13.1.2 直角三角形的判定&13.1.3 反证法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

:D球=F△D(F是等腹三箱思. 2.A1D1.A5.C元1a 单元惊合复习三}全等三角形 7.D是AB边上的高 热门考点实破 D⊥A且 1.A2.目3.B4D ∠ADC=0 东.1：D为的中点，D=( 底R△AD中，由匀段定理，得 :BE∥AC, ADAC-CDIn--6. 六∠E-∠A,∠DBE-∠C BC=3AD,六m1X6■1 在△DE和△CD,A中， &.D ￥∠E-∠AC,∠DBE-∠C,B-CD 能力在线 ∴，ABDE2ACDA(AAs). (2,△BDEa△CDA,.D-AD. D.D 10.D 11. :AD⊥BC,,BD亚直平分AE,∴BA=BE 12(1)如图，直线DE甲为所求 4.C7.D8.B (2)DEAB. 9.:D是的中点 ∠ADE-00 .BD-CD. △AE和△ADE每为直角三角形 DE⊥AB.DF⊥AC, 在R△BDE中，由句量定理， 去∠BED-∠(FD-0 DE-,√BE一序-/10一-《 YBD-CD.DE-DF. 在R△ADE和RL△ACE中. R△BDER△(DF(HL AC-AD.AE-AE. ∠B-∠AB=AC R△ADE☑R△ACECHL) 去△ABC是等履三角忌， EC-ED-6. 10C11.C2.A18,36 ..BC-BE+EC-14. 毯心素养提升 拓展在娃 14.1)AP是∠HAC的平分线，拜由如下： 1a1①5-s+5,s-5+8 在△ADF和△AEF中， (2)5,一5十5还成立，观由如下： ADAE.AFAF.DFEF. △ADP2△AEF(55S,. “品一号x×(货)广-京，品-x: ∴.∠DAF=∠EAF,.AP平分∠BAC ()广-w,8-××{偿-m 2AP平分∠BAC,PQ上AB. △A的高等于PQ 4+W, PQ-6,5%w=6×9+2=5, 行5r=5:m一5w=3, 1出=33×2+=11. 名8 第13章幻股定理 5=5,+5 11,!勾像定建及其逆定理 (3)5m-8, 111.1直角三角影三边的关系 第？菜时为晨发理的简单点用 第1环时探常直角三角形三迪的美返 基醚在线 越码在版 1.A2.B3,D.D5,C 。根松赠图①，得8=+W+2X字， 6不会抛着小轴车，理由如下： ∠Bm0, 根据题得@，得s-+2×名6 △AC为直角三角思 在的△A中，C4,5m4A=12-4,5=75m4 ￥5=5， C=√AN一AC=T.-4=(m, 十形+2×复n+2×豆b CD-6.5 m.CDBC. 整理，得a34=2. “树枝不公雕着小轿车 26 一探究在板·八用 能力在线 印1y+4x十=a6.解得z=又 7.D 8.A D.D ABg,拟12，AC-15m 10.在△以A中.A=AC+=24十7= A报+B=A(, 625(em'). :△A亡是雀角三角思 Al-AD-25 cm. 径过30时.BP=9一3×1=(m》,Q=2×3 在R:△DEA中，A-A)-DE=25-20 -(m: -225(cm). A-15 em. 5w-号BP:B0-号×6×4-1B(m) 容，底都边缘A处与E处之问的距鸡AE的长 放经道3m时，△4PQ的角供为18m 为15m 15.(19,40,41 招属在线 2)由（小）知.最小的数为奇数(w31,且为为奇 1L.41)设联蝇AC的脱度为xm,瑞年 数时为外两个分别为“ AB的长为一1》m: :AB⊥B,∠ABC- 验证：十（一。+”二0 AB十B=AC (x-10+5-. 解得x一18，即AC一13 所以，小华的猜想正确 答：集绳AC的长度为13m 拓展在线 2)由题意可知，AB=12m,A0=AC=13m: 11》连结PD. DE-2 m. 指△A店饶点庄流时针脸转们，得到△CD. 过《D作DF⊥AB,垂足为点F, ,PH=DB,∠PHD=O. 期DF=BE,PB=DE=2m, ,△P山D是等边三角形.，D一PB=& AF-AN-FB-12--10f) 甲点P与点D之问的距离是& ∴DF=√=/冒-10=v每(m) (》△PD是直角三角形.理由为 签，标杆与旗杆的水半距离为、源m 将△AP出烧点I速时什能转的.得到 1a,1,2直角三角形的判定 △CBD,PA=10. 基密在线 CD-PA=10. 1A2.C3.C4,D 在△P中.=6，PD= G.△A是此角三角思，证明知下： PD+P=8+=100. :g十6=(w一)十(2ww=国-2w对十 又？CD=160=100 n十4wm■m+2wn+u■《m+n)'■2， ..PD+PC-CD △AB汇是直箱三角形 .△PDC是直角三角形，且∠CPD=0 6,△AC是直角三角形，正明如下： 3,1.3反证法 基图在姓 ?8-号AB·DE-AB×2-0 1.02.①93.B98 .A出=10. 能力在城 在△ABC中，AC'=8,C'=G,A=1O, 1(1)罪设0，测一，这与已知<图矛厚 .A+=A得， ,程设不成立 六△AB汇为直角三角形 a必为负数 7,C8,A.6,10(容案不席一) (2)餐设形如4m十3的整数必能化成两个整数的 能力在战 平方和，不坊设这两个整数为g 10,120°11，B12,亡13B 期4m+3四g+子。 14,设AB为1rm,为4rm4AC为rcm 4m十3=（知十2）1+《--1)4g十9， △ABC的周长为36m, “假设不成立， .AB十C十AC=3nm “形如知十3的繁数女不虚北为两个节数的平方得， 显学气上》·HD一 括展在战 M=,D+M=,10+万=，125cm 五.程设点不在△AC的外活，则有 线段DM的长为15cm, 析件可佳情况：点A在三角形内部 2)①起长方体的名侧表离剪开与能育这个侧图 点A'在三角形的边上 所在的平由形成一个长方思，如客因①， ①眼段点A'在△AC的内环.如国 :长方体的宽为10em:高为20m,点M离点 长B,'交AC手点D.则有 C的距真是5m, AB+ABD-AB+AD,且AD+【>A'℃，截 A材=/0+1十5)=5(eml, AB+AD+IXAB+AD+DC>AB+AC. ,AH+AC>AB+A'C.这与题最条作千丽. ②把长方体的上侧表面剪开与前有这个侧南所 放点A'不可能在△AC的内部： 在韵平自形域一个长方B,如蓉图四， 四同法可证点A'电不衡在△AC约边上 AM=y(20++10=√72面(m), 综合红委，得点A一是在△ABC的外部， ①把长方体的右表闺明开与下育所在的平衡形 3.2匀经定绿的盘用 成一个长方形.如答图③， 幕1课时勾脱定理的实际金用 fa(20+10)+子v26(m1 基密在线 125<、75<25 1.C2.D3.130cm4.C5.D 朝虹需要爬行的最粗肥鸡是5m ,卡车能通过厂门程由如下： 图，.D为卡军的宽度，过点C D作EF的垂线交半现于点A.B BD交EF于点G, .CD-AB-2 m.EF-2.5m 第时 由作法可得G-。AB-1m,0B-0F-号E下 基醚在规 LB =1.23m 2,如图，利用AH,干（√+2腾出 ■-my1,25-m0,75(m AB(的达木唯一) ∴，BDm+22=0,75+2.2=293(m) 卡车高2.7m 2,7时2.55m 卡车他通过厂门 急连销BD 能力在线 :∠C-g,BX-70m-CD=20m 7.A8.需资封镜虫.5. 10.1)如周，点￡里为所求 =250m, 《2)莲CE,DE, AD十Ar■2M=, 设AE-rkm.则BE-AB一-AE .△ABD是直角三角形，且∠A一0 440-a》n, 在R:△ADE中，由的最定两.程DF=A伊十 网边形A3CD的南为号×2如0×10+号× A8-2十 240×70-2的4004m. 在K△CE中，油匀股定理，得一批+ “,所需费用为21400×100=2的44万元) BE=15+(40-r)y 234<20.投人的究用够用 :C.D两甘到检幢点E的面离相等， 服力在线 ,2+2=10+(10-3 4(1)如函断京 解得r=1,AE=16km 等：构修点E建在距A点18m处 柘展在线 11,(1)AB■TD=10,M5, (21还结A.由取定理，程AC=+= 一探究在线·八年 10,C=√+3=、10，AH=孕+ 设CEF由折叠，得AB=AB=5,E=加E 20. 12-r.∠AgE-∠B=B0, ()3+(、0){、n), .B℃m1-AB=13一5=8，∠BC■90 在R△E'C中.BE+'=CE, AC+BCA. :△AB汇为直角三角形，∠AC出=0 甲12-+#=.解得一等 又：AC一以，△AC为等履直角三角形 395 ,∠ABC-4H. 龄段测评5(13,1一1名) 后展在线 1D2A8D4,B元C.B7A8B 3.△AC是直角三角形.理由如 %、i1h0①©1L.5121 下，连结E, 1114,48 E⊥C,∠BDE=0 15假设￥b均小于0.甲a0.<0. ∴E-,+(宵 则十<0， :D是△ABC边C的中点，DE⊥C 又a+=3-1+2+2■+2+1=x+1) ÷DE是线段C的谣直平分线 330, EE-草 这与鼠设所得结果矛昏：放假设不成立： 所以￥，b中至少有一个大于等于0， cE-(停)-骠AE-(）-岩Ac 16.(1如周所示1M,(想，山为断求作的线段 2如图所示（法不室一1， 日=36，∴E=A+A,∠A=0 :△ABC是直角三角悬， 般专邀目料用勾橙定理解决最短路径问抛 L,且27i3,60v0m,,77五， 17,不会有触见的危险.理由如下： 微专翅12方程思慧在勾酸定理中的应用 如m新示，过底C作D上AB .12 于点D, 2.(10815 根摆题意可知。AH=1海里， 《)设CD■r:写B由=0一 AC-CD=AD.A#-BD =AD. AC=20海里，C一3再里， AC一CTD=AB-BD 授AD=r:则D=B-A=(]一r)海里： 10-=17一20-x)', FCD⊥AH. 解得一得。D的长为提 ,在R△ACD中，C=ACA=-, 在我：△风p中，=C一厅=1 五.1)设CE-r:期E-8一 (e1-r· 由题意，得AE=E=8一， 六20上2一1a-(21一)，解得-16. 在比△AE中，由匀散定理，斜子+6=t8一，) ∴CD-80-r-/一18-12（海里》 解特一，即CE的长为 :C岛测围10着里内有暗集，CD一2>10， 轮船在持续向东航行道中不金有触健的危险， (2是AC的中盒，C-号A心=a 单元解合复习（四}女图是理 设E=y,用BE=BE=8一 格门考点实破 在△E中，由的取定理，得y+等=一y), 1D2CaA4用 解得y一语即E的长为号 D发A.0卷 4,1)若四边思ABC力是长方形，AHm5,AD=g, 1)质喜意.得AN⊥AN. AD=BC=12.∠Bm0 :∠ANM-一0，△AMN为直角三角形. 品AC=√AB+=13, AM=150m,1y=90m 显学（上》·HD- 27©13.1.2 直 ①基础在线 知识受点分类练 知识点1勾股定理的逆定理 1.(新乡阶段练习)在△ABC中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c,且a2一b=c2,则下列说 法正确的是 () A.∠A是直角 B.∠B是直角 C.∠C是直角 D.无法确定谁是直角 2.(新乡期末)在下列各组线段中，能构成直角三 角形的是 () A.1,2.5 B.1,2.3 C.1,2,5 D.1,1.2 3.如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想 检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量 门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间 的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做 的依据是 A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 4.三角形三边长为a、b、c满足|a一1十√/2-b +(c一3)=0，则这个三角形是 () A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 5.(教材P126例4变式)△ABC的三边长分别 是a、b、c,且a=n2-n2,b=2mn,c=m2十n, △ABC是直角三角形吗？证明你的结论。 角三角形的判定 6.如图，AC=8,BC=6,在△ABE中，DE为AB 边上的高，DE=12,S△E=60,那么△ABC 是否为直角三角形？ 知识点2勾股数 7.(郑州阶段练习)下列各组数据中，是勾股数的 是 () A.0.3,0.4,0.5 B.3,4,52 C.9,12,15 n号2号 8.对于题目“已知3,4和m是一组勾股数，求m 的值”，甲的结果是m=5:乙的结果是m=5 或7：丙的结果是m的值不确定，则()》 A.甲对 B.乙对 C.丙对 D.甲、乙、丙都不对 9.请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾 股数： 能力在线》方法规律茶合魅 10.如图，点D、E分别为△ABC的边BC,AC上 的点，连结AD、DE,过点E作EF∥BC,连 结CF,若∠ADB=∠CAD+30°，AE=5,DE =12,AD=13,则∠DEF的度数为 第13章82 11.已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN =2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画 弧：再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两 弧交于点C,连结AC,BC,则△ABC一定是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 12.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25， 现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的 是 () 13.(南阳阶段练习)若△ABC的三边分别是a、 b、c,则下列条件不能判断△ABC是直角三 角形的是 () A.∠A=2∠B=2∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=25,b=7,c=24 D.a=n2-1,b=2n2,c=n2+1 14.如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5,且周 长为36cm,点P从点A开始沿边AB向点 B以每秒1cm的速度移动：点Q从点B开 始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动. 如果同时出发，问经过3s时，△BPQ的面积 为多少？ A+ 83探究在线八年级数学（上）·HD 15.学习了勾股数后，我们知道了(3,4,5)(5,12， 13)(7,24,25)等都是勾股数组.爱动脑筋的 小华发现这些勾股数组之间有一定的规律， 每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起 就没有间断过. (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数： (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇 数，另外两个数分别为 则这三个数为勾股数.请你补充完整小华的 猜想并帮助他验证这一猜想是否正确. ③拓展在线沙培优技尖提升特 16.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA =10,PB=8,PC=6,将△APB绕点B逆时 针旋转60°，使点A与边BC上的点C重合， 点P的对应点为D,得到△CBD, (1)求点P与点D之间的距离： (2)连结PD,试判断△PDC的形状，并说明 理由 ©13.1.3 ①基础在线 》 知识受点分类练 知识点1反证法的概念及步骤 1.(周口期末)用反证法证明命题“如果a>b,那 么a>石”时，假设的内容应是 A.a=拓 B.ab C.a=b或a<6 D.a=b且a<wb 2.已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它 含直角，那么它只能有一个 直角。 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴.∠A十∠B十∠C>180°，这与“三角形内 角和等于180”相矛盾. ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不 成立.如果三角形含直角，那么它只能有一 个直角. ③假设△ABC有两个（或三个）直角，不妨设 ∠A=∠B=90° ④.'∠A十∠B=180° 这四个步骤正确的顺序应是 知识点2利用反证法证明 3.阅读下列材料：“为什么√2不是有理数”，完成 问题 证明：假设2是有理数， 那么存在两个互质的正整数p、q,使得2= 卫，于是p=②q ,2是偶数，.p是偶数. :只有偶数的平方才是偶数，p也是偶数 .可设p=2x,代入，得 ·可得 g ·这样，p和q都是偶数，不互质， 这与假设p,9互质矛盾. 这个矛盾说明，2不能写成分数的形式，即2 不是有理数 反证法 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的 顺序是 .(填上序号) ①4s=2q:②p=2g2:③是偶数：④g=2x2. ②能力在线》方法规律黛合妹 4.用反证法证明： (1)已知：a<a,求证：a必为负数 (2)求证：形如4n十3的整数k(n为整数)不能 化为两个整数的平方和. ③拓屁在线沙技尖提升。 5.已知△ABC和△A'BC有公共边BC,且A'B +A'C>AB+AC.求证：点A'一定在△ABC 的外部. 第13章84