第21讲 周期问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第21讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解周期现象的概念，掌握周期问题的基本特征和解题思路 2.学会识别简单周期排列的规律，能够准确找出周期长度 3.掌握运用除法计算解决周期问题的方法，能正确计算周期中的第n项和某项在周期中的位置 4.能够运用周期问题的解题方法解决实际生活中的简单周期问题 知识梳理 知识点一、周期问题的基本概念 1.周期现象： 事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象称为周期现象。例如： (1)一年四季：春、夏、秋、冬（周期长度为4） (2)星期：周一至周日（周期长度为7） (3)生肖：12生肖循环（周期长度为12） 2.周期的三要素： (1)周期：重复出现的部分（如"春夏秋冬"） (2)周期长度：一个完整周期包含的元素个数（如四季的周期长度是4） (3)周期起点：周期开始的第一个元素 3.周期问题的特征： (1)有明显的重复规律 (2)重复部分固定不变 (3)可以通过除法计算确定位置 知识点二、周期问题的解题步骤 1.识别周期：仔细观察题目，找出重复出现的部分，确定周期长度。 2.确定周期起点：明确周期开始的第一个元素是什么。 3.计算周期数和余数 使用除法计算： (1)总数 ÷ 周期长度 = 商（完整周期数）……余数 (2)若没有余数（余数为0），则对应周期的最后一个元素 (3)若有余数，则余数是几就对应周期中的第几个元素 4.根据余数解答问题：根据计算得到的余数，确定所要求的元素。 知识点三、常见周期问题类型及解法 1.图形周期问题： 特征：图形按一定规律重复排列 解题关键：找出图形排列的周期，计算所求位置对应的图形 2.数列周期问题： 特征：数字按一定规律重复排列 解题关键：找出数列的周期，确定所求项的数值 3.日期周期问题： 特征：与时间、日期相关的周期问题 解题关键：确定周期起点和周期长度，注意闰年、大小月等特殊情况 4.颜色周期问题： 特征：物体按颜色规律重复排列 解题关键：找出颜色排列的周期，确定指定位置的颜色 知识点四、解题技巧与注意事项 1.解题技巧： (1)找周期：仔细观察，标记重复出现的部分 (2)算周期：用除法计算，商表示完整周期数，余数表示剩余个数 (3)定位置：根据余数确定位置，余数为0时对应周期最后一个元素 2.注意事项： (1)确定正确的周期起点，避免因起点错误导致整个题目出错 (2)注意周期长度的准确性，有时周期可能隐藏在复杂排列中 (3)计算时要仔细，特别是涉及余数为0的情况 (4)对于复杂周期问题，可以先列出部分周期，帮助发现规律 例题讲解 一、图形周期问题 【例题1】如图所示，图形按"△□○◇★△□○◇★..."的规律排列，请问第2023个图形是什么？ 【例题2】一组图形按"□△△○○○□△△○○○..."排列，前150个图形中共有多少个"△"？ 二、数列周期问题 【例题1】数列1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,1,3,5,7,9,2,4,6,8,10...的第300项是多少？ 【例题2】数列2,5,3,7,1,2,5,3,7,1...中，前2024项的和是多少？ 三、日期周期问题 【例题1】2024年2月10日是星期六，请问2024年10月1日是星期几？ 【例题2】2000年1月1日是星期六，那么2100年1月1日是星期几？（注：整百年份需被400整除才是闰年） 四、颜色周期问题 【例题1】一串彩灯按"红、黄、蓝、绿、紫、红、黄、蓝、绿、紫..."规律排列，第100盏灯是什么颜色？前100盏灯中黄灯有多少盏？ 【例题2】一个正方体的6个面分别涂成红、黄、蓝、绿、黑、白6种颜色，按固定方向滚动，当滚动到第2023次时，底面是什么颜色？（初始底面为红色，滚动顺序：前→右→后→左→前...） 考点练习 一、图形周期问题 1.下列图形按"●○●●○●●●○..."规律排列，第100个图形是什么颜色？ 2.将正六边形、正方形、正三角形按"△□六边形△□六边形..."顺序排列，第88个图形的内角和是多少度？ 3.图形序列"○△□○△□△□○△□△□..."从第3个图形开始形成周期，请问第200个图形是什么？ 4.用边长1cm的等边三角形按规律拼图案：第1层1个，第2层3个，第3层6个...第n层n(n+1)/2个，若按"红、黄、蓝、红、黄、蓝..."涂色，第10层最后一个三角形是什么颜色？ 5.如图，将图形按"2个■、3个▲、4个●"为一组循环排列，前100个图形中●比■多多少个？ 6.图形按"☆★◇◆☆★◇◆..."排列，前n个图形中★出现了25次，n最小是多少？ 7.复杂图形序列："□△○□□△○□□△○□..."从第几个图形开始形成固定周期？该周期长度是多少？ 8.用图形"●○△"构造周期，使得第100个图形是●，第200个图形是○，第300个图形是△，这样的周期至少有多长？ 二、数列周期问题 1.数列1,1,2,3,5,8,1,1,2,3,5,8...从第1项开始，第1000项是多少？前1000项中数字"1"出现了多少次？ 2.有一数列：1,2,3,2,1,2,3,2,1,2...从第2项开始的周期长度是多少？第150项是多少？ 3.数列按"a,b,c,d,a²,b²,c²,d²,a³,b³,c³,d³..."排列，第50项是什么？（a¹=a） 4.数列1,2,4,7,11,16,22,29,37,46,56,1,2,4,7...的周期长度是多少？第2023项是多少？ 5.有一摆动数列：3,6,9,6,3,6,9,6,3,6...从第1项开始，前100项的和是多少？ 6.数列按"2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024..."除以5的余数排列，第100项的余数是多少？ 7.有一数列：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...从第3项起每项是前两项之和，问该数列第1000项除以3的余数是多少？ 三、日期周期问题 1.小明每4天去一次图书馆，小红每6天去一次，2023年5月1日两人同时去了图书馆，下一次同时去是几月几日？ 2.某月有5个星期三，且这个月的第一天和最后一天都不是星期三，这个月的15日是星期几？ 3.某年的3月份共有5个星期四和5个星期五，这年的4月1日是星期几？ 4.2023年教师节（9月10日）是星期日，2024年教师节是星期几？ 5.某工厂实行"上三休一"工作制（工作3天休息1天），如果5月1日是工作日，那么5月份工人共工作多少天？ 6.某年2月有5个星期日，这年的6月1日是星期几？ 7.小明从2023年7月5日开始每天写日记，计划写满365篇，最后一篇日记是哪年哪月哪日？那天是星期几？（2023年7月5日是星期三） 8.某年的1月有5个星期六和4个星期日，这年的元旦是星期几？ 四、颜色周期问题 1.用红、黄、蓝三种颜色给正六边形的顶点染色，按"红、黄、蓝、红、黄、蓝..."顺序，第20个顶点是什么颜色？这个顶点是第几个正六边形的第几个顶点？ 2.一条长2023米的街道两侧挂彩灯，按"2红3黄1蓝"顺序排列，每盏灯间距1米，两侧共需多少盏黄灯？ 3.有一个色轮按"红→橙→黄→绿→蓝→靛→紫→红..."匀速旋转，每秒转动30°，第10秒时正对观察者的颜色是什么？ 4.一串珠子按"3颗红珠、2颗白珠、5颗黑珠"的顺序串成，第100颗珠子是什么颜色？前100颗珠子中黑珠比白珠多多少颗？ 5.某信号灯按"绿30秒→黄5秒→红40秒"循环，上午8:00:00刚好变绿灯，到8:10:00时信号灯显示什么颜色？ 6.一个魔方的6个面分别是不同颜色，每次转动一个面90°，经过2023次转动后，顶面颜色与初始状态相比有多少种可能？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解周期现象的概念，掌握周期问题的基本特征和解题思路 2.学会识别简单周期排列的规律，能够准确找出周期长度 3.掌握运用除法计算解决周期问题的方法，能正确计算周期中的第n项和某项在周期中的位置 4.能够运用周期问题的解题方法解决实际生活中的简单周期问题 知识梳理 知识点一、周期问题的基本概念 1.周期现象： 事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象称为周期现象。例如： (1)一年四季：春、夏、秋、冬（周期长度为4） (2)星期：周一至周日（周期长度为7） (3)生肖：12生肖循环（周期长度为12） 2.周期的三要素： (1)周期：重复出现的部分（如"春夏秋冬"） (2)周期长度：一个完整周期包含的元素个数（如四季的周期长度是4） (3)周期起点：周期开始的第一个元素 3.周期问题的特征： (1)有明显的重复规律 (2)重复部分固定不变 (3)可以通过除法计算确定位置 知识点二、周期问题的解题步骤 1.识别周期：仔细观察题目，找出重复出现的部分，确定周期长度。 2.确定周期起点：明确周期开始的第一个元素是什么。 3.计算周期数和余数 使用除法计算： (1)总数 ÷ 周期长度 = 商（完整周期数）……余数 (2)若没有余数（余数为0），则对应周期的最后一个元素 (3)若有余数，则余数是几就对应周期中的第几个元素 4.根据余数解答问题：根据计算得到的余数，确定所要求的元素。 知识点三、常见周期问题类型及解法 1.图形周期问题： 特征：图形按一定规律重复排列 解题关键：找出图形排列的周期，计算所求位置对应的图形 2.数列周期问题： 特征：数字按一定规律重复排列 解题关键：找出数列的周期，确定所求项的数值 3.日期周期问题： 特征：与时间、日期相关的周期问题 解题关键：确定周期起点和周期长度，注意闰年、大小月等特殊情况 4.颜色周期问题： 特征：物体按颜色规律重复排列 解题关键：找出颜色排列的周期，确定指定位置的颜色 知识点四、解题技巧与注意事项 1.解题技巧： (1)找周期：仔细观察，标记重复出现的部分 (2)算周期：用除法计算，商表示完整周期数，余数表示剩余个数 (3)定位置：根据余数确定位置，余数为0时对应周期最后一个元素 2.注意事项： (1)确定正确的周期起点，避免因起点错误导致整个题目出错 (2)注意周期长度的准确性，有时周期可能隐藏在复杂排列中 (3)计算时要仔细，特别是涉及余数为0的情况 (4)对于复杂周期问题，可以先列出部分周期，帮助发现规律 例题讲解 一、图形周期问题 【例题1】如图所示，图形按"△□○◇★△□○◇★..."的规律排列，请问第2023个图形是什么？ 【答案】○ 【详解】观察图形序列可知周期为"△□○◇★"，周期长度=5。计算2023÷5=404（组）……3（个），余数为3，对应周期中第3个图形"○"。 【例题2】一组图形按"□△△○○○□△△○○○..."排列，前150个图形中共有多少个"△"？ 【答案】50 【详解】周期为"□△△○○○"，周期长度=6。150÷6=25（组），每组含2个"△"，共25×2=50个。 二、数列周期问题 【例题1】数列1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,1,3,5,7,9,2,4,6,8,10...的第300项是多少？ 【答案】10 【详解】周期为"1,3,5,7,9,2,4,6,8,10"，周期长度=10。300÷10=30（组），余数0对应周期最后一项"10"。 【例题2】数列2,5,3,7,1,2,5,3,7,1...中，前2024项的和是多少？ 【答案】7289 【详解】周期长度=5，和=2+5+3+7+1=18。2024÷5=404（组）……4（项），总和=404×18+(2+5+3+7)=7272+17=7289。 三、日期周期问题 【例题1】2024年2月10日是星期六，请问2024年10月1日是星期几？ 【答案】星期三 【详解】2024年2月有29天，从2月10日到10月1日共29-10+31+30+31+30+31+31+30+1=235天。235÷7=33（周）……4（天），周六+4天=周三。 【例题2】2000年1月1日是星期六，那么2100年1月1日是星期几？（注：整百年份需被400整除才是闰年） 【答案】星期四 【详解】100年中闰年：2000-2099共25个，但2100不是闰年，实际24个闰年。总天数=365×100+24=36524天。36524÷7=5217（周）……5（天），周六+5天=周四。 四、颜色周期问题 【例题1】一串彩灯按"红、黄、蓝、绿、紫、红、黄、蓝、绿、紫..."规律排列，第100盏灯是什么颜色？前100盏灯中黄灯有多少盏？ 【答案】紫，20 【详解】周期长度=5，100÷5=20（组），第100盏是紫。 【例题2】一个正方体的6个面分别涂成红、黄、蓝、绿、黑、白6种颜色，按固定方向滚动，当滚动到第2023次时，底面是什么颜色？（初始底面为红色，滚动顺序：前→右→后→左→前...） 【答案】蓝 【详解】周期长度=4，2023÷4=505（组）……3（次），初始红→前黄→右蓝→后绿→左黑→前红...第3次是蓝。 考点练习 一、图形周期问题 1.下列图形按"●○●●○●●●○..."规律排列，第100个图形是什么颜色？ 【答案】● 【详解】周期为"●○、●●○、●●●○..."（每组增加1个●），周期长度依次为2,3,4...总和=2+3+4+...+n。当n=13时总和=91，n=14时总和=105，第100个在第14周期（100-91=9），该周期为"●●●●●●●●●○"（9个●+1个○），第9个是●。 2.将正六边形、正方形、正三角形按"△□六边形△□六边形..."顺序排列，第88个图形的内角和是多少度？ 【答案】180° 【详解】周期为"△□六边形"，周期长度=3。88÷3=29（组）……1（个），余数1对应△（正三角形）。但注意题目实际排列是"△□六边形"，第1个是三角形（内角和180°），第2个正方形（360°），第3个六边形（720°）。余数1对应第1个图形三角形，答案应为180°？不，题目说"第88个图形的内角和"，原周期是△（3）、□（4）、六边形（6），周期长度3。88÷3=29×3=87，余1，所以第88个是△，内角和180°。 3.图形序列"○△□○△□△□○△□△□..."从第3个图形开始形成周期，请问第200个图形是什么？ 【答案】△ 【详解】前2个图形为"○△"，从第3个开始周期是"□○△□△"，周期长度=5。计算（200-2）=198，198÷5=39（组）……3（个），周期内第3个图形是"△"。 4.用边长1cm的等边三角形按规律拼图案：第1层1个，第2层3个，第3层6个...第n层n(n+1)/2个，若按"红、黄、蓝、红、黄、蓝..."涂色，第10层最后一个三角形是什么颜色？ 【答案】红 【详解】前9层总数=1+3+6+...+45=165，第10层有55个，共165+55=220个。周期长度=3，220÷3=73（组）……1（个），余数1对应"红"。 5.如图，将图形按"2个■、3个▲、4个●"为一组循环排列，前100个图形中●比■多多少个？ 【答案】21 【详解】周期长度=2+3+4=9，100÷9=11（组）……1（个）。■总数=11×2+1=23，●总数=11×4=44，44-23=21。 6.图形按"☆★◇◆☆★◇◆..."排列，前n个图形中★出现了25次，n最小是多少？ 【答案】98 【详解】周期长度=4，每个周期含1个★。25个★需要25个周期，余3个图形（☆★◇），24×4+2=98（24个周期含24个★，第25个★在第98位）。 7.复杂图形序列："□△○□□△○□□△○□..."从第几个图形开始形成固定周期？该周期长度是多少？ 【答案】第3个图形开始，周期长度4 【详解】观察序列：□△○□□△○□□△○□...，从第3个图形开始"○□□△"重复出现，周期长度=4。 8.用图形"●○△"构造周期，使得第100个图形是●，第200个图形是○，第300个图形是△，这样的周期至少有多长？ 【答案】100 【详解】设周期长度为T，则： 100≡1 ··· T 200≡2 ··· T 300≡3 ··· T 解得T=99、50、33...最小T=100。 二、数列周期问题 1.数列1,1,2,3,5,8,1,1,2,3,5,8...从第1项开始，第1000项是多少？前1000项中数字"1"出现了多少次？ 【答案】3，334 【详解】周期为斐波那契数列前6项，周期长度=6。1000÷6=166（组）……4（项），第4项是3。每个周期有2个"1"，166×2+2=334次。 2.有一数列：1,2,3,2,1,2,3,2,1,2...从第2项开始的周期长度是多少？第150项是多少？ 【答案】4，2 【详解】从第2项开始周期是"2,3,2,1"，周期长度=4。(150-1)=149，149÷4=37（组）……1（项），周期第1项是2。 3.数列按"a,b,c,d,a²,b²,c²,d²,a³,b³,c³,d³..."排列，第50项是什么？（a¹=a） 【答案】b⁴ 【详解】周期长度=4（aⁿ,bⁿ,cⁿ,dⁿ），50÷4=12（组）……2（项），n=12+1=13？原答案应为b¹³，但题目可能简化为n从1开始，第50项是第13周期第2项，即b¹³。 4.数列1,2,4,7,11,16,22,29,37,46,56,1,2,4,7...的周期长度是多少？第2023项是多少？ 【答案】11，46 【详解】观察到数列差值依次为1,2,3,4...直到56后重复，周期长度=11。2023÷11=183（组）……10（项），第10项是46。 5.有一摆动数列：3,6,9,6,3,6,9,6,3,6...从第1项开始，前100项的和是多少？ 【答案】600 【详解】周期为"3,6,9,6"，周期长度=4，和=24。100÷4=25（组），25×24=600。 6.数列按"2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024..."除以5的余数排列，第100项的余数是多少？ 【答案】1 【详解】余数序列：2,4,3,1,2,4,3,1...周期长度=4。100÷4=25（组），余数0对应周期最后一项1。 7.有一数列：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...从第3项起每项是前两项之和，问该数列第1000项除以3的余数是多少？ 【答案】2 【详解】余数周期：1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0...周期长度=8。1000÷8=125（组），余数0对应周期最后一项2。 三、日期周期问题 1.小明每4天去一次图书馆，小红每6天去一次，2023年5月1日两人同时去了图书馆，下一次同时去是几月几日？ 【答案】5月13日 【详解】4和6的最小公倍数是12，1+12=13，即5月13日。 2.某月有5个星期三，且这个月的第一天和最后一天都不是星期三，这个月的15日是星期几？ 【答案】星期二 【详解】设第一天为星期二，这个月有31天：周二+31天=周四，含5个周三（3,10,17,24,31），符合条件。15日是周二+14天=周二。 3.某年的3月份共有5个星期四和5个星期五，这年的4月1日是星期几？ 【答案】星期六 【详解】3月有31天，必须从周四开始：周四、周五、周六...含5个周四和周五，31日是周五，4月1日是周六。 4.2023年教师节（9月10日）是星期日，2024年教师节是星期几？ 【答案】星期二 【详解】2023年9月10日到2024年9月10日共366天（2024是闰年），366÷7=52（周）……2（天），周日+2天=周二。 5.某工厂实行"上三休一"工作制（工作3天休息1天），如果5月1日是工作日，那么5月份工人共工作多少天？ 【答案】24 【详解】周期长度=4，31÷4=7（组）……3（天），工作天数=7×3+3=24天。 6.某年2月有5个星期日，这年的6月1日是星期几？ 【答案】星期五 【详解】2月有29天，且1日是周日，3月1日是周三。3-6月共31+30+31+1=93天，93÷7=13（周）……2（天），周三+2天=周五。 7.小明从2023年7月5日开始每天写日记，计划写满365篇，最后一篇日记是哪年哪月哪日？那天是星期几？（2023年7月5日是星期三） 【答案】2024年7月4日，星期四 【详解】365天后是2024年7月4日，365÷7=52（周）……1（天），周三+1天=周四。 8.某年的1月有5个星期六和4个星期日，这年的元旦是星期几？ 【答案】星期四 【详解】1月有31天，最后一天必须是周六，31日是周六，1日是周四。 四、颜色周期问题 1.用红、黄、蓝三种颜色给正六边形的顶点染色，按"红、黄、蓝、红、黄、蓝..."顺序，第20个顶点是什么颜色？这个顶点是第几个正六边形的第几个顶点？ 【答案】黄，4，2 【详解】每个六边形6个顶点，周期长度=3。20÷6=3（个）……2（个），第4个六边形第2个顶点，颜色黄。 2.一条长2023米的街道两侧挂彩灯，按"2红3黄1蓝"顺序排列，每盏灯间距1米，两侧共需多少盏黄灯？ 【答案】2022 【详解】单侧2024盏灯，周期长度=6，2024÷6=337（组）……2（盏），黄灯=337×3=1011，两侧共2022盏。 3.有一个色轮按"红→橙→黄→绿→蓝→靛→紫→红..."匀速旋转，每秒转动30°，第10秒时正对观察者的颜色是什么？ 【答案】靛 【详解】周期360°，每色360÷7≈51.43°，10秒转动300°，300÷51.43≈5.83，第6种颜色靛。 4.一串珠子按"3颗红珠、2颗白珠、5颗黑珠"的顺序串成，第100颗珠子是什么颜色？前100颗珠子中黑珠比白珠多多少颗？ 【答案】黑，30 【详解】周期长度=10，100÷10=10（组），第100颗是黑珠。黑珠=5×10=50，白珠=2×10=20，多30颗。 5.某信号灯按"绿30秒→黄5秒→红40秒"循环，上午8:00:00刚好变绿灯，到8:10:00时信号灯显示什么颜色？ 【答案】红 【详解】周期=75秒，10分钟=600秒，600÷75=8（个）周期，刚好结束在红灯，显示红灯。 6.一个魔方的6个面分别是不同颜色，每次转动一个面90°，经过2023次转动后，顶面颜色与初始状态相比有多少种可能？ 【答案】4 【详解】每个面有4种转动状态，2023÷4=505（组）……3（次），有4种可能状态。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $