曲线于点，，则直线必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2.过圆锥曲线的准线上任意一点作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点，，则直线必过焦点. 结论3.过圆锥曲线外一点作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点，，则直线已知且必过定点. 结论4.过圆锥曲线上的任意一点作斜率和为的两条直线交圆锥曲线于，两点，则为定值. 结论5.设点，是椭圆上关于原点对称的两点，点是该椭圆上不同于，两点的任意一点，直线，的斜率分别是，，则. 二、题型训练 1.定值问题 例1.已知点是离心率为的椭圆上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）为定值 【解析】 （1）由，可得，即①， 将点代入椭圆方程可得②， 由①②可得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可得在椭圆上，直线和的斜率分别为均存在，设， 则，，则①， 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入①可得，， 所以直线AP和BP的斜率之积为定值. 例2.已知双曲线的右焦点为，离心率. （1）求的方程； （2）若直线过点且与的右支交于，两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【解析】 （1）因为的右焦点为，所以的半焦距， 又离心率为，所以，所以，所以， 故的方程为. （2）易知，. 设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x可得， ，且 又因为直线与的右支交于M，N两点，所以 所以 ， 即为定值. 例3.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点， ．    （1）求抛物线的标准方程及其准线方程； （2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 例4.已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）为定值 【解析】 解：（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆方程为． （2）由直线与椭圆交于，两点， 联立，得， 设，，，，则△， ，， 所以， ， ， 原点到的距离， 为定值． 练习： 1.已知椭圆离心率等于且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）是定值，理由见解析 【解析】 （1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）   设，联立直线和椭圆方程可得：， 消去可得：，所以 ， 即，则， ， ， 把韦达定理代入可得：， 整理得， 又， 而点到直线的距离， 所以， 把代入，则，可得是定值1 2.已知双曲线的实轴长为，离心率为．过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，若直线，的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 【答案】（1）；（2）斜率之积为定值，证明见解析 【解析】 （1）双曲线的实轴长为4，则，即， 双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得． 所以双曲线C的标准方程为. （2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下： 过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为， 与双曲线方程联立解得，，. 直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为， 双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点， 由，消去得， 设，，有，， ， ， 当直线QA，QB的斜率均存在， . 所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4. 3.已知是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.    （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）如图所示，过点的直线与交于，两点，与轴交于点，设，，求证：是定值. 【答案】（1）， 或；（2）证明见解析 【解析】 （1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. 4.已知抛物线，是上纵坐标为的点，以点为圆心，为半径的圆（为原点）交的准线于，两点，且. （1）求抛物线的方程. （2）过点作直线，分别交于，两点，且使的平分线与轴垂直，问：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值 【解析】 （1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以， 所以直线的斜率为定值. 5.如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：． （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点，，，使，证明：为定值，并求此定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】 （1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为， 从而由已知，因此，， 故所求椭圆方程为； （2） 记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性， 假设 ，且，． 又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有   ． 解得 ． 因此， 而， 故为定值． 综上，椭圆方程为；. 6.已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 7.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为，面积的最大值为 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）；（2），理由见解析 【解析】 （1）设椭圆的方程为，则 由椭圆的定义及的周长为6，知①， 由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为， 因为的面积的最大值为， 所以②， 又③， 联立①②③，得， 所以椭圆的方程为. （2）为定值，理由如下： 根据已知条件作出图形如图所示,      设，则， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点， 联立消去得：， ， 又，且， 所以，同理 所以. 所以为定值. 8.已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于点，，直线，分别交直线于点，．求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由题设，则，故椭圆C的方程为， （2）由题设，直线l的斜率一定存在，令，，联立椭圆， 整理得，且， 所以，且， 由题意，直线的斜率必存在， 则，令，则； 同理，令，则； 所以 将韦达公式代入整理得 ，为定值.    9.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线交的右支于，两点，当垂直于轴时，，到的一条渐近线的距离之和为. （1）求的方程； （2）证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 （1）根据题意有，C的一条渐近线方程为， 将代入C的方程有，， 所以M，N到直线的距离之和为， 所以，C的方程为. （2）   方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知，故. 当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，， 故. 设，代入C的方程有：， 设，，则，， 所以 ， 所以. 综上，的值为6. 方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知， 故. 当l不垂直于x轴时，设， 代入C的方程有：. 设，，则，， 所以 . 综上，的值为6. 10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，. （1）求的值. （2）若斜率不为的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于，两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是， 【解析】 （1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点， 由题得，所以， 因为，所以△是等边三角形， 因为是的中点，所以， 故， 所以，，所以，所以，即.    （2）由（1）可知抛物线的方程是， 设直线的方程为，， 因为，所以， 即，即. 又，所以，故. 联立，消去，得，其中， 则， 所以，所以. 设点到直线和直线的距离分别为， 则由得， 所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3. 11.在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为，记的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【解析】 （1）设圆心，半径为，由圆心为的动圆过点， 所以， 又圆心为的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以， 此时，解得， 所以曲线E是抛物线，其方程为； （2）易知直线BD的斜率不为0， 设直线BD的方程为，即， ，消去x，得， 或， 设，则， ， 所以， 即为定值1.      12.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点，． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上一点（异于、），直线，与轴分别交于，两点．证明在轴上存在两点，，使得是定值，并求此定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为. 【解析】 （1）设椭圆方程为，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设，， 则，由，得，而，于是， ，同理，而，于是， 则， ， 令，而是椭圆上的动点，则，得， 于是， 所以存在和，使得是定值，且定值为. 13.已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若，，过点的动直线交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【解析】 （1）由题可知，则的轨迹是实轴长为， 焦点为即的双曲线的右支，则， 所以曲线的方程为：(或). （2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为， 所以直线的方程为：，设，，    联立 ，可得， 则 ，可得，即或， 则 ， 所以为定值，定值为. 14.已知点到的距离是点到的距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点，过的直线与点的轨迹交于，两点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值， 【解析】 （1）设点，由题意可得，即，化简可得. （2）设点，由（1）知点满足方程 ，则，代入上式整理可得，即点的轨迹方程为，如图所示. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，由，消去，得，显然，设，，则，，又，，则， 当直线的斜率不存在时，，，， 故是定值，. 15.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于，两点，直线，与直线的交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为，所以，将代入，得，解得，故椭圆的方程为； （2）由（1）可得，由题意可设，，，由可得，易知，所以，，因为，所以直线的方程为，令，则，故，同理可得，所以，，故，得证. 16.已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于，两点，线段的中点为. （1）求抛物线的方程； （2）当轴时，求直线的斜率； （3）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定值为 【解析】 （1）由已知抛物线的准线方程为，由准线与圆相切可知，解得，所以抛物线方程为； （2）由（1）可得抛物线的焦点为，设直线，，，则，消去可得，则，，则，又轴，则，解得； （3）设直线，，，则，消去可得，则，，所以，且，即点，则， 所以. 2.定点问题 例5.已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，直线，的斜率均存在.并分别记为，. （1）求椭圆的标准方程 （2）证明直线过定点. 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 （1）∵椭圆过和， ∴， 解得， ∴椭圆的方程为：， （2）如图所示： 由知与关于直线对称． 在上任取一点，设关于直线对称的点为， 则，解得， 从而， 于是． 设点，：． 由得， ∴， 从而． 同理，． 由（1）有，故，， 为方便，记，则 ， ，∴， 即． 由此可知，当变化时，直线过定点． 例6.已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于. （1）求证：； （2）若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【解析】 （1）证明：设椭圆的半焦距为，因为，所以， 又因为，所以， 所以直线， 令，解得，所以， 所以，，所以.    （2）解：如图所示，若点，则，解得，则， 所以椭圆方程为. 设直线的方程为，，则， 联立方程组 ，整理得， 则，且 直线的方程为， 令，可得 . 故在轴上存在一个定点，使得三点共线.    例7.在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线. （1）求曲线的方程； （2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在，点的坐标为 【解析】 （1）由垂直平分线的性质可知， 所以. 又， 所以点N的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 设曲线C的方程为，则，， 所以， 所以曲线C的方程为. （2）   由，消去y并整理，得， 因为直线l：与椭圆C有且只有一个公共点P， 所以，即， 所以， 此时，， 所以， 由，得， 假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则， 又，， 所以， 整理，得对任意实数，k恒成立， 所以， 解得， 故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H. 练习： 1.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率. （i）对于给定的数值（且），若，证明：直线经过定点； （ii）记（i）中的定点为，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）（除去点） 【解析】 （1）因为，，所以的方程：； （2）设直线的方程为，其中，点，满足 ，消去可得，而，. （i）证明：因为，所以，整理的，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由，得，其中，所以点得轨迹方程为直线（除去点）. 2.已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）过作直线，分别交于，两点，交轴于，两点，其中，在的两侧，且，设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【解析】 （1）设焦距为，则，，且，解得，，因此的标准方程为； （2）在，中分别由正弦定理，得，，又由，及，得，故（互补的情形舍去）.由直线，的斜率分别为，，则两直线的方程分别为，则到这两条直线的距离相等，即，平方得，化简得，又，则； （3）证明：设直线，，，与椭圆方程联立得，消去，得，，则，，因此，化简得，由，解得.因此直线过定点. 3.已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，当为的上顶点时，. （1）求的方程； （2）过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的中点为，的斜率为，的斜率为，证明：是定值. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 （1）记的半焦距为，显然，而，故，于是的方程为. （2）（i）不妨设，，设，联立，有，可得，，易知，直线的斜率为，故的方程可表示为，当时，显然，故为定值. 当斜率为时，易知其过， 综上，直线过定点. （ii），，，故为定值. 4.已知过点的直线与抛物线交于，两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. （1）求抛物线的方程； （2）若为上异于点，的任意一点，且直线，与直线交于点，，证明：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）；证明见解析 【解析】 （1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得， 故抛物线的方程为. （2）   设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. 5.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【答案】（1）；（2）恒过定点. 【解析】 （1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点， 又，因此，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，， 由消去x并整理得，，即， 于是，，， 由，得，则有， 即，因此， 则，解得，满足，直线过定点， 所以直线恒过定点.    6.已知双曲线的一条渐近线为，椭圆的长轴长为，其中.过点的动直线交于，两点，过点的动直线交于，两点. （1）求双曲线和椭圆的方程； （2）是否存在定点，使得四条直线，，，的斜率之和为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）双曲线的方程为：；椭圆的方程为：；（2）存在，点坐标为. 【解析】 （1）已知双曲线渐近线为，即. 因为椭圆的长轴长，即，. 所以双曲线的方程为：. 椭圆的方程为：. （2）   当直线、的斜率不存在时，不满足题意. 故直线的方程设为：，直线过点，即. 与双曲线方程联立，得. 故，. 设，，有，. 设. . 化简得. 代入韦达定理得： . 将代入其中消去化简得： . 由动直线、互不影响可知，要满足为定值， 则为定值，为定值. 因此要满足为定值，则有： ①若，，计算得，. 经检验满足，此时. ②若，即，， 有. 无解. 综上，当，. 下面只需验证当时，是否为定值. 设直线方程为：，直线过点，即. 椭圆方程联立，得. 故. 设，，有，. . 化简得. 代入韦达定理化简可得：. 将代入其中可得：. 所以当，，，. 所以点坐标为. 7.已知椭圆的左焦点为，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）过的两条互相垂直的直线分别交于，两点和，两点，若，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 （1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上， 取得到，即，又， 解得，，（舍去负值），故椭圆方程为， （2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，， 则，整理得到， ， 故，，即，    同理可得：，则， 故直线的方程为：， 取， . 故直线过定点. 当有直线斜率不存在时，为轴，过点. 综上所述：直线必过定点 8.已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为 【解析】 （1）由点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为可知， 解得：， ， 椭圆的标准方程：； （2）设， 当直线的斜率不存在时，则， 由， 解得，此时，故重合，不符合题意， 所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：， 由得， ， ， ， ， ， ， ， 直线必过定点．    9.已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆在的内部，，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 （1）   因为点是线段的垂直平分线上的一点 所以 因为 所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆 其中，， 所以点Q的轨迹C的方程为： （2）   （i）当直线垂直于x轴时，不妨设，， 此时，所以，故以为直径的圆过点. （ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，， 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为， 即. 由得， 所以，， 所以， 所以，故以为直径的圆过点. 综上所述，以为直径的圆过定点. 10.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【答案】（1）；（2）直线过定点 【解析】 （1）设双曲线的焦点坐标为， 依题意渐近线方程为，即， 有， 解得， ； （2）由（1）可知右焦点， 设直线：，，， 由联立直线与双曲线， 化简得，， 故，， ， 又，则， 同理可得： ， ， 化简得， 故直线过定点. 3.定直线问题 例8.椭圆的上顶点为，下顶点为，离心率为，点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线交椭圆于，两点（不同于，两点），若直线与直线交于点，试问是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）点在定直线上. 【解析】 （1）椭圆的离心率为，则，则，又， 则，解得， 则椭圆的方程为； （2）由题意可得，，过点的直线斜率存在，    设直线的方程为，令，， 由，整理得， 则，即或， ， 又直线AN的方程为，直线BM的方程为， 由，可得， 又， 则 则直线AN与直线BM交点的纵坐标为定值1， 所以点在定直线上. 例9.已知双曲线的实轴长为，两渐近线的夹角为． （1）求双曲线的方程： （2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】（1）或；（2）证明见解析，定直线 【解析】 （1）由题知，得， 或，得或， 所以双曲线的方程为：或：． （2）由（1）知，当时，：， 设，， 联立直线与双曲线得：， ，方程的两根为，，则，． ，，则：，：， 因为直线，相交于点， 故，， 消去，整理得：， ， 因此， 故点在定直线上． 练习： 1.已知抛物线的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，两点． （1）若，求的值； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）在定直线上，理由见解析 【解析】 （1）根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； （3）直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 2.已知曲线． （1）若曲线是椭圆，求的取值范围． （2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）在定直线上，理由见详解. 【解析】 （1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；. （2）是在定直线上，理由如下： 当时，此时椭圆，设点与直线l联立得， ，且， 所以 易知，则， 两式作商得是定值， 故G在定直线上.    3.已知，为椭圆左右两个顶点，动点是椭圆上异于，的一点，点是右焦点．当点的坐标为时，． （1）求椭圆的方程． （2）已知点的坐标为，直线与椭圆交于另一点，判断直线与直线的交点是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线与直线的交点在定直线上 【解析】 （1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，， ，解得， ∴， ∴，，， ∴椭圆的方程为． （2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为． 联立椭圆方程，消去得． 设，，则，． ∴， 又，， ∴直线AD的方程为，直线BE的方程为． 联立得， ∴． 又∵，∴． ∴直线AD与直线BE的交点在定直线上 4.如图，已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点作直线与双曲线的渐近线交于，两.点，且点在线段上，，. （1）求的方程； （2）设，是的左､右顶点，过点的直线与交于，两点，试探究直线与的交点是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，在定直线上 【解析】 （1）双曲线右焦点为，故，渐近线方程为，则， ，故，即， ，故， 解得，，故，故， 故，，，解得，. 故双曲线方程为. （2），，设直线的方程为，， 联立，得. 故，故， 直线，直线， 联立两直线方程，解得 ， 故直线与直线的交点在定直线上. 5.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）点在直线上 【解析】 （1）解：设 ，则，得，即 ， 故轨迹的方程为： ． （2）解：根据题意，直线的斜率不为， 设直线的方程为， 由，消去并整理得， 其中，则或． 设，，则，． 显然， 从而可设直线的方程为①， 直线的方程为②， 所以直线，的交点的坐标满足：． 而 ， 因此，，即点在直线上． 6.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，直线交抛物线于，两点，为坐标原点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于，两点，直线与交于点，求证：点在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 （1）由可知，抛物线C的准线为：， 点到准线的距离为，根据抛物线定义：，， 抛物线C的方程为； （2） 设，，，，，． ，， 由，，得，即， 同理， 由得…①， 由得…②， ①②两式相加得， 即， ，，点T在定直线上． 综上，抛物线C的方程为. 7.如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.当直线的倾斜角为时，.    （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：点在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 （1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $