专题02 相似形（5知识&20题型&1易错）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪科版

该初中数学相似形专题知识清单系统梳理了相似形核心内容，涵盖相似多边形、比例线段、相似三角形判定与性质、位似变换等五大知识范畴，搭建从概念辨析到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+易错警示”三维架构，5大知识模块系统整合概念与性质，20类题型分级设计（如网格相似、动点问题），易错点聚焦分类讨论。通过“平行线分线段成比例”模型培养推理能力，“位似坐标变换”强化应用意识，助力学生自主突破难点，教师精准教学。

专题02 相似形（5知识&20题型&1易错） 【清单01】相似多边形的概念 1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. 【清单02】成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 【清单03】比例的基本性质 1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 【清单04】黄金分割 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 【清单05】平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： （2）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 【清单05】相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 【清单05】相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． （2）相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． （3）相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比， （4）相似三角形周长比等于相似比． （5）相似三角形面积比等于相似比的平方． 【清单05】图形的位似变换 1、位似图形 ①位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ②利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． 2、位似图形的性质 ①两个位似图形一定是相似形； ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； ③对应边互相平行（或在同一直线）； ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3、画位似图形 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 4、平面直角坐标系中的位似图形 ① 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③.当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 【题型一】相似多边形的定义与性质 【例1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山东省威海市文登区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制） 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 【变式1-1】我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区梧州市龙圩区2025-2026学年九年级上学期期中作业设计质量测试数学试题 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似矩形的性质，通过对折操作建立比例关系求解，关键是对折后新矩形的长宽与原矩形的关系．由纸对折得到纸，且两者相似，设纸长为，宽为，对折后纸的长为，宽为，根据相似矩形的性质，长宽比相等，建立方程求解． 【详解】解：设纸的长为，宽为，则长宽比为， 对折后，纸的长为，宽为， 纸与纸相似， 长宽比相等，即， 化简得：， 交叉相乘可得：， ， 纸的宽长比为， 纸的宽长比也为． 故选：A． 【变式1-2】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 【答案】B 【难度】0.65 【来源】广西来宾市兴宾区2025--2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 【变式1-3】如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】安徽省宿州市砀山县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出所截矩形的面积，除以即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型二】比例的基本性质 【例2】如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市金安区六安市汇文中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】公式法解一元二次方程、比例线段 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 【变式2-2】（2024秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）根据k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+b+c＝27求出k的值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， （2）设k， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝27， ∴2k+3k+4k＝27， ∴k＝3． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k进而得出k的值是解题关键． 【变式2-3】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 【答案】D． 【分析】讨论：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，利用分式的性质和得到k＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到k，然后约分得到k的值． 【详解】解：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c， 所以k1； 当a+b+c≠0时， 所以k2， 综上所述，k的值为﹣1或2． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【题型三】成比例线段 【例3】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山西省榆次第一中学校2025-2026学年九年级上学期周测数学试题（10.31第3-4.3章） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、成比例线段、解分式方程（化为一元二次） 【详解】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 【变式3-1】，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山东省青岛市胶州市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 【变式3-2】已知线段a、b，且满足． (1)求的值； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市霍邱县2025---2026学年上学期九年级学业质量检测数学试卷 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两边同时加2即可得出，从而得解； （2）由题意求出，假设，则，，结合，求出，，再结合比例中项的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， 假设，则， 又∵， ∴， 解得， 则， ∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】3.5分式与比（题型专练）数学青岛版2024八年级上册 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义和已知条件，先求出a、b、c的值，再计算的值． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴， 又∵ ， ∴ ， 代入，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ，， ∴． 故选：B． 【题型四】黄金分割的应用 【例4】已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：如图： ∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【来源】2025年辽宁省铁岭市调兵山市中考三模数学试题 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割比． 根据题意可得，，即可得液面高度． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市昔阳县部分学校2025-2026学年度上学期中测试九年级数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金比，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上概念和定理． 假设，则，利用勾股定理求出直角三角形斜边长度，然后利用画图求出各边的长度，最后代数求比值即可． 【详解】解：假设，则， ∵， ∴根据勾股定理得， 根据画图可得，，， A. ，不是黄金比，不符合题意； B. ，不是黄金比，不符合题意； C. ，不是黄金比，不符合题意； D. ，是黄金比，符合题意； 故选：D． 【变式4-3】．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市晋江市多校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题 【知识点】公式法解一元二次方程、三线合一、用勾股定理解三角形、黄金分割 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 【题型五】平行线分线段成比例定理的应用 【例5】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【答案】6 【难度】0.65 【来源】河南省周口市沈丘县几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式5-1】如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】25.2 平行线分线段成比例（2大题型提分练）数学冀教版九年级上册 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】陕西省渭南市临渭区渭南初级中学2025—2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】广东省河源市龙川县龙川第一实验学校2025-2026学年九年级数学上学期期中试题 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型六】添加条件使得三角形相似 【例6】．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市枫杨外国语、金水外国语、朗悦慧等5校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】安徽省池州市部分学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵是公共角， ∴添加当或时，根据两角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，因为不是夹角，不能判断，故选项不正确，符合题意； 故选：． 【变式6-2】如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】辽宁省铁岭市调兵山市2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在与上，已知的等量条件为公共角，若两个三角形相似，可再添加一组对应角相等，或的两组对应边成比例，即可判断得到答案． 【详解】解：A、，，两边对应成比例，夹角相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； B、，不是夹角，不能判断两个三角形相似，此项符合题意； C、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； D、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】安徽省安庆市桐城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（沪科版）试题 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型七】相似三角形的判定---预备定理 【例7】如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【来源】广东省河源市龙川县2024-2025学年九年级上学期数学期中监测试卷 【知识点】利用平行四边形的性质求解、比例线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 【变式7-1】．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【难度】0.65 【来源】专题23.3 相似图形、相似三角形的判定（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 【变式7-2】如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市高级中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，可得：，根据，可以求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 【变式7-3】如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【难度】0.65 【来源】上海市闵行区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，关键是利用相似三角形的性质找到三角形的面积与线段之间的关系． ①根据三角形面积的求法，找到两三角形的底、高、各自的关系，即可得出结论； ②找到与之间的关系，即可求得； ③找到与之间的关系，即可求得； ④分别求出两三角形的面积，再作差即可求得． 【详解】解：∵ ∴和同底等高 ∴ 故结论①正确； ∵ ∴∽ ∴ ∴ ∴ 即 故结论③正确； ∵ ∴ 故结论②正确； ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 故结论④正确； 故选：D ． 【题型八】相似三角形判定的证明 【例8】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．见解析 【难度】0.65 【来源】专题 第4章相似三角形章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版九年级上册 【知识点】勾股定理与网格问题、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 【变式8-1】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【来源】浙江省绍兴市柯桥区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【变式8-3】如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)长的最小值为2 【难度】0.65 【来源】安徽省池州市部分学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 【详解】（1）解：证明： ， 又 ， ， ； （2） ， 又 ， ； （3）， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 【题型九】 网格中的相似三角形 【例9】．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】四川省宜宾市叙州区育才中学学区2025--2026学年上学期九年级数学11月月考考试题 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比． 根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论． 【详解】解：小正方形的边长为1， 在中，，，， A选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； B选项中，一边，一边，一边， 有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意； C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意． 故选：B． 【变式9-1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】甘肃省酒泉市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据三边对应成比例的三角形相似，分别计算出边长一一判断即可． 【详解】解：因为每个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，，， A、三边分别为：，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、三边分别为：，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 【变式9-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式14-2】 （24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【题型十】由相似三角形的性质求线段长 【例10】如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【来源】2021年广东省梅州市兴宁市九年级中考数学模拟试卷 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 【变式10-1】如图，已知，，，，，． (1)求和的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【来源】浙江省金华市永康第三中学2025-2026学年九年级上期中考试数学试卷 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查三角形内角和定理、相似三角形的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质，列出比例式． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可得到和的度数； （2）根据相似三角形的相似比可直接得到答案． 【详解】（1）解： ， ，； （2）， ∴ ∵，，， ∴， 解得：． 【变式10-2】如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】河北省邢台市内丘县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】角平分线的有关计算、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 【变式10-3】已知：四边形的两条对角线相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 【详解】（1）证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 【题型十一】由相似三角形的性质求周长 【例11】如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为 ．    【答案】 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市泉港区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式11-1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式11-2】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 【变式11-3】如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于，下底等于，那么它的周长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷 【知识点】两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、直角梯形的定义 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 先由题意，作出“优美梯形”，再根据“优美梯形”的定义，对角线分成的两个三角形相似，通过相似三角形的性质得到比例关系，代值求出对角线长，再利用勾股定理求出两腰长，最后计算周长即可得到答案． 【详解】解：设直角梯形，其中，，，，连接，对角线将梯形分成和，如图所示： ， ， 由“优美梯形”的定义可知， ，且， ， 即， 在中，由勾股定理可得， 在中，，由勾股定理可得， 该“优美梯形”的周长为， 故答案为：． 【题型十二】由相似三角形的性质求面积 【例12】如图，在中， D在上，，，若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】山东省菏泽市鄄城县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用．根据平行线的性质得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 【变式12-1】．如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】甘肃省酒泉市第二中学教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形中线的性质及三角形面积的比例关系，解题的关键是利用中线分三角形面积为相等的两部分． 先根据中线性质确定与的面积关系，再确定与的面积关系，最后求出两者的面积比． 【详解】解：是的中线， ∴是中点，是中点， ∴，且， ∴，相似比为， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是中线，，且， ∴， ∴． 故选：B． 【变式12-2】．如图，在菱形中，E为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)36 【难度】0.65 【来源】吉林省吉林市第五中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是关键； （1）由菱形的性质得，结合，即可证明； （2）由得，由此即可求得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴故答案为：36． 【变式12-3】如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：6 D．1：12 【答案】B 【难度】0.65 【来源】江苏省泰州市海陵区泰州市民兴中英文学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质，确定出面积之间的关系． 根据题意可得，，，从而得到，且，得到，设，则，连接，可得，即，则，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， 又∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则，连接，如下图： 则， 由题意可得，， ∴， 故选：B 【题型十三】相似三角形的性质与判定的综合 【例13】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 【答案】C 【难度】0.65 【来源】安徽省阜阳市临泉县三校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵，高， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形边长为， 故选：C． 【变式13-1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，．    (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）可得，由两角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得：． 【变式13-2】（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【分析】（1）由已知条件可证得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性质可得∠DAC＝∠B； （2）由（1）得∠DAC＝∠B，结合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，从而得AC2＝BC•CD，再结合AD是△ABC的中线，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△ABD∽△CAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）解：由（1）得∠DAC＝∠B， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即AC2＝BC•CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2DC， ∵AC＝4， ∴42＝2DC•DC， 解得：DC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得△ABC∽△DAC． 【变式13-3】（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠DEB＝∠CDF，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，可证△CDF∽△DEF，可得，即可求解． 【详解】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠EDF＝∠B，∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC， ∴∠DEB＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 由（1）可知：△BDE∽△CFD， ∴， ∴， 又∵∠EDF＝∠B＝∠ACB， ∴△CDF∽△DEF， ∴， ∴DF2＝EF•CF． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【题型十四】相似三角形与动点问题 【例14】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【来源】贵州省 贵阳市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 【变式14-1】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【来源】贵州省 贵阳市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 【变式14-2】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 【答案】或； 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州市吴江区吴江实验2020-2021学年八年级下学期5月月考数学考试 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【变式14-3】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当___________时，与相似． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】河南省周口市项城市2025-2026学年九年级上学期11月综合评估二数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，根据题意可得，则，利用勾股定理求出的长，可分和两种情况，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，与相似． 故答案为：或． 【题型十五】相似三角形的应用 【例15】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 【答案】1.8 【难度】0.65 【来源】安徽省宿州市萧县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 【变式15-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市禅城区佛山市华英学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 【变式15-2】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 【变式15-3】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 【题型十六】位似的相关概念 【例16】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【变式16-1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 【变式16-2】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 【变式16-3】如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】四川省成都石室联合中学2025-2026学年上学期九年级期中数学考试试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的核心特征：对应图形相似、对应点连线过位似中心、对应边平行、位似比等于相似比． 根据位似图形的性质，逐一验证各选项是否符合“相似、对应点共线、对应边平行、位似比与线段比的关系”，进而判断错误选项． 【详解】解：A、位似图形一定是相似图形，故，结论正确，此选项不符合题意； B、位似图形中对应点与位似中心共线，故点，，三点在同一直线上，结论正确，此选项不符合题意； C、以为位似中心，放大到原来的2倍，位似比为，则，故，结论错误，此选项符合题意； D、位似图形的对应边互相平行，故，结论正确，此选项不符合题意； 故选：C． 【题型十七】位似中心的确定 【例17】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】河南省濮阳市范县杨集乡第二中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷 【知识点】判断位似中心、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】 河南省郑州市巩义市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、判断位似中心 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 【变式17-2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山东省菏泽经济技术开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 【变式17-3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【难度】0.65 【来源】河北省邢台市多校联考 2024-2025学年上学期学业水平测试 九年级数学 （冀教版）（12月） 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 【题型十八】位似的性质的运用 【例18】如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与位似， ，， 与的面积之比是， 与的相似比是，即， ， ， ，即， 解得：， 故选：． 【变式18-1】如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市平遥县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，则，与周长比为，，即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴与周长比为，， ∴， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 【变式18-2】如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】河南省南阳市南召县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 【变式18-3】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】河北省廊坊市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：． 【题型十九】平面坐标系中的位似变换 【例19】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【来源】河南省郑州市第八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题 【知识点】利用网格求三角形面积、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和利用网格求三角形的面积． （1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：的面积为， 故答案为：． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)与的相似比是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【来源】河南省郑州外国语中学2025-2026学年上学期期中数学试卷 【知识点】画轴对称图形、求两个位似图形的相似比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，其中点的坐标为，点的坐标为，点，在第一象限内． (1)在轴上方画出正方形，使它与正方形关于点位似，且相似比为． (2)比较正方形与正方形对应点的坐标，写出一条你发现的结论． (3)已知是正方形边上的一个动点，是正方形边上与点对应的点．若，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)答案不唯一，见解析 (3)或 【难度】0.65 【来源】山西省晋中市昔阳县部分学校2025-2026学年度上学期中测试九年级数学试卷 【知识点】已知两点坐标求两点距离、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查画位似图形及两点间距离公式，正确得出各对应点的位置及坐标是解题关键． （1）根据相似比为，找出各对应点位置，顺次连接即可； （2）根据（1）中各对应点坐标，比较正方形各点坐标即可得答案； （3）分点在上和点在上两种情况，根据，得出点坐标，再得出点的坐标，利用两点间距离公式即可得答案． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点，在第一象限内， ∴，， 由（1）可知：，，，， ∴正方形边上某一点的坐标为，则其在正方形边上对应的点的坐标为． （3）解：∵，， ∴当点在上时，， ∴， ∴， 当点在上时，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式19-3】如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，的面积 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市洛江区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】利用网格求三角形面积、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图) 【分析】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3，位似图形对应点的坐标比等于：，本题在第一象限所以只取位似图形对应点的坐标比等于3，求出坐标即可画出图形．再根据相似三角形的性质得出的面积等于面积的9倍解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，，即为所求， 的面积 ． 【题型二十】相似三角形的综合题 【例20】如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析 【难度】0.65 【来源】四川省成都市郫都区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题 【知识点】相似三角形的综合问题、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）由平行四边形的性质得出：，，由平行线的性质得出：，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出：，即可得出结论； （3）由三角形相似，推出，由，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1）， ∴， ∴， ∵DA=BC， ∴， ∴， ∴ （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的性质是解答本题的关键． 【变式20-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见解析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 【变式20-2】（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求证； （）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式20-3】问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 【答案】（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）． 【难度】0.65 【来源】四川省达州市通川区第一中学校2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】相似三角形的综合问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论； （2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论； （3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB， ∴CF=BD， 故答案为：CF=BD，CF⊥BD； （2）BD=CF成立． 理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ， 由（1）得AC=AB，AF=AD， 在△ABD和△ACF中， ∵ ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=CF； （3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M． ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA=45°， ∵∠MAD=45° ∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°， ∴AM=DM， ∵AD=， 在△MAD中，AM2+DM2=AD2， ∴AM=DM=3， ∴MB=AM-AB=3-2=1， 在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2， ∴ 在Rt△ADF中，AD=， ∴， 由（2）得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN=∠ADN， ∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90° ∴∠HFN+∠HNF=90° ∴∠NHF=90°， ∴∠DHF=∠DMB=90°， ∵∠BDM=∠FDH， ∴△BDM∽△FDH， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型一】解决相似三角形对应边不确定时未用分类讨论出错 【方法点拨】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【变式1-1】在和中，，，，，则当_________ 时，和相似． 【答案】10或 【难度】0.65 【来源】四川省遂宁市船山区第一学区2025--2026学年上学期九年级数学11月考监测试卷 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，需根据对应边成比例求解，由于未指定顶点对应关系，需分类讨论两种相似情况：①当时，②当时，分别代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴有两种相似情况： ①当时， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：10或． 【变式1-2】如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【来源】四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 【变式1-3】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝　 　． 【答案】2或12或5.6． 【分析】分别从若△PCD∽△APB与若△PCD∽△PAB去分析求解，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝2或12； ②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP＝5.6． ∴DP＝2或12或5.6． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 【变式1-4】如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【答案】B 【难度】0.65 【来源】河北省衡水市枣强县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 【变式1-5】数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识．根据图形和勾股定理求出，，，，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，点、、、分别都和点、连接， ，，，，， ，，， ， 和相似，即点和点、连接后构成的格点三角形和相似，， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似形（5知识&20题型&1易错） 【清单01】相似多边形的概念 1、相似多边形： 的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2、相似比：相似多边形 的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. 【清单02】成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从 到 (或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 【清单03】比例的基本性质 1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则 ②合比性质．若，则 ． ③分比性质．若，则 ． ④合分比性质．若，则 ． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 【清单04】黄金分割 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即 ，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 【清单05】平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： （2）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 【清单05】相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 【清单05】相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． （2）相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． （3）相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比， （4）相似三角形周长比等于 （5）相似三角形面积比等于 【清单05】图形的位似变换 1、位似图形 ①位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ②利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． 2、位似图形的性质 ①两个位似图形一定是相似形； ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； ③对应边互相平行（或在同一直线）； ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3、画位似图形 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 4、平面直角坐标系中的位似图形 ① 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③.当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 【题型一】相似多边形的定义与性质 【例1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【变式1-1】我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 【变式1-3】如图，已知矩形，的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么的长是 ． 【题型二】比例的基本性质 【例2】如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【变式2-2】（2024秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 【变式2-3】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 【题型三】成比例线段 【例3】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【变式3-1】，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知线段a、b，且满足． (1)求的值； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 【变式3-3】已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【题型四】黄金分割的应用 【例4】已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为 ．（结果保留根号） 【变式4-2】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型五】平行线分线段成比例定理的应用 【例5】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【变式5-1】如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【变式5-2】如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为 ． 【变式5-3】如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【题型六】添加条件使得三角形相似 【例6】．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【题型七】相似三角形的判定---预备定理 【例7】如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【变式7-1】．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【变式7-2】如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-3】如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型八】相似三角形判定的证明 【例8】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【变式8-1】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【变式8-2】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【变式8-3】如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【题型九】 网格中的相似三角形 【例9】．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】 （24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【题型十】由相似三角形的性质求线段长 【例10】如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式10-1】如图，已知，，，，，． (1)求和的度数； (2)求的长． 【变式10-2】如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【变式10-3】已知：四边形的两条对角线相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型十一】由相似三角形的性质求周长 【例11】如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为 ．    【变式11-1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于，下底等于，那么它的周长为 ． 【题型十二】由相似三角形的性质求面积 【例12】如图，在中， D在上，，，若，则的值为 ． 【变式12-1】．如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】．如图，在菱形中，E为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，，则的值为______． 【变式12-3】如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：6 D．1：12 【题型十三】相似三角形的性质与判定的综合 【例13】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 【变式13-1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，．    (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． 【变式13-2】（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【变式13-3】（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 【题型十四】相似三角形与动点问题 【例14】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【变式14-1】如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【变式14-2】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【变式14-3】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当___________时，与相似． 【题型十五】相似三角形的应用 【例15】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 【变式15-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【变式15-2】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【变式15-3】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【题型十六】位似的相关概念 【例16】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【变式16-2】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【变式16-3】如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【题型十七】位似中心的确定 【例17】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【变式17-3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【题型十八】位似的性质的运用 【例18】如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-1】如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 【变式18-2】如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【变式18-3】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为 ． 【题型十九】平面坐标系中的位似变换 【例19】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)与的相似比是_____． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，其中点的坐标为，点的坐标为，点，在第一象限内． (1)在轴上方画出正方形，使它与正方形关于点位似，且相似比为． (2)比较正方形与正方形对应点的坐标，写出一条你发现的结论． (3)已知是正方形边上的一个动点，是正方形边上与点对应的点．若，则的长为______． 【变式19-3】如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积． 【题型二十】相似三角形的综合题 【例20】如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． 【变式20-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【变式20-2】（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【变式20-3】问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 【题型一】解决相似三角形对应边不确定时未用分类讨论出错 【方法点拨】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【变式1-1】在和中，，，，，则当_________ 时，和相似． 【变式1-2】如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 【变式1-3】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝　 　． 【变式1-4】如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【变式1-5】数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $