精品解析：辽宁省沈阳市沈河区2025—2026学年 上学期九年级数学期末试卷

沈河区2025-2026学年度上学期 九年级数学教学数据采集试题 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是熟练掌握几何体的三视图；根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 2. 已知，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等比定理的应用，熟练掌握等比定理是解题的关键；根据题意可得，代入数值即可求解． 【详解】由题意得， 又， 所以． 故选：A． 3. 下列不是中心投影的是（ ） A. 阳光下房屋的影子 B. 晚上在房间内墙上的手影 C. 人在路灯下形成的影子 D. 皮影戏中的影子 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的判断，根据中心投影是指光线从一个点（投影中心）发散形成的投影逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 4. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 5. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等且互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质，根据菱形、矩形和正方形的性质，逐一判断各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故选项不符合题意； C、菱形的四个角不一定相等，只有正方形的四个角相等，故选项不符合题意； D、正方形的对角线具有菱形和矩形的所有性质，互相垂直平分且相等，故选项符合题意； 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 7. 在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有个火车停靠站，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 火车票有方向性，从x个站中选2个站排列，计算排列数，再列方程即可． 【详解】解：∵ 共有x个停靠站，每张火车票需选择始发站和终点站，且始发站与终点站不同， ∴ 始发站有x种选择，终点站有种选择， ∴ 总票数为， ∵ 有72种不同行程的火车票， ∴． 故选B． 8. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 9. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 第二部分非选择题 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在中，，，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可． 【详解】解：在中，，， 设， 则， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理等知识，作轴于点，轴于点，根据勾股定理求出，的长，得出相似比，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13. 如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：列表如下： B C E A D 由列表可知，共有种等可能的结果，其中从口进，从口离开的结果只有种，即， ∴他选择从口进入，从口离开概率是， 故答案为：． 14. 周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在，，按以下步骤作图： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点； （3）作射线交于点； （4）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点； （5）作直线，交，分别于点．根据以上作图，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，由作图可知平分，垂直平分，证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，再证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先化为一般形式，再根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2） ． 17. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸A．氯化钠B．稀盐酸C．碳酸钠D．四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液A、稀盐酸溶液C可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率掌握知识点是解题的关键． 根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 18. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． （1）当时，求证：四边形是矩形； （2）当，，时，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形、平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据条件得到，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可求解． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴四边形的周长． 19. 如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； (2) 求出一次函数与反比例函数的交点为，再结合图象即可解答． （3）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， ， ∴一次函数的解析式为 把点代入一次函数得 ， ∴， ， ； 【小问2详解】 联立，得 ， 即， 解得， 当时，， ∴一次函数与反比例函数的交点为， ∴当或时，，即 ∴当或时，． 【小问3详解】 设点M坐标为，则点N坐标为， ①当点B在直线的左侧时，如图 过点B作于点H， ，， ， 由（1）可知， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时， M坐标为，则点N坐标为， ∴． ②当点B在直线的右侧时，如图 由图，可知，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为12． 20. 如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） （1）求线段的长；（结果保留一位小数） （2）求的值．（结果保留整数） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，由解直角三角形求出，再由即可求解； （2）由解直角三角形求出，再由，，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化驱动下，针对特定车型零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售． 问题解决 任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________； 任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20% （2）该零件的实际售价应定为元． （3）售价定元时，月销售利润最大，最大为元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数和二次函数的图象和性质： （1）设平均增长率为，根据题意可得． （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，采用待定系数法可求得函数表达式； （3）月销售利润是售价的二次函数，根据二次函数图象的性质即可求得答案． 【详解】（1）设平均增长率为，根据题意可得 ． 解得 ，（舍去）． 故答案为： （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，设一次函数表达式为． 因为售价每上涨1元，月销售量将减少10个，则售价为元时，月销量（个），所以，点和在函数图象上，可得 解得 所以，月销售量与零件售价之间的函数表达式为． 所以，月销售利润． 根据题意，得 ． 解得 ，． 因为尽可能让车企得到实惠，所以该零件的实际售价应定为元． 答：该零件的实际售价应定为元． （3）根据题意，得 ． 该二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值，． 答：售价定为元时，月销售利润最大，最大为元． 22. 定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数“倍差函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②；③． 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用、二次函数性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用“倍差函数”的定义求解即可； （2）设，由“倍差点”的定义可知，再根据点B的纵坐标为，列方程求得m的值，进而确定点A的坐标； （3）①由题意可得：点，由“关于的倍差点”可得，再根据点与点重合，列关于m的方程求解即可；②由①可得：，，再根据二次函数的性质可得的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据图形进和题意解答即可；③先画出图形，易得点D和点E在，且在，点F在；由二次函数的性质可得，进而得到，再结合，由题意可得，解方程可求得b的值，最后根据b的取值范围确定答案即可． 【小问1详解】 解：由“倍差函数”定义可得：函数的“倍差函数”的函数表达式为： ，即． 【小问2详解】 解：设， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点B的纵坐标为， ∴，解得：，即． 【小问3详解】 解：①由题意可得：点， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点与点重合， ∴，整理得：，解得：． ②由①可得：，， 由题意可得：函数的“倍差函数”， ∴的对称轴为， 如图：当时，则， ， ∴； 如图：当时，则， ， ∴； 综上，． ③如图可知：点D和点E在，且在，点F在 ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵点E在，点F在， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴． 23. 请阅读以下材料，并完成相应的任务： “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”数学家帕普斯（，公元300前后）曾借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法．在探索过程中，有研究者借鉴数学家帕普斯的思路，依托如图1所示的几何图形开展研究． 任务一：请写出下列命题的证明过程． （1）已知：如图1，四边形是矩形，是延长线上一点，连接交边于点，点是的中点，且． 求证：； 任务二：通过任务一的探究，我们发现解决三倍角问题通常与等腰三角形密不可分； （2）如图2，在Rt中，，，请利用任务一中总结的经验与方法求的正弦值； 任务三： （3）如图3，在四边形中，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的正弦值为 （3）四边形的周长为 【解析】 【分析】本题考查的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形性质以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得出，根据三角形外角关系得，结合，得，因此得出； （2）参考（1）中的证明方法，构造出，延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，由图易证，根据三角函数关系，得出各边长之间得关系式，即可求出的值，为的正弦值； （3）添加辅助线，尽量构造直角三角形，延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，首先由角度关系证三角形为等腰三角形，结合三角函数，得出部分线段的长度，假设，根据，得出的长度关系式，由，，结合（2）中的结论，可得出的长度表达式，依据列的方程，解出的长度，以此发散求出、的长度，最终求出四边形的周长． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故． 【小问2详解】 解：延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，如下图： ∵， ∴， ∴， 假设，， ∵， 结合勾股定理可得， ∵，解得， ∵点为直角三角形斜边的中点， ∴，结合， ∴， ∴， ∵，，结合， ∴， 故． 【小问3详解】 延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵, ∴， ∴， 又∵，结合， ∴，解得， 故三角形为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，故，结合， 由勾股定理得，解得，，结合， ∴， ∵、、， 得四边形为矩形，故， 假设，则， ∵， ∴， ∴，结合，得， ∵，， ∴， ∵， 由（2）中可得，即， 故，结合，由勾股定理得， ∵，，， 得方程，解得， 即，则，，， 结合，得， ∴，，，， 故四边形的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈河区2025-2026学年度上学期 九年级数学教学数据采集试题 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 4 3. 下列不是中心投影的是（ ） A. 阳光下房屋的影子 B. 晚上在房间内墙上的手影 C. 人在路灯下形成的影子 D. 皮影戏中的影子 4. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 5. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等且互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有个火车停靠站，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在中，，，则的值为______________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为______________． 13. 如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是___________． 14. 周末，数学兴趣小组同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 15. 如图，在，，按以下步骤作图： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点； （3）作射线交于点； （4）分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于，两点； （5）作直线，交，分别于点．根据以上作图，若，则的长是___________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸A．氯化钠B．稀盐酸C．碳酸钠D．四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液A、稀盐酸溶液C可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 18. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． （1）当时，求证：四边形是矩形； （2）当，，时，求四边形的周长． 19. 如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 20. 如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） （1）求线段的长；（结果保留一位小数） （2）求的值．（结果保留整数） 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化驱动下，针对特定车型的零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售． 问题解决 任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________； 任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数“倍差函数”函数表达式； （2）如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 23. 请阅读以下材料，并完成相应的任务： “三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”数学家帕普斯（，公元300前后）曾借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法．在探索过程中，有研究者借鉴数学家帕普斯的思路，依托如图1所示的几何图形开展研究． 任务一：请写出下列命题的证明过程． （1）已知：如图1，四边形是矩形，是延长线上一点，连接交边于点，点是的中点，且． 求证：； 任务二：通过任务一的探究，我们发现解决三倍角问题通常与等腰三角形密不可分； （2）如图2，在Rt中，，，请利用任务一中总结的经验与方法求的正弦值； 任务三： （3）如图3，在四边形中，，，直接写出四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $