专题07 解直角三角形及其应用（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题07 解直角三角形及其应用 题型1 解直角三角形的相关计算 题型4 坡度坡比问题 题型2 仰角与俯角问题 题型5 构造直角三角形解直角三角形（重点） 题型3 方位角问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解直角三角形的相关计算（共5小题） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求； （2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：连接， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）综合实践：测量铜像高度． 工具准备：边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 测量步骤：如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得C，B，G三点在同一直线上，将点D对准点G，视线经过边AB上一点F，读取，测得．查阅数据：，，． 计算结果： (1)求的长度． (2)求铜像的高度． 【答案】(1)； (2)铜像的高度． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形． （1）证明，即可得到，据此求解即可； （2）解直角三角形求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴铜像的高度． 题型二 仰角与俯角问题（共5小题） 6．（24-25八年级下·北京·期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】中央电视塔的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为米． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解； （2）通过解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得米，，，， ∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴平方米． 答：灯牌的面积为平方米． （2）解：∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴两侧加固的铝合金框架总共用料米． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明同学测量底部不可以到达的物体的高度，按下列步骤进行： （1）在测点处安置测倾器，测得此时的仰角； （2）在测点与物体之间的处安置测倾器（，与在一条直线上，且，之间的距离可以直接测得），测得此时的仰角； （3）量出测倾器的高度，以及测点，之间的距离．根据测量数据，求出物体的高度（，）． 【答案】物体的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意，结合图形，设，在中表示出，在中表示出，利用，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：设， 在中，， ， 在中，， ， ，， ， 解得：， 即， ， ， 答：物体的高度为米． 10．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）郑州二七罢工纪念塔位于郑州市中心二七广场，是郑州城市的标志性建筑．纪念塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，是郑州铁路工人领袖汪胜友、司文德的牺牲地．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量二七纪念塔高度的实践活动．为二七纪念塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移20.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求二七纪念塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】二七纪念塔的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设平移后得到，延长交于点， 则：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：二七纪念塔的高度约为米． 题型三 方位角问题（共5小题） 11．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 【答案】2小时；（海里/小时） 【分析】先计算海里，再计算（海里）， 从而得到时间为，（海里），求得海警船的运动路程，故海警船的追击速度为：（海里/小时）． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴（海里）， ∵，， ∴， ∴（海里）， ∴，（海里）， ∴（海里）， ∴海警船的追击速度为：（海里/小时）． 12．（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 【答案】(1)两地之间的距离为海里． (2)线路最短，理由见解析． 【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，可得，，再在中，在中结合锐角三角函数求解即可； （2）先求解，再分别求解线路和的长，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（海里）． （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴（海里）， （海里）， ∴线路最短． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】(1)；1000 (2)53米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； （2）解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向． (1)求道路AD的长度（结果保留根号）； (2)若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，） 【答案】(1)道路的长度约为米 (2)乙先到达点E 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在中，，米， （米）， （米）， 米， 米， （米）， 米， 在中，， （米）， 道路的长度约为米； （2）解：米，米， （米）， 在中，米， （米）， 在中，， （米）， 甲的路程（米）， 乙的路程（米）， ∵，两人速度相同， ∴乙先到达点E． 15．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，） 【答案】，两点之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 答：，两点之间的距离约为米． 题型四 坡度坡比问题（共5小题） 16．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 17．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 18．（24-25九年级上·陕西西安·期末）知识在窗外，世界是教材．中学生的研学活动就是对学校教育的有效补充．秋高气爽的10月，小艺和全班同学一起去研学旅行．午饭后同学们在斜坡上的一棵树下休息．喜欢思考的小艺和小组成员根据所学知识共同设计了一个数学问题：如图，斜坡的坡度，斜坡上的大树垂直于水平面，此时，太阳光与水平面的夹角为，大树在斜坡上的影子长为10米，小艺和小组同学估计这棵树超过了10米，他们的估计正确吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】他们的估计正确 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H，在中，根据坡度定义和勾股定理可求出米，米，在中，根据正切的定义求出米，进而求出，即可求解。 【详解】解：他们的估计正确， 理由如下： 过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H， 则， 在中，， 设米，则米， ∴米 又米， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 即大树的高度约为11.2米，超过了10米， 故他们的估计正确。 19．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题． （1）根据题意，，解直角三角形即可求出； （2）过作，根据斜坡的坡角为及，求出，再求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵仰角为，， ∴（）． 答：综合楼的高度． （2）解：如图，过作，，则四边形为矩形， ∵的坡角为，， ∴（）， （）， ∵处测得宣传牌顶部的仰角为， ∴（）， ∴（）． 答：宣传牌的高度． 20．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． (1)求景点C的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 【答案】(1)； (2)乙先到达景点． 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而 ，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 答：景点C的高度为； （2）解：由（）得，，， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 题型五 构造直角三角形解直角三角形（共15小题） 21．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【答案】箱体的最高点C到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 22．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 23．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】点C到水平线l的距离的长为dm 【分析】 本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 答：点到水平线的距离的长为． 24．（24-25九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题： 探究古代汲水工具问题 素材1 桔槔是古代汉族的一种汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，如图1所示，在水井边竖立一根垂直于地面的支架（O为支点）加上杠杆，末端B悬挂一重物D，前端A悬挂一水桶C，当人打满水向上提时，由于末端悬挂重物的重力作用，可以减轻劳动强度． 如图2，米，绳子和水桶总长度米，当C在地面一下米时，垂直于地面，这时支架与之间的水平距离是米，．    素材2 如图3．向上提水桶，使得C高出地面米．    问题解决 任务1 确定支架的高度 （1）求支架的高度； 任务2 确定重物D下降的距离 （2）根据素材2求重物D相对于素材1中的位置下降的距离． 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． （1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】解：（1）如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 25．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和厘米，点与收集端端点的水平距离是厘米，且为厘米，为厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. (1)依据素材2所给的条件，求的值； (2)如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端的长度？ 【答案】(1) (2) (3)只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用、相似三角形的应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点，易证，进而可得，据此即可得解； （2）利用，从而可得，据此即可得解； （3）设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点，利用，据此即可得解． 【详解】（1） 解：如图①，过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意得，，，，， 设，则， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴在中，； （2） 解：如图②，过点作于点， 由题意可得，， 1， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为； （3） 解：由（2）得，该探测仪和收集端能够测量的路面下沉最大值为， 为满足道路养护部门需求，调整收集端的长度， 如图③， 设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点， ∵由题意易证得四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴， 解得， ∵由（2）得信号收集端在原长度不变的情况下可测得路面隆起3厘米， ∴只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求． 26．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图①是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】 步骤 动作 目录 1 靠边 将如图①中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 3 旋转 如图②，将矩形绕点旋转一定的角度 4 推移 当旋转角达到时，再将矩形沿方向继续推移，则物品通过直角过道 【探究】 （1）如图②，矩形物品旋转一定的角度后，连接．测得，，，通过计算说明该物品是否能顺利通过直角过道”． （2）如图③，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长． 【解决问题】 （3）直接写出过道可以通过的该物品的最大长度的值． 【答案】（1）不能顺利通过；（2）；（3）． 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的应用，充分理解题意正确列式是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理，求出的长，与比较大小，即可求解， （2）过点作的平行线，交过道两侧分别于点、，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解， （3）根据勾股定理，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解， 【详解】解：（1）如图，连接，由题知， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴该物品不能顺利通过直角过道． （2）如图，过点作的平行线，交、分别于点、， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴的长为． （3）当，时，物品能通过直角过道． 当，时， ， 同理， 此时，， ∴的最大值为． 27．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 28．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 29．（24-25九年级上·河南郑州·期末）综合与实践   问题情景：如图①，一个扁平形状的池塘，该池塘南北走向的最大宽度远大于东西走向的最大宽度． 活动任务：测量池塘的最大宽度． 工具准备：如图②，一把皮尺和一台测角仪．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任意一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图③．李老师带领数学社团的学生利用皮尺测量，求出了池塘的最大宽度． 测量过程： （ⅰ）在池塘外选点，如图④，测得，； （ⅱ）分别在，上测得，；测得． 阅读材料内容，解答下列问题： (1)请你帮他们求出池塘的最大宽度； (2)你在求得的过程中用到的几何知识是 ； (3)李老师带领社团的学生仅利用皮尺，通过次测量，求出．小华认为，若利用三角函数的知识，同时使用皮尺和测角仪，测量次数不超过次，就能求出，请你帮助小华设计测量方案并画出图形．要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示． 【答案】(1)池塘的最大宽度为 (2)相似三角形的判定定理与性质定理 (3)测量方案和作图见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握以上知识的判定和计算是关键． （1）根据题意可证，即可求解； （2）根据题意可知运用的是相似三角形的判定和性质； （3）根据题意，在池塘外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；运用解直角三角形的方法计算即可． 【详解】（1）解：由测量知：，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴池塘的最大宽度为； （2）解：根据题意，用到的几何知识是相似三角形的判定定理与性质定理； （3）解：测量过程：（答案不唯一） （ⅰ）如图⑤，    在池塘外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得； （ⅱ）用皮尺测得； ∴过点作于点，    在中，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图①，“土圭”是古人用来测量太阳影子的工具，“土圭之法”是中国古代判别四季的方法之一：夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某校学生运用“土圭之法”进行实践探索，在如图②中，产生日影的杆子垂直于地面，高．在夏至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为；在冬至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为．（参考数据，，，，，） (1) ， ； (2)分别求出夏至和冬至时日影的长度； (3)春分时日影的长度是 ． 【答案】(1)， (2)夏至时日影的长度约是，冬至时日影的长度约是 (3) 【分析】该题考查了解直角三角形的应用． （1）根据题意即可求解； （2）在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求解． （3）根据（2）中结果求出夏至和冬至日影长度的平均数即可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：在中，， ， ∴， 在中，，， ∴， 所以，夏至时日影的长度约是，冬至时日影的长度约是． （3）解：根据（2）可得，， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数， ∴春分和秋分时日影长度为春分时日影的长度为． 31．（24-25九年级上·山西大同·期末）小宇同学使用的护眼灯如图（1）所示，该护眼灯是大面积柔光台灯，圆形大面光源均匀漫射光，金属平行双杆，滑动无极调光，显色指数高，经过对它的认真观察操作，小宇得到它的侧面简化结构图如图（2）所示（图中所有的点都在同一平面内），其中圆形底座的侧面视图为矩形，点A，B，F共线，支撑底座，旋转支架可绕点B旋转，接头，连接杆和圆形大面光源的直径共同组成的线段DE可绕点D旋转，上、下调节一定的角度，且，，，，，圆形大面光源中心M到点D的距离．小宇经使用发现：当，时，台灯光线最佳．求此时圆形大面光源中心M到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质．熟练掌握三角函数的计算以及矩形的性质是解题的关键． 通过作辅助线，将问题分解为多个直角三角形的求解，利用已知角度和边长，用三角函数求出各部分的高度，最后求和即可． 【详解】如图，过点C作于点I，过点M作于点J，过点B作于点L，交于点N，延长交于点K，则四边形和四边形均为矩形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，∴． 在中，，，， ∴， ∴． 故此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为． 32．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数． ②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． (2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)点点同学的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可； ②，过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； （2）解：点点同学的说法正确，理由如下： 设，则， 点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 点到桌面的距离先变大，后变小， 点点同学的说法正确． 33．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据在Rt中，，，且结合勾股定理列式计算得，，运用线段的和差关系得，然后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点． 在Rt中，，， 则设， ∴， 则， ∴， 解得（负值已舍去） ，， ，， ， ． 34．（24-25九年级上·山东威海·期末）某校初四实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究： 1．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形 台灯由四部分构成：底座，长度为定值的底柄，可以通过调整，的大小来调整台灯的高度； 且于点A，． 2．多次实验测量数据，选取最佳效果 选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据： 人的眼睛距离桌面的最佳距离为到；距离台灯D的最佳距离为到；与台灯D的仰角为 3．问题解决： (1)如图1，若与水平桌面的夹角为，且时，点D到桌面的距离为，求长；（参考数据：，，） (2)如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为，台灯D处的仰角为，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为，与水平桌面的夹角为，则此时与水平面的夹角的余弦值为____．（用含有，的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点D作直线的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形，可得，求出，解求出的长，进而求出的长，再求出即可解得到答案； （2）过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形，先解直角三角形求出的长，再求出的长，进而求出，最后解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作直线的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵与水平桌面的夹角为， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：如图所示，过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形， ∴； 同理可得， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴与水平面的夹角的余弦值为． 35．（24-25九年级上·河北唐山·期末）某校为进一步提升学生身体素质，购进一批新篮球架（如图1）．其示意图如图2所示，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，，． (1)求的度数； (2)某运动员在一次训练时，身体完全展开，此时他的手离地面的最大高度是3米，那么这次他可以摸到篮筐吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这次可以摸到篮球框，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）先利用比例关系得到，再用三角函数得到，根据参考数据即可算得度数； （2）延长， 交于点，根据题意得，解，求得，根据与的比较即可求解． 【详解】（1）   ，． 在中， （2）该运动员这次可以摸到篮球框 延长， 交于点 ，支架平行地面 ， 又， ， 在中， 这次可以摸到篮球框． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07解直角三角形及其应用 题型归纳·内容导航 题型1解直角三角形的相关计算 题型4坡度坡比问题 题型2仰角与俯角问题 题型5构造直角三角形解直角三角形（重点） 题型3方位角问题（重点） 题型通关·靶向提分 题型一解直角三角形的相关计算（共5小题） 1.(24-25九年级上·湖南永州期末)我们定义：在△ABC内有一点P,连接PA,PB,PC,在所得的 △ACP,△ABP,△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心 图1 图2 (I)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若点P为△ABC的相 似心，则下列结论正确的是() A.△BAP∽△ACPB.△BAP∽△BCPC.△BPC∽△CPA (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是Rt△ABC内一点，且∠APB=∠BPC=135°. ①求证：点P是Rt△ABC的相似心； ②求tan∠PAC的值。 2.(24-25九年级上·河南周口·期末)2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无 线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更 高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中点 A处，测得点A与地面的距离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°；控制无人机水平移动至点D,测得 1/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=15m,楼顶C点的俯角∠EDC=45°.点A,B,C,D在同一平面内，求大楼的高度BC.(参考数据： sin15≈0.26，cos15≈0.97，tan15≈0.27，V2≈1.41，结果精确到0.1m) D 、E 777777777777777771777 3.(24-25九年级上·甘肃兰州期末)【问题探究】 D 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°.易证 △DBE△DCF,此时裴的值是 【拓展延伸】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是边AB和对角线 AC的点，连接DE,DF,tanEDF=,BE=4,求CF的长。 4.(2425九年级下·福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠BAC为锐角. D B (I)将线段AD绕点A逆时针旋转（旋转角小于90），在图中求作点D的对应点E,使得CE=BC;(要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(I)的条件下，过点B作BFLAC于点F,连接ER,EC,若sin∠ECA=,试求需的值. 5.(24-25九年级上浙江金华·期末)综合实践：测量铜像高度. 工具准备：边长为100cm且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器. 测量步骤：如图，将正方形硬纸板ABCD斜放在地面上，使得C,B,G三点在同一直线上，将点D对准点 2/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G,视线DG经过边AB上一点F,读取AF=10cm,测得∠DCE=69°.查阅数据：sin69≈0.93， c0s69≈0.36，tan69≈2.61. CE 计算结果： (I)求CG的长度， (2)求铜像的高度GH. 题型二仰角与俯角问题（共5小题） 6.(24-25八年级下，北京期末)中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光 塔上跳望，北京风景尽收眼底.一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度.如图，在点C 处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进128m到达F处，在F处测得塔尖A的仰 角为45°，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1m)·(参考数据：sin37≈号，cos37≈号， tan37≈，sin53号，cos53≈号，tan53≈号.) G 45379:1D 7.(24-25九年级上·甘肃兰州期末)兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代.白塔居 白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽.白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑 壮丽的画面，成为兰州市的象征之一，某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习， 经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 1.学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题： 测量目的 2.培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 3/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 测量工具 无人机、测角仪等 1.先将无人机垂直上升至距水平地面50m的P点，测得白塔的顶端A 的俯角为22°， 测量方案 2.再将无人机沿水平方向飞行50m到达点Q,测得塔的顶端A的俯角 为45°. P22°Q45 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔AB的高度.（结果精确到1m,参考数据：sin220.4,cos22≈0.9， tan220.4). 8.(24-25九年级上河北唐山期末)某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩 形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，己知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离FD为 4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是60°和45°. F A 打黑除恶 共创和谐 E B D (I)若AF长为5米，求灯牌的面积； (②)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 9.(24-25九年级上·河南郑州·期末)小明同学测量底部不可以到达的物体MN的高度，按下列步骤进行： B (1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=15°； (2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在一条直线上，且A,B之间的距离可以直接测得)， 测得此时M的仰角∠MDE=20°； 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)量出测倾器的高度AC=BD=1.5m,以及测点A,B之间的距离AB=50m.根据测量数据，求出物体 MN的高度(tan15=0.27,tan20=0.36)· 10.(24-25九年级上河南洛阳期末)郑州二七罢工纪念塔位于郑州市中心二七广场，是郑州城市的标志 性建筑.纪念塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，是郑州铁路工人领袖汪胜友、 司文德的牺牲地.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量二七纪念塔高度AB的实践 活动.A为二七纪念塔的顶端，AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即 CE=1.6米)测得A点仰角为37°，向西平移20.5米至点D,测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求二七 纪念塔的高度AB.(结果保留整数，参考数据：sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75) 45 D 图1 图2 题型三方位角问题（共5小题） 11.(24-25九年级上湖南邵阳期末)如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40N2海里的A 处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿 正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 北 45 -东 30 12.(24-25九年级下·重庆大足·期末)中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和 发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要 行动.某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个地点演习.如图，点B在点A正东方向I00海 里处，点D在点A北偏东30°方向120海里处，点C在点D东南方向，且点C也在点B正北方向，（参考数据： V2≈1.414，N3≈1.732) 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 东 30 (1)求C,D两地之间的距离（结果保留一位小数）； (②)由于演习过程中的特殊任务，从点A到点C需要经过点D或点B,那么点A到点C的两条路径A→D→C和 A→B→C哪一条线路最短？ 13.(24-25九年级上·江苏泰州·期末)如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东45°，轮船向正 北方向航行1000m后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向. S 北个 D 459 B. 289 西← →东 S A 南↓图① 图② (1)AS=m,SB=m(结果保留根号). (2)如图②，若轮船从B处向东航行900m到达点C,从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为28°，则灯塔的高 度SD是多少米？（参考数据：sin28≈0.469，cos28≈0.883，tan28≈0.532，结果精确到1m·) 14.（24-25九年级上山东烟台·期末)在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示.经测量，景 点D、E均在景点C的正北方向且CE=900米，景点B在景点C的正西方向，且BC=300W3米，景点B 在景点A的南偏东60°方向且AB=600米，景点D在景点A的东北方向. 北 D →东 45 60 B (I)求道路AD的长度（结果保留根号）； (2)若甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E,与此同时乙从景点B出发，沿B→A-→E的路径去景点E, 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？(参考数据： 5≈1.73,6≈2.45) 15.(24-25九年级上山西大同期末)如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭B在翠微亭A的正南方向， 两亭被一座小山隔开，该风景区计划在A,B之间修建一条直通的景观隧道.为测量A,B两点之间的距离， 在一条东西方向的小路1上的点P,Q处分别观测点A,B,测得点A在点P的北偏东53方向上，点B在点Q的 北偏东30°方向上，BQ=1200米，PQ=2000米.求A,B两点之间的距离.（结果精确到1米.参考数据： V2≈1.41，V5≈1.73，sin53≈号，cos53≈得，tan53≈号) 北 →东 30 题型四坡度坡比问题（共5小题） 16.(24-25九年级上安微宿州期末)下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内 容 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 子7777777777777 太阳光线照射在立柱AB(与水平地面BF垂直)上，其影子的一部分落 测量说明 在地面BC上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD 斜坡的坡角∠ECF的 测量数据 BC的长 CD的长 度数 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2m 8.5m 32° 请你借助小明的测量数据，求立柱AB的高度.（结果精确到0,1m,参考数据：sin32≈0.53， c0s32≈0.85，tan32≈0.62) 17.(24-25九年级上·辽宁阜新期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣 传牌CD.该校九年级(1)班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的 仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知斜坡AB的 坡角为45°，（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56≈1.5，V2≈1.41：精确到0.01米） D >545 K56° (1)求综合楼的高度DE: (2)求宣传牌的高度CD 18.(24-25九年级上陕西西安·期末)知识在窗外，世界是教材.中学生的研学活动就是对学校教育的有 效补充.秋高气爽的10月，小艺和全班同学一起去研学旅行.午饭后同学们在斜坡上的一棵树下休息.喜 欢思考的小艺和小组成员根据所学知识共同设计了一个数学问题：如图，斜坡CD的坡度1=1：2，斜坡上的 大树AB垂直于水平面，此时，太阳光与水平面的夹角为60°，大树在斜坡上的影子BE长为10米，小艺和 小组同学估计这棵树超过了10米，他们的估计正确吗？请说明理由.（参考数据：√5心3.9,5≈2.2） 50 C-nfinmi o B 19.(24-25八年级下·湖南娄底·期末)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活 动. 8/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 综合楼DE宣传牌CD,AB为山坡 模型抽象 D 45 活动 56° A E 过程 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为56°，沿山坡向上 测绘过程 走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°， 与数据信 ②测得AB=8m,AE=16m,斜坡AB的坡角为30°. 息 ③用计算器计算得：sin56≈0.83，c0s56≈0.56， tan56≈1.48，V3≈1.73. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.01m)： (1)求综合楼的高度DE (2)求宣传牌的高度CD. 20.(24-25九年级上·广东揭阳·期末)甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A 处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行400m到达D处，此时遇一斜坡，坡度=1：√3，沿 着斜坡前行600m到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等， 停车时间忽略不计)·甲在A处观测景点C的仰角为37°，乙在E处观测景点C的仰角为45°. E45° 371:V5 A D (1)求景点C的高度BC;(结果精确到1m) (2)甲乘坐缆车的速度为100m/min,乙的车速为1000m/min,乙的跑步速度为80m/min,谁先到达景 9/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点C?(参考数据：sin37≈0.60，c0s37≈0.80，tan37≈0,75，V3≈1.732，y6≈2.449) 题型五构造直角三角形解直角三角形（共15小题） 21.(24-25九年级上·安微池州期末)拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行 箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm,BC为30cm,点A到地面的距离AE为4cm, 旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离。 A E 22.(24-25九年级上·湖南永州期末)周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋 千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C,最高点为D,点C距离地面为 1m,秋千位于C时，安全链AC与铅垂线AB夹角为37°，安全链AC=3m B (I)求点A到地面的距离AB; (②)当王明用力将李亮从C处推出后到最高点D处，此时∠CAD=90°，求点D到地面的距离.（参考数据： sin37≈0.6，cos37≈0.8) 23.(24-25九年级上山东烟台期末)图1为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一“碓(dui )”的结构简图，图2为其平面示意图，已知AB1CD于点B,AB与水平线1相交于点0,0E1.若BC=4分 米，0B=12分米，∠B0E=60°，求点C到水平线1的距离CF的长， D 物 图1 图2 24.(24-25九年级上江苏南通·期末)根据素材解决问题： 10/19