第20讲 和差倍问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第20讲 和差倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解和差问题、和倍问题、差倍问题的基本概念及数量关系 2.掌握解决和差倍问题的关键方法，包括画线段图法、公式法 3.能够识别复杂和差倍问题中的隐藏条件，灵活运用解题策略 4.培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力，提高解题效率 知识梳理 知识点一、和差问题 1.基本概念：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的问题，叫做和差问题。 2.核心公式： 较大数 = (和 + 差) ÷ 2 较小数 = (和 - 差) ÷ 2 3.解题步骤：（1）找出题目中的"和"与"差" ；（2）判断哪个是较大数，哪个是较小数； （3）代入公式计算或画出线段图辅助分析。 知识点二、和倍问题 1.基本概念：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做和倍问题。 2.核心公式： 较小数（1倍数）= 和 ÷ (倍数 + 1) 较大数（几倍数）= 较小数 × 倍数 或 和 - 较小数 3.解题关键：（1）确定哪一个数为"1倍数" ；（2）准确找出两个数的"和"与"倍数和"。 知识点三、差倍问题 1.基本概念：已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做差倍问题。 2.核心公式： 较小数（1倍数）= 差 ÷ (倍数 - 1) 较大数（几倍数）= 较小数 × 倍数 或 较小数 + 差 3.解题关键：（1）确定哪一个数为"1倍数" ；（2）找出两个数的"差"与"倍数差"。 知识点四、复杂和差倍问题 1.多个量的和差倍问题： 解题关键：确定一个统一的"1倍数"，找出总量与总倍数的对应关系 2.含隐藏条件的和差倍问题： 常见隐藏条件类型： (1)年龄问题中的"年龄差不变" (2)移多补少问题中的"差的变化" (3)增减变化问题中的"和的变化" 知识点五、解题方法总结 1.线段图法：（1）画出表示倍数关系的线段； （2）标出已知的和或差； （3）找出线段与数量的对应关系。 2.公式法：根据不同类型的问题，直接应用相应公式计算。 例题讲解 一、和差问题 【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少岁？ 【答案】妈妈33岁；芳芳8岁 【分析】年龄之和与年龄之差相加就等于2份妈妈的年龄，年龄之和与年龄之差相减就等于2份芳芳的年龄，由此可以求出妈妈和芳芳今年各多少岁。 【详解】妈妈：（41＋25）÷2 ＝66÷2 ＝33（岁） 芳芳：（41－25）÷2 ＝16÷2 ＝8（岁） 答：妈妈和芳芳今年各33岁；8岁。 【点睛】本题要注意年龄差不变这一规律，根据和差公式：（两数和＋两数差）÷2＝较大数进行求解。 【例题2】校园的花坛里有月季花和牡丹花共48棵，月季花比牡丹花多8棵。月季花和牡丹花各有多少棵？ 【答案】月季花28棵，牡丹花20棵 【分析】因为月季花比牡丹花多8棵，那么将牡丹花也加上8棵即和月季花一样，将月季花和牡丹花的总数加上8再除以2即可得到月季花的棵数，月季花的棵数减去8即可得到牡丹花的棵数。 【详解】月季花： （48＋8）÷2 ＝56÷2 ＝28（棵） 牡丹花： 28－8＝20（棵） 答：月季花有28棵，牡丹花有20棵。 【点睛】本题考查的是和差问题，根据大数＝（和＋差）÷2，小数＝和－大数＝大数－差。 二、和倍问题 【例题1】奇思周末在家看了一本故事书，已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍，这本书一共有多少页？ （1）请你用线段图表示出没看的页数。 （2）列式解答。 【答案】（1）见详解 （2）222页 【分析】（1）根据“已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍”，用线段图表示出没看的页数，如下。 （2）根据“已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍”，可知这本书的总页数是已看的页数的（5＋1）倍，据此列式解题即可。 【详解】（1）用线段图表示出没看的页数，如下： （2）37×（5＋1） ＝37×6 ＝222（页） 答：这本书一共有222页。 【点睛】熟练掌握求一个数的几倍是多少的解题方法，是解答此题的关键。 【例题2】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？ 【答案】10千克；5千克 【分析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5＝15（千克）。把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2＋1）＝5（千克）；每箱苹果重量为：5×2＝10（千克）。 【详解】75÷5÷（2＋1） ＝75÷5÷3 ＝5（千克） 5×2＝10（千克） 答：每箱苹果重10千克；每箱葡萄重5千克。 【点睛】解答此题的步骤是：先求出1箱苹果与1箱葡萄重量和，再利用和倍公式分别求出每箱苹果和每箱葡萄的质量。 三、差倍问题 【例题1】父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子年龄为11岁．问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？ 【答案】15年 【详解】现在父母年龄之和是：38＋36 ＝74（岁） 现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44．相差：74-44＝30（岁） 从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2（岁） 为追上相差的30，要30÷（4-2）＝15（年） 答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍. 【例题2】小明和小刚各有玻璃弹球若干个。小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多。”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？ 【答案】个 【分析】由小明说的话画线段示意图如下。可知：小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，那么小明比小刚多8个。8个是小刚还剩下玻璃球数量的（3－1）倍，即2倍，此时小刚有玻璃球：8÷2＝4（个），小明有玻璃球：4＋8＝12（个），两人共有玻璃球：4＋12＝16（个）。 【详解】画线段示意图如下： （2×2＋2×2）÷（3－1） ＝（4＋4）÷2 ＝8÷2 ＝4（个） 4＋4＋8＝16（个） 答：小明和小刚共有玻璃弹球16个。 【点睛】此题是差倍问题，画线段示意图帮助理清题中数量关系；明确原来小明比小刚多4个，如果小刚给小明2个，则此时小明就比小刚多8个，8个对应的倍数是2倍，据此解题即可。 考点练习 一、和差问题 1．四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 【答案】图见详解；男生24人；女生36人 【分析】先根据已知条件把线段图补充完整，因为男生比女生少12人，所以虚线部分表示少12人，若给男生增加12人，则此时男生与女生人数相同，所以60加12求出和，再用所得和除以2即可求出女生的人数，最后用总人数减女生人数即可求出男生人数。据此解答。 【详解】 （60＋12）÷2 ＝72÷2 ＝36（人） 男生：60－36＝24（人） 答：体操队的男生有24人，女生36人。 【点睛】较大的数＝（和＋差）÷2，较小数＝和－较大数，根据和差问题公式直接计算。 2．一个三层书架共放书108本。上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本？ 【答案】45本；34本； 29本 【分析】根据题意可知，把中层书的本数看作一份量，书的总本数减去上层比中层多的11本，加上下层比中层少放5本，就是中层放书的本数的3倍，据此即可求出中层，进而求出上层和下层放书的本数。 【详解】中：（108－11＋5）÷3＝34（本） 上：34＋11＝45（本） 下：34－5＝29（本）。 答：上、中、下三层各放书45本、34本、29本。 【点睛】选择一个标准量，是解答此题的关键。 3．有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米。每块布料各长多少米？ 【答案】40米；60米；90米 【分析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少： （米），总和减少： （米），即：（米）。120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出。 【详解】画线段示意图如下： （1）第一块布料长度的3倍是： （米）； （2）第一块布料的长度是：（米）； （3）第二块布料的长度是：（米）； （4）第三块布料的长度是：（米）； 答：第一块布料的长度40米，第二块布料的长度60米，第三块布料的长度90米。 【点睛】本题主要考查了和差问题，用画线段图的方法解题容易理解题意。 4．两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本。甲、乙两箱原有图书各多少本？ 【答案】36本；30本 【分析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱原来比乙箱多：（本）图书。据此即可求出甲箱、乙箱原有图书的本数。 【详解】由分析可得：甲箱原来比乙箱多6本； 方法一：甲箱：（本） 乙箱：（本） 方法二：乙箱：（本）   甲箱：（本） 答：甲箱原有图书36本，乙箱原有图书30本。 【点睛】熟练掌握“和差问题”的解题方法，是解答此题的关键。 5．甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？ 【答案】20包；36包 【分析】根据“从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多”可知，乙比甲多：8×2＝16（包）；由此即可求出甲、乙两个仓库大米的包数。 【详解】（56＋8×2）÷2 ＝72÷2 ＝36（包） 56－36＝20（包） 答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包。 【点睛】本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是解答此题的关键。 6．甲、乙两个笼子里共有小鸡20只，甲笼里新放4只，乙笼里取出1只，这时乙笼还比甲笼多1只，求甲、乙两笼原来各有鸡多少只？ 【答案】只；只 【分析】这样想：已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只，根据甲笼里放入4只，乙笼里取出1只，还剩1只可知，甲、乙两个笼里小鸡只数相差：4＋1＋1＝6（只）。 【详解】（1）乙笼比甲笼多多少只？ 4＋1＋1＝6（只） （2）甲笼原来有小鸡多少只？ （20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（只） （3）乙笼里原来有小鸡多少只？ 20－7＝13（只） 或（20＋6）÷2＝13（只） 答：甲笼里原有小鸡7只；乙笼里原有小鸡13只。 【点睛】找出甲、乙两个笼里小鸡只数的差，是解答此题的关键。 7．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？ 【答案】秒 【分析】如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。据此有两种解法如下。 解法一：先求出无风时少年速度是[（90÷10＋70÷10）÷2]，即8米；再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间是（80÷8）秒。 解法二：以10秒跑步路程为标准，先求出该少年无风时10秒跑步路程[（90＋70）÷2]米 ；所以，在无风的时候跑该80米要用10秒。 【详解】解法一： （90÷10＋70÷10）÷2 ＝（9＋7）÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 80÷8＝10（秒） 解法二： （90＋70）÷2 ＝160÷2 ＝80（米） 答：无风的时候他跑80米要用10秒。 【点睛】解答此题的关键是根据（逆风速度＋顺风速度）÷2＝无风速度，求出无风时每秒的速度。 8．甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？ 【答案】人，人 【分析】由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多（20×2＋10）人，即50人；找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题。 【详解】画数量关系示意图如下： 乙：[1050－（20×2＋10）]÷2 ＝[1050－50]÷2 ＝1000÷2 ＝500（人） 甲： （人） 答：甲、乙两校原来分别有学生550人、500人。 【点睛】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件，找出这个隐藏条件是解题关键。 二、和倍问题 1．果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【答案】36棵 【分析】把梨树的棵数看作1份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于（5＋1）份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数。这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了。 【详解】54÷（5＋1） ＝54÷6 ＝9（棵） 9×5－9 ＝45－9 ＝36（棵） 答：苹果树比梨树多36棵。 【点睛】正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数和－小数＝大数），是解答此题的关键。 2．8年前父亲的年龄是女儿年龄的3倍，8年后父女的年龄和是80岁。问：父亲今年多少岁？ 【答案】44岁 【分析】8年前到8年后过了16岁，则8年前的岁数和就是和8年后的岁数和相差16岁，即8年前的岁数和就是48岁，根据和倍公式，爸爸的年龄＝8年前岁数和÷（倍数＋1），最后再加上8岁就是父亲今年的岁数。 【详解】80－（8＋8）×2 ＝80－16×2 ＝80－32 ＝48（岁） 48÷（3＋1） ＝48÷4 ＝12（岁） 12×3＝36（岁） 36＋8＝44（岁） 答：父亲今年44岁。 3．师徒三人制作喜羊羊系列玩具，师父制作的玩具数是大徒弟的4倍，大徒弟制作的玩具数是小徒弟的2倍，三人一共制作了4587个玩具。大徒弟一共制作了多少个玩具？ 【答案】834个 【分析】根据题意，师父、大徒弟、小徒弟制作的玩具数量存在倍数关系。设小徒弟制作的玩具数为1份，则大徒弟为2份，师父为4倍的大徒弟即8份。总份数为1＋2＋8＝11份，对应总数4587个，先求每份数量，再求大徒弟的2份。 【详解】1＋2＋8＝11（份） 4587÷11＝417（个） 大徒弟制作的玩具数：417×2＝834（个） 答：大徒弟一共制作了834个玩具。 4．2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数的2倍少150人，求男生和女生的人数。 【答案】男生450人，女生300人 【分析】根据题意画出线段图： 可知，总人数加上150人即为女生人数的3倍，据此计算出女生人数，进而根据倍数关系求出男生人数即可。 【详解】女生人数： （750＋150）÷（2＋1） ＝900÷3 ＝300（人） 男生人数：300×2－150 ＝600－150 ＝450（人） 答：男生有450人，女生300人。 5．爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 【答案】90块；30块 【分析】由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块，那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍。对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍。 【详解】根据分析可得： 爸爸原计划搬的块数为： （110＋10）÷（5−2）×2＋10 ＝120÷3×2＋10 ＝80＋10 ＝90（块）， 冬冬原计划搬的块数为： （90＋10）÷5＋10 ＝100÷5＋10 ＝20＋10 ＝30（块）。 答：爸爸原计划搬90块；冬冬原计划搬30块。 【点睛】熟练掌握差倍问题的解题方法，是解答此题的关键。 6．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【答案】106件；212件 【分析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是倍数。两个年级共制作了318件，这318件就相当于（1＋3）倍，这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：318÷（1＋2）＝106（件）。再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：106×2＝212（件）。 【详解】318÷（1＋2） ＝318÷3 ＝106（件） 106×2＝212（件） 答：三年级制作106件，四年级制作212件。 【点睛】正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数和－小数＝大数），是解答此题的关键。 7．玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的倍，白气球比黄气球少个。问三种气球各生产了多少个？ 【答案】90个；30个；5个 【分析】由题意可知，以黄气球的个数为标准量，设黄气球的个数为1份数；又“白气球比黄气球少个”，即白气球的个数加上25个就和黄气球一样多；所以在总个数125个的基础上加上25个，就是黄气球个数的（3＋1＋1）倍，这样即可求出黄气球的个数，再根据红、黄、白气球之间的数量关系，即可求出白气球和红气球的个数。 【详解】黄气球：（125＋25）÷（3＋1＋1） ＝150÷5 ＝30（个） 红气球：30×3＝90（个） 白气球：30－25＝5（个） 答：红、黄、白气球的个数分别是90个、30个、5个。 【点睛】解答此题的关键是，找出红、黄、白气球之间的倍数关系，再根据和倍公式解题即可。 8．孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行最后一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的人获胜。最后他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的气球比孙悟空的2倍少2个。请问：最后获胜者吹破了多少个气球？ 【答案】66个 【分析】通过题目找到三个人中最少的那个人，把最少的那个人吹的气球个数随便画一段，然后在第二少的那个人根据题目中说的倍数关系再画线段图，最多的那个人再依次来进行画，再标出总共的数量，通过图分析。 【详解】首先根据倍数关系画出线段图： 沙“1”： （110－6－4）÷（1＋3＋6） ＝100÷10 ＝10（个）； 孙：3×10＋4 ＝30＋4 ＝34（个）； 猪：6×10＋6 ＝60＋6 ＝66（个）。 答：最后获胜者吹了66个气球。 【点睛】本题主要考查多个量的和倍问题。 三、差倍问题 1．爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁。今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【答案】岁；岁 【分析】根据题意可知，爸爸、妈妈的年龄差是4岁。这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是4岁，求二人各是几岁”的和差问题。爸爸年龄：（岁），妈妈的年龄：（岁）。据此解题即可。 【详解】（72＋4）÷2 ＝76÷2 ＝38（岁） 38－4＝34（岁） 答：今年爸爸的年龄是38岁，妈妈的年龄是34岁。 【点睛】解答此题的关键是要明确：六年后，爸比妈大4岁，即爸妈的年龄差是4岁，这个年龄差是一个不变量。 2．有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 【答案】6小时 【分析】两根蜡烛的长度原来是相等的，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，因此粗蜡烛比细蜡烛长：15－3＝12（厘米）。再结合此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍，就可以利用差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”即可求出细蜡烛的长度，乘3求出粗蜡烛的长度。粗蜡烛1小时燃烧3厘米，因此最后除以3就可以求出粗蜡烛还能烧多久。 【详解】细蜡烛：（15－3）÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 粗蜡烛：6×3＝18（厘米） 18÷3＝6（小时） 答：粗蜡烛还能烧6小时。 3．大桶里有油60千克，小桶里有油30千克。将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍。问两个桶各剩油多少千克？ 【答案】10千克；40千克 【分析】卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题。小桶所剩的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多：（倍）。而大桶比小桶多的油总保持不变，是：（千克）。再利用差倍问题的公式就可解决。小桶剩下的油是：（千克），大桶剩下的油是：（千克）。 【详解】用下图表示它们的关系： （60－30）÷（4－1） ＝30÷3 ＝10（千克） 10×4＝40（千克） 答：小桶剩油10千克；大桶剩油40千克。 【点睛】解答此题的关键是，要明确：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题。 4．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱，白粉笔的箱数比彩色笔的倍少箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【答案】21箱；6箱 【分析】把彩笔看做倍数，（白笔＋）就相当于彩笔的倍，即彩笔比（白笔＋）少倍，注意此时白笔比彩笔多：箱。彩色粉笔的箱数：（箱），白色粉笔的箱数：（箱）。 【详解】（15＋3）÷（4－1） ＝18÷3 ＝6（箱） 6＋15＝21（箱） 答：思学校买来白粉笔和彩色粉笔分别是21箱、6箱。 【点睛】本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是18箱对应的是彩色粉笔的3倍。 5．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？ 【答案】15年 【详解】解：设12年前女儿年龄为1份，父亲年龄为11份，则年龄差为10份，由于年龄差不变所以现在的年龄差也应当为10份，而现在年龄差却差2倍，所以1倍为5份，所以父亲现在年龄为15份，女儿年龄为5份，这样12年对应为4份，所以年龄差为10份对应30岁，于是今年女儿年龄为15（岁），父亲年龄为（岁）． 当父亲年龄是女儿年龄的2倍时，父女年龄差是女儿年龄的（倍）． 因此那时女儿年龄即为父女年龄差30岁， 所以再过（年），父亲年龄是女儿年龄的2倍． 6．学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？ 【答案】本；本 【分析】如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，说明上层比下层多8本；如果下层少放8本 ，上层的书就是下层的2倍，把下层书作为一倍量，下层少放8本之后与上层相差的本数是：（本），此时下层书的本数是：（本），所以下层有书：（本），上层有书：（本）。 【详解】（8＋8）÷（2－1）＋8 ＝16÷1＋8 ＝16＋8 ＝24（本） 24＋8＝32（本） 答：上层有本，下层有本。 【点睛】解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差以及数量差相对应的倍数差，由此求出1倍是多少。 7．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 【答案】49个 【分析】根据题意，“每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶后，第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍”，此时，第一个展示柜上剩余的动作人偶比第二个展示柜剩余的动作人偶多的个数为：67－32＝35（个）；根据差倍公式可以计算出第二个展示柜上剩余动作人偶的数量；进而求出大促结束后一共剩下多少个动作人偶。 【详解】 ＝35÷5 ＝7（个） 7×（6＋1） ＝7×7 ＝49（个） 答：大促结束后一共剩下49个动作人偶。 8．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 【答案】人 【分析】小班每个人就会发（13×2）张，即26张画片，那么，小班的个人比大班的个人多发了（26－17）张，即9张画片，总共多发了张，所以小班有：（人）。 【详解】126÷（13×2－17）×2 ＝126÷9×2 ＝14×2 ＝28（人） 答：小班有28人。 【点睛】解答本题的关键是：将小班每两人编做一组那么小班的组数跟大班的人数就是相等的了，小班每组发的画片为（13×2）张，比大班每人17张要多9张。可以算出组数，再乘2即小班的人数。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 和差倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解和差问题、和倍问题、差倍问题的基本概念及数量关系 2.掌握解决和差倍问题的关键方法，包括画线段图法、公式法 3.能够识别复杂和差倍问题中的隐藏条件，灵活运用解题策略 4.培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力，提高解题效率 知识梳理 知识点一、和差问题 1.基本概念：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的问题，叫做和差问题。 2.核心公式： 较大数 = (和 + 差) ÷ 2 较小数 = (和 - 差) ÷ 2 3.解题步骤：（1）找出题目中的"和"与"差" ；（2）判断哪个是较大数，哪个是较小数； （3）代入公式计算或画出线段图辅助分析。 知识点二、和倍问题 1.基本概念：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做和倍问题。 2.核心公式： 较小数（1倍数）= 和 ÷ (倍数 + 1) 较大数（几倍数）= 较小数 × 倍数 或 和 - 较小数 3.解题关键：（1）确定哪一个数为"1倍数" ；（2）准确找出两个数的"和"与"倍数和"。 知识点三、差倍问题 1.基本概念：已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做差倍问题。 2.核心公式： 较小数（1倍数）= 差 ÷ (倍数 - 1) 较大数（几倍数）= 较小数 × 倍数 或 较小数 + 差 3.解题关键：（1）确定哪一个数为"1倍数" ；（2）找出两个数的"差"与"倍数差"。 知识点四、复杂和差倍问题 1.多个量的和差倍问题： 解题关键：确定一个统一的"1倍数"，找出总量与总倍数的对应关系 2.含隐藏条件的和差倍问题： 常见隐藏条件类型： (1)年龄问题中的"年龄差不变" (2)移多补少问题中的"差的变化" (3)增减变化问题中的"和的变化" 知识点五、解题方法总结 1.线段图法：（1）画出表示倍数关系的线段； （2）标出已知的和或差； （3）找出线段与数量的对应关系。 2.公式法：根据不同类型的问题，直接应用相应公式计算。 例题讲解 一、和差问题 【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少岁？ 【例题2】校园的花坛里有月季花和牡丹花共48棵，月季花比牡丹花多8棵。月季花和牡丹花各有多少棵？ 二、和倍问题 【例题1】奇思周末在家看了一本故事书，已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍，这本书一共有多少页？ （1）请你用线段图表示出没看的页数。 （2）列式解答。 【例题2】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？ 三、差倍问题 【例题1】父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子年龄为11岁．问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？ 【例题2】小明和小刚各有玻璃弹球若干个。小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多。”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？ 考点练习 一、和差问题 1．四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 2．一个三层书架共放书108本。上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本？ 3．有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米。每块布料各长多少米？ 4．两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本。甲、乙两箱原有图书各多少本？ 5．甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？ 6．甲、乙两个笼子里共有小鸡20只，甲笼里新放4只，乙笼里取出1只，这时乙笼还比甲笼多1只，求甲、乙两笼原来各有鸡多少只？ 7．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？ 8．甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？ 二、和倍问题 1．果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 2．8年前父亲的年龄是女儿年龄的3倍，8年后父女的年龄和是80岁。问：父亲今年多少岁？ 3．师徒三人制作喜羊羊系列玩具，师父制作的玩具数是大徒弟的4倍，大徒弟制作的玩具数是小徒弟的2倍，三人一共制作了4587个玩具。大徒弟一共制作了多少个玩具？ 4．2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数的2倍少150人，求男生和女生的人数。 5．爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 6．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 7．玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的倍，白气球比黄气球少个。问三种气球各生产了多少个？ 8．孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行最后一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的人获胜。最后他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的气球比孙悟空的2倍少2个。请问：最后获胜者吹破了多少个气球？ 三、差倍问题 1．爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁。今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 2．有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？ 3．大桶里有油60千克，小桶里有油30千克。将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍。问两个桶各剩油多少千克？ 4．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱，白粉笔的箱数比彩色笔的倍少箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 5．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？ 6．学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？ 7．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 8．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $