13.1.2.直角三角形的判定&-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

参考答案及解析 即42+x2=(8-x)2, 解得x=3, ∴EC的长为3. 7.解：(1)由题意可知 BD=12m,BC=20m,CD⊥BD,AB=DE =1.65m. 在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=202- 122=256, ∴CD=16m(负值已舍去), ∴CE=CD+DE=16+1.65=17.65(m). 答：风筝的垂直高度CE为17.65m. (2)如答图，风筝沿CD方向下降7m至 C′处，DE保持不变，连结BC',此时C'D= 16-7=9(m). 在Rt△C′DB中，BD=12m, BC'=√CD2+BD2=√92+122= 15(m), C C' B D7 7题答图 ∴小明应该往回收风筝线20-15=5(m). 8.解：(1)当t=2时，AP=2cm,CQ=4cm, ∴CP=AC-AP=8-2=6(cm). 在Rt△CPQ中， PQ=√CP2+CQ2=√62+42=√52≈7.2(cm), 即PQ的长为7.2cm. (2)如答图①,当PB=PA时，△APB是等腰三角形， 此时PA=PB=tcm,则PC=(8-t)cm. 在Rt△CBP中，由BC2+PC2=PB2, 得62+(8-t)2=t2,解得1=2 故运动2s1时，△APB是等腰三角形. B Q CP A 8题答图① B Q C P A 8题答图② (3)当点Q在边BA上运动时，BQ=(2t-6)cm. ①如答图②,当QC=QB时，∠B=∠BCQ. ∵∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°, ∴∠A=∠ACQ,∴AQ=CQ,∴AQ=BQ. 在Rt△ABC中，BA=√BC2+CA2=√62+82=10(cm), ∴AQ=CQ=BQ=5cm, ∴2t-6=5,解得t=5.5; ②如答图③,当BQ=BC时，2t-6=6,解得t=6; B Q C A 8题答图③ B M. Q C P A 8题答图④ ③当CQ=CB时，如答图④,过点C作CN⊥AB,垂足为点 N,则-2AC·BC= —AB·CN, 2×8×6=2×10×CN,解得(CN=24cm, BN=√BC2-CN2=√62-(号)2=粤(cm), ∴BQ=356 cm,:2t-6=36,解得t=35 综上所述，当运动时间为5.5s或6s或一3s时，△BCQ是 等腰三角形. 2.直角三角形的判定 【基础巩固练】 1.∠B 2.解：∵∠EFG=90°,∠E=28°, ∴∠FGE=90°-28°=62°. ∵GE平分∠FGD, ∴∠FGD=2∠FGE=124°. ∵AB//CD, ∴∠BFG=180°-∠FGD=180°-124°=56°, ∴∠EFB=90°-56°=34°. 3.C 4.B 5.直角三角形 6.9 [解析]∵AB=13,AD=12,BD=5,∴ AB2=AD2+BD2, ∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°,∴△ADC是直角三 角形.在Rt△ADC中，CD=√AC2-AD2=√152-122=9. 7.解：(1)在Rt△ABD和 Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2 =AD2+BD2,AC2=AD2+CD2. 又∵AD=12,BD=16,CD=5, ∴AB=20,AC=13, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC= 20+13+16+5=54. (2)∵AB=20,AC=13,BC=21,AB2+AC2≠BC2, ∴△ABC不是直角三角形. 8.D 9.16,63,65 10.90°[解析]设AB=BC=CD=DA=a.∵E是BC的中 点,CF=4cD,. BE= EC2a,CF4a,DF3a 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=4a2. 同理可得ER2=EC2+FC2=1522,AR2=AD2+DF2= 2622,,∴ AE2+EF2=AF2,∴△AEF为直角三角形，∠AEF =90°. 11.解：∵AB=5,AD=3,BD=4,32+42=52, ∴AD2+BD2=AB2, ∴△ABD是直角三角形，且∠BDA=90°. 又∵BD为△ABC的中线， ∴CD=AD=3,∴BC=AB=5, ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2AB+2AD=10+6=16. 【能力提升练】 1.B 2.B 3.A 4.45°[解析]∵∠A=90°,AC=AB=4,∴∠ACB=∠ABC= 45°.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=32,则CD2+BC2= 22+32 = 36,BD2= 62= 36,∴ CD2+ BC2= BD2, ∴∠BCD=90°,∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°. ·31· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 5.45 [解析]如答图，标出点F、G,连接CG、 A F AG.由勾股定理，得AG2=CG2=12+22= G 5,AC2=12+32=10,则AG2+CG2=AC2, 所以∠CGA=90°,即△CAG是等腰直角三 E 角形，所以∠CAG=45°.因为AF//BC,所B- C D 以∠CAF=∠BCA.在△AFG和△CDE中， 5题答图 HG△=△CDE=90°,所以 △AFG≌ △CDE(SAS),所以∠FAG=∠DCE,所以∠ACB-∠DCE= ∠CAF-∠FAG=∠CAG=45°.故答案为45. 6.(11,60,61)[解析]根据题意，得第5个勾股数组中间的 数为5×(11+1)=60,第1个数为11,第3个数为60+1= 61,所以第5个勾股数组为(11,60,61). 7.解：(1)∵CD=12cm, SAcD= CD×AC=2×12×AC=30,:AC=5cm 又∵BC=4cm,AB=3cm, ∴BC2+AB2=25=AC2,△ABC是直角三角形. (2)由(1)知△ABC是直角三角形， SABC=—AB×BC=2×3×4=6(cm2). 8.解：(1)是.理由如下： 在△CHB中，∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9. ∴CH2+BH2=BC2, ∴△CHB是直角三角形，∠CHB=90°,∴.CH⊥AB. ∴CH是从村庄C到河边的最近路. (2)设AC=x km,则AH=(x-1.8)km. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH2+CH2, ∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5. 答：原来的路AC的长为2.5 km. 3.反证法 【基础巩固练】 1.D 2.A 3.D 4.B 5.≠ =≠ 平角为180°≠ 6.解：有错误.改正： 假设AC=BC,则∠A=∠B.又因为∠C=90°, 所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾， 所以AC=BC不成立，所以AC≠BC. 7.证明：假设a≠0或b≠0, 则a≠0且b≠0或a≠0且b=0或a=0且b≠0. 当a≠0且b≠0时，a2>0,b2>0, ∴a2+b2>0, 这与a2+b2=0矛盾. 同理可得当a≠0且b=0或a=0且b≠0时，a2+b2>0, 这与a2+b2=0矛盾，∴假设不成立，因此a=0且b=0. 8.证明：假设点M与点D重合，延长AM到点N,使AM=MN, 连结BN. ∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM. 又∵∠AMC=∠NMB,AM=MN, ∴△AMC≌△NMB(SAS),∴ ∠MAC=∠MNB,BN=AC. ∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM=∠MAC, ∴∠MNB=∠BAM,∴ BN=AB, ∴AC=AB,这与AB>AC相矛盾， ∴点M与点D重合是错误的， ∴点M与点D不重合. 专题9 利用勾股定理解决折叠问题 1.C[解析]在Rt△ACB中，∠ACB=90°,∴AC2+ BC2= AB2,∴ AB=15cm.由折叠的性质得AE=AB,∴CE=AE- AC=AB-AC=3(cm). 2.解：由折叠性质可知， BE=BC=3cm,DE=DC,∠BED=∠C=90°, ∴∠AED=90°. ∵AB=5cm,∴.AE=AB-BE=2(cm). 在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm, ∴AC=√AB2-BC2=4(cm). 设AD=x cm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm, 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, 即22+(4-x)2=x2, 解得x=2.5,∴AD=2.5 cm. 3.解：如答图，连结CF,根据题意，得CF⊥DE. 因为DE//AB,所以CF⊥AB. 因为∠ACB=90°,AC=6,BC=8, 所以AB=√AC2+BC2=10. 因为-2Ac·BC=2AB·CF,所以CF=4.8, 所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,所以AF=3.6. C D E A F B 3题答图 4.C[解析]将长方形折叠，使点B与点D重合，所以BE= ED.因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE. 由勾股定理可知AB2+AE2=BE2,则AB2+AE2=(9- AE)2,解得AE=4 cm.所以△ABE的面积为3×4÷2= 6(cm2).故选C. Ar E D F B-G M C 5题答图 5.B [解析]如答图，过点E作EG⊥BC于点G.设AE=x,在 Rt△EGM中，EM2=EG2+MG2,EG=AB=8,EM=ED= 12-x,MG=12-4-x,∴(12-x)2=64+(12-4-x)2, ∴x=2,∴AE=2.故选B. 6.解：根据折叠的性质得AF=AD=5,DE=FE 设线段AB的垂直平分线PQ分别交AB、DC于点P、Q, 则PQ=AD=5,AP=DQ=4. 如答图①,当点E在DC上时， FP=√52-42=3,所以FQ=PQ-FP=2. 设DE=x,则FE=x,QE=4-x. 在Rt△EQF中，(4-x)2+22=x2,所以：x=2 D.E o C F A P B D.. Q. C. A P △B F 6题答图① 6题答图② ·32· 第13章 勾股定理 2.直角三角形的判定 基础巩固练 [答案 P31] 知识点③两个角互余的三角形是直角三角形 ① 如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°,CD1 AB于点D,则图中与∠1相等(∠1除外)的角的角 是_____ C 1 A D B 1题图 2如图，AB//CD,△EFG的顶点F、G分别在直线直线 AB、CD上，GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若 ∠EFG=90°,∠E=28°,求∠EFB的度数. 7E A- F H -B C- DG 2题图 知识点②勾股定理的逆定理 3 (北京大兴区期末)下列各组数中，能作为直角直角 三角形的三边长的是 ( ) ) A.1.5,2,3 B.2,3,4 C.1,1,√2 D.5,13,14 4在△ABC中，若AC2-BC2=AB2,则() A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.不能确定 5若△ABC的三边长为a、b、c,并且满足la-71+ (b-24)2+√c-25=0,则△ABC的形状是—_. 6 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，若AB =13,AD=12,AC=15,BD=5,则CD的长为长为—_ 4 B D C 6题图 7如图，在△ABC中，AD⊥BC,AD=12,BD=16, CD=5. (1)求△ABC的周长； (2)△ABC是不是直角三角形?为什么? A B D C 7题图 知识点③勾股数 8(浙江宁波期末)勾股数，又名毕氏三元数，下列 各组数构成勾股数的是 ( ) A.34.1 B.√3,√4,√5 C.5,15,20 D.9,40,41 9(山东青岛期末)观察下列几组勾股数，并填空： ①4,3,5,②6,8,10,③8,15,17,④10,24,26, ⑤12,35,37,⋯则第⑦组勾股数为_____. 知识点④勾股定理及其逆定理的综合应用 10 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=Ar D CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D =90°.E是BC的中点，F是CD上 FB- 一点，且CF= 4cD, E C ,则∠AEF =10题图—___ 如图，BD为△ABC的中线，AB=5,AD=3,BD= 4,求△ABC的周长. A D B C 11题图 73见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P31] 能力提升练 ① 观察下列各组数：①7,12,15,②8,15,17,③7, 24,25,④12,15,20,其中能作为直角三角形三边 长的有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2在△ABC中，∠C=90°,∠B-∠A=10°,则∠A 的度数是 ( ) A.50° B.40° C.35° D.30° 3 新考向 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数 书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一 块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十 三里，欲知为田几何?”译文：有一块三角形沙 田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田 面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单 位，1里=500米，则该沙田的面积为 ( ) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 4 如图，已知∠A=90°,AC=AB=4,CD=2,BD= 6,则∠ACD=______ C A D< E A B B- C D 4题图 5题图 5 (山东济南期末)在如图所示的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为1,点A、B、C、D、E均 是网格线的交点，则∠ACB- ∠DCE =°. 6勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a、b、c 的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常 叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构 造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下 勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),⋯ 分析上面勾股数组可以发现：4=1×(3+1), 12=2×(5+1),24=3×(7+1),⋯分析上面规 律，第5个勾股数组为______. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD,△ADC的面 积为30 cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm. (1)试判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积. D- C B A 7题图 8 在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有 两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水， 决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条 直线上),并新修一条路CH(如图),测得CB= 3 km,CH=2.4 km,HB=1.8km. (1)CH是否为从村庄C到河边的最近路(即CH 与AB是否垂直)?请通过计算说明； (2)求原来的路AC的长. C A/ H B 8题图 0 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩成绩