13.1.2直角三角形判定 专训 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华师版秋学期八年级上册数学《13.1.2直角三角形判定》专训学校∶ 考号∶ 姓名∶ 班级∶ ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※ 一、选择题。 1、已知△ABC的三条边分别长为a＝6、b＝10、c＝8，则△ABC是(　　　) A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 2、下列各组数中，是勾股数的一组是(　　　) A.7、8、9 B.1、1、2 C.9、12、15 D.2、3、4 3、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　　) 图1 A.a∶b∶c＝7∶25∶24 B.b2＝(a＋c)(a－c) C.∠C＝∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 4、如图1：长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(　　　) A. B. C.－ D.－ 5、如图2是一株美丽的“勾股树”，若正方形A、B的面积分别是16、10，则正方形C的面积是(　　　) 图4 图3 图2 图5 A.26 B. C.16 D.4 6、下列各组数中，是“勾股数”的一组是(　　　) A.4、5、6 B.0.3、0.4、0.5 C.9、40、41 D.1.5、2、2.5 7、如图3：每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形顶点，则∠ABC的度数为(　　　) A.30° B.45° C.55° D.60° 8、已知△ABC的三边a、b、c满足a2＋＝10a－－25，则此三角形是(　　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 9、有人在数轴上按照如图4所示的方法“画出”了、、、。在这四个数中，是无理数的有(　　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10、(核心素养)如图5：Rt△ABC中，BD平分∠ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，如果点M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是(　　　) A.3 B.4 C.4.8 D.5 二、填空题。 11、已知△ABC的三边长分别为、、，则△ABC的面积为　　　　　　。 12、如果△ABC的三边长分别是25cm、7cm、24cm，则这个三角形中最大的内角的度数是　　　　　　。 13、如图6：在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则∠BAC的度数为　　　　　　。 图7 图8 图6 14、如图7：四边形ABCD的面积是　　　　　　。 15、小丽同学在数轴上按照如图8所示的方法画出了、、、及点A，则点A表示的数为　　　　　　。 16、(中考链接)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；⑤11、60、61……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　　　　　　。 三、解答题。 17、如图：AD⊥CD，AD＝3cm，CD＝4cm，AB＝12cm，BC＝13cm，求图中阴影部分的面积。 18、如图：在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB。 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处 的路程是多少？ 19、在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝20千米，BC＝15千米，CD＝7千米，AD＝24千米。 (1)求小溪流AC的长；(2)求四边形ABCD的面积。 20、已知a、b、c满足：＋＋(c－4)2＝0。 (1)a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　； (2)设m是c的整数部分，n是c的小数部分，试求m－n的值； (3)判断以a、b、c为边的三角形的形状并说明理由。 21、(实践探究)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2。 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13、AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离。 22、(逻辑推理)第14届数学教育大会(ICME—14)会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”。如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形。 (1)请用图2验证勾股定理：c2＝a2＋b2； (2)如果满足等式a2＋b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数。已知m、n是正整数且m＞n。证明2mn、m2＋n2、m2－n2是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植　　　　棵青菜(直接写出结果，不必说明理由)。 华师版秋学期八年级上册数学《13.1.2直角三角形判定》专训训答案解析学校∶ 考号∶ 姓名∶ 班级∶ ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※ 一、选择题。 1、已知△ABC的三条边分别长为a＝6、b＝10、c＝8，则△ABC是(　　　) A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 答案∶B(勾股定理的逆定理) 2、下列各组数中，是勾股数的一组是(　　　) A.7、8、9 B.1、1、2 C.9、12、15 D.2、3、4 答案∶C(勾股定理的逆定理) 3、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　　) 图1 A.a∶b∶c＝7∶25∶24 B.b2＝(a＋c)(a－c) C.∠C＝∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 答案∶D(C.∠C＝∠A－∠B和∠A＋∠B＋∠C＝180得∠A＝90°) 4、如图1：长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(　　　) A. B. C.－ D.－ 答案∶B(AC＝AE，则利用勾股定理求出AC即AE的长) 5、如图2是一株美丽的“勾股树”，若正方形A、B的面积分别是16、10，则正方形C的面积是(　　　) 图5 图4 图3 图2 A.26 B. C.16 D.4 答案∶A(中间Rt△三边是勾股定理，两个小正方形面积之和等于大正方形的面积) 6、下列各组数中，是“勾股数”的一组是(　　　) A.4、5、6 B.0.3、0.4、0.5 C.9、40、41 D.1.5、2、2.5 答案∶C(不是正整数不是勾股数) 7、如图3：每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形顶点，则∠ABC的度数为(　　　) A.30° B.45° C.55° D.60° 答案∶B(不是正整数不是勾股数) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理。 在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，证明出△ABC是等腰直角三角形，继而可得出∠ABC的度数。 【详解】解：如图：连接AC。 由勾股定理得： AC＝BC＝＝ AB＝＝ ∴ ()2＋()2＝()2 即：AC2＋BC2＝AB2 ∴ ∠ACB＝90° 则：△ABC是等腰直角三角形 ∴ ∠ABC＝45° 故选：B 8、已知△ABC的三边a、b、c满足a2＋＝10a－－25，则此三角形是(　　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案∶C(所有的移项到左边，利用非负数性质求解) 9、有人在数轴上按照如图4所示的方法“画出”了、、、。在这四个数中，是无理数的有(　　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案∶D(所有的移项到左边，利用非负数性质求解) 10、(核心素养)如图5：Rt△ABC中，BD平分∠ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，如果点M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是(　　　) A.3 B.4 C.4.8 D.5 答案∶C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在BA上截取BE＝BN，连接ME，可证明△BEM≌△BNM(SAS)，得到ME＝MN，则当C、M、E三点共线，且CE⊥AB时，CM＋MN有最小值，即此时CM＋MN有最小值，最小值为CE的长，可证明∠ACB＝90°，利用等面积法求出CE的长即可得到答案。 【详解】解：如图所示，在BA上截取BE＝BN，连接ME ∵ BD平分∠ABC ∴ ∠MBN＝∠MBE ∵ BM＝BM BE＝BN ∴ △BEM≌△BNM(SAS) ∴ ME＝MN ∴ CM＋MN=CM＋ME ∵ CM＋ME≥CE，且垂线段最短 ∴当C、M、E三点共线，且CE⊥AB时，CM＋MN有最小值，即此时CM＋MN有最小值，最小值为CE的长 ∵ AC＝6 BC＝8 AB＝10 ∴ AC2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AB2 ∴ ∠ACB＝90° ∴ S△ABC＝0.5×AC×BC＝0.5×AB×CE ∴ 0.5×6×8＝0.5×10×CE ∴ CE＝4.8 ∴CM＋MN的最小值为4.8 故选：C 二、填空题。 11、已知△ABC的三边长分别为、、，则△ABC的面积为　　　　　　。 答案∶1.5(先用勾股定理逆定理证明是直角三角形) 12、如果△ABC的三边长分别是25cm、7cm、24cm，则这个三角形中最大的内角的度数是　　　　　　。 答案∶90°(先用勾股定理逆定理证明是直角三角形) 13、如图6：在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则∠BAC的度数为　　　　　　。 图7 图8 图6 答案∶45°(连接BC先用勾股定理逆定理证明是直角三角形 AC＝BC) 14、如图7：四边形ABCD的面积是　　　　　　。 答案∶36(先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再把两个三角形面积相加) 15、小丽同学在数轴上按照如图8所示的方法画出了、、、及点A，则点A表示的数为　　　　　　。 答案∶(用勾股定理求解) 16、(中考链接)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；⑤11、60、61……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　　　　　　。 答案∶13、84、85(数字类规律探究 数学推理能力) 由题意可知：第六组数的第一个数字为13 设第二个数字为b，则第三个数字为b＋1 由勾股定理得： 132＋b2＝(b＋1)2 解得：b＝84 即：b＋1＝85 三、解答题。 17、如图：AD⊥CD，AD＝3cm，CD＝4cm，AB＝12cm，BC＝13cm，求图中阴影部分的面积。 答案∶连接AC ∵ AD⊥CD ∴ ∠ADC＝90° 在Rt△ADC中，由勾股定理得： AC＝＝＝5(cm) 在△ABC中 ∵ AC2＋AB2＝52＋122＝169(cm) BC2＝132＝169(cm) ∴ AC2＋AB2＝BC2 ∴ △ABC是直角三角形 ∴ S阴＝SABC－SACD＝0.5×15×5－0.5×4×3＝24(cm2) 答：图中阴影部分的面积是24cm2。 18、如图：在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB。 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处 的路程是多少？ 答案∶(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键。 (1)可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； (2)利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案。 【详解】(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意可知： ∴ ∴ ∴ 是直角三角形 (2)解：由(1)可得 ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是。 19、在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝20千米，BC＝15千米，CD＝7千米，AD＝24千米。 (1)求小溪流AC的长；(2)求四边形ABCD的面积。 答案∶(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键。 (1)根据勾股定理求解即可； (2)将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可。 【详解】(1)解：如图，连接 ∵ ，千米，千米 ∴ (千米) (2)解：∵ 千米，千米，千米 ∴ ，， ∴ ∴ 是直角三角形，则 ∴ (平方千米) 20、已知a、b、c满足：＋＋(c－4)2＝0。 (1)a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　； (2)设m是c的整数部分，n是c的小数部分，试求m－n的值； (3)判断以a、b、c为边的三角形的形状并说明理由。 答案∶(1)，， (2) (3)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0。 (1)根据非负数的性质可求出a、b、c的值； (2)根据无理数的估算方法求出c的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案； (3)利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形。 【详解】(1)解：根据题意得：，， 解得：，， (2)解：∵ ， ∴ ∵ m是c的整数部分，n是c的小数部分， ∴ ， ∴ (3)解：直角三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ 以a、b、c为边的三角形是直角三角形 21、(实践探究)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2。 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距 离AD＝13、AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地 面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离。 答案∶(1)△ABC是直角三角形，理由见解析 (2)18.8 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键。 (1)运用勾股定理逆定理判定即可； (2)运用勾股定理可得DE＝12，运用等面积法可得AG＝4.8，由此即可求解。 【详解】(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵ AC＝8 AB＝6 BC＝10 而82＋62＝102，即AC2＋AB2＝BC2 ∴ ∠BAC＝90° ∴ △ABC是直角三角形 (2)解：∵ AD＝13 AE＝15 AE⊥DE ∴ DE＝＝＝12 过点A作AG⊥BC于点G 由(1)得：△ABC是直角三角形 ∴ S△ABC＝0.5×AB×AC＝0.5×BC×AG ∴ AG＝＝＝4.8 ∵ 滚轮半径r＝2 ∴ 购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE＋AG＋r＝12＋4.8＋2＝18.8 22、(逻辑推理)第14届数学教育大会(ICME—14)会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”。如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形。 (1)请用图2验证勾股定理：c2＝a2＋b2； (2)如果满足等式a2＋b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数。已知m、n是正整数且m＞n。证明2mn、m2＋n2、m2－n2是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植　　　　棵青菜(直接写出结果，不必说明理由)。 答案∶(1)见解析 (2)见解析 (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 ()用两种方法求正方形面积即可求证； ()分别求出，，，则有，从而求证； ()由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为、、，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米、米、米，所以这块菜园最少种植青菜(棵)，从而求解。 【详解】(1)解：∵ 大正方形的面积为 或 ∴ (2)∵ 是正整数且 ∴ 均为正整数 ∵ ∴ ∴ ，，是勾股数 (3)∵ 是正整数且 ∴ 要使勾股数最小则有， ∴ 最小勾股数为、、 ∵ 最短的边长为米 ∴ 直角三角形三边为米、米、米 则这块菜园最少种植青菜(棵) 答：这块菜园最少需要种植棵青菜。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $