第五章 圆（复习讲义）数学鲁教版五四制九年级下册

该初中数学“圆”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，从圆的定义、对称性到垂径定理、圆周角定理等，按“概念-性质-应用”逻辑呈现，明确重点难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点是15类分层题型设计，如垂径定理求值、动态圆问题等，培养逻辑推理与空间想象能力。基础巩固与能力提升练习兼顾不同学生，教师可精准复习，助力掌握圆的综合应用。

第五章 圆（复习讲义） 一、知识目标 1.理解并掌握圆的基本概念（弦、弧、圆心角、圆周角等）及相关性质。 2.熟练掌握圆的对称性（轴对称、中心对称）及垂径定理的应用。 3.理解弧、弦、圆心角之间的关系，能进行相关证明与计算。 4.掌握圆周角定理及其推论，并能灵活运用于几何证明。 5.准确判断点、直线与圆的位置关系，掌握切线的判定与性质。 6.理解三角形外接圆与内切圆的概念，能确定其圆心与半径。 7.熟练运用弧长公式、扇形面积公式解决实际问题。 8.了解正多边形与圆的关系，能进行简单计算。 二、能力目标 逻辑推理能力：能够综合运用圆的相关定理，进行严谨的几何证明。 空间想象能力：能够根据文字描述或图形，想象圆与直线、多边形的位置关系。 计算能力：熟练进行与圆有关的长度、角度、面积的计算。 问题解决能力：能够识别实际问题中的圆相关模型，并运用所学知识解决。 综合应用能力：能将圆的知识与三角形、四边形、函数等其他知识相结合解决问题。 三、重点与难点 重点： 垂径定理及其应用。 圆周角定理及推论。 切线的判定与性质。 弧长与扇形面积的计算。 难点： 圆中辅助线的添加（如作弦心距、连接切点与圆心等）。 圆与相似三角形、直角三角形的综合证明。 动态圆问题（如动点与圆的位置关系）。 阴影部分面积的计算（割补法、等积变形）。 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 2）弧、半圆 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 14. 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（江苏省扬州市梅岭集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 2．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可． 【详解】解：在⊙O中，， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若弧等于弧，，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个. 故选：D． 题型二 利用垂径定理求值 5．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故选：D． 6．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：． (2)若圆O的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系、垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，则，易得，再根据垂径定理得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接，则， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由，，根据三角形内角和定理求得． （2）先利用垂径定理得出，，由为的直径，且，求得，由，，求得，则，所以，求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数是． （2）连接，作于点M， 则，， ∵为的直径，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是6． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，圆周角定理等知识，解题关键是正确地添加辅助线． 8．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 题型三 利用圆周角定理求角 9．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，，点在上．若，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中同弧所对圆周角相等是解题的关键．本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解的度数． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径确定直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，然后再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求_____ (2)求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、弧中点对应圆周角相等）、全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理并结合全等三角形证明是解题的关键． （1）先根据直径所对圆周角为直角得，结合求出；再利用弧中点的性质得，进而求出． （2）利用弧中点的性质得，结合，证明，从而得出． 【详解】（1）解：∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∴ ， 故答案为：； （2）证明：∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∵ ，，， ∴（）， ∴ ． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 13．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，根据圆周角定理找到和的关系是解题关键． 根据在同圆中，圆周角相等所对的弧相等，由，所以，再根据圆周角定理的推论得到，然后利用勾股定理计算出直径，从而得到的半径． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， 在中，， 的半径为 故选：B． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，平行线间线段成比例，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 过点O作于点D，连接，先求出，，分类讨论：①当点E在点之间时，过点F作于M， ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M， 逐个分析求解即可． 【详解】解：过点O作于点D，连接，如图 ∴， ∵为直径， ∴， ， ∴， ∴， ①当点E在之间时，过点F作于M，如图 ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，即． ∵， ∴， ∴，即， 解得． ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M，如图 由①，同理可得： ∴， ， ∴， 解得． ∵， ∴即， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，是以为直径的半圆周上一点，点在的平分线上，且于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，圆的相关知识，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容； 先根据题中已知条件推出，从而得到，再证明，得到，设，则，，最后根据勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵点在的平分线上， ∴， ∵是以为直径的半圆周上一点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，，（舍去）， ∴的长为， 故选：A． 16．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点，，经过点Q，连接并延长交于点R． K是上的动点，连接，将线段沿直线翻折得到，与交于点S．若S将分成的两段，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查折叠的性质，点的坐标，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，连接交于点A，连接交于点B，连接，求得，由折叠得，结合S将分成的两段得或，分两种情况根据相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：连接交于点A，连接交于点B，连接，如图， ∵点，， ∴， ∴， ∵将线段沿直线翻折得到， ∴， ∵S将分成的两段， ∴或 ①当时， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②当时， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长是或. 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 18．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似来论证； （2）通过得到，再通过得到，接着利用求得，最后利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是直径， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴.， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、圆周角定理、关键是知识点的灵活应用． 19．（25-26九年级上·浙江舟山·月考）已知：如图1，在中，为边上的一点，经过三点的圆交边于点，连结． (1)求证：． (2)作与关于直线对称，当点与点重合时（如图2），与交于点，设， 若，求的长； 记的面积为的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2) 的长为； 的值为． 【分析】（1）连接，则，，可得，即可证得结论； （2）由对称的性质，结合已知可得，，由，，可得，根据勾股定理可得，证明，可得，即可得的长；设，则，根据勾股定理可得，取的中点，记为点，连接，由的圆周角所对的弦是直径，可得为的直径，，由三角形外角的性质，可得，证明，，可得，可得，，即可得的值． 【详解】（1）证明：连接， ∵点，在同一个圆上， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，点与点重合， ∴，，， ∵经过三点的圆交边于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 设，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 取的中点，记为点，连接， ∵点，，在圆上，， ∴为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为的面积为， ∴的值为． 【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等，对称的性质，勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，与三角形的高相关的计算． 20．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的概念． 由圆周角定理可得，在中，利用三角函数求出、的长，然后根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧所对的圆周角相等得， ∵点B坐标为， ∴， ∴，，即圆的半径为4， ∴． 故答案为：． 题型六 已知圆内接四边形求角度 21．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：D． 22．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出的大小． 先根据圆周角定理得出的大小，然后利用圆内接四边形对角互补的性质，得出的大小，从而得出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 23．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形折叠的问题以及圆内接四边形的性质，解题的关键是翻折，点落在处，得出．由已知条件先求出，再利用圆内接四边形的性质即可求出的度数，分别得到和，相减即可． 【详解】解：如图所示，翻折，点落在处， ， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，准确分析计算是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得到，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得出的度数； 【详解】解：四边形内接于，， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ； 故答案为：． 题型七 点与圆的位置关系 25．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 27．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型八 正多边形和圆 29．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，先求得，的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24． 故答案为：24． 31．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、含30度直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，由题意可得 ，；根据等边对等角以及三角内角和定理可得；再是等边三角形可得、，易得，然后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，涉及正方形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理，理解相关知识是解答的关键． （1）利用正方形的对角线互相垂直可得点P为对角线的交点； （2）作等边三角形，则，作外接圆交、于点E、F，根据圆周角定理可得，弧上的所有点均为所求点P． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）解：如图，弧上的所有点均为所求点P． 题型九 求弧长 33．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 34．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 35．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长的计算，解题的关键是正确添加辅助线． 过点作于点，连接，利用勾股定理求出，在中，根据求出，进而利用平行线的性质求出，再利用弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 弧的长为． 故选：C． 36．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 【答案】(1)见解析 (2)①裁出的两块木料的周长之和为；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积． （1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 题型十 求扇形的面积 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的面积、三角形面积及扇形面积的计算，涉及知识点：勾股定理逆定理（判断直角）、扇形面积公式、三角形面积公式．解题方法是先连接、，通过边长关系判断的形状，再用“扇形面积三角形面积”求阴影面积；解题关键是确定扇形的圆心角，易错点是误判三角形的角度． 【详解】解：如图所示，连接、： 由半径为，得， 已知． ∵， ∴是直角三角形，． 扇形的面积：； 的面积：； 阴影面积=扇形面积-三角形面积：． 故答案为． 38．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 39．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式和圆的面积公式，熟练掌握扇形面积公式（）与圆的面积公式，并通过“作差法”（用公共空白部分关联甲、乙面积）比较大小是解题的关键．设扇形半径为定值，分别表示出甲、乙的面积，通过计算比较大小． 【详解】解：设． ∵扇形的圆心角为，是弧中点， ∴扇形的圆心角为，半径为； 以为直径的半圆半径为． ∵，， ∴比较与即可． ∵，， ∴， ∴． 故选：． 40．（江西省宜春市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷）如图是一个含水平地面的圆形隧道截面，其截面半径为，截面中水平地面部分弓形的高为． (1)若在隧道顶上装一个探照灯，恰好可以照到整个水平地面，求探照灯覆盖的光束角度范围（即求的度数）； (2)求截面中水平地面弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角定理，解直角三角形，勾股定理及扇形面积公式等知识点． （1）连接，，，过点O作交于点D，利用垂径定理和圆心角定理即可求得的度数； （2）先分别计算扇形和三角形的面积，最后用扇形的面积减去三角形的面积即可得到弓形面积． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作交于点D， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 同理可得，则， ∴， 由圆心角定理可知，． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十一 与圆锥有关的计算问题 41．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)求这个几何体侧面展开图的圆心角； (3)求这个几何体的全面积． 【答案】(1)圆锥 (2) (3) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算． （1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥； （2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数； （3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥； （2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为， ∴母线为， 则展开图扇形的弧长为， 又弧长为， ， 解得 展开图扇形的圆心角度数为； （3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6， 展开图扇形的面积为， 底面面积为， 圆锥的全面积为． 42．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 43．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径， (1)求圆锥的侧面积； (2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________； (3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________； 【答案】(1) (2)8， (3) 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理，熟练掌握圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理是解题的关键； （1）根据圆锥的侧面积公式可进行求解； （2）根据弧长公式及圆锥的侧面展开图的特征可进行求解； （3）根据圆锥的侧面展开图及两点之间线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面积公式可得：； （2）解：由圆锥侧面展开图可知：圆锥侧面展开图所在扇形的半径即为圆锥母线长，即为8； 弧长为底面圆的周长，即为； 故答案为8，； （3）解：圆锥侧面展开图如下所示： 连接，交于点C，连接，如图所示： ∴即为小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B的最小路径长， 设侧面展开图的圆心角为，根据（2）可得：， 解得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 44．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 题型十二 与垂径定理有关的计算问题 45．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是熟练掌握和应用相关的性质定理． 先利用垂径定理求得，再利用勾股定理求得，进而求得AC，然后证得三角形相似即可求得和，最后证得，即可求得，利用即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵的半径为5， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 46．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 47．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）证明，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接, 设的半径为r，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 48．（25-26九年级上·山西忻州·月考）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 1．方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． 2．测量数据：米，米． 3．计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 延长至点，连接，使得，则点为圆心，由垂径定理得到，设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长至点，连接，使得，则点为圆心， ∵，经过圆心， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得 ∴大桥桥孔所在圆的半径为． 题型十三 与圆周角有关的计算问题 49．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D． 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键． 50．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，为的弦，D，C为优弧的三等分点，延长至点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出结论； （2）由（1）知，得到，推出，，证出，得出对应边成比例，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D，C为优弧的三等分点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 51．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图1，在中，、是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）①证明：，， ， ， 为直径， ， ， ，，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ，， 为的中位线， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，，， ， 整理得， 解得：，（舍去）， 即的长为1． 52．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到，然后根据圆周角定理得到，从而根据等角对等边得到结论； （2）连结，先证明为等腰直角三角形得到，再根据圆周角定理得到，即可解答； （3设交于G点，连结，先证明，得到，再证明为等腰三角形得到，再证明得到，证明得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结，如图， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设交于G点，连结，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 题型十四 与证明切线有关的问题 53．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，点在的平分线上，与相切于点． (1)求证：直线与相切； (2)的延长线与交于点．若的半径为．求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，作于点，如图所示，结合切线性质得到，再由题中条件，结合角平分线的性质得到，从而由切线的判定即可得到答案； （2）设交于，连接，如图所示，先求出相关线段及角度，然后由相似三角形的判定得到，再由相似比得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，作于点，如图所示： 与相切于点， ， 点在的平分线上，， ， 直线与相切； （2）解：设交于，连接，如图所示： 与相切于点， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则， 又， ， 则， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即 解得， 则． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、角平分线性质、切线的判定、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记圆的相关性质，切线的判定、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 54．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理，掌握切线的判定方法、勾股定理、垂径定理是正确解答的关键． （1）根据，证明直线是的垂直平分线，再由平行线的性质证明即可； （2）由垂径定理得到，再用勾股定理求出，设，则，再用勾股定理列出关于的方程，最后证明即可求解的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于， ， 直线是的垂直平分线， 直线． ， ． 是⊙的半径， 是⊙的切线； （2）解：连接，交于点，连接，， 是的中点， ， ． 在中，，， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 即，解得，即半径为10． ， ， ， ， ， ． 55．（2025·四川雅安·二模）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而可得，从而利用同角的余角相等可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，即可解答． （3）在中，利用勾股定理求出的长，再证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而利用线段的和差关系，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握相关知识是解题的关键． 56．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）连接，先证明是圆的直径，是圆的半径，再证明，则有，结论得证； （2）①连接，根据角平分线的性质证明，再证，则可求； ②根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴， ∵是的外接圆， ∴是的直径，是的半径， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：①连接，如图， ∵平分，且，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 则， ∴，即的半径为． 题型十五 圆中最值问题 57．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 58．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 59．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，点为上任一点，点为的中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论、相似三角形的判定及性质、解直角三角形等，取的中点为，可证得，得到点在以点为圆心，以长为半径的圆上． 【详解】如图所示，取的中点为，可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点在以点为圆心，以长为半径的圆上． 根据题意可知，当点位于上时，可取得最小值，如图所示． ∵为的中点，为的中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 故选：A 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 【答案】（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、点的轨迹等问题，正确找出动点轨迹是解题的关键． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2023·安徽芜湖·一模）如图，点，，在上，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：点在上，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．（18-19九年级下·四川广安·月考）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（　　） A．3 B．8 C． D．2 【答案】A 【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE= AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长． 【详解】 连接CA、CD, 根据折叠的性质,知弧CD所对的圆周角等于∠CBD, 又∵弧AC所对的圆周角是∠CBA, ∵∠CBD=∠CBA, ∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等) , ∴△CAD是等腰三角形, 过C作CE⊥AB于E. ∵AD=4，则AE=DE=2, ∴BE=BD+DE=7, 在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得： =BE⋅AB=7×9=63, 故BC=. 故选：A. 【点睛】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）已知的半径为3，记圆心O到直线l的距离为d，若直线l与没有公共点，则d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线位置关系知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，已知圆的半径是R，圆心到直线的距离是d，那么①当时，直线和圆的位置关系是相交；②当时，直线和圆的位置关系是相切；③当时，直线和圆的位置关系是相离． 【详解】试题解析：∵直线l与没有公共点， ∴直线和圆相离， ∵圆的半径为3， ∴圆心到直线的距离d的取值范围是， 故选A． 4．（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解． 【详解】解：根据题意得到， 解得， 即扇形的圆心角度数为． 故选：C 【点睛】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形．根据题意得，可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 7．（19-20九年级上·广东广州·月考）如图，是的直径，弦于点，，的半径为，则弦的长为(    )    A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理．先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 的半径为，即， ， ， ． 故选：C 8．（19-20九年级上·江苏南通·期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜180°）．有下列结论：①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝．其中一定成立的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆心角，弦，弧之间的关系一一判断，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接OC，设OB交CD于K． 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠CDO＝∠OBA， ∵∠DKO＝∠BKE， ∴∠DOK＝∠BEK＝α， 即∠BOD＝α，故①正确， 不妨设，∠OAB＝90°﹣α， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBE+∠BEK＝90°， ∴∠BKE＝90°， ∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误， ∵AB＝CD， ,故③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，圆心角，弦，弧之间的关系，掌握圆的有关性质是解题的关键. 9．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，过点作交于点，连接，若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据切线的性质得，则，利用可计算出，再根据垂径定理得到，则，从而可判断为等边三角形，所以． 【详解】解：为切线， ， ， ， ，， ， 即， ，解得， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径． 10．（2018·湖北鄂州·一模）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值． 【详解】解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM，PD，可得F为ED的中点． ∵∠BAC=60°，AE=AD， ∴△AED为等边三角形， ∴AF为角平分线，即∠FAD=30°． 在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°， ∴OA=2， ∴PD=PA=AO+OP=3． 在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3， ∴PF=， 根据勾股定理得：FD==， 则DE=2FD=3． 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键． 二、填空题 11．（24-25九年级上·广西防城港·期末）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，，，点E在中线上，以E为圆心的圆E分别与、相切，则的半径是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、切线的性质，作于，作于，作于，连接，，设的半径为，根据勾股定理得，根据相似三角形的判定及性质得，根据即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】作于，作于，作于，连接，，如图：    四边形是矩形， 设的半径为， 在中，，，， ， 是中线， ， 以E为圆心的圆E分别与、相切， ， ，， ， ， ，即：， ， ， ， 故答案为：． 13．（20-21九年级上·吉林长春·期末）圆心角为90°的扇形如图所示，过的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°， ∴四边形CDOE是矩形， 如图，连接OC， ∵点C是的中点， ∴∠AOC=∠BOC， 在△COD与△COE中， ， ∴△COD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE， ∴矩形CDOE是正方形， ∵OC=OA=2， , ∴图中阴影部分的面积= 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2022·内蒙古乌海·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，D为上一点，=，过点D作⊙O的切线，分别与AB，AC的延长线相交于点E，点F，OD与BC相交于点G，连接OC，CD，BD，则下列结论：①∠ODB+∠DOC=90°；②∠BAC=2∠CBD；③AB⋅CF=AC⋅BE；④若∠BAC=60°，则OG=DG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】利用垂径定理和圆周角定理可判断①②；根据切线的性质判断BC∥EF，利用平行线分线段成比例定理可判断③；利用圆周角定理判断△DOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可判断④． 【详解】解：过点D作⊙O的直径DH， ∴∠HCD=90°， ∵=，DH为⊙O的直径， ∴HD⊥BC，即∠BGD=90°， ∠DBC=∠DOC， ∴∠ODB+∠DOC=∠ODB+∠DBC=90°；故①正确； ∵=，∴∠BAC=∠DOC=2∠CBD；故②正确； ∵EF是⊙O的切线，且点D为切点， ∴HD⊥EF， ∴BC∥EF， ∴，即AB⋅CF=AC⋅BE；故③正确； ∵∠BAC=60°，∠DOC=∠BAC=60°，又OC=OD， ∴△DOC是等边三角形， ∵HD⊥BC，即CG⊥OD， ∴OG=DG；故④正确． 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是需要学生灵活运用所学知识． 三、解答题 15．（18-19九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径． 【答案】10 【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算． 【详解】解：连接OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16﹣R， ∵直径AB⊥CD，CD＝16， ∴∠OED＝90°，DE＝CD＝8， 由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2 则R2＝（16﹣R）2+82 解得：R＝10， ∴⊙O的半径为10． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 16．（18-19九年级下·江苏南通·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF， （1）求证：C是的中点； （2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【分析】（1）由AB是直径知∠CAB+∠CBE=90°，由CE⊥AB知∠ECB+∠CBE=90°，据此得∠CAB=∠ECB，由CF=BF知∠FCB=∠FBC，从而得∠CDB=∠FBC，即可得证； （2）利用（1）中所得结论得出BC=CD=4，再根据勾股定理可求得AB的长，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBE＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ECB+∠CBE＝90°， ∴∠CAB＝∠ECB， ∵∠CAB＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠ECB， 又∵CF＝BF， ∴∠FCB＝∠FBC， ∴∠CDB＝∠FBC， ∴圆弧CD ＝圆弧BC， ∴C是圆弧BD的中点； （2）由（1）知C是圆弧BD的中点， ∴BC＝CD＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝4 ， ∴⊙O的半径为2， 故答案为（1）见解析；（2）2． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理，也考查了直径所对的圆周角为90度．注意数形结合思想的应用． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长是5 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，垂直于弦的直径平分弦，以及正确作出辅助线，构造直角三角形建立方程求解． （1）连接，易得，则，根据题意可得，则，根据，即可求证； （2）连接，设圆的半径是r，则，，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，设圆的半径是r，    ∵， ∴，， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴的半径长是5； 18．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质． （1）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可； （2）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可． 【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 在优弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 19．（19-20九年级上·江苏扬州·月考）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A(5，4)，B(1，3)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1. (1)画出△A1OB1. (2)在旋转过程中点B所经过的路径长为_______. (3)求在旋转过程中线段AB扫过的图形的面积. 【答案】(1)见解析；(2)l=；(3)s=. 【分析】（1）将OA、OB分别绕点O逆时针旋转90°，可得线段OA1 、OB1，然后连接A1B1，△A1OB1即为所求； （2）根据勾股定理求出OB，然后利用弧长公式计算即可； （3）根据勾股定理求出OA，然后由旋转可知：S△A1OB1= S△AOB，然后根据扇形面积公式分别算出S扇形A1OA和S扇形B1OB，由图可知线段AB扫过的图形的面积=S扇形A1OA＋S△A1OB1－S扇形B1OB－S△AOB代入计算即可. 【详解】解：（1）将OA、OB分别绕点O逆时针旋转90°，可得线段OA1 、OB1，然后连接A1B1，如图所示：△A1OB1即为所求； （2）由勾股定理可得： ∴旋转过程中点B所经过的路径长l=； （3）由勾股定理可知： 由旋转可知：S△A1OB1= S△AOB 由扇形的面积公式：S扇形A1OA=，S扇形B1OB= 由图可知：线段AB扫过的图形的面积=S扇形A1OA＋S△A1OB1－S扇形B1OB－S△AOB= 【点睛】此题考查的是图形的旋转、求点的运动路径长和线段所扫过的面积，掌握旋转图形的画法、弧长公式和扇形面积公式是解决此题的关键. 20．（2012·广东汕头·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥CD； （2）若AD＝2，AC=，求⊙O的半径R的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD； （2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则，从而求得R． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径， ∴OC⊥CD． 又∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠2=∠DAB． 又∠COB=2∠1=∠DAB， ∴AD∥OC， ∴AD⊥CD． （2）连接BC，则∠ACB=90°， 在△ADC和△ACB中 ∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB． ∴ ∴R= 21．（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F． （1）求证：DF⊥BC； （2）求证：DE2=AE•BE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）求出OD∥BC，根据切线的性质得出OD⊥ED，即可求出答案； （2）求出△DBE∽△ADE，根据相似得出比例式，即可得出答案． 【详解】证明：（1）连接OD， ∵OA=OD，AB=BC， ∴∠A=∠C，∠A=∠ODA， ∴∠C=∠ODA， ∴OD∥BC， ∴∠BFE=∠ODE， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠BFE=90°， ∴DF⊥BC； （2）连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠A＋∠ABD=90°， ∵∠ODE=90°， ∴∠ODB＋∠BDE=90°， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD， ∴∠A=∠BDE， ∵∠E=∠E， ∴△DBE∽△ADE， ∴， ∴DE2=AE•BE． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理和切线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 22．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，为的直径，为上一点，，垂足为，平分．    (1)判定直线与的位置关系，并说明你的理由； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析； (2)圆的半径为． 【分析】（1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，进一步可证，所以，即可确定直线是的切线； （2）根据圆周角定理可知，可证，根据相似三角形的性质可得的长，进一步可得圆的半径． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下∶连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴直线与相切； （2）解：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴圆的半径为． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，园周角定理，与圆有关的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 23．（2019·青海·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析． 【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可； 求出，把①中根号内的式子可化为： ，即可得出结论； 连接，，由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：由得：， 由得：， ； 公式和等价；推导过程如下： ， ， 中根号内的式子可化为： ， ； 连接，如图所示： ． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2020·广东佛山·三模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】先根据垂径定理得到AD＝CD，则OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到BC的长． 【详解】解：∵OD⊥AC， ∴AD＝CD， 而OA＝OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BC＝2OD＝2×1.5＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质． 2．（22-23九年级下·江苏无锡·期末）已知的半径为3，，则点A在（       ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，(d即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：∵， ∴点A与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，的三个顶点均在上，且是的直径，点是上一点．连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理求出，，进而根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）四边形内接于，，是的切线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弦切角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质．连接，由弦切角定理知，又得是等边三角形，确定的度数，再由圆内接四边形的性质就可以求出． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：C． 5．（21-22九年级上·北京·月考）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（    ） A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2 【答案】D 【分析】连接OD、OE，根据切线的性质和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比． 【详解】如图，连接OD、OE， ∵AB、AC切圆O于E、D， ∴，， 且OA平分∠BAC， 又∵为等边三角形， ， ， ::2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，等边三角形的性质，切线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接OD，如图： 在中，，，， 由勾股定理，则 ， 设半径为r，则， ∴， ∴四边形CEOF是正方形； 由切线长定理，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∴阴影部分的面积为：； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【答案】D 【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于， 由垂径定理的， 连接， 在中，， ， 过点作于，同理可得，， 将沿翻折，恰好与弦相切于点， 由翻折对称得，是对应的圆心，连接， ，，， 过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， （勾股定理）， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点G，延长至T，使，连接，可推出，，从而得出点T、B、G、A共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 【详解】解：如图， 设与交于点G，延长至T，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点T、B、G、A共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，勾股定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 9．（18-19九年级下·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上任意一点，线段与交于点F，连接．若，则的直径为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）连接AC，由垂径定理可得AC=AD，再根据圆周角定理推导出,得到△ACF∽△AGC，得AC2=,根据勾股定理求出AE，连接BD最后用△ADE∽△ABD即可得直径AB； 【详解】 连接AC, BD 弦于点E AC=AD, △ACF∽△AGC AC2=,AC= △ADE是直角三角形，∠AED＝90°， , ,∠AED＝∠ADB=90° △ADE∽△ABD , 故答案选：C 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及推论、垂径定理，相似三角形，解题关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角，过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦．满足勾股定理的各边关系，相似三角对应边成比例是重要等量关系． 10．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出的长，即可得的最小值． 【详解】 ∵是正方形， ，， 又， ， ， 又， ， ， ∴E点在以为直径的圆上运动． 设的中点为O，则 ， 延长至使， 则与F关于直线对称， 连接交于P点，交圆O于E点， 则，， 此时P、E、F三点共线，因此的值最小． 在中，，， ， ， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题 11．（21-22九年级上·湖北武汉·月考）国旗上的五角星绕其中心至少旋转 °可与自身重合． 【答案】72 【分析】求出五角星的相邻两个顶点与中心点构成的角的度数即可． 【详解】解：五角星的相邻的两个顶点与中心点构成的角的度数是：，所以五角星绕其中心至少旋转，可与自身重合， 故答案是：72． 【点睛】本题考查旋转角的计算，掌握周角等于360°是解题的关键． 12．（2025·湖南娄底·一模）如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 13．（18-19九年级下·吉林·月考）如图，⊙O的半径为4，直线AB与⊙O相切于点A，AC平分∠OAB，交⊙O于点C．则的长为 ． 【答案】2π． 【分析】由切线的性质和角平分线的定义得到∠OAC=45°，则∠AOC=90°，所以根据弧长公式解答即可． 【详解】解：∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴∠OAB＝90°． ∵AC平分∠OAB， ∴∠OAC＝∠OAB＝45°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠AOC＝90°． ∴的长为： =2π． 故答案是：2π． 【点睛】此题考查切线的性质，解题关键在于掌握若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 14．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】（1）（3）（4）． 【分析】由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即H是FK的中点；故结论（1）正确； （2）过点H作交BC于N，交AD于M， 由（1）得，则． ∵， ∴． ∵四边形ABCD是正方形，， ∴． ∴四边形ABNM是矩形． ∴，． ∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 解得． 则． ∵，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴与不全等，故结论（2）错误； （3）∵， ∴． 即． 解得． 由（2）得，． ∴；故结论（3）正确； （4）由（1）得，H是FK的中点， ∴． 由勾股定理得． ∴；故结论（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 15．（19-20九年级上·浙江·期中）如图，已知． （1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据A、C在圆上且圆心O在边上，故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可； （2）连接CO，根据三角形的内角和定理即可求出∠ACB，根据等边对等角即可求出∠OCA，从而求出∠OCB，再根据等角对等边证出OB=OC，从而求出AB. 【详解】解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上 ∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点 故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可. 如图所示：即为所求. （2）连接CO ∵， ∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90° ∵的半径为1 ∴OA=OC=1 ∴∠OCA=∠OAC=30° ∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60° ∴OB=OC=1 ∴AB=OA＋OB=2 【点睛】此题考查的是尺规作图、等腰三角形的性质及判定，掌握用尺规作图作线段的中垂线、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键. 16．（19-20九年级下·广西北海·月考）在直径为100cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝80cm，求油的最大深度． 【答案】油的最大深度是20cm． 【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度． 【详解】如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA， 依题意得CD就是油的最大深度， 根据垂径定理得：AC＝AB＝40cm，OA＝50cm， 在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC＝＝＝30（cm）， ∴CD＝OD﹣OC＝50﹣30＝20（cm）， 答：油的最大深度是20cm． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 17．（22-23九年级上·广西钦州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出各顶点的坐标； (2)求点旋转到点的路径长（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析，，， (2) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标，可得答案； （2）根据弧长公式，可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图所示． ，，． （2）由图可知，． ． 【点睛】本题考查了旋转变换，利用关于原点对称的点的坐标是解题关键，又利用了弧长公式． 18．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，为的直径，过点作于点，交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若圆的半径为8，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，由平行线的性质可得，再证明得出，即可得证； （2）根据勾股定理和垂径定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点； （2）解：∵圆的半径为8， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴． 19．（23-24九年级上·河北邢台·月考）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．    (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理：熟练的利用以上知识解题是关键. （1）连接，推出，可得，从而推出，进而得到，再根据切线判定推出即可； （2）连接，根据锐角三函数可得的长，即可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， 是的切线． （2）解：如图，连接．   为的直径， ． ， ． ， ， ． 20．（2022·江苏扬州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作交AB于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若EB=1，且，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，直接利用切线判定定理证明即可； （2）根据sin∠CFD=，则设OD=3x，OF=5x，可得EB==1，解出x，用勾股定理即可． 【详解】（1）(1)连接OD，   ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠B=∠ODC， ∴OD//AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴EF是O的切线； （2）∵ ， 设OD=3x，OF=5x， 则AB=AC=6x，AF=8x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第二问关键在于能够用表示OD的字母表示出EB． 21．（21-22九年级下·湖北武汉·月考）如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上． (1)求证：∠CAD＝∠BDC； (2)若tan∠BDC＝，AC＝3，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据切线的性质得到∠CDB+∠ODB=90°，由AB是⊙O的直径，推出∠ODB+∠ADO=90°，得到∠CDB=∠ADO，再利用OA=OD，推出∠ADO∠DAO，即可证得； （2）证明△CBD∽△CDA，推出，根据tan∠BDC＝，得到tan∠CAD＝=，代入AC=3，即可求出CD． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD，即∠ODC=90°， ∴∠CDB+∠ODB=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠CDB=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠CAD＝∠BDC； （2）∵∠CAD＝∠BDC，∠C=∠C， ∴△CBD∽△CDA， ∴， ∵tan∠BDC＝， ∴tan∠CAD＝=， ∴， 解得：CD=2． 【点睛】此题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，利用正切值求边长，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得，根据平行线的性质证明，进而可得结论； （2）设的半径为r，根据勾股定理列方程可得：，解得：，利用面积法求出，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2）连接，作于点H，    设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答此题的关键是正确作出辅助线．． 23．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，连接，，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由于为的切线，为切点，推出，，然后可得，再根据，最后可求解； （2）连接，，根据，，可推出，然后可得是等边三角形，最后可得，在中，由三角函数即可求解. 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵为的切线，为切点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， （2）如图2，连接，． ∵，， ∴． 与（1）同理，得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵的半径为5， ∴． ∵是⊙O的直径， ∴ ∴在中，. 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解题的关键是掌握这些知识点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 圆（复习讲义） 一、知识目标 1.理解并掌握圆的基本概念（弦、弧、圆心角、圆周角等）及相关性质。 2.熟练掌握圆的对称性（轴对称、中心对称）及垂径定理的应用。 3.理解弧、弦、圆心角之间的关系，能进行相关证明与计算。 4.掌握圆周角定理及其推论，并能灵活运用于几何证明。 5.准确判断点、直线与圆的位置关系，掌握切线的判定与性质。 6.理解三角形外接圆与内切圆的概念，能确定其圆心与半径。 7.熟练运用弧长公式、扇形面积公式解决实际问题。 8.了解正多边形与圆的关系，能进行简单计算。 二、能力目标 逻辑推理能力：能够综合运用圆的相关定理，进行严谨的几何证明。 空间想象能力：能够根据文字描述或图形，想象圆与直线、多边形的位置关系。 计算能力：熟练进行与圆有关的长度、角度、面积的计算。 问题解决能力：能够识别实际问题中的圆相关模型，并运用所学知识解决。 综合应用能力：能将圆的知识与三角形、四边形、函数等其他知识相结合解决问题。 三、重点与难点 重点： 垂径定理及其应用。 圆周角定理及推论。 切线的判定与性质。 弧长与扇形面积的计算。 难点： 圆中辅助线的添加（如作弦心距、连接切点与圆心等）。 圆与相似三角形、直角三角形的综合证明。 动态圆问题（如动点与圆的位置关系）。 阴影部分面积的计算（割补法、等积变形）。 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 2）弧、半圆 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 14. 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（江苏省扬州市梅岭集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若弧等于弧，，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 利用垂径定理求值 5．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 6．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：． (2)若圆O的半径为5，，求的长． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 8．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 题型三 利用圆周角定理求角 9．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 10．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，，点在上．若，则 °． 11．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求_____ (2)求证：； 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 13．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为 ． 15．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，是以为直径的半圆周上一点，点在的平分线上，且于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 16．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点，，经过点Q，连接并延长交于点R． K是上的动点，连接，将线段沿直线翻折得到，与交于点S．若S将分成的两段，则的长是 ． 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 18．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 19．（25-26九年级上·浙江舟山·月考）已知：如图1，在中，为边上的一点，经过三点的圆交边于点，连结． (1)求证：． (2)作与关于直线对称，当点与点重合时（如图2），与交于点，设， 若，求的长； 记的面积为的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 20．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为 ． 题型六 已知圆内接四边形求角度 21．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，四边形内接于，＝，那么它的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 24．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ． 题型七 点与圆的位置关系 25．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（   ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 27．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 题型八 正多边形和圆 29．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为 ． 30．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 31．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 32．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 题型九 求弧长 33．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 35．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 题型十 求扇形的面积 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 38．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 40．（江西省宜春市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷）如图是一个含水平地面的圆形隧道截面，其截面半径为，截面中水平地面部分弓形的高为． (1)若在隧道顶上装一个探照灯，恰好可以照到整个水平地面，求探照灯覆盖的光束角度范围（即求的度数）； (2)求截面中水平地面弓形的面积． 题型十一 与圆锥有关的计算问题 41．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)求这个几何体侧面展开图的圆心角； (3)求这个几何体的全面积． 42．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 43．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径， (1)求圆锥的侧面积； (2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________； (3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________； 44．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 题型十二 与垂径定理有关的计算问题 45．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 46．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 47．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 48．（25-26九年级上·山西忻州·月考）项目学习 项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格． 项目主题 如何测量大桥桥孔所在圆的半径 驱动任务 测量大桥桥孔所在圆的半径 活动内容 利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算 活动过程 1．方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点． 2．测量数据：米，米． 3．计算：⋯⋯ 交流展示 ⋯⋯ 根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径． 题型十三 与圆周角有关的计算问题 49．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，为的弦，D，C为优弧的三等分点，延长至点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 51．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图1，在中，、是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 52．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 题型十四 与证明切线有关的问题 53．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，点在的平分线上，与相切于点． (1)求证：直线与相切； (2)的延长线与交于点．若的半径为．求弦的长． 54．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 55．（2025·四川雅安·二模）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 56．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 题型十五 圆中最值问题 57．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 58．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 59．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，点为上任一点，点为的中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1.5 D．2 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2023·安徽芜湖·一模）如图，点，，在上，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（18-19九年级下·四川广安·月考）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（　　） A．3 B．8 C． D．2 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）已知的半径为3，记圆心O到直线l的距离为d，若直线l与没有公共点，则d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（19-20九年级上·广东广州·月考）如图，是的直径，弦于点，，的半径为，则弦的长为(    )    A．3 B． C． D．9 8．（19-20九年级上·江苏南通·期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜180°）．有下列结论：①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝．其中一定成立的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，连接，过点作交于点，连接，若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 10．（2018·湖北鄂州·一模）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　） A．3 B．6 C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·广西防城港·期末）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，，，点E在中线上，以E为圆心的圆E分别与、相切，则的半径是 ．    13．（20-21九年级上·吉林长春·期末）圆心角为90°的扇形如图所示，过的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 ． 14．（2022·内蒙古乌海·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，D为上一点，=，过点D作⊙O的切线，分别与AB，AC的延长线相交于点E，点F，OD与BC相交于点G，连接OC，CD，BD，则下列结论：①∠ODB+∠DOC=90°；②∠BAC=2∠CBD；③AB⋅CF=AC⋅BE；④若∠BAC=60°，则OG=DG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 三、解答题 15．（18-19九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径． 16．（18-19九年级下·江苏南通·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF， （1）求证：C是的中点； （2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为　 　． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，，的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)已知，，求的半径长． 18．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 19．（19-20九年级上·江苏扬州·月考）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A(5，4)，B(1，3)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1. (1)画出△A1OB1. (2)在旋转过程中点B所经过的路径长为_______. (3)求在旋转过程中线段AB扫过的图形的面积. 20．（2012·广东汕头·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥CD； （2）若AD＝2，AC=，求⊙O的半径R的长． 21．（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F． （1）求证：DF⊥BC； （2）求证：DE2=AE•BE． 22．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，为的直径，为上一点，，垂足为，平分．    (1)判定直线与的位置关系，并说明你的理由； (2)若，，求圆的半径． 23．（2019·青海·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2020·广东佛山·三模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 2．（22-23九年级下·江苏无锡·期末）已知的半径为3，，则点A在（       ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，的三个顶点均在上，且是的直径，点是上一点．连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）四边形内接于，，是的切线，，则（   ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·北京·月考）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（    ） A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2 6．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 9．（18-19九年级下·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点E，G是弧上任意一点，线段与交于点F，连接．若，则的直径为（    ） A．4 B． C． D． 10．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题 11．（21-22九年级上·湖北武汉·月考）国旗上的五角星绕其中心至少旋转 °可与自身重合． 12．（2025·湖南娄底·一模）如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为 ． 13．（18-19九年级下·吉林·月考）如图，⊙O的半径为4，直线AB与⊙O相切于点A，AC平分∠OAB，交⊙O于点C．则的长为 ． 14．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 15．（19-20九年级上·浙江·期中）如图，已知． （1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长． 16．（19-20九年级下·广西北海·月考）在直径为100cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝80cm，求油的最大深度． 17．（22-23九年级上·广西钦州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出各顶点的坐标； (2)求点旋转到点的路径长（结果保留）． 18．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，为的直径，过点作于点，交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若圆的半径为8，求弦的长． 19．（23-24九年级上·河北邢台·月考）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．    (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长． 20．（2022·江苏扬州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作交AB于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若EB=1，且，求DF的长． 21．（21-22九年级下·湖北武汉·月考）如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上． (1)求证：∠CAD＝∠BDC； (2)若tan∠BDC＝，AC＝3，求CD的长． 22．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 23．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，连接，，若，的半径为5，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $