精品解析：广东省中山市三鑫学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

三鑫高中2025-2026学年第一学期高一年级12月月考 数学试题 时间：120分钟，满分：150分；命题人：聂正祥，审题人：董昊天． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知集合的交运算即可求它们的交集. 【详解】由题意，集合, 则， 所以. 故选：D. 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 3. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 选C 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 所以，或， 解得：，或， 所以推不出， 当，即时，， 又，所以， 所以推出， 因此”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性算出，根据有理数指数幂的运算法则算出，由对数的运算法则求出，进而得出a、b、c的大小关系. 【详解】根据2、，且在上为减函数，可得， 因为，， 所以，C项符合题意． 故选：C 6. 函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、反比例函数的性质及解析式判断函数的区间单调性，再由零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由在上单调递增，则在上单调递增， 由，，故函数零点所在区间为. 故选：C 7. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 8. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察题目给出的不等式，整理成两边形式统一的结构，构造新函数并判断新函数的单调性，再利用单调性解不等式，求解过程中要注意函数的定义域。 【详解】由，，得，令，则， 所以在上单调递减.因为，所以，因为，所以，即， 因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以， 即,解得，因此不等式解集为. 故答案为：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为或 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，， 对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误， 故选：AB 10. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案. 【详解】角的终边与单位圆交于点， ，，， 当时，； 当时，． 故选：AC. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中e为自然对数的底数，），双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. ，则 C. 对任意的，存在唯一的，使 D. ，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，B错； 对于C选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为， 由B知函数为上的增函数， 所以对任意的，存在唯一的，使， C对； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系式即可求出. 【详解】根据三角函数诱导公式，得， ， 又，，根据同角三角函数的基本关系，得，， . 故答案为：. 13. 函数的最小正周期为________，________． 【答案】 ①. ## ②. 0 【解析】 【分析】利用最小正周期公式计算即可求得其最小正周期，直接代入计算可得函数值. 【详解】由函数可知其最小正周期为； 所以； 故答案为：；0 14. 已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为； 又由于条件2的限制，， 可分析得出在， 因此-4应该在两个根之间，当时，，解得交集为空，舍． 当m=-1时，两个根同为，舍． 当时，，解得，所以 综上所述，． 【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设函数，若实数满足，求实数取值的集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式解得集合.讨论集合或，列出不等式，解得实数a的取值范围； （2）由题意得不等式，通过正弦函数图象及性质解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 ，∴，∴， ∵，当时，即，∴， 当，时，，解得，∴. ∴. 【小问2详解】 由题意可知， 即， ∴或， 即或 即 17. 已知定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数定义求解时的解析式，进而求得答案. （2）利用二次函数图象，结合偶函数图象性质作出函数图象. （3）利用图象求出函数的单调递增区间，再结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由函数是偶函数且时，， 当时，，， 所以函数在上的解析式为. 【小问2详解】 函数的图象在轴右侧是开口向上且过点和， 顶点为的抛物线在轴及右侧部分， 再将在轴右侧的图象关于轴对称得在轴左侧的图象，如图： 【小问3详解】 由图象知，函数的单调递增区间为和， 由函数在上单调递增，得或 即或，解得或， 所以实数的取值范围． 18. 已知函数是上的偶函数． （1）求； （2）如果恒成立，求k的取值集合； （3）如果图象关于对称，且在区间上是单调函数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义展开正弦函数，结合恒成立条件得，确定； （2）将函数化简为余弦函数，结合值域分析不等式恒成立的值； （3）根据对称点的函数值特征得的表达式，结合单调区间的限制确定的取值. 【小问1详解】 因是偶函数，故，即. 根据和差角公式展开得， 对任意成立且，故. 结合，得. 【小问2详解】 由，得，其值域为. 不等式恒成立，等价于对所有成立. 的最大值为，的最小值为，故. 【小问3详解】 的图象关于对称，故，即. 得（），化简得（）. 在上单调，而在上单调递减，故，即. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，，不满足单调性要求. 故或. 19. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若正实数满足，求的最小值； （3）对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为：； （2）的最小值为4； （3）实数h的取值范围为； 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义得，可计算得出，再根据是奇函数，所以，可计算出满足题意，最终得出； （2）结合第（1）问，利用基本不等式中“1”的代换，即可计算出的最小值； （3）根据，化简得，得出在定义域内单调递增，所以，最终可转换为二次函数和直线交点的问题求解实数h的取值范围． 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得，即， 又因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，解得，因为，所以，或者； 时，，此时为奇函数，且在上单调递增，满足题意； 时，，此时为偶函数，不满足题意； 所以； 【小问2详解】 由（1）得：，； 因为为正实数，结合基本不等式得：，当时，取等号， 所以；所以的最小值为4. 【小问3详解】 因为，，定义域为； 在定义域内单调递增，所以 ，所以，为方程的两个实数根，即在上有两个不同的实数根； 令，，则，则方程等价于，在上有两个不相等的实数根； 设，在上的图象如图所示： 对称轴为，； 方程，在上有两个不相等的实数根等价于直线与的图像有两个不同的交点， 由图象得：； 所以实数h的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三鑫高中2025-2026学年第一学期高一年级12月月考 数学试题 时间：120分钟，满分：150分；命题人：聂正祥，审题人：董昊天． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 3. A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 7. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为或 C. D. 不等式的解集为 10. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中e为自然对数的底数，），双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. ，则 C. 对任意的，存在唯一的，使 D. ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，则________． 13. 函数的最小正周期为________，________． 14. 已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设函数，若实数满足，求实数取值的集合． 17. 已知定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 18. 已知函数是上的偶函数． （1）求； （2）如果恒成立，求k的取值集合； （3）如果图象关于对称，且在区间上是单调函数，求的值． 19. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若正实数满足，求的最小值； （3）对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $