6.1 用树状图或表格求概率 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

本讲义聚焦“用树状图或表格求概率”核心知识点，系统梳理等可能性判断这一前提，详解树状图法（适用于两步及以上试验）和表格法（适用于两步试验）的步骤，结合游戏公平性判断、多步试验概率计算等应用场景，辅以易错提醒，构建从基础原理到实际应用的完整学习支架。 资料以情境化问题（如抗洪救灾志愿者选项目、消防知识竞赛抽奖）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过步骤化方法讲解和规范解题示例培养推理意识与运算能力，同步训练覆盖选择、填空、解答题并附详细解析，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6.1 用树状图或表格求概率 知识梳理 核心结论：本节核心是掌握树状图法和表格法两种求概率的核心方法，关键在于不重复、不遗漏地列出随机事件的所有等可能结果，进而计算事件发生的概率，重点用于判断游戏公平性、解决摸球、抛硬币等简单随机事件概率问题。 一、概率求解的核心前提 随机事件中，所有可能出现的结果必须满足等可能性（即每个结果发生的概率相等），这是用树状图或表格求概率的基础。 · 示例：抛掷均匀硬币，“正面朝上”和“反面朝上”是等可能结果；若硬币不均匀，则结果不等可能，不能直接用本节方法求解。 二、两种核心求概率方法（定义+步骤） 1. 树状图法 · 定义：通过“树状”结构逐层列出每次试验的所有可能结果，最终梳理出事件的全部等可能结果的方法。 · 适用场景：适用于两步及以上的随机试验（如连续抛硬币、两次摸卡片、石头剪刀布游戏等）。 · 核心步骤： 0. 明确试验的步骤（如第一步抛第一枚硬币，第二步抛第二枚硬币）； 0. 按步骤逐层列出每次试验的所有可能结果（如第一步“正” “反”，第二步每个结果下再分“正” “反”）； 0. 统计全部等可能结果的总数（记为 ）； 0. 找出目标事件对应的结果数（记为 ）； 0. 代入概率公式 目标事件 计算。 2. 表格法 · 定义：通过列表格的形式，将两次试验的所有可能结果一一对应，清晰呈现全部等可能结果的方法。 · 适用场景：主要适用于两步随机试验（如从两个盒子中摸卡片、两次抛硬币等），直观简洁。 · 核心步骤： 0. 确定两次试验的所有可能结果（如第一次试验结果为行，第二次为列）； 0. 在表格中填写每行每列对应的组合结果（如（正，正）（正，反）等）； 0. 统计全部等可能结果的总数 和目标事件对应的结果数 ； 0. 用 计算概率。 三、游戏公平性的判断标准 1. 核心逻辑：判断游戏是否公平，关键看参与各方获胜的概率是否相等。 1. 判断步骤： 1. 用树状图或表格列出游戏的所有等可能结果； 1. 分别计算各方获胜的概率； 1. 若各方概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平（概率大的一方更占优）。 · 示例：连续抛两枚均匀硬币，小明胜（两正）、小颖胜（两反）、小凡胜（一正一反），通过表格法得出总结果4种，小明和小颖获胜概率均为 ，小凡为 ，故游戏不公平。 四、核心应用场景 1. 两步随机试验概率计算：如从两个盒子中摸卡片求数字和为某值的概率、两次摸球（放回）求同色的概率。 1. 三步及以上随机试验概率计算：如“石头剪刀布”游戏（三步选择）、三次抛硬币求至少两次正面朝上的概率（树状图更适用）。 1. 游戏公平性设计与判断：如设计公平的抽奖规则、判断现有游戏是否对所有参与者公平。 五、易错提醒 1. 漏列或重复列出结果：未按步骤逐层/逐列梳理，导致结果总数 计算错误（如抛两枚硬币误将“一正一反”算1种结果，实际为2种）。 1. 不等可能结果误用：未先判断结果是否等可能，直接套用公式（如用不均匀骰子试验，仍按等可能结果计算）。 1. 游戏公平性判断失误：仅看获胜结果的数量，忽略结果总数（如认为“两正” “两反” “一正一反”各1种，误判概率相等）。 1. 多步试验步骤混淆：三步及以上试验未理清层级关系，导致树状图分支混乱。 同步训练 一、单选题 1．同时掷2枚相同的质地均匀的硬币，出现一正一反的概率是（    ） A． B． C． D． 2．2025年8月7日晚我县因强降雨引发山洪泥石流，导致我县城关镇、马坡乡、小康营乡、夏官营镇4个乡镇发生山洪灾害，相关部门连夜救援，全县人民积极参与抗洪救灾，小张和小李两名同学踊跃前去当志愿者，他们随机从“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”四项中任选一项参加志愿者活动，则他俩恰好选择不同项目的概率是（   ） A． B． C． D． 3．《数学之美》特种邮票于今年3月日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（   ） A． B． C． D． 5．为激发同学们的民族自豪感，让大家更深刻地感受中国科学家的卓越贡献，郑州市第十九初级中学准备开展“致敬中国科学”的主题活动，老师收集了4位近代中国科学家的画像，其中包括“中国现代数学之父”华罗庚、“杂交水稻之父”袁隆平、“两弹一星”元勋钱学森、诺贝尔物理学奖得主杨振宁．若从这4幅画像中随机抽取2幅布置教室，求抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率是（　　） A． B． C． D． 6．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ． 8．在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是 ． 9．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是 ． 10．从四个数中取出一个数作为点的横坐标，从四个数中取出一个数作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是 ． 11．物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 三、解答题 12．晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 13．标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完． (1)第一次摘到C的概率是_______． (2)用树状图分析出最后一只摘到B的概率． 14．一个不透明的袋子中装有4个球，将它们分别标为1，2，3，4，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是______； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号数字的乘积小于4的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 15．中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念． (1)将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； (2)将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小亮再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 学科网（北京）股份有限公司 《6.1 用树状图或表格求概率 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学九年级下册》参考答案 1．A 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：设硬币出现正面为，出现反面为， 列表如下： 由表格可得，共有4种等可能的结果，其中出现一正一反的情况有2种， 出现一正一反的概率． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”分别为、、、，可画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中他俩恰好选择不同项目的结果数有12种， ∴他俩恰好选择不同项目的概率是． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先画出树状图，再根据概率公式求解． 【详解】解：把邮票图案分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”、“莫比乌斯带”的4张邮票分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，两次抽取的邮票图案名称不相同的结果有种， ∴两次抽取的邮票图案名称不相同的概率是， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果以及抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将这4幅画像分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果有：，，共2种， ∴抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率为， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率． 首先根据题意列表，然后由表可得所有等可能的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种， 所以转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为． 故选：B． 7． 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是通过画树状图求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，再根据概率公式计算． 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【详解】解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查运用树状图法或者列表法计算概率，本题关键在于能够画出树状图或者列表． 用列表法表示出所有点的情况，找出落在直线上的情况，然后利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下： x           y 5 6 7 8 1 2 3 4 一共有16种情况， P点落在上的点有共四种情况，所以点P落在直线上的概率为， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中该班的小军和小明两名同学所抽取的特产不同的结果有12种， 所以P（该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同）． 13．(1) (2)P（最后一只摘到B） 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用概率公式求解； （2）先画出树状图，再求出最后一只摘到B的概率． 【详解】（1）解：∵标有A，B，C的三只灯笼按如图所示的方式悬挂，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完， ∴第一次摘到C的概率是， 故答案为：； （2）树状图如下所示： 共有3种情况，其中最后一只摘到B一种情况， 则P（最后一只摘到B）． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率、概率公式等知识点，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是． 故答案为：． （2）解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中乘积小于4的结果有4种， ． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，以及根据概率公式求解概率，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据概率求解公式求解即可； （2）先列出树状图，然后分别找到所有的等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数，最后依据概率求解公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张明信片，其中有2张“乐融融"图案的明信片， ∴志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为； （2）解：设用、，代表图案是“喜洋洋”的明信片，用、代表图案是“乐融融”的明信片，列树状图如下所示： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数有12种， ∴恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $