专题2.17 直线与圆锥曲线的位置关系（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.17直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系 2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长 教学重难点 重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用 难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 两个不等的解 一个切点 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 知识点02 直线与圆锥曲线相交弦长 1.设斜率为()的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则 2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长 【即学即练】已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度. 知识点03 中点弦 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【即学即练】设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 题型01 直线与圆锥曲线位置关系的判断 【典例1】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【变式1】直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式3】直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点 两个不等的解 两个交点 两个相等的解 一个切点 无实数解 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 题型02 根据直线与圆锥曲线位置关系求参数 【典例1】若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3】若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 题型03 圆锥曲线的切线方程 【典例1】已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点是椭圆的顶点． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，求切线的方程． 【变式1】已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 【变式3】求双曲线在点处的切线方程． 【变式4】已知点是抛物线上一点，为的焦点，且. (1)求的准线方程； (2)若点位于第一象限，求在点处的切线的方程. 题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例1】已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【变式1】已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【变式2】已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交双曲线于两点（两点均位于轴下方，在左，在右），线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，______，设点P的轨迹为曲线C．从①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径这两个条件中任选一个补充在横线上，并解答下列问题． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型05 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； 【变式1】设椭圆的上顶点为，直线与椭圆相交于、两点 (1)若，直线斜率的取值范围； (2)设三角形的重心为，若，求直线的方程 【变式2】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 【变式3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【变式4】设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数 【典例1】已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【变式1】已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 【变式2】已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【变式3】已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【变式4】已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题 【典例1】已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 【变式1】已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 【变式2】已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 【变式3】已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 【变式4】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题 【典例1】已知椭圆的两个焦点，过点作垂直于长轴的直线交椭圆于点，此时与椭圆长轴的两端点形成的四边形的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最小值． 【变式1】平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【变式2】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【变式3】抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，. (1)求抛物线及其准线的方程； (2)若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 【变式4】抛物线的焦点，准线的方程为，、是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为. (1)求的值； (2)求证：； (3)求面积的最小值. 题型09 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【变式1】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【变式2】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【变式3】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【变式4】已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型10 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】已知双曲线的两个焦点为为动点，若. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设点，过点作直线交轨迹于两点，判断的大小是否为定值？并证明你的结论. 【变式1】已知，，为坐标原点，动点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)，是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【变式2】已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【变式3】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【变式4】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 题型11 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式1】如图所示，椭圆的左右顶点分别为，过定点（不妨设）任意作直线交椭圆于，若直线与相交于，求证点在定直线上． 【变式2】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【变式3】已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 【变式4】已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 【变式1】设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点． (1)求的方程及圆的半径； (2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【变式2】已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【变式3】设双曲线的焦点分别为，，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线，的方程； (2)若A，分别为，上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； (3)过点能否作出直线，使与双曲线交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式4】已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 1．椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点为，上、下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．4 C． D．6 8．已知椭圆的离心率为，点A为椭圆的左顶点，为椭圆外一点，线段的中点在椭圆上，若点P在椭圆上，则面积的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 9．已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 10．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 11．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 12．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 13．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为． (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，直线与轴不平行，记直线的斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，若，，构成公差为的等差数列，且． (1)求C的方程； (2)若过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，O为坐标原点，且，，则当k取最大值时，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.17直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系 2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长 教学重难点 重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用 难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点 两个不等的解 两个交点 两个相等的解 一个切点 无实数解 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 知识点02 直线与圆锥曲线相交弦长 1.设斜率为()的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则 2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长(为弦的倾斜角). 【即学即练】已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度. 【答案】30 【分析】联立直线方程和双曲线方程后利用弦长公式可求线段的长度. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为． 因为是双曲线与直线的交点， 所以点的坐标满足，所以， 此时，由韦达定理可得 因为 ， 所以， 知识点03 中点弦 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【即学即练】设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【答案】 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 题型01 直线与圆锥曲线位置关系的判断 【典例1】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系 【详解】解：由，得，化简得， 因为， 所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离， 故选：C 【变式1】直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用特殊值法结合直线和椭圆的交点判断即可. 【详解】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 【变式2】直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可. 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 【变式3】直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    【变式4】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点 两个不等的解 两个交点 两个相等的解 一个切点 无实数解 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 题型02 根据直线与圆锥曲线位置关系求参数 【典例1】若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是. 故选：B． 【变式1】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 【变式2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 【变式3】若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意联立直线与抛物线可求的范围，再利用命题的充分性与必要性判断即可. 【详解】命题q：直线与抛物线无公共点，把代入即无解，，又命题p：，所以q是p的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4】若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 题型03 圆锥曲线的切线方程 【典例1】已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点是椭圆的顶点． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，求切线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率求出椭圆参数，即得椭圆方程，然后借助椭圆与抛物线的关系求解抛物线的方程； （2）设出直线方程，联立直线与抛物线，借助二次方程性质求解直线方程. 【详解】（1）椭圆的离心率为，可得：，即， 由，可得，则椭圆，它的上顶点坐标， 抛物线的焦点是椭圆的顶点，得，抛物线； （2） 设过点作抛物线的切线，则， 整理得，，解得或， 所求是切线方程为：或． 【变式1】已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 【变式2】写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 【答案】或（只需写出其中一个） 【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设 所求直线为，联立方程组结合切线性质列方程求，由此可得所求直线方程. 【详解】抛物线的对称轴为， 所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在， 设所求直线的方程为， 因为直线与抛物线相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 所以方程的判别式，即， 因为直线与椭圆相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 方程的判别式， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或（只需写出其中一个即可）. 【变式3】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 【变式4】已知点是抛物线上一点，为的焦点，且. (1)求的准线方程； (2)若点位于第一象限，求在点处的切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出，再得出抛物线方程进而得出准线方程即可； （2）先设直线方程，再联立方程组，再分和..两种情况，直线与相切求参即可得出直线方程. 【详解】（1）因为抛物线，， 所以，所以，可得 所以的准线方程为. （2）因为点在抛物线上，所以， 又位于第一象限，所以，所以， 过点的直线与相切，若直线斜率不存在，不符合题意； 设直线与， 由，得， 当时，，即，即， 当时，，与抛物线相交，不符合题意； 所以的方程为，即. 题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例1】已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知焦点及定义计算求解椭圆方程； （2）先联立方程组得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得解得 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 【变式1】已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为： (2) 【分析】（1）由短轴长可求得，利用椭圆过点，可求，进而求得椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。联立方程组，由根与系数的关系可求得，利用弦长公式可求得的值. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。 所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。 由，可得， 整理得，，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以 整理得，解得或（舍去）， 所以. 【变式2】已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交双曲线于两点（两点均位于轴下方，在左，在右），线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用点在双曲线上和间的关系，建立方程组，求出，即可求解； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到，根据条件得到点和点到直线的距离相等，从而可求出，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以焦点，即， 又，由，解得，所以双曲线. （2）由题知直线斜率不为，设过的直线为， 由，消得到， 则，且 设，则由韦达定理有， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 故. 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，______，设点P的轨迹为曲线C．从①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径这两个条件中任选一个补充在横线上，并解答下列问题． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）选①，把点P满足的条件用坐标表示出来，列出方程，化简即可得曲线C的方程；选②，利用抛物线的定义先判断曲线C的形状，再求曲线C方程. （2）利用弦长公式可求k的值. 【详解】（1）选①：设，由题意，即， 整理可得，即或， 所以曲线C的方程为或． 选②：如图，作直线，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点， 设动圆的圆心为E，半径为r，过E作y轴的垂线，垂足为Q，则， 在四边形OFPH中，由中位线性质可得， 所以，又，所以， 由抛物线的定义知，点P是以为焦点的抛物线， 所以曲线C的方程为． （2）易知无论选①还是选②，M，N均在曲线上． 设，，将代入， 消去y整理得． 则， 得，， ， 化简得，解得（负值舍去）， 故． 题型05 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果； （2）由点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点Q的横坐标的取值范围为； （2）设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为. 【变式1】设椭圆的上顶点为，直线与椭圆相交于、两点 (1)若，直线斜率的取值范围； (2)设三角形的重心为，若，求直线的方程 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）先由向量的重心表达式可得点中点的坐标，再由点差法代入计算，即可得到直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1） 设直线：，， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 则， 得，即， 解得； （2）由题意，，设边上的中点为， 由重心的定义，，得， 将代入椭圆方程可得， 两式作差可得，化简可得， 即，即得， 因此直线的方程为. 【变式2】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设得到和，解出，即可求解； （2）设弦的两端分别为，，利用点差法得到，再利用条件，可得，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点为， ， 所以，则①， 又双曲线的渐近线为，所以，即②，由①②，解得， 所以双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，． 则有，两式作差得，整理得到， 因为弦中点为，所以， 故直线的斜率， 则所求直线方程为，即． 【变式3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 【变式4】设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，进而可得抛物线的方程； （2）根据点差法求中点弦所在直线方程. 【详解】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数 【典例1】已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）因，，所以，，即． 当P是椭圆右顶点时，取得最小值，最小值为，故， 则，，椭圆C的方程为． （2）当过点F的直线l的斜率为0时，，不符合要求． 当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为， 代入，得，恒成立． 设，，则，， 故， 故，解得， 故直线l的方程为． 【变式1】已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意得，解出即可求解； （2）当的斜率不存在时，验证是否满足题意，当斜率存在且不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用弦长公式求弦长和，利用即可求解. 【详解】（1）由题意知， 椭圆的方程为：. （2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然，，显然， 斜率存在且不为0，设直线的方程为，， ，，，， 所以，， ， 此时，， ，，， ，解得或， 直线的斜率为或. 【变式2】已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【答案】(1); (2); (3)或或. 【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程； （2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值； （3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可. 【详解】（1）由双曲线（，）的渐近线方程为，可得， 又由焦距长为4，可得即则有， 联立上面两式解得：， 所以双曲线方程为：； （2）由点P的坐标为，O为原点，则， 此时直线的斜率为， 利用平行于的直线与双曲线相切，即联立方程组得： ，整理得：， 由，解得， 此时切点为，可以得到这个的面积最小， 再由平行线间的距离公式可得：， 则最小面积为； （3）设过C的右焦点F的直线为，与双曲线联立方程组得： ， 设交点，则有 所以 设交点的中点为， 则有，则， 所以中点为到直线的距离为， 再由，结合勾股定理可得： ，解得：或； 所以直线DE的方程或或. 【变式3】已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 【变式4】已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题 【典例1】已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得：，方法一：代入点解得，，即可得方程；方法二：根据椭圆的定义可得，即可得方程； （2）由题意可得直线方程为，联立方程结合弦长公式可得，结合点到直线的距离公式求面积. 【详解】（1）因为焦距为，即， 方法一：由题意可得：，解得，， 所以椭圆方程． 方法二：由题意可知：，右焦点，则， 可得， 即，可得， 所以椭圆方程． （2）因为，，直线方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得， 且到直线的距离为， 所以的面积． 【变式1】已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，点在双曲线上，其一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由渐近线方程，及点在双曲线上，可联立求得，，可得双曲线方程； （2）由题意，写出直线的方程，与双曲线联立，可求得，数形结合，可得的面积． 【详解】（1）已知双曲线的中心为坐标原点，且焦点在轴上，故其标准方程为， 又其渐近线方程为，即①， 又点在双曲线上，代入得②， 联立①②，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线过点且倾斜角为，故其方程为， 将其代入双曲线方程，联立得，化简得， 解得和，代入直线，求得和， 即直线与双曲线的交点， 所以. 【变式2】已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程. 【详解】（1）由题意可得 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 【变式3】已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由抛物线的焦点到x轴的距离为，求出，即可得出答案. （2）根据题意，由导数的几何意义求出直线和方程，联立直线方程可得点的坐标，分析可得答案； （3）根据题意，由三角形面积公式可得的值，由此计算可得答案. 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为. （2）由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上. （3）在，的方程中，令，得，， 由（2）知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或. 【变式4】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：，设l的方程为，，，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，，代入化简即可求解. （2）化简，由，解出的值，判断其合理性即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为． 所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，， 联立消去得， 由， 得，则，， 故 ． （2）由（1）得，， 所以 所以， 即，即， 解得或， 因为直线l交C的右支于P，Q两点， 所以且， 即，， 解得，所以仅有满足题意， 所以直线l的方程为或． 题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题 【典例1】已知椭圆的两个焦点，过点作垂直于长轴的直线交椭圆于点，此时与椭圆长轴的两端点形成的四边形的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意设与椭圆的交点为，则，由四边形面积即可求，进而得，即可求解； （2）设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，进而得，设直线，同理得，即可得，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意设椭圆方程为, 设与椭圆的交点为，则， 根据题意可得，即， 可得，则，所以椭圆方程为． （2）根据题意设，联立． 由韦达定理得，则． 又直线，同理代换可得，， 则． 不妨设，即． 又，的最小值为， 当且仅当时取等，所以四边形的面积的最小值为．    【变式1】平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，利用点到直线的距离得到和，再根据向量的数量积即可求解； （2）设直线BD方程为，联立直线BD的方程和曲线C，利用韦达定理得到和，写出直线AB的方程，令得到，进而得到，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可. 【详解】（1）设，直线与直线的夹角为，即， 又因为，所以， 又因为，， 所以，化简得， 由于位于第一象限，位于第四象限， 所以M的轨迹方程； （2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD方程为， ，，，， 联立直线BD与曲线C，可得且， 化简得，，， ，，所以， 设直线AB方程为， 令，得， 所以， 所以， 令，， 所以，，， 综上，面积的取值范围为. 【变式2】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 【变式3】抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，. (1)求抛物线及其准线的方程； (2)若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直线过点且垂直轴求出的纵坐标，再结合即可求出的值，进而得解； （2）联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离表示出的底和高，再结合韦达定理对三角形的面积进行化简，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）设， 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 令可得，（或）， ， ， 所以抛物线，准线方程为； （2） 因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线 由可得，则， 设，则， 因为以线段为直径的圆过点，所以，即， 即，， 将代入得 则有， 所以，且，解得或. 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 【变式4】抛物线的焦点，准线的方程为，、是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为. (1)求的值； (2)求证：； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据准线方程求即可； （2）根据抛物线的定义及梯形中位线，再利用基本不等式求证即可； （3）先根据根与系数的关系，得出三角形的面积，换元后求最值即可. 【详解】（1）由抛物线的准线的方程为，得，故. （2）设，，，在上的投影分别为，， 由抛物线性质得，， 因为，所以为直角三角形，所以， 因为、分别为、的中点， 所以. 故， 所以. （3）由（1）得，设，， 则，， . 因为，所以， 得，① 所以， 令，由①得，， 当时，则恒成立， 当时，由，解得，或， 所以，或， 所以， 当，即时，， 所以面积的最小值为. 题型09 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，及求解即可； （2）由，可得，设，则有，分直线垂直于轴和直线不垂直于轴，结合韦达定理求出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为． 由已知，，即， 又，所以， 由，可得，所以， 因为的焦点在轴上，所以的标准方程是． （2）证明：由（1）知， 设， 将两边平方， 化简得， 所以， 即， 即． ①当直线垂直于轴时，且， 故，解得或（舍去）， 此时过点； ②当直线的斜率存在时，设， 联立方程， 得， 由， 得，且， 由， 得， 即． 将代入上式， 得， 即， 所以， 所以或， 当时，直线过点，不符合题意， 所以， 所以直线的方程为， 此时过点． 综上可知直线过定点． 【变式1】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； （2）利用点差法求直线的方程即可； （3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 【变式2】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 【变式3】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可； （2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可. 【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 【变式4】已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程； （2）先假设存在这样的定点，设直线方程，和曲线方程联立，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析即可判断. 【详解】（1）设点，故，而点到直线的距离为， 由已知得，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2） 若存在定点满足题意， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立方程，消去化简得， 则，则， 又，所以， 将代入化简得： ，若为定值，不妨设为， 则，即， 亦即有，， 解得，所以存在定点，使得． 当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件． 所以在轴上存在定点，使得为定值． 题型10 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】已知双曲线的两个焦点为为动点，若. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设点，过点作直线交轨迹于两点，判断的大小是否为定值？并证明你的结论. 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 【分析】(1)由椭圆的定义直接得轨迹的方程. (2)先由直线的特殊位置找到角的值，再猜想，进而证明. 【详解】（1）依题意双曲线方程可化为则， . 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程可设为， 由得，则所求椭圆方程为. 故动点的轨迹的方程为. （2）当与轴重合时，构不成，不合题意. 当轴时，直线的方程为， 代入解得的坐标分别为、， 而，猜测为定值. 设直线的方程为，， 【证明】由 得，. . ， 所以， 为定值.（与点不重合） 【变式1】已知，，为坐标原点，动点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)，是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）设点，利用给定等式建立方程，化简即可得轨迹方程. （2）设，利用三角形面积公式，结合向量运算可得，再利用点都在椭圆上联立求解即得. 【详解】（1）设点，由，得， 即， 则，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）设， ， 则，由（1）知， ， 因此，， 所以为定值，该定值为.    【变式2】已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）法一：通过讨论焦点在轴或轴，代入数据计算即可；法二：设，代入数据计算即可； （2）设，，由，得到，进而可求解. 【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，双曲线方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为，则， 解得，，所求双曲线方程为． （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设， 所以， 所以， 由题意知，，， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以， 即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为， 即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为， 即，，即直线的倾斜角为定值． 【变式3】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【变式4】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 题型11 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 【变式1】如图所示，椭圆的左右顶点分别为，过定点（不妨设）任意作直线交椭圆于，若直线与相交于，求证点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】利用仿射变换，还原成圆，如图，作轴于，可得 点在直线上，从而可证得结论. 【详解】还原成圆，设弧为，弧为，作轴于． 因为四点共圆，所以． 又， 所以， 所以，所以， 所以， 所以点在直线上， 所以点在直线上． 【变式2】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程； （2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上. 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 【变式3】已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，曲线在点、处的切线交点为，求点所在的直线． 【答案】 【分析】解法一：设，求出过点、的切线方程分别为，．求出交点，．联立过点的直线与抛物线方程，由韦达定理得，故可求得点所在直线. 解法二：由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：，结合已知条件求解即可． 【详解】解法一： 设，则，， 过点、的切线方程分别为，． ，． 由这两方程解得，． 设过点的直线斜率为，则方程为．① 把①式代入抛物线方程，消去，得． 由韦达定理得，，所以． 即点的轨迹在定直线上． 解法二： 由性质3可知：抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：． 由题意，知，， 过两切点的弦所在直线方程为：，且此直线过． 把代入方程，得， 即点的轨迹在定直线上． 【变式4】已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)点恒在直线上. 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可. 【详解】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出椭圆和双曲线的离心率，即可得出的值； （2）求出椭圆方程并设出两点的坐标，利用对称求出直线方程，让直线与椭圆联立，并利用韦达定理求出，设直线中点的坐标并用参数表达，得出与的表达式，利用求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意， 在椭圆：中，离心率为， 在双曲线C：中，离心率为， ∵， ∴，解得． （2）由题意及（1）得， 因为，所以：， 对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称， 设，， ∴直线方程为， 联立消去y得， 由，解得， 故， ∴， ， 设直线AB中点为， 则，， 又点P在直线l上，所以，则， 又因为，， 所以， ∵， ∴，解得且， ∴．    【变式1】设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点． (1)求的方程及圆的半径； (2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)的方程为，圆的半径为2； (2)相交，理由见解析. 【分析】（1）设，联立直线与椭圆并应用韦达定理得，再由弦长公式列方程求椭圆参数，即可得方程，根据圆所过的点求圆的半径； （2）讨论直线的斜率，不同情况下设直线的方程并联立椭圆，应用韦达定理及求参数关系，再应用点线距离与圆的半径大小判断位置关系即可. 【详解】（1）设， 联立，得，， 则， 即，解得， 故的方程为． 设圆的方程为，又圆过点，代入可得，故圆的半径为2． （2）    直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立， 不妨令， 由，得，解得， 此时圆心到直线的距离为，故直线与圆相交． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 则， 由得，即， 即， 故，解得， 设圆心到直线的距离为， 则，故直线与圆相交． 综上，直线与圆相交． 【变式2】已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程； （2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可. 【详解】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 【变式3】设双曲线的焦点分别为，，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线，的方程； (2)若A，分别为，上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； (3)过点能否作出直线，使与双曲线交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)双曲线方程为，渐近线方程为 (2)，点的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆 (3)不存在满足条件的直线，理由见解析 【分析】（1）根据方程和离心率求得，，即可得渐近线方程； （2）设，，的中点为，根据题意可得，结合渐近线方程运算求解即可； （3）假设存在，讨论直线的斜率是否存在，联立方程，根据向量垂直和韦达定理分析判断即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，可得，． 所以双曲线方程为，渐近线方程为． （2）设，，的中点为．    因为，则． 假设，， 则，． 可得 ． 因为，， 则，即． 所以点的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆． （3）假设存在满足条件的直线．    当直线的斜率不存在，即直线方程为时， 易得，的坐标分别为，． 因为， 所以直线不符合条件． 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 与双曲线交于，两点． 因为，所以． 所以， 所以①． 由消去，整理得， 则，，②． 将②代入①式，得 整理可得，无解． 综上可知，不存在满足条件的直线． 【变式4】已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程； （2）设且，联立抛物线结合判别式求参数范围； （3）根据题意，设直线，和，由向量的线性关系求得、，应用韦达定理化简求值即可. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以，而，， 所以. 1．椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，则直线的斜率 将与联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】不妨设，， 则直线的斜率 将与联立，得，即， 由韦达定理得，所以，又， 所以， 故选：D. 2．已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积. 【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一利用斜率转化直角三角形中角的正切值，再利用正弦定理转化边之比，最后利用面积可求解各边，即可求双曲线方程； 方法二是利用焦半径关系，结合直角三角形中角的正切值和面积关系即可求解焦半径，再用勾股定理和双曲线的定义可得双曲线方程. 【详解】 解法一：如图，点一定在第四象限，． 设，，， 由得． 因为，所以，即，，则． 由正弦定理得， 则可设，． 由得， 则，，，． 由双曲线的定义得，即，， 所以双曲线的方程为． 解法二：由解法一知点一定在第四象限，．设，， 则．因为是面积为8的直角三角形，所以①， 因为直线的斜率为2，所以，即②． 联立①②解得，， 则，即． 又由勾股定理得：，即．故， 所以双曲线的方程为． 故选：C 4．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最后根据双曲线的离心率求得范围； 【详解】易知渐近线方程为， 因为，所以． 又l与C没有交点，所以，则，所以． 故选：C. 5．已知椭圆的左、右焦点为，上、下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，结合点差法可得. 【详解】根据题意由，可得，即， 则，即，所以. 取中点为，可知.设，， ，作差可得，即， 即，可得，所以， 故选：B.    6．已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，联立得到，进而得到中点的坐标及轨迹方程即可. 【详解】设， ， ， ，即， 又为线段AB的中点，所以，则的轨迹方程为， 所以，都在上， 又，所以，因为，所以D错误. 故选：C. 7．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线交l于P，Q两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N，设点，，由题意可得，，进而根据，可求. 【详解】如图，过点B作交直线AP于点M，交x轴于点N， 设点，，因为， 所以，即①． 又因为，所以，所以， 所以②， 由①②可解得，． 当时，；当时，． 所以，解得． 故选：D. 8．已知椭圆的离心率为，点A为椭圆的左顶点，为椭圆外一点，线段的中点在椭圆上，若点P在椭圆上，则面积的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，然后求出与平行且与椭圆相切的直线，最后通过两平行线的距离求出的高，进而求出面积的最大值. 【详解】由题可知①，，则线段AM的中点为， 代入椭圆可得②，又③， 联立①②③可得，，所以椭圆的方程为， 故，直线的方程为， 设与直线平行的直线方程为， 当此直线与椭圆相切时，到直线距离较远的直线与椭圆的切点为P，如图：    此时的面积取得最大值．将代入椭圆方程， 消去x整理得， 所以，解得或4． 所以直线方程为或， 当，直线与直线的距离， 当，直线与直线的距离， 由，所以到直线距离较远的直线方程是， 两平行直线之间的距离，又， 所以面积的最大值为． 故选：C. 9．已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的标准方程分别得到，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 10．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】分类讨论，分当时，作出图像即可得解，当时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，由，当的方程为时，作出图像即可求解，进而求解. 【详解】由得渐近线方程为：，设直线的方程为， 由，得， 当时， 由图可知：与双曲线只有一个交点满足题意， 当时，，解得， 所以当时，与双曲线有一个交点，满足题意， 当的方程为时，与双曲线有一个交点，满足题意， 所以这样的直线有4条. 故答案为：4. 11．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，再通过向量垂直的条件来证明． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 12．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 13．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为． (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，直线与轴不平行，记直线的斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和短轴长的定义求出的值，进而得到椭圆方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和，再根据建立等式，化简后求出直线恒过的定点. 【详解】（1）由题意得， 因为短轴长为，所以， 解得，故的方程为． （2）设直线方程为，，，如图， 联立消去得， 则， 故，， 所以， ， 因为点在上，所以， 故， 所以． 因为，所以， 故 ， 解得，满足， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，若，，构成公差为的等差数列，且． (1)求C的方程； (2)若过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，O为坐标原点，且，，则当k取最大值时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程，求出的值即可； （2）由题意得直线的方程为，设，，联立椭圆方程，结合韦达定理以及求得的最大值，结合点到直线的距离公式、弦长公式即可求得的面积. 【详解】（1）由题意知，即， 由，得为钝角，则， 则， 解得，则，所以，故的方程为． （2）由题意得直线的方程为，    设，，联立 消去得， 由，解得， 且，， 因为，所以， 即， 所以， 即， 解得，即， 故当时，能取得最大值． 又， 到的距离， 所以， 将代入上式得的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $