4.2.2等比数列的前n项和（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式的推导与应用，以古印度麦粒棋盘故事导入，从具体求和问题过渡到一般公式推导，衔接等比数列定义与通项公式，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于通过问题链驱动探究，错位相减法推导公式培养逻辑推理，麦粒问题渗透数学建模，分类讨论q=1与q≠1体现严谨思维。小结用表格梳理公式与性质，学生能提升运算与建模能力，教师可直接用于情境教学与素养落实。

4.2.2等比数列 的前项和 第四章 数列 学习目标 教学重点：掌握等比数列前项和公式的推导及应用，能结合通项公式解决问题。 教学难点：理解错位相减法的原理，把握与的分类讨论。 理解比数列前项和公式的推导思路，掌握公式； 能运用公式进行计算，解决有关问题； 体会分类讨论、转化思想，提升运算与推理能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：等比数列前项和概念的提炼； 逻辑推理：错位相减法推导公式的逻辑分析，分类讨论的严谨性； 数学运算：前项和的计算及应用； 数学建模：运用求和公式解决问题； 新知引入 情境2：相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说： 陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ 新知探究 问题1： （1）各个格子里的麦粒数依次是： （2）这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？ . 等比数列 等比数列前64项和 问题2：如何求等比数列的前项和呢？观察相邻两项的关系，你能试着求一求吗？ 新知探究 错位相减法 这个数很大，超过了 提示： 如果一千颗麦粒的质量约为那么以上这些麦粒的总质量超过了亿吨，约是年度世界小麦产量的倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言. 追问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？乘以3可以吗？ 新知探究 问题3：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？ 设等比数列的首项为,公比为则的前项和是 错位相减（消元） 思考：要求出,是否可以把上式两边同除以？ 新知探究 因此，当时，我们就得到了等比数列前项和公式： 因为，∴公式(1)还可以写成： 追问：时，如何求前项和呢？ 时， 新知探究 首项 末项 公比 前项和 项数 等比数列前项和公式： 注意 (1)等比数列求和时，应考虑与两种情况. (2)推导等比数列前项和公式的方法：错位相减法. (3)步骤: 乘公比，错位相减. 练习巩固 辨析1：判断正误： (1)求等比数列的前项和时可直接套用公式来求.( ) (2)首项为的数列既是等差数列又是等比数列，其前项和为( ) 【答案】 × ，√ 辨析2：等比数列中，公比，，则的值为( ). A. B. C. D. 【答案】A 典例精讲 例4：设数列为等比数列，其前项和为. （1）已知，公比，求； （2）已知，，公比，求 解：（1）根据等比数列的前项和公式，得 （2）根据等比数列的前项和公式，得 练习巩固 已知量 求和公式 首项a1、公比 q（q≠1）与项数n 等比数列前项和： 首项a1、末项an与 公比q（q≠1） 首项a1、公比q＝1 Sn＝na1 在等比数列的五个量，，，和，和是最基本的元素，当条件与结论间联系不明显时，均可用和表示与，从而列方程组求解，在解方程组时常用两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的应用. 练习巩固 练习1：在等比数列中，公比为，前项和为. (1)若，求； (2)若，，求及. 解：（1）因显然，由，即， ∴.又即∴. （2）[法一]由得，由题意得： 用得，∴ 代入得，∴ ∴ 练习巩固 练习1：在等比数列中，公比为，前项和为. (1)若，求； (2)若，，求及. 解：（2）[法二]由 ∴∴ 代入得，∴ ∴ 典例精讲 例5：在等比数列中，其前项和为，已知，，求 解：设该等比数列的公比为，若，则，这与已知条件矛盾，所以，从而有 ， 将上面两个等式相除，得 于是，从而由上面关于的式子就可得，因此 练习巩固 练习2：已知在等比数列中，，求. 解：设等比数列的公比为，由于，则 [法一]由等比数列的前项和公式，得 得故. . 练习巩固 练习2：已知在等比数列中，，求. 解：设等比数列的公比为，由于，则 [法二]易知，，仍成等比数列， 则即， 解得 [法三]易知即， ∴∴. 练习巩固 练习2：已知在等比数列中，，求. 解：设等比数列的公比为，由于，则 [法四]由已知条件，易知， ∴即，∴ 又∴ 等比数列前项和有关性质： 若分别是公比为（）的等比数列的前项，前项，前项的和，则也成等比数列，其公比为. 练习巩固 变式2：设等比数列的前项，，求的值 解：[法一]∵数列是等比数列， 于是即，∴ 于是 [法二]由得 ∵数列是等比数列，且由题意知，即， ∴也成等比数列， ∴即，解得 ∴ 典例精讲 例6：已知数列的前项和为。当常数满足什么条件时，数列是等比数列？ 解：当时，可得。而当时， 从而 于是，当且仅当时，数列是等比数列。由上式，，而 由，解得.因此，当时，数列是等比数列 练习巩固 练习3：已知数列的前项和为。求证：数列是等比数列？ 解：当时，可得。而当时， 从而 又因为，所以对，有（） 所以数列是等比数列 新知探究 数列的前项和为 数列是等比数列 思考：反之，若数列是等比数列，公比，则成立吗？ 时， 成立 非常数数列中，数列的前项和为数列是等比数列 练习巩固 练习4：(1)设为等比数列的前项和.若，且，，成等差数列， 求数列的通项公式. (2)已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且 ，，成等差数列.求数列的通项公式. 解：（1）由，，成等差数列，得，即，则，即公比， ∴ （2）设等比数列的公比为，依题意得，即，则.又不是递减数列且， ∴，∴ 练习巩固 变式4：设数列满足：，，. (1)求的通项公式及前项和； (2)已知是等差数列，为其前项和，且，，求. 解：（1）由题设知是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ （2）∵，， ，∴公差， 故 小结 已知量 求和公式 首项a1、公比 q（q≠1）与项数n 首项a1、末项an与 公比q（q≠1） 首项a1、公比q＝1 Sn＝na1 错位相减法 等比数列前项和有关性质： ① 若分别是公比为（）的等比数列的前项，前项，前项的和，则也成等比数列，其公比为. ② 非常数数列中，数列的前项和为数列是等比数列 感谢聆听 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。 ——张景中 $