精品解析：河南省鹤壁市浚县八年级五校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】解：A、0是有理数，故不符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、是无理数，故符合题意； D、是有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，整式的乘法． 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，整式的乘法逐一判断即可． 【详解】A、，原计算错误； B、，原计算正确； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选：B． 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 三条边都相等的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断、逆命题的概念，正确写出各命题的逆命题，并掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故A选项符合题意； “三条边都相等的三角形是等边三角形” 的逆命题为“等边三角形的三条边都相等” 是真命题，故B选项不符合题意； “等腰三角形的两底角相等” 的逆命题为“有两个角相等的三角形为等腰三角形” 是真命题，故C选项不符合题意； “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上” 是真命题，故D选项不符合题意． 故选A． 4. 若代数式的值与的取值无关，则常数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 5. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 中华大地 B. 爱我中华 C. 爱大中华 D. 我爱中大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 6. 如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】解：如图，作于点O， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴大树的高度为， 故选：D． 7. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计） A. B. C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查平面展开--最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则，求出，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为17， 故选：D． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，得到，进而推出角的关系，再结合已知条件和三角形内角和定理求解的度数． 【详解】解：∵由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴． 在中，，且， ∴， ∴， ∴，即． 故选：． 10. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，能灵活运用运算法则进行计算是解题的关键．先将转化为，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 已知与是正数的平方根，则的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，由平方根的性质可得与相等或互为相反数，分别求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是正数的平方根， ∴与相等或互为相反数， ∴或， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或． 13. 如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股定理可得的长，过点作于，由垂线段最短可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ，点是的中点， ， 由垂线段最短可知，， 的最小值为． 故答案为：． 14. 如图，点在同侧，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：． 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与分解因式 （1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，掌握二次根式的性质和因式分解的方法是解题的关键． （1）先计算绝对值、立方根，以及根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可；灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． （1）求证：． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由此即可求解； （2）根据，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），可得，， ∴ ． 19. 如图，在四边形中，点E是的中点，，，平分．求证：平分． 【答案】 证明：如图所示，作于点F，则， ∵，平分， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】作于点F，根据角平分线性质定理可得，再根据E是的中点可得，从而可得，根据角平分线判定定理即可得证．本题考查角平分线定理的应用． 【详解】略 20. 阅读材料：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，则______，______； （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）4，4 （2） 【解析】 【分析】（1）按题设的方法进行恒等变形，利用完全平方式的非负性即可求解； （2）按题设的方法进行恒等变形，求出a、b的值，再根据三角形的三边关系求出c即可． 本题考查完全平方公式的应用、三角形三边关系的应用． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：4，4； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，，解得：，， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴，即， ∵a、b、c都是正整数， ∴， ∴的周长为． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； 【小问2详解】 解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 22. 如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． （1）若，，求的周长． （2）分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【小问1详解】 解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③； （2）思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式　 　；结合结论②和结论③，可以得到一个等式　 　； （3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值． （4）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积； （2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解； （4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：图2：； 图3：； 【小问2详解】 解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：； 结合结论②和结论③，可以得到一个等式：， 即，； 【小问3详解】 解：，，， ， ， ， ， 解得； 【小问4详解】 解：由“应用”的解答过程可知： ∴阴影部分面积和， ，， 阴影部分面积和． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 三条边都相等的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的两底角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 4. 若代数式的值与的取值无关，则常数为（ ）． A. B. C. D. 5. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 中华大地 B. 爱我中华 C. 爱大中华 D. 我爱中大 6. 如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计） A. B. C. 15 D. 17 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点E在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 已知与是正数的平方根，则的值是______． 13. 如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 14. 如图，点在同侧，，则_________． 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与分解因式 （1）计算：． （2）分解因式：． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． （1）求证：． （2）求四边形的面积． 19. 如图，在四边形中，点E是的中点，，，平分．求证：平分． 20. 阅读材料：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，则______，______； （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 22. 如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． （1）若，，求的周长． （2）分别过点，作于、于，若，，求的长． 23. 现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）． （1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③； （2）思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式　 　；结合结论②和结论③，可以得到一个等式　 　； （3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值． （4）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $