专题05 相似三角形的5种常考模型（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形的5种常考模型专练 题型归纳·内容导航 题型1A字模型（重点） 题型4旋转模型 题型28字模型（重点） 题型5子母模型（重点） 题型3一线三等角模型 题型通关·靶向提分 题型一A字模型（共5小题） 1.(24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，DE‖BC,EF‖AB,则下列结论中错误的是 A品铝品股 C.AD-BF ·ABBC BD FC D. CF_EF DE AB 2.(24-25九年级上·福建福州·期末)如图，点D,E分别在AB,AC边上，下列条件中能判定 △ADE一△ACB的是() D B A.AD·AE=AB·AC B.DB·BC=AB·AD C.DB·BC=AE·AC D.AD·AB=AE·AC 3.(24-25九年级上·河南开封·期末)如图，点D在△ABC的AB边上，DE‖BC交AC于点E.若 AD=2.5,AE=2,EC=4,BD=( 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25九年级上·福建福州期末)如图，DE‖BC,AD=2,DB=3,则 AADE=. AABC B 5.(24-25九年级下·山东烟台·期末)如图，△ADE一△ACB,DE=3,S△ADE:S四边形BCED=9:16,则 BC的长一 D B 题型二8字模型（共8小题） 6.(24-25九年级上·安徽池州期末)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且 AE、BD交于点F,SADEF:S△ABF=4:25,则S△ADF:S四边形BCEF为（ D B A.10:31B.10:21 C.4:25 D.4:21 7.(24-25九年级上山西长治·期末)如图，口ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE并延长，交CD 的延长线于点F,点G是DE的中点，连接BG并延长，交DF于点H,若DH=1,则FH的长为() 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D B.2 D.3 8.(24-25九年级上·安徽六安·期末)如图，在口ABCD中，E是BC上一点，AE与BD交于点F,如果 AD=12,那么CE的值为C E A.2 B.3 C.4 D.5 9.(24-25九年级上·河北沧州·期末)如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此 时液面AB= cm. 4 cm B个 12 cm 10 cm 6 cm 水平面 图1 图2 10.(24-25九年级上·天津和平·期末)如图，己知平行四边形ABCD,E是AB延长线上一点，DE交BC 于点F,且BE:AB=3:2,SABEF=18,则△CDF的面积为 D 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(24-25九年级上·甘肃兰州：期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，已知 ∠AFD=∠B,边DF交AC于点E.求证：AF·CE=CD·FE A B D 12.(24-25九年级下·江苏南京·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AE⊥CD, 垂足为F. B (I)求证△CAE一△CBA: (2)若CD=4,AE=6,则线段AC的长度为· 13.(24-25九年级上四川成都·期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE‖BC,BE与AD,AC 分别相交于点F,G,AF2=FG·FE. (I)求证：△CAD一△CBG; (2)若AC=6,BC=7,G为AC的中点，求CD的长. 题型三一线三等角模型（共10小题） 14.(2025山东东营·中考真题)如图1，在矩形ABCD中，BC=4,E是BC边上的一个动点，AE⊥EF, EF交CD于点F,设BE=X,CF=y,图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB 的长为( 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D FC E 0.8 B 2 图1 图2 A.5 B.6 C.7 D.8 15.(24-25九年级上·四川达州期末)如图，等边三角形ABC的边长为7，P为BC上一点，且BP=2,D为 AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( A D P 14 10 c.5 D.7 16.(24-25九年级上·广东清远·期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，DE:EC=2:1, AE⊥EF,则EF:AE= E B FC 17.(24-25九年级上·陕西咸阳·期末)如图，△ABD和△DEC均为直角三角形，点C为BD中点，若 AD⊥CE,AB=4,ED=12,则BC的长为 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 18.(24-25九年级下山东烟台·期末)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD上一点， EF_2 CF 连接BE,BF,EF,若∠BEF=90°， BE,则DF的值为 D 19.(24-25九年级上·四川成都·期末)两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示.己知 书的长度EF为20cm,厚度EG为2cm.书角F到书柜底部B的距离比书角H到书柜底部C的距离少4cm, 则书角F与书角H的距离FH为cm. D E AG B FH 20.(24-25九年级上河北唐山期末)如图，在四边形ABCD中，AB=4,BC=7,∠B=∠C=60°，P 为BC边上一点（不与B,C重合），连接AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B, (I)△ABP与△PCE相似吗？为什么？ (2)若BP=5,求CE的长； 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当BP长为多少时，CE的长最大？最大为多少？ 21.(24-25九年级上河北唐山期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上， ∠ADE=∠ABC. D (I)求证：△ABD一△DCE: (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长， 22.(24-25九年级上甘肃张掖·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E为BC边上的一个动 点，连接AE,作EF⊥AE,交CD边于点F. D B E (1)当点E在什么位置时，CF的长为2： (2)CF的长能否等于3？请说明理由。 23.(23-24八年级下山东东营·期末)(1)如图1，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过 点E作EF⊥DE交BC于点F. D E 图1 图2 ①求证：△AED一△BFE. ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长. (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点A、B重合）， 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为多少？ 题型四旋转模型（共6小题） 24.(24-25九年级上河北张家口期末)如图，∠1=∠2，则补充下列条件仍不能说明△ADE一△ABC 的是() A.∠D=∠B B.∠E=∠C c铝怨 铝器 25.(24-25九年级上·湖南衡阳·期末)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和 等腰直角三角形ADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对于以下结论：①△BAE一△CAD:② MP·MD=MA·ME:③∠CPB=45°.其中正确的个数有( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 26.(24-25九年级上·浙江宁波·期末)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,过点C作BC 的垂线CD,点P在线段BC上运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP=∠CAQ,连结PQ,当 △PCQ与△ABC相似时，线段BP的长是 B 27.(24-25九年级上·安徽宿州期末)如图，BD是正方形ABCD的对角线，点F,G分别是AB和AD延 长线上的点，△FCG是等腰直角三角形，CF=CG,FG与BD,CD分别交于点H,O,CF与BD交于点 P. 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H (1)求证：△BCP一△GCO: (2)若HD=DO·DC,求证：CD平分∠HCG; (3)若BF=1,BC=3,求HP·HB的值， 28.(24-25九年级上·甘肃天水·期末)【问题情境】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边 上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接DG,BE,求证：DG=BE: 【拓展提升】(2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点，以CE为 边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG,BE,判断线段DG与BE具有怎样的数量关系 和位置关系，并说明理由. D 图1 图2 29.(24-25九年级上陕西西安·期中)如图，在四边形ABCD中，AC,BD交于点F.点E在BD上，且 ∠BAE=∠CAD, ABAC AE AD (I)求证：△ABC一△AED: (2)若∠CAD=20°.求∠CBD的度数. 题型五子母模型（共12小题） 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.(24-25九年级上·福建福州·期末)如图，点D是AC边上一点，添加下列条件后，仍不能使 △ABD一△ACB的是( A8股 B.AB=AC AD AB C.∠ABC=∠ADB D.∠ABD=∠C 31.(24-25九年级上·四川资阳·期末)如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定 △ABP一△ACB,则添加的条件可能是( A.AB=Bp AC BC B.B'-AP-PC C.D.AR'-AP-AC 32.(24-25九年级上湖北襄阳·期末)如图，点D是△ABC的AB边上一点，连接CD.下列条件中，不 能判定△ABC一△ACD的是( D A. C_AC CD AD B.∠ADC=∠ACB c AB_AC D.∠B=∠ACD AC AD 33.(24-25九年级上·山东临沂·期末)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP一△ACB,添加 一个条件，不正确的是() 10/13专题05 相似三角形的5种常考模型专练 题型1 A字模型（重点） 题型4 旋转模型 题型2 8字模型（重点） 题型5 子母模型（重点） 题型3 一线三等角模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 A字模型（共5小题） 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质逐一检验即可． 【详解】解：A、， ， 故此选项不符合题意； B、， ， 又， ， ， 故此选项不符合题意； C、，， ，， ， 故此选项不符合题意； D、， ， 又， ， ， 故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 先证明，再根据面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 题型二 8字模型（共8小题） 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·天津和平·期末）如图，已知平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，且，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行且相等，可证，又因，可得相似三角形的相似比为，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【答案】见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，得到，再证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵中，是斜边的中线，， ， 又 ∵， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 13．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 题型三 一线三等角模型（共10小题） 14．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 15．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 16．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键． 根据题意得出∽，设，则，进而得出，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ∽， ， 点E是中点， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示．已知书的长度为，厚度为．书角到书柜底部的距离比书角到书柜底部的距离少，则书角与书角的距离为 【答案】2.5 【分析】先证，可得，进而利用勾股定理得到，再证即可得解． 【详解】解：设 ，则， 如图，设两个书柜交点为，   ， ， 由题易得，， ，， ， 又，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得， ，， ，， ， ，即， 解得， 故答案为：2.5． 20．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与，重合），连接，过点作交于，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当长为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】(1)相似；理由见解析 (2) (3)； 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据平角和三角形的内角和定理，推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，，则，根据相似三角形的性质，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：与相似．理由如下： ， ∴， ， ， ∵， ． （2）解：由（1）知， ． ，， ， ， 解得． （3）解：设，，则， 由（1）知， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 当长为时，的长最大，最大为． 21．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点． (1)当点在什么位置时，的长为2； (2)的长能否等于3？请说明理由． 【答案】(1)当的长为2或6时，的长为2 (2)的长不可能等于3，见解析 【分析】（）设的长为，由是矩形得，则通过同角的余角相等得出，从而证明，根据相似三角形的性质得出，然后解方程即可； （）设的长为，的长为，由可知，，根据相似三角形的性质得，即，转化为，然后根据二次函数的性质即可判断； 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：设的长为，则， 四边形是矩形， ． ． ， ， ， ， ，即， ，即， 解得或6， 即当的长为2或6时，的长为2； （2）设的长为，的长为， 由①可知，， ，即， ，即 当时，的值最大，最大值为， 的长不可能等于3． 23．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）或2． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 题型四 旋转模型（共6小题） 24．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 25．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与分别交于点．对于以下结论：①；②；③．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判断，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键． ①由等腰直角和等腰直角三边份数关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，是等腰直角三角形， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以②正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， 所以③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D. 26．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．首先根据直角三角形两锐角互余可知，根据可知，所以可得，可证，设，则有、，当与相似时，分两种情况：一种是；另一种是．再根据相似三角形对应边成比例得到关于的方程，解方程求出的值即为线段的长度． 【详解】解： 中，90°，，， ，， ， ， ， ； ∵， ， ， 设，则有， ， ； ， ， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 综上所述，线段的长是或． 故答案为：或． 27．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，是正方形的对角线，点，分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别交于点，，与交于点． (1)求证：； (2)若，求证：平分； (3)若，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)5 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到； （2）根据得，进而可证明得到，再由，根据三角形内角和定理推出，即可得出结论； （3）过点作交于点，根据平行线的性质推出，得，，证明得到，则，即可证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到是斜边上的高线，证明得到，再由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， 又， ，即， ； （2）证明：， ， 又∵， ， ， 在和中，，， ， 平分； （3）解：如图，过点作交于点， ， ∴， ，， 易知是等腰直角三角形， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 是斜边上的高线， 是等腰直角三角形， ∴， ， 又， ， ， 在中，，， ∴， 在中，， 解得， ． 28．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）【问题情境】（1）如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，求证：； 【拓展提升】（）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，判断线段与具有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，得到，，延长相交于点，可以证明. 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 29．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，交于点F．点E在上，且． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五 子母模型（共12小题） 30．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：和中，，满足一组对角相等． A．添加后，不能使； B．添加后，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，即可判定； C．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； D．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； 故选A． 31．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 32．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴A、由不能判定，故符合题意； B、由能判定，故不符合题意； C、由能判定，故不符合题意； D、由能判定，故不符合题意； 故选A． 33．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 34．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，斜边上的高交于点，若，，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：解：由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 35．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，且．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 36．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，垂直的定义等知识，由相似三角形的性质得出，再根据垂直的定义即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·山东临沂·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则完美分割线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得到，由题意得，得到，设，则，得到，求出，再根据，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，是的边上的一点，，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，因为，所以，则，求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 40．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识﹒ （1）根据“有两个角相等的两三角形相似”即可证明； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得到，即可求出． 【详解】（1）解：，， （2）解：，， ， ． 41．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． $