江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月阶段考试数学试卷

南京师大附中2025-2026学年第一学期高一12月阶段考试 数学试卷 命题人：高一数学备课组 一。单选题 1.已知集合A={x<2},B={log2x<0},则AnB=() A.(-1,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.0 【答案】B 【解析】 2= ÷x>-1,log2x<0=log21台0<x<1 2.在三角形ABC中，“cosA=cosB”是“sinA=sinB”的（)条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】C 3.若命题“x∈[0,5]，使得x2一ax十2-a<0”为假命题，则实数a的取值范围是（) A.(-∞，2] B.(-∞，2V5-2]C.[2V2,+∞) D.[2W5-1,+∞) 【答案】B 【解析】已知为假，则x∈[0,5]，使得x2-ax+2-a≥0为真，故a(x+1)sx2+2, 所以有a≤+2 即a≤ x+1 x+1 ,又+2_x+=2x+)3-(x+1)t3-2≥25-2， x+1 x+1 x+1 当且仅当x=V3-1时取等，所以a≤2√3-2 【注意】取a=2,x2-ax+2-a=x2-2x不满足题意，故A不选，根据a≤ 方向，C、D不选 x+ min 4.已知函数x)=Asin(wx十p)(其中A>0,ω>0，lpl<π)的部分图象如图所示，则函数x) 的解析式为() A.)=2sin(2x-3 B./x)=2sin(2x-) 12 C.fx)=2sin(4x- D./x)-2sin(4x+) 【答案】D 【解析】 子沿君“名-香白@=4，注意别后是级间中的零数， 故4，z+p=π+2kπ，所以p=T+2kr 6 5.已知函数x)=tan4一2x),则下列说法正确的是() A.函数y=的单调递增区间是（一+受妥+受(&∈☑ B.函数)=图象对称中心的集合是，0收=君+受k∈Z C.对任意的实数a,直线y=a与函数y=x)图象的两个相邻交点之间的距离是π D.函数)=几训的对称轴是直线x=爱+冬k∈乙 【答案】D 【解析】根据复合函数单调性规则，内函数减，外函数增，则该复合函数不可能有增区间，故A错误： x=石+k怀台-2x=-kx,但y=anx的对称中心间隔是，故B错误： 一+一→一 82 4 2 该函数周期是二，故C错误。 2 6.已知a=30.4,b=0.43,c=log0.43,d=log30.4,则下列大小关系正确的是() A.c<d<b<a B.d<c<b<a C.c<d<a<b D.d<c<a<b 【答案】A 【解析】1ogo43<-1<1og0.4<0<0.43<1<34. 7.给出下列命题，其中是真命题的有() 2 A.sin是号 B.若cos0<0,则8是第二或第三象限的角 C.若a是锐角三角形的一个内角，则2α是第一象限角或第二象限角 D。若圆心角为号宁的扇形的弧长警则该扇形面积为号 【答案】A 【解析】 sinx<x→sin交<π<2， 242415’故A正确： c0s0<0,但0还可以在轴线角，故B错误： 2=兀时不是象限角，故C错误： 由弧长公式1=可知8=2r,所以r=4,即S=r= 33 2 16死，故D错误。 3 8.已知fx)是定义在(m一5,4m)上的奇函数，对任意的x1,x2∈[0,4m),当x1≠x2时， +1x）一+12)>0恒成立，若I)=6,则关于x的不等式x-m)>32-6x+ x1一X2 6的解集为() A.(0,2) B.(-3,0) C.(2,5) D.(2,+∞) 【答案】C 【解析】由奇函数知m-5+4m=0台m=1,所以定义域为(-4,4) 此时目标(x-m)>3x2-6x+6可变形为f(x-1)>3x2-6x+6, 且根据定义域有-4<x-1<4,即-3<x<5,故D错. (x)f(x2) 已知3+/)上G+r),0+G+0. X1-x2 X1-X2 所以g(心)上在0,4)上单调递增，并且不难发现g()也是奇函数，即8女)在(4,4)单通 目标实际为fx-0>3x-6x+6[(x-+1g(x->3[(x-l+1], #意到/0=69=g0=3.所以g-小>g0.放-11，所以>2. 二。多选题 9.已知a>0,b>0,且ab=a十b,则() A.loe哈+loer-2 B. a 2b的最大值为1-2V2 C.2a+2b≥8 D.a+b+Va2+b2的最小值为4+2W2 【答案】ACD 【解析】ab=a+b≥2Wab台ab≥4（当且仅当a=b时取等）， s1og2-2，放A正确： 即上-2b=1-2b≤1-2万（当且仅当6=5时，4<0取不到等号），放B错误 2 a+b 2°+20≥222≥22而≥8，故C正确： a=b=1时，a+b+Va2+b2=2+V2<4+2V2 ,故D正确。 10.已知函数x),gx)的定义域均为R,x+1)的函数图象关于x=一1对称，函数gx)图 象关于点(-1，-1)对称，且gx)=x+2)+4,4)=-3,则（) A.x)=几一x) B.g(-2)=1 C.2025)+2026)=-8 D.g(2026)+g(2027)+g(2028)=-3 【答案】ABD 【解析】因为f(x+1)的图象关于x=-1对称，所以f(x)的图象关于x=0对称，故A正确： 因为g(x)关于(-1，-1)对称，所以g(x)+g(-2-x)=-2, 又因为g(x)=f(x+2)+4,所以f(x+2)+4+f(-x)+4=-2,即f(x+2)+f(-x)=-10, 所以f(x)还关于(1，-5)对称，不难得到f(x)是周期函数，周期为4， g(-2)=f(0)+4=f(4)+4=-3+4=1,故B正确： f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)=-5+(-7)=-12,故C错误： g(2026)+g(2027)+g(2028)=∫(2028)+f(2029)+∫(2030+12 =f(0)+f()+f(2)+12=-15+12=-3,故D正确 1.已知函数)=si(ox+o>0,Ml<在区间爱，孕上单调，且函数号-2)是奇函数， 则() A.孕=0 B.3=0 C.关于x的方程x)=一1在区间[0，)上不相等实数解的个数不超过3个 D.若受-=，则函数网的最小正周期为 4π 【答案】BD 【解析】因为()在（名写）上单闻，所以根据必要性区间长5号=三，即0<056。 620 因为/-2是备菌数，所以/(）-0（故B正确，A根据已知选项无法确定）， 所以2子o+9=kx(ke2Z), 关于选项C:f()=-1台or+9=3+2kz台0x+kr-20r=37+2kr, 32 20π.3π +kπ 所以x= 3 (此时x的个数就是k的个数)， 0 20m,3π 所以0≤32 +kπ k<@3 0 一<π，整理得-203 32 32 由于0<0s6,所以-≤-20-3<-3303】 ≤-3-2<-2-2<322' 即-20-3≤k<-3 321 可能存在超过3个整数k满足，故C错误： 32 关于选项D:(-小1儿)即关于x=号对称，所以号+p=号+长， 2 结合写·0+p=kπ得0=元+kπ，故p=0,所以@= 2π (其他情况检验后舍)，故D正确. 2 三。填空题 12.若函数=2sin写之)的单调递减区间是 【答案】[+x号+]e) 【解折】-受+2r号-≤号+2x。号4≤x智-4r 13.若函数fx)=log(x2-ax十1)(a>0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是 【答案】(1,2) 【解析】设g(x)=x2-ax+1, 0<a<1时8（因=-m+1-(-+1-年21-0 根紧复合函数单调性，了心)在(-引单调送城，在(？+灯单得道绵，此时无最小位，知 1a2时.8--am+1-(-+1-21- >0, 根据复合函数单调临，了四在（∞引单调滤减。在（行+切单调递州，此时有最小值，如图。 a≥2时，f(x)定义域不为R,即其图象会出现渐近线，此时无最小值，如图. 14.已知函数x)=2sin(ox)(其中ow>0),把函数w)的图象向左平移元个单位后得到函数 60 gx)的图象.若函数gx)在区间哈上恰有2个零点，则ω的取值范围是 【答案】 得劉 【解18()=2sn(or+引若≤x<号 o+≤ox+ 66 6 设0=ox+T,原题等价于h(0)=2sin0在 6 0 上恰有2个零点， 6 先考虑必要性：要拾有两个学点，则区饲长（经+}+引[仔马] 35039.商以号50君+名，晋50受+名 2 如图，红色为日起点可在范围，蓝色为B终点可在范围 sinx 血x(号sx≤学} 如x{婴sxs9} 要想从红色开始到蓝色结束时恰有2个零点，则需分类讨论： (1)起点0严+小于等于π时，终点0+Z在(2元，3x],此时两个零点为元，2π，如图 66 26 inx 血x各ss + sinx(2xsxs3x} (2)起点0 若+君大于x时，终点m受+后在(Bx切小此时两个学点为2x,3,如图 66 sinx + 血sxs} simx{3r≤x≤4x} 四.解答题 15.(本小题12分) cosr受-水os(6x+jco受+0 已知函数x)= 2025m-x). sin(3π-x)cos(-x-元tan(-5π+x) +cos(2 (1)化简x),并写出函数x)的定义域： (2)若@)=一子且a是第三或四象限角，求一)的值. 【解析】(1)f(x)= 仁nx=nr+eos,定义城为经太e2: sinx.(-cosx).tanx 2)fa)=sina+cos&=平方得1+2 simco= i6,即2 sin=-15 16 0, 所以a在第四象限，因此sina<0,cosa>0, f(-a)=sin(-a)+cos(-a)=-sina+cosa ,15V31 -(-sina+cosa)=1-2sinacosa=+6 16.(本小题12分) 已知函数)=n1- ，gx)=4+m.2. 1+x (1)判断函数x)的单调性，并证明： (2)若存在两不相等的实数a,b,同时满足a)+b)=0,g(a)十g(b)=0,求实数m的取 值范围. 【解析】(1)f(x)在定义域(-1，)单调递减，证明如下： -1<m<n<l,则f(m）-fa)=n-m-nl-n=n-m0+则 1+m1+n “(1+m)1-n) =Inmn-m+n+1 -mn+m-n+1 =ln1+ 2a-m>0 '(1+m)1-n) 所以f(m)>f(n),所以f(x)在定义域(-1，)单调递减： 2)因为f-)=h十-fy,所以f四为奇函数，又由)得函数单调避减，所以a+60 此时g(a)+g(b)=0÷g(a)+g(-a)=0，即4°+4-+m(2°+2)=0， 设t=2°+2”∈(2，)，则40+40=？-2，所以40+4+m2+2）=0台2-2+m=0, 要满足驱意，则限=4+子解得me(品-0。 17.(本小题14分) 已知函数fx)=ae（其中a∈R),且2)=1. (1)证明：对Vx,y∈R,x+y)=e2xy): (2)设函数gx)=fx)-工十x,且满足g(2m-1)十g(m十3)>4，求实数m的取值范围： fx) [x+2),0, (3)若a,b,c是三个互不相同的实数，且对于函数h(x)= lnx+1,x>0, 满足 h(h(a))=h(h(b))=h(h(c)),求a+b+c的取值范围. 【解析】因为f(2)-l,所以ae=l,即a=己，所以f()=e-, (1)证明：左边f(x+y)=e+r-2，右边ef(x)f(y)=e2e*-2.e2=e2,， 所以f(x+y)=e2f(x)f(y)得证. (2)设G(x)=g(x)-2=e-2-e2x+x-2, 则G(4-x)=e4-x-2-e2-4+x+4-x-2=e2-x-e-2+2-x=-G6), 所以G(x)图象关于(2,0)中心对称， 因为x>2时，G(x)单调递增，故G(x)在R上单调递增， 因为g(2m-1)+g(m+3)>4,所以g(2m-1)-2+g(m+3)-2>0, 所以G(2m-1)+G(m+3)>0,所以G(2m-1)>-G(m+3),所以G(2m-1)>G(4-m-3), 所以2m-1>1-m,解得m> 取值范图是（后，+四. (3)由已知得h(x)= e,≤0。，设1=h(x),y=h,不妨设a<b<c, Inx+1,x>0 若y>1或y≤0，则y=h(t)只有一解，此时t=h(x)不可能有a,b,c三解，故不成立： 若y=1,则y=h(t)解为t=0和t=l,此时t=h(x)只有两解，故不成立： 若0<y<1,则y=h0有两解4=ny<0和=e∈（已 e=ln2+1, 此时5=h(x)必有一解b=e-1, 要满足题意则需2=h(x)有两个不同的解，即t2=e∈(0，]，即a=ln2≤0<c=e- 质以a+6e=h6+也+白-1e+1 参考图如下： -2 0 t .1 t如 t2 1.5 t2 0.5 0 0.5 25 0.5 a南京师大附中2025-2026学年第一学期高一12月阶段考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={)<2,B={logx<0,则AnB=() A.(-1,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.0 2.在三角形ABC中，“cosA=cosB”是“sinA=sinB”的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.若命题3r∈[0,5]，使得x2-a十2-a<0'为假命题，则实数a的取值范围是() A.(-∞，2] B.(-o∞，2/3-2]C.[2W2,+∞) D.[2W3-1,+o∞) 4.己知函数x)=Asin(x十p)(其中A>0,ω>0，l<π)的部分图象如图所示，则函数x) 的解析式为() A.)=2m2x-5 B.九)=2sin(2x-3 C.)-2sin(dx- D.)=2sn(4+ 5.己知函数x)=tanG一2x),则下列说法正确的是() A函数)=)的单调递增区间是（一+受餐+受c∈刀 B.函数y=)图象对称中心的集合是{K,OK=+匹，k∈Z Γ821 C.对任意的实数a,直线y=a与函数y=x)图象的两个相邻交点之间的距离是元 D.函数=的对称轴是直线x一爱+卒kEZ 6.已知a=34,b=0.43,c=log0.43,d=log0.4,则下列大小关系正确的是() A.c<d<b<a B.d<c<b<a C.c<d<a<b D.d<c<a<b 7.给出下列命题，其中是真命题的有() A贤号 B.若cos0<0,则6是第二或第三象限的角 C.若α是锐角三角形的一个内角，则2a是第一象限角或第二象限角 1/4 D.若圆心角为受的扇形的弧长则该扇形面积为 8.己知x)是定义在(m一5,4m上的奇函数，对任意的x1,x2∈[0,4m,当x1卡x2时， +1）=i+1】>0恒成立，若1)=6，则关于x的不等式一m>3x2-6x十 X1一X2 6的解集为() A.(0,2) B.(-3,0) C.(2,5) D.(2,+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知a>0,b>0,且ab=a十b,则() A.loo B.-2b的最大值为1-2W5 C.20+25≥8 D.a+b+V+b的最小值为4+22 10.己知函数x),gx)的定义域均为R,x+1)的函数图象关于x=一1对称，函数gx)图 象关于点(-1，一1)对称，且gx)=x+2)十4,4)=-3，则（) A.x)=-x) B.g(-2)=1 C.f2025)+f2026)=-8 D.g(2026)+g(2027)+g(2028)=-3 1.已知函数)=如n@十@>0，a<对在区间后，孕上单调，且函数否-2)是奇函数， 则() A孕=0 B.受=0 C.关于x的方程x)=一1在区间[0，四上不相等实数解的个数不超过3个 D.若否-)=，则函数)的最小正周期为钙 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 12.若函数)=2sin)的单调递减区间是 13.若函数fx)=log(x2-+1)(a>0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是 14已知函数)=2s血(@（其中0>0），把函数九)的图象向左平移需个单位后得到函数 )的图象.若函数)在区间哈为上恰有2个零点，则ω的取值范围是 2/4 四、解答题：本题共3小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) -水os(6r+水osr+) 己知函数)= cos(2 2025L一x): in(3-)cos()tan(5cos(2 (1)化简)，并写出函数x)的定义域： (2)若=一子且u是第三或四象限角，求一)的值。 16.(本小题12分) 已知函数)=n1- ,8x)=4+m.2. 1+x (1)判断函数x)的单调性，并证明： (2)若存在两不相等的实数a,b,同时满足(a)+b)=0,g(四十g(b)=0,求实数m的取 值范围。 3/4 17.(本小题14分) 己知函数x)=re(其中a∈R),且f2)=1 (1)证明：对Vx,y∈R,x+y)=exy): (2)设函数8(w)=w)-工十x,且满足g(2m-1)十8m十3)>4，求实数m的取值范围； fx) x+2,x≤0， (3)若a,b,c是三个互不相同的实数，且对于函数h(x)= 满足 nx+1,x>0, h(h(a)=h(b)=h(c),求a+b+c的取值范围. 4/4