第五章圆的训练题2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级下册

第五章圆的训练题 一、单选题 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 3．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，点、在上，连接，连接交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，过上一点的切线与直径的延长线交于点，点是圆上一点，且，则的度数为（    ） A．29 B．31 C．39 D．58 10．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 13．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 14．为激发同学们的民族自豪感，让大家更深刻地感受中国科学家的卓越贡献，郑州市第十九初级中学准备开展“致敬中国科学”的主题活动，老师收集了4位近代中国科学家的画像，其中包括“中国现代数学之父”华罗庚、“杂交水稻之父”袁隆平、“两弹一星”元勋钱学森、诺贝尔物理学奖得主杨振宁．若从这4幅画像中随机抽取2幅布置教室，求抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在的内接四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 17．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为 ． 18．如图是某拱桥的截面，桥拱的形状是一段圆弧，点、是桥拱与水面的交点．若、两点间距离为10米，桥拱的最高点为点，点到水面的距离为4米，则桥拱所在圆的半径为 米． 19．如图，以弦为边作等腰，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为3，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ． 20．如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 21．如图，扇形的半径，将扇形绕点A逆时针旋转得扇形，当点C落在上时旋转停止，则要扇形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率 （结果保留τ）． 22．如图，在圆的内接四边形中，，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为 ， ． 三、解答题 23．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 24．如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． (1)求证：； (2)若是的切线． ①求证：； ②若，，是的中点，则的半径为 ． 25．如图，在中，，以为直径的分别与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 26．已知，如图，是的直径，点是上位于上方的一个动点，直径（在上方），垂足为点，连接、． (1)求证：； (2)过点作的弦，使，与交于点．若，，求的半径． 27．某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； (2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______； (3)如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率． 28．某中学开展以“中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱． (1)若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是______； (2)若从5名的学生中随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 3．C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，与三角形内角和性质，解决本题的关键是求解出的度数． 根据圆周角定理可得，再由可得直角，再根据等边对等角可得，再由三角形内角和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴． 故选：B ． 7．A 【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到，再由得到弦，从而得到是等腰直角三角形，进而可知，再由圆周角定理得到，最后，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 则， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理及其推论、弧与弦的关系、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记圆中的相关性质是解决问题的关键． 8．B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补， 半圆或直径所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，利用圆周角定理得到，则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理．连接，由圆周角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是的切线， ， ， ， ， 故选：A． 10．B 【分析】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 11．B 【分析】先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 12．B 【分析】本题考查圆周角，邻补角，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 13．C 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键． 由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：C． 14．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果以及抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将这4幅画像分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果有：，，共2种， ∴抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率为， 故选：A． 15．B 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质，掌握圆内接四边形性质是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补，得出答案即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ∵， ， 故选：B． 16．B 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得，即可求解． 本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴． 故选：B 17．/度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、弧与弦之间的关系、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题关键． 由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、交于，构造，通过垂径定理得出它是直角三角形，再利用勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接、交于，如图： 是的中点， 米， 所在的直线经过圆心， 设半径米，则米， 在中， 即 解得 因此，桥拱所在圆的半径为米， 故答案为：． 19． 【分析】连接、，过点作交于，与交于点，，设，，由正弦函数得，由圆周角定理得，由正弦函数得，由勾股定理得，由三角形面积得 ，设，则，，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于，与交于点， ， 设，， 是等腰三角形，垂直平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的判定及性质，二次函数的性质求最值等；掌握圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，三角形，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用解直角三角形及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 20． 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 21． 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，概率公式等知识点，关键是求出扇形的面积，等边三角形的面积，连接，由旋转的性质得到，证出为等边三角形，算出阴影部分的面积为，再算出扇形的面积，然后用概率公式计算即可得解． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， 扇形的面积， 等边三角形的面积， 阴影部分的面积， ， 扇形的面积， 该点落在阴影部分的概率， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解． 连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先证明，结合，得出，设，则，，利用，得，求出，即可求半径，利用平行证明，，利用，求出，即可得，利用相似的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，得， ∴， ∵， ∴，即，即， 解得：． 故答案为：，． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 是等腰三角形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 24．(1)见解析； (2)①见解析； ②． 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似三角形的判定定理解答即可； 连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得，的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由知：， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接并延长交于点，过点作于点，连接， 由可知， 又， ， ， ， ，， ， ， 由知：， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，切割线定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接．由圆周角定理可得，再求得，利用勾股定理可得，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接． 是直径， ，即， ， ． （2）解：如图：连接． 是直径， ， ，， ． 在中，， ， 在中，， ． 26．(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得，结合可得，即可证明； （2）根据，可得是平行四边形，再根据勾股定理分两种情况讨论，设半径为，可得，，求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ； （2）解：①当在点下方时，如图1： ，， 四边形是平行四边形， ， 设半径为， ， 在中，， 解得，（舍） ②当在点上方时，如图2： 同①设半径为，则， 在中，， 解得（舍），， 综上所述，的半径为或． 【点睛】此题考查了垂径定理、平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．(1)抽样调查 (2)补图见解析， (3) 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用班的作品数及百分比求出总的作品数，进而求出班的作品数，可补充完整条形统计图，再用乘以班的作品数的占比可求出班作品数量所对应的圆心角度数； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，数据的收集，用树状图或列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】（1）解：杨老师采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：∵， ∴班的作品数为， ∴补充完整条形统计图如下： 班作品数量所对应的圆心角度数为， 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选取的两名学生性别不同的结果有种， ∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为． 28．(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键； （1）根据总共有五名学生，其中女生有两名，然后问题可求解； （2）根据列表法可求解概率． 【详解】（1）解：由题意得：若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是； 故答案为； （2）解：设三名男生和两名女生表示为，由题意可列表如下： ／ ／ ／ ／ ／ 由表可知：一共有20种情况，其中一男一女的有12种情况，所以选中一男一女的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $