专题02 方程与不等式中的求解与应用问题（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题02 方程与不等式中的求解与应用问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型一：根据一元二次方程根的情况求参数 易｜混｜易｜错 1. 忽略二次项系数不为0：忘记“一元二次方程”前提，未限制二次项系数≠0，导致参数取值范围扩大。 2. 判别式公式记错：混淆的符号或系数，如误写为，或计算时漏算系数倍数。 3. 未化一般形式：直接用原方程系数代入判别式，因、、取值错误导致结果偏差。 4. 混淆“有实数根”条件：将“有实数根”（）误写为“有两个不相等实数根”（），遗漏相等实根情况。 1．（2025·上海闵行·二模）已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 2．（2025·上海普陀·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 3．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 4．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 题型二：根据判别式判断一元二次方程根的情况 易｜混｜易｜错 1. 系数找错：未将方程化为一般形式，导致、、识别错误。 2. 判别式计算失误：涉及负数、分数系数时，平方或乘法运算出错，如误算为。 3. 根的情况对应错误：将“有两个相等实根”与“”混淆，或把“无实数根”记为。 4. 非一元二次方程误用判别式：对一次方程（二次项系数为0）仍用根的判别式判断，无意义。 5．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 6．（2025·上海杨浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 7．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 9．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 题型三：解分式方程 易｜混｜易｜错 1. 去分母漏乘：去分母时未将整数项、常数项乘最简公分母，如文档中漏乘右边的1。 2. 忘记检验增根：求解后未代入最简公分母验证，保留使分母为0的增根。 3. 符号错误：去括号或移项时符号变形错误，导致整式方程求解偏差。 4. 因式分解不彻底：解整式方程时因因式分解遗漏，导致漏根或错根，如未分解为。 5. 化简过度：约分后忽略原分母不为0的限制，扩大定义域。 10．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 11．（2025·上海金山·二模）解方程：． 12．（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 13．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 14．（2025·上海·中考真题）解方程：． 15．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 题型四：解无理方程 易｜混｜易｜错 1. 平方运算失误：两边平方时漏乘项，或符号错误，如误算为，正确应为。 2. 未检验解的有效性：未验证解是否满足根号下代数式非负，保留无效解，如代入。 3. 多次平方增根：多次平方后产生额外增根，未逐一检验排除。 4. 移项不当：未先将根号项单独放在一边再平方，如未先变形为。 16．（2025·上海·中考真题）方程的解为 ． 17．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 18．（2025·上海浦东新·二模）方程的解是 ． 19．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 题型五：解二元二次方程组 易｜混｜易｜错 1. 代入消元变形错误：将一个方程移项或化简时符号出错，如误变为，正确应为。 2. 因式分解漏解：用因式分解法时，漏解其中一个因式对应的方程，如仅解，遗漏。 3. 未检验解：求解后未代入原方程组验证，导致解不满足所有方程。 4. 计算失误：代入后化简或解方程时数值错误，如合并同类项误算为。 20．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 21．（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 22．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 23．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 24．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 题型六：解一元一次不等式组 易｜混｜易｜错 1. 不等号方向错误：两边乘除负数时未改变不等号方向，如误解为，正确应为。 2. 公共解集判断错误：混淆“同大取大”“大小小大中间找”等口诀，取错公共部分。 3. 数轴表示失误：实心点（包含边界）与空心点（不包含边界）混淆，或方向画反。 4. 整数解遗漏：忽略边界附近的整数解，或多算不满足解集的整数。 5. 不等式变形错误：去括号、移项时符号出错，导致单个不等式解错，如误变为。 25．（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为 ． 26．（2025·上海虹口·二模）不等式组的解集是 ： 27．（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 28．（2025·上海闵行·二模）解不等式组 29．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 30．（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 31．（2025·上海杨浦·二模）解不等式组：． 题型七：不等式的性质和应用 易｜混｜易｜错 1. 性质应用错误：两边乘除负数未变号，或移项时符号错误，如误变为。 2. 数轴与不等式对应错误：混淆数轴左右方向与不等号，如数轴上左边的数误判为更大 3. 实际应用忽略取值范围：未考虑变量的实际意义（如人数、长度为正整数），导致解不合理。 4. 多重不等关系叠加错误：多个不等式联立推导时，错误传递不等关系，如由、推出。 32．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 34．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 题型八：分式方程的应用 易｜混｜易｜错 1. 等量关系找错：行程问题（时间）、概率问题（概率）等核心关系混淆。 2. 单位不统一：未将路程、速度、时间等单位统一，直接代入计算。 3. 忽略实际意义：解为负数、零或小数（如人数为小数）未舍去。 4. 漏检验增根：仅检验方程增根，未检验解是否符合实际场景。 5. 去分母漏乘：列方程时去分母步骤错误，导致方程列错，如漏乘最简公分母。 35．（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 36．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 37．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 题型九：一元一次方程的应用 易｜混｜易｜错 1. 题意理解偏差：古代问题、实际场景题中，误解关键词含义，找错等量关系。 2. 单位混淆：设未知数时未明确单位，或不同单位未统一换算。 3. 计算错误：移项、合并同类项、系数化为1时数值出错，如误解为，正确应为。 4. 忽略变量限制：未考虑变量的取值范围（如长度为正、数量为整数），导致解不合理。 38．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 40．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 题型十：一元二次方程实际应用 易｜混｜易｜错 1. 增长率问题基数错误：如三月份产值为，五月份产值误写为，遗漏二次增长，正确应为。 2. 解的取舍不当：未舍去负数解、大于实际上限的解（如产量超过最大产能）。 3. 几何问题等量关系错误：未结合图形性质（如勾股定理、面积公式），列错方程。 4. 判别式应用失误：实际问题中未通过判别式判断解的合理性，保留无实际意义的解。 5. 变量定义模糊：设未知数时未明确“增长率”“降低率”的含义，导致方程列错。 41．（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为 ． 42．（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 43．（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    44．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 1．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 1．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 2．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题02 方程与不等式中的求解与应用问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型一：根据一元二次方程根的情况求参数 易｜混｜易｜错 1. 忽略二次项系数不为0：忘记“一元二次方程”前提，未限制二次项系数≠0，导致参数取值范围扩大。 2. 判别式公式记错：混淆的符号或系数，如误写为，或计算时漏算系数倍数。 3. 未化一般形式：直接用原方程系数代入判别式，因、、取值错误导致结果偏差。 4. 混淆“有实数根”条件：将“有实数根”（）误写为“有两个不相等实数根”（），遗漏相等实根情况。 1．（2025·上海闵行·二模）已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系．若一元二次方程有两等根，则根的判别式，建立关于m的方程，求出m的取值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴Δ=， ∴． 故答案为：． 2．（2025·上海普陀·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知 解得 故答案为：． 3．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法． 方程有实数根，即根的判别式． 【详解】解：方程有实数根， ， ． 故答案为：． 4．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 题型二：根据判别式判断一元二次方程根的情况 易｜混｜易｜错 1. 系数找错：未将方程化为一般形式，导致、、识别错误。 2. 判别式计算失误：涉及负数、分数系数时，平方或乘法运算出错，如误算为。 3. 根的情况对应错误：将“有两个相等实根”与“”混淆，或把“无实数根”记为。 4. 非一元二次方程误用判别式：对一次方程（二次项系数为0）仍用根的判别式判断，无意义。 5．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 6．（2025·上海杨浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 7．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 8．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，分别计算四个方程的判别式，然后根据的意义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 9．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 题型三：解分式方程 易｜混｜易｜错 1. 去分母漏乘：去分母时未将整数项、常数项乘最简公分母，如文档中漏乘右边的1。 2. 忘记检验增根：求解后未代入最简公分母验证，保留使分母为0的增根。 3. 符号错误：去括号或移项时符号变形错误，导致整式方程求解偏差。 4. 因式分解不彻底：解整式方程时因因式分解遗漏，导致漏根或错根，如未分解为。 5. 化简过度：约分后忽略原分母不为0的限制，扩大定义域。 10．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元二次）、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 11．（2025·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 12．（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 两边都乘以， 得：， 整理得， 解得：或， 检验：是分式方程的根，是分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 13．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 14．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 15．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 题型四：解无理方程 易｜混｜易｜错 1. 平方运算失误：两边平方时漏乘项，或符号错误，如误算为，正确应为。 2. 未检验解的有效性：未验证解是否满足根号下代数式非负，保留无效解，如代入。 3. 多次平方增根：多次平方后产生额外增根，未逐一检验排除。 4. 移项不当：未先将根号项单独放在一边再平方，如未先变形为。 16．（2025·上海·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 17．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 18．（2025·上海浦东新·二模）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， 经检验是原方程的增根，舍去， 原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 19．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解析：， ， ∴， 经检验是原方程增根，舍去； 所以原方程根为． 题型五：解二元二次方程组 易｜混｜易｜错 1. 代入消元变形错误：将一个方程移项或化简时符号出错，如误变为，正确应为。 2. 因式分解漏解：用因式分解法时，漏解其中一个因式对应的方程，如仅解，遗漏。 3. 未检验解：求解后未代入原方程组验证，导致解不满足所有方程。 4. 计算失误：代入后化简或解方程时数值错误，如合并同类项误算为。 20．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 【答案】或 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查解二元二次方程组，代入消元法．将方程组先转化为或，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴或， ∴或， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或． 21．（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组的一般步骤是解题的关键．由②得③，把①代入③求出进而求出方程组的解． 【详解】解：， 由②得③， 把①代入③得：④， 联立①④， 解得：， 故答案为：． 22．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，变形组中的方程②代入①，得一元二次方程，求解得出一个未知数的值，再代入变形后的方程求得另一个未知数的值． 【详解】解：， 由②得，③， 把③代入①，得， 整理，得． 解得，， 将代入③，得； 将代入③，得． 所以，原方程组的解是，． 23．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【知识点】二元二次方程组及其解法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 24．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 【答案】或 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 题型六：解一元一次不等式组 易｜混｜易｜错 1. 不等号方向错误：两边乘除负数时未改变不等号方向，如误解为，正确应为。 2. 公共解集判断错误：混淆“同大取大”“大小小大中间找”等口诀，取错公共部分。 3. 数轴表示失误：实心点（包含边界）与空心点（不包含边界）混淆，或方向画反。 4. 整数解遗漏：忽略边界附近的整数解，或多算不满足解集的整数。 5. 不等式变形错误：去括号、移项时符号出错，导致单个不等式解错，如误变为。 25．（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 26．（2025·上海虹口·二模）不等式组的解集是 ： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 27．（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为： 28．（2025·上海闵行·二模）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解①得：， 解②得：， ． 29．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 30．（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，乘法公式的应用，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，． 所以不等式组的解集为． 31．（2025·上海杨浦·二模）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别解出两个不等式的解，再归纳不等式组的解集，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，需要分别解两个不等式，再找出它们的解集的公共部分． 【详解】解： 由①，得， 由②，得：， ∴不等式组的解集为． 题型七：不等式的性质和应用 易｜混｜易｜错 1. 性质应用错误：两边乘除负数未变号，或移项时符号错误，如误变为。 2. 数轴与不等式对应错误：混淆数轴左右方向与不等号，如数轴上左边的数误判为更大 3. 实际应用忽略取值范围：未考虑变量的实际意义（如人数、长度为正整数），导致解不合理。 4. 多重不等关系叠加错误：多个不等式联立推导时，错误传递不等关系，如由、推出。 32．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 33．（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、实数与数轴、不等式的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的基本性质等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用数轴得出三个实数的大小关系，利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可知， A、根据不等式的基本性质，则 ， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、根据不等式的基本性质，则， ，故该选项正确，不符合题意； C、由数轴可得，，， ，故该选项错误，符合题意； D、由数轴可知，，， ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 34．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【答案】3 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可． 【详解】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 题型八：分式方程的应用 易｜混｜易｜错 1. 等量关系找错：行程问题（时间）、概率问题（概率）等核心关系混淆。 2. 单位不统一：未将路程、速度、时间等单位统一，直接代入计算。 3. 忽略实际意义：解为负数、零或小数（如人数为小数）未舍去。 4. 漏检验增根：仅检验方程增根，未检验解是否符合实际场景。 5. 去分母漏乘：列方程时去分母步骤错误，导致方程列错，如漏乘最简公分母。 35．（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，是原方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：学生返回时步行的速度为3千米/小时． 故选：B． 36．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 【答案】2 【知识点】根据概率公式计算概率、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了概率的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据概率公式列出分式方程是解题的关键． 设需往布袋里加入个红球．再根据题意列分式方程期间即可． 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 37．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 题型九：一元一次方程的应用 易｜混｜易｜错 1. 题意理解偏差：古代问题、实际场景题中，误解关键词含义，找错等量关系。 2. 单位混淆：设未知数时未明确单位，或不同单位未统一换算。 3. 计算错误：移项、合并同类项、系数化为1时数值出错，如误解为，正确应为。 4. 忽略变量限制：未考虑变量的取值范围（如长度为正、数量为整数），导致解不合理。 38．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 39．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 【答案】150 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 40．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 题型十：一元二次方程实际应用 易｜混｜易｜错 1. 增长率问题基数错误：如三月份产值为，五月份产值误写为，遗漏二次增长，正确应为。 2. 解的取舍不当：未舍去负数解、大于实际上限的解（如产量超过最大产能）。 3. 几何问题等量关系错误：未结合图形性质（如勾股定理、面积公式），列错方程。 4. 判别式应用失误：实际问题中未通过判别式判断解的合理性，保留无实际意义的解。 5. 变量定义模糊：设未知数时未明确“增长率”“降低率”的含义，导致方程列错。 41．（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设这个增长率为，那么四月份产值为，五月份产值为，然后根据五月份的产值要达到120万元，列出方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，那么有 故答案为：． 42．（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．根据某公司10月份的产值是120万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为，12月份的产值为万元，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 43．（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点，    ∵， ∴， ∵交边于点，交的延长线于点， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 44．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 1．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 2．（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程．先证明，推出，设，由勾股定理得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设，记和相交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 1．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 2．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $