第21讲 假设法解题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第21讲 假设法解题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解假设法的基本概念和解题思路 2.掌握运用假设法解决各类典型应用题的方法 3.能够熟练运用假设法解决鸡兔同笼、置换问题、行程问题等实际问题 4.培养逻辑思维能力和问题转化能力 5.学会根据题目特点灵活选择解题策略 知识梳理 知识点一、假设法的基本概念 1.定义：假设法是一种通过对问题进行合理假设，将复杂问题转化为简单问题来解决的解题方法。 2.核心思想：通过假设某一条件成立，然后根据已知条件进行推理，找出假设与实际情况的差异，进而修正假设，最终得出正确答案。 3.适用范围：鸡兔同笼问题、置换问题、盈亏问题、行程问题等。 知识点二、假设法解题的基本步骤 1.仔细审题，明确题目中的已知条件和所求问题 2.根据题目特点进行合理假设 3.根据假设进行推理计算，得出假设情况下的结果 4.比较假设结果与实际情况的差异 5.根据差异调整假设，直至得出正确答案 6.检验答案是否符合题意 知识点三、典型题型分类与解题方法 1.鸡兔同笼问题： (1)基本题型：已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡兔各多少只 (2)解题方法： ①　假设全是鸡（或全是兔） ②　计算假设情况下的总脚数 ③　求出与实际脚数的差值 ④　根据单只脚数差求出另一种动物的数量 2.置换问题： (1)基本题型：两种物品的单价不同，已知总数量和总价钱，求各物品数量 (2)解题方法： ①　假设全部是其中一种物品 ②　计算假设情况下的总价钱 ③　求出与实际总价钱的差值 ④　根据单价差求出另一种物品的数量 3.行程问题中的假设法应用： (1)基本题型：涉及速度、时间、路程的复杂问题 (2)解题方法： ①　假设某一速度或时间为已知量 ②　根据假设进行计算 ③　调整假设直至符合题意 例题讲解 一、鸡兔同笼问题 【例题1】鸡兔同笼，共有35个头，94只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡：23只，兔：12只 【详解】假设全是鸡，则总脚数为35×2=70只，比实际少94-70=24只。每只兔比鸡多2只脚，所以兔的数量为24÷2=12只，鸡的数量为35-12=23只。 【例题2】动物园里有鸵鸟和长颈鹿共20只，鸵鸟的脚比长颈鹿的脚多10只。鸵鸟和长颈鹿各有多少只？ 【答案】鸵鸟：15只，长颈鹿：5只 【详解】假设全是鸵鸟，则鸵鸟脚数为20×2=40只，长颈鹿脚数为0只，鸵鸟脚比长颈鹿脚多40只，比实际多40-10=30只。每减少1只鸵鸟增加1只长颈鹿，脚数差减少6只（鸵鸟脚-2，长颈鹿脚+4）。需要调整30÷6=5次，所以长颈鹿有5只，鸵鸟有20-5=15只。 二、置换问题 【例题1】大汽车装18箱/辆，小汽车装12箱/辆，共18车货价值3024元。若每箱便宜2元，价值2520元。大、小汽车各有多少辆？ 【答案】大汽车：6辆，小汽车：12辆 【详解】货物总箱数=(3024-2520)÷2=252箱。假设全是小汽车，装18×12=216箱，少252-216=36箱。大汽车有36÷(18-12)=6辆，小汽车有18-6=12辆。 【例题2】学校分英文打字机：2个班各分4台，其余班分2台则多4台；若1个班分6台，其余班分4台则差12台。学校买了多少台打字机？高三有多少个班？ 【答案】打字机：26台，班级：9个 【详解】设班级x个，方程：2×4+(x-2)×2+4=6+(x-1)×4-12，解得x=9。打字机数量=2×4+7×2+4=26台。 三、行程问题中的假设法应用 【例题1】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米，两车在距中点20千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】400千米 【详解】假设相遇时间为t小时，55t-45t=40，10t=40，t=4，距离=100×4=400千米。 【例题2】甲、乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走80米，有一只狗与甲同时出发，每分钟跑100米，狗遇到乙后立即返回，遇到甲后又立即返回，直到两人相遇，狗共跑了多少米？ 【答案】2000米 【详解】假设相遇时间为t分钟，150t=3000，t=20，狗跑了100×20=2000米。 考点练习 一、鸡兔同笼问题 1.某次数学竞赛共20道题，评分标准：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。小华得了64分，做对了多少道题？ 【答案】14道 【详解】假设全做对，应得20×5=100分，比实际多100-64=36分。每做错或不做一题比做对少得5+1=6分，所以做错或不做的题目有36÷6=6道，做对的题目有20-6=14道。 2.有面值5元和10元的钞票共100张，总值800元。5元和10元的钞票各有多少张？ 【答案】5元：40张，10元：60张 【详解】假设全是5元钞票，总值为100×5=500元，比实际少800-500=300元。每把1张5元换成10元，总值增加5元，所以10元钞票有300÷5=60张，5元钞票有100-60=40张。 3.鸡兔同笼，鸡比兔多15只，鸡兔共有脚132只。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡：32只，兔：17只 【详解】设兔有x只，则鸡有x+15只。方程：4x+2(x+15)=132，解得6x=102，x=17。所以兔有17只，鸡有17+15=32只。 4.蜘蛛（8条腿）、蜻蜓（6条腿/2对翅膀）、蝉（6条腿/1对翅膀）共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有多少只？ 【答案】蜘蛛：5只，蜻蜓：7只，蝉：6只 【详解】先假设全是6条腿小虫，总腿数18×6=108条，少118-108=10条。蜘蛛有10÷(8-6)=5只。剩余13只小虫有20对翅膀，假设全是蝉，少20-13×1=7对翅膀。蜻蜓有7÷(2-1)=7只，蝉有13-7=6只。 5.学校购买50张电影票，甲级票15元/张，乙级票10元/张，共花费575元。两种票各买了多少张？ 【答案】甲级票：15张，乙级票：35张 【详解】假设全是乙级票，总花费50×10=500元，比实际少575-500=75元。每张甲级票比乙级票多5元，所以甲级票有75÷5=15张，乙级票有50-15=35张。 6.鸡兔同笼共有脚100只，若鸡兔互换则有脚92只。鸡和兔原来各有多少只？ 【答案】鸡：14只，兔：18只 【详解】鸡兔总数=(100+92)÷(2+4)=32只。假设全是鸡，脚32×2=64只，少100-64=36只。兔有36÷(4-2)=18只，鸡有32-18=14只。 7.100个和尚吃100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个。大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚：25人，小和尚：75人 【详解】假设全是大和尚，需300个馒头，多200个。每个小和尚比大和尚少吃3-1/3=8/3个，小和尚有200÷(8/3)=75人，大和尚有25人。 二、置换问题 1.小明用10元买5角和2角邮票共23张。两种邮票各买了多少张？ 【答案】5角：18张，2角：5张 【详解】假设全是2角邮票，总值4.6元，少5.4元。5角邮票有5.4÷(0.5-0.2)=18张，2角有23-18=5张。 2.3元和5元的课外读物共60本，总价220元。两种读物各买了多少本？ 【答案】3元：40本，5元：20本 【详解】假设全是3元读物，总价180元，少40元。5元读物有40÷(5-3)=20本，3元有60-20=40本。 3.商店把几十个单价0.2元的转笔刀降价后卖得2.53元。降价后单价是多少元？ 【答案】0.11元 【详解】2.53元=253分=11×23，单价低于0.2元，所以单价11分=0.11元，数量23个。 4.王老师带51名同学划船，共租11条船，大船坐6人，小船坐4人。大船、小船各租了多少条？ 【答案】大船：4条，小船：7条 【详解】总人数52人，假设全是小船，坐44人，少8人。大船有8÷(6-4)=4条，小船有11-4=7条。 5.一笔钱买奖品：1钢笔和2笔记本可买60份；1钢笔和3笔记本可买50份。全部买钢笔或笔记本各可买多少？ 【答案】钢笔：100支，笔记本：300本 【详解】设钢笔x元，笔记本y元。60(x+2y)=50(x+3y)→x=3y。总钱数=300y，可买钢笔300y÷x=100支，笔记本300本。 6.小兔和小狗玩具共80只，卖出小兔和小狗共30只。购进小兔和小狗各多少只？ 【答案】小兔：50只，小狗：30只 【详解】假设全卖1/5，卖出16只，少14只。小狗有14÷( - )=30只，小兔有80-30=50只。 7.2元和5元人民币共10张，总面值38元。2元和5元各有多少张？ 【答案】2元：4张，5元：6张 【详解】假设全是2元，总值20元，少18元。5元有18÷(5-2)=6张，2元有10-6=4张。 三、行程问题中的假设法应用 1.甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，甲车到达B地后立即返回，在距B地30千米处与乙车相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】210千米 【详解】假设距离为x千米，(x+30)/60=(x-30)/45，3(x+30)=4(x-30)，x=210。 2.小明从家到学校，如果每分钟走50米，会迟到3分钟；如果每分钟走60米，会提前2分钟到校，小明家到学校的距离是多少米？ 【答案】1500米 【详解】假设准时到校需t分钟，50(t+3)=60(t-2)，10t=270，t=27，距离=50×30=1500米。答案正确。 3.甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道长400米，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，两人同时从同一地点同向出发，多少分钟后甲第一次追上乙？ 【答案】20分钟 【详解】假设t分钟后追上，100t-80t=400，20t=400，t=20。 4.一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米，往返共用了5小时，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】120千米 【详解】假设距离为x千米，x/40+x/60=5，5x/120=5，x=120。 5.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，到达目的地后立即返回，第二次在距B地60千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】180千米 【详解】假设距离为x千米，第一次相遇甲走80千米，乙走x-80千米。第二次相遇甲走x+60千米，乙走2x-60千米。80/(x-80)=(x+60)/(2x-60)，解得x=180。 6.甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲到达B地后立即返回，在途中与乙相遇，相遇时乙行了5千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】10千米 【详解】假设距离为x千米，相遇时乙走5千米，用时1小时。甲走x+(x-5)=2x-5千米，15×1=2x-5，x=10。 7.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，预计4小时到达，行驶2小时后，因故障停车半小时，为了按时到达，剩下的路程每小时应行多少千米？ 【答案】66.7千米 【详解】假设剩下路程每小时行x千米，50×2+x×1.5=200，1.5x=100，x≈66.7。 8.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走120米，两人在距中点150米处相遇，A、B两地相距多少米？ 【答案】3300米 【详解】假设相遇时间为t分钟，120t-100t=300，20t=300，t=15，距离=220×15=3300米。答案正确。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 假设法解题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解假设法的基本概念和解题思路 2.掌握运用假设法解决各类典型应用题的方法 3.能够熟练运用假设法解决鸡兔同笼、置换问题、行程问题等实际问题 4.培养逻辑思维能力和问题转化能力 5.学会根据题目特点灵活选择解题策略 知识梳理 知识点一、假设法的基本概念 1.定义：假设法是一种通过对问题进行合理假设，将复杂问题转化为简单问题来解决的解题方法。 2.核心思想：通过假设某一条件成立，然后根据已知条件进行推理，找出假设与实际情况的差异，进而修正假设，最终得出正确答案。 3.适用范围：鸡兔同笼问题、置换问题、盈亏问题、行程问题等。 知识点二、假设法解题的基本步骤 1.仔细审题，明确题目中的已知条件和所求问题 2.根据题目特点进行合理假设 3.根据假设进行推理计算，得出假设情况下的结果 4.比较假设结果与实际情况的差异 5.根据差异调整假设，直至得出正确答案 6.检验答案是否符合题意 知识点三、典型题型分类与解题方法 1.鸡兔同笼问题： (1)基本题型：已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡兔各多少只 (2)解题方法： ①　假设全是鸡（或全是兔） ②　计算假设情况下的总脚数 ③　求出与实际脚数的差值 ④　根据单只脚数差求出另一种动物的数量 2.置换问题： (1)基本题型：两种物品的单价不同，已知总数量和总价钱，求各物品数量 (2)解题方法： ①　假设全部是其中一种物品 ②　计算假设情况下的总价钱 ③　求出与实际总价钱的差值 ④　根据单价差求出另一种物品的数量 3.行程问题中的假设法应用： (1)基本题型：涉及速度、时间、路程的复杂问题 (2)解题方法： ①　假设某一速度或时间为已知量 ②　根据假设进行计算 ③　调整假设直至符合题意 例题讲解 一、鸡兔同笼问题 【例题1】鸡兔同笼，共有35个头，94只脚。鸡和兔各有多少只？ 【例题2】动物园里有鸵鸟和长颈鹿共20只，鸵鸟的脚比长颈鹿的脚多10只。鸵鸟和长颈鹿各有多少只？ 二、置换问题 【例题1】大汽车装18箱/辆，小汽车装12箱/辆，共18车货价值3024元。若每箱便宜2元，价值2520元。大、小汽车各有多少辆？ 【例题2】学校分英文打字机：2个班各分4台，其余班分2台则多4台；若1个班分6台，其余班分4台则差12台。学校买了多少台打字机？高三有多少个班？ 三、行程问题中的假设法应用 【例题1】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米，两车在距中点20千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【例题2】甲、乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走80米，有一只狗与甲同时出发，每分钟跑100米，狗遇到乙后立即返回，遇到甲后又立即返回，直到两人相遇，狗共跑了多少米？ 考点练习 一、鸡兔同笼问题 1.某次数学竞赛共20道题，评分标准：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。小华得了64分，做对了多少道题？ 2.有面值5元和10元的钞票共100张，总值800元。5元和10元的钞票各有多少张？ 3.鸡兔同笼，鸡比兔多15只，鸡兔共有脚132只。鸡和兔各有多少只？ 4.蜘蛛（8条腿）、蜻蜓（6条腿/2对翅膀）、蝉（6条腿/1对翅膀）共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各有多少只？ 5.学校购买50张电影票，甲级票15元/张，乙级票10元/张，共花费575元。两种票各买了多少张？ 6.鸡兔同笼共有脚100只，若鸡兔互换则有脚92只。鸡和兔原来各有多少只？ 7.100个和尚吃100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个。大和尚和小和尚各有多少人？ 二、置换问题 1.小明用10元买5角和2角邮票共23张。两种邮票各买了多少张？ 2.3元和5元的课外读物共60本，总价220元。两种读物各买了多少本？ 3.商店把几十个单价0.2元的转笔刀降价后卖得2.53元。降价后单价是多少元？ 4.王老师带51名同学划船，共租11条船，大船坐6人，小船坐4人。大船、小船各租了多少条？ 5.一笔钱买奖品：1钢笔和2笔记本可买60份；1钢笔和3笔记本可买50份。全部买钢笔或笔记本各可买多少？ 6.小兔和小狗玩具共80只，卖出小兔和小狗共30只。购进小兔和小狗各多少只？ 7.2元和5元人民币共10张，总面值38元。2元和5元各有多少张？ 三、行程问题中的假设法应用 1.甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，甲车到达B地后立即返回，在距B地30千米处与乙车相遇，A、B两地相距多少千米？ 2.小明从家到学校，如果每分钟走50米，会迟到3分钟；如果每分钟走60米，会提前2分钟到校，小明家到学校的距离是多少米？ 3.甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道长400米，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，两人同时从同一地点同向出发，多少分钟后甲第一次追上乙？ 4.一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米，往返共用了5小时，甲、乙两地相距多少千米？ 5.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，到达目的地后立即返回，第二次在距B地60千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 6.甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲到达B地后立即返回，在途中与乙相遇，相遇时乙行了5千米，A、B两地相距多少千米？ 7.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，预计4小时到达，行驶2小时后，因故障停车半小时，为了按时到达，剩下的路程每小时应行多少千米？ 8.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走120米，两人在距中点150米处相遇，A、B两地相距多少米？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $