专题01 数与式中的计算与化简求值问题（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题01 数与式中的计算与化简求值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1．混淆＂绝对值＂与＂相反数＂：误将负数的绝对值当作负数本身（如），或把正数的绝对值写成其相反数（如），忽略绝对值的非负性。 2．含字母的绝对值化简错误：未判断字母正负，直接将等同于，忽略时（如未分类讨论和的情况）。 3．绝对值运算与运算顺序冲突：在混合运算中，未先化简绝对值再进行其他运算（如误算为，正确结果为）。 4．忽略＂绝对值相等的数有两个＂：已知时，仅得出，遗漏的情况。 1．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）写出一个绝对值等于自身的值的数： ． 3．（2025·上海浦东新·三模）计算： ． 4．（2025·上海宝山·二模）计算：． 考点二：科学记数法与近似数 易｜混｜易｜错 1. 的取值范围错误：未满足，误将取大于10或小于1的数. 2. 的确定错误：表示大于1的数时，未按“整数位数减1”计算；表示小于1的数时，的绝对值未等于小数点移动位数，或符号出错. 3. 近似数有效数字判断错误：忽略从左边第一个非零数字起算，或遗漏末尾的0. 4. 单位换算失误：未统一单位直接表示，导致的值计算错误. 5．（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 6．（2025·上海崇明·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 7．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 8．（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 9．（2025·上海奉贤·三模）纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为 ． 10．（2025·上海·二模）在大自然中充满着数学之美，向日葵上的螺旋线顺时针有21条，逆时针有13条，那么顺时针条数和逆时针条数的比值约为 ．（结果保留三位有效数字） 考点三：求一个数的算术平方根 易｜混｜易｜错 1. 概念混淆：将算术平方根（非负）与平方根（正负两个）等同，如误将算为. 2. 无理数判断错误：把开得尽方的数（如）、分数、循环小数当作无理数. 3. 被开方数条件忽略：求算术平方根时，未确认被开方数为非负数，导致无意义运算. 11．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列实数中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·上海宝山·二模）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 考点四：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 0的特殊性质混淆：忽略0无倒数、0的0次幂无意义，误将0的任何次幂视为0。 2. 绝对值运算误区：去绝对值时未判断内部代数式正负，直接等同于代数式本身，忽略负数绝对值为相反数。 3. 平方根与算术平方根混淆：误将算术平方根（非负）当作平方根（正负两个），或求平方根时遗漏负根。 4. 幂运算公式错用：混淆同底数幂乘法（）与幂的乘方（），负指数幂误算为负数的幂。 5. 混合运算顺序错误：未遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”，遗漏符号计算导致结果错误。 14．（2025·上海·中考真题）计算：． 15．（2025·上海奉贤·三模）计算：． 16．（2025·上海浦东新·二模）计算：． 17．（2025·上海嘉定·二模）计算：． 18．（2025·上海金山·二模）计算：． 考点五：整式的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 合并同类项失误：系数加减错误，或混淆字母及指数，将非同类项强行合并。 2. 去括号符号出错：括号前是负号时，未将括号内所有项变号，仅改变首项符号。 3. 积的乘方疏漏：计算时，仅对其中一个因式乘方，忽略另一个因式。 4. 整体代入误用：未构造已知整体与所求代数式的关系，盲目代入单个字母值。 5. 运算顺序混乱：先进行加减运算再进行乘除运算，违背“先乘除后加减”法则。 19．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·上海崇明·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 21．（2025·上海徐汇·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·上海杨浦·二模）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·上海静安·二模）下列运算的结果等于的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2022·上海闵行·二模）下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．. 26．（2025·上海浦东新·二模）计算： ． 27．（2025·上海·二模）计算：= ． 28．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 29．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 考点六：因式分解 易｜混｜易｜错 1. 提公因式不彻底：未提取各项所有公因式（含系数最大公约数、相同字母最低次幂）。 2. 公式应用混淆：误用平方差公式（）与完全平方公式（），或符号错误。 3. 分组分解不当：分组后无法提取公因式或运用公式，未合理拆分多项式。 4. 实数范围内分解不彻底：如未分解为。 5. 结果形式错误：因式分解结果未化为整式乘积形式，仍含分式或加减运算。 30．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 31．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 32．（2025·上海静安·二模）分解因式： ． 33．（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ． 34．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 35．（2025·上海·模拟预测）若，则 ． 36．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 考点七：分式有无意义的条件 易｜混｜易｜错 1. 分母条件忽略：化简或求值时，未考虑分母不为0，选取使分母为0的字母值。 2. 分式值为0判断不全：仅关注分子为0，遗漏分母不为0的前提条件。 3. 化简变形失误：约分时分母与分子的非因式部分随意约去，或通分漏乘因式。 4. 定义域扩大：化简分式时，未保留原分母不为0的限制条件，导致定义域扩大。 37．（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 38．（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是 . 39．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 40．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 考点八：分母有理化 易｜混｜易｜错 1. 有理化操作错误：漏乘共轭根式（如未乘），或仅分子乘共轭根式。 2. 二次根式化简不彻底：有理化后仍含能开得尽方的因式，或分母未化为整数。 3. 符号处理失误：有理化过程中忽略符号，导致结果符号错误。 4. 运算顺序混淆：与乘除、加减运算结合时，未先进行有理化，导致计算繁琐或错误。 41．（2024·上海·中考真题）计算：． 42．（2025·上海闵行·一模）计算：． 43．（2025·上海静安·一模）计算：． 44．（2025·上海松江·二模）计算：． 45．（2025·上海虹口·二模）计算：． 46．（2025·上海青浦·二模）计算：． 47．（2025·上海黄浦·二模）计算：． 考点九：二次根式的性质和化简 易｜混｜易｜错 1. 被开方数非负忽略：化简时，未考虑的符号，直接等同于，忽略时为。 2. 性质应用错误：误用（未满足），或（未满足）。 3. 同类二次根式判断错误：未化简就判断，误将与（化简后为）视为非同类二次根式。 48．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 49．（2025·上海杨浦·二模）化简： ． 50．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 考点十：二次根式的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 运算顺序错误：先进行加减运算再进行乘除运算，或未先算括号内的运算。 2. 乘法公式应用失误：漏算中间项，或符号错误。 3. 结果未化简：运算后未将二次根式化为最简形式，或分母未有理化。 4. 幂运算结合错误：与零指数幂、负指数幂结合时，忽略其定义条件（如需）。 51．（2025·上海·二模）计算：． 52．（2025·上海崇明·二模）计算：． 53．（2025·上海·模拟预测）计算：． 54．（2025·上海·三模）计算：． 55．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 56．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 57．（2025·上海奉贤·一模）计算： 考点十一：分式化简求值 易｜混｜易｜错 1. 化简过程失误：通分时分母最简公分母找错，或约分时分子分母因式分解不彻底。 2. 代入取值错误：选取使原分式或化简过程中分母为0的字母值代入。 3. 二次根式结合错误：代入含二次根式的值时，未先有理化，导致计算复杂或结果不规范。 4. 符号处理不当：化简过程中符号出错，或代入负数时未注意偶次根式的非负性。 58．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 59．（2025·上海闵行·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 60．（2025·上海静安·二模）先化简，再求值：，其中． 61．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 62．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 63．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 1．（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·上海·模拟预测）计算：． 1．（2025·上海·二模）解方程：． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题01 数与式中的计算与化简求值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1．混淆＂绝对值＂与＂相反数＂：误将负数的绝对值当作负数本身（如），或把正数的绝对值写成其相反数（如），忽略绝对值的非负性。 2．含字母的绝对值化简错误：未判断字母正负，直接将等同于，忽略时（如未分类讨论和的情况）。 3．绝对值运算与运算顺序冲突：在混合运算中，未先化简绝对值再进行其他运算（如误算为，正确结果为）。 4．忽略＂绝对值相等的数有两个＂：已知时，仅得出，遗漏的情况。 1．（2025·上海·二模）在下列4个数中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先化简符号，求绝对值，然后比较大小即可． 【详解】解：，， 则， 故选：A 2．（2025·上海·模拟预测）写出一个绝对值等于自身的值的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握正数和的绝对值等于它本身是解题的关键．根据绝对值的性质，找出绝对值等于自身的数． 【详解】解：因为正数和的绝对值等于它本身， 所以可以取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·上海浦东新·三模）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是绝对值的化简，根据，正数的绝对值是它本身，化简绝对值即可. 【详解】解：， 故答案为： 4．（2025·上海宝山·二模）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊三角函数值，先计算负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 考点二：科学记数法与近似数 易｜混｜易｜错 1. 的取值范围错误：未满足，误将取大于10或小于1的数. 2. 的确定错误：表示大于1的数时，未按“整数位数减1”计算；表示小于1的数时，的绝对值未等于小数点移动位数，或符号出错. 3. 近似数有效数字判断错误：忽略从左边第一个非零数字起算，或遗漏末尾的0. 4. 单位换算失误：未统一单位直接表示，导致的值计算错误. 5．（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的表示方法，将大于10的数写成的形式，其中，n等于原数的整数位数减去1． 【详解】解：∵亿； 故答案为： ． 6．（2025·上海崇明·二模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：2360亿； 故答案为：． 7．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 8．（2025·上海青浦·二模）据统计，2025年清明假期4月4日至6日，蟠龙天地、和睦村等旅游景区共接待游客万人次．万人次用科学记数法表示为 人次． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 9．（2025·上海奉贤·三模）纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数字用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 10．（2025·上海·二模）在大自然中充满着数学之美，向日葵上的螺旋线顺时针有21条，逆时针有13条，那么顺时针条数和逆时针条数的比值约为 ．（结果保留三位有效数字） 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、 求比值 【分析】此题考查了比．根据题意列式求出比值即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 考点三：求一个数的算术平方根 易｜混｜易｜错 1. 概念混淆：将算术平方根（非负）与平方根（正负两个）等同，如误将算为. 2. 无理数判断错误：把开得尽方的数（如）、分数、循环小数当作无理数. 3. 被开方数条件忽略：求算术平方根时，未确认被开方数为非负数，导致无意义运算. 11．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列实数中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 根据无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 12．（2025·上海宝山·二模）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数，算术平方根，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是分数，是整数，是无限循环小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：A． 13．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴2025的算术平方根是45； 故选：C． 考点四：实数的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 0的特殊性质混淆：忽略0无倒数、0的0次幂无意义，误将0的任何次幂视为0。 2. 绝对值运算误区：去绝对值时未判断内部代数式正负，直接等同于代数式本身，忽略负数绝对值为相反数。 3. 平方根与算术平方根混淆：误将算术平方根（非负）当作平方根（正负两个），或求平方根时遗漏负根。 4. 幂运算公式错用：混淆同底数幂乘法（）与幂的乘方（），负指数幂误算为负数的幂。 5. 混合运算顺序错误：未遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”，遗漏符号计算导致结果错误。 14．（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 15．（2025·上海奉贤·三模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、化简绝对值、分母有理化，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 16．（2025·上海浦东新·二模）计算：． 【答案】2 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，零指数幂，解题的关键是熟练掌握相关运算法则；根据实数的混合运算，分母有理化，零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．（2025·上海嘉定·二模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18．（2025·上海金山·二模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、分数指数幂、分母有理化 【分析】该题考查了分数指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质等知识点，根据绝对值的性质、分数指数幂、分母有理化、负整数指数幂化简化简每一部分，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 考点五：整式的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 合并同类项失误：系数加减错误，或混淆字母及指数，将非同类项强行合并。 2. 去括号符号出错：括号前是负号时，未将括号内所有项变号，仅改变首项符号。 3. 积的乘方疏漏：计算时，仅对其中一个因式乘方，忽略另一个因式。 4. 整体代入误用：未构造已知整体与所求代数式的关系，盲目代入单个字母值。 5. 运算顺序混乱：先进行加减运算再进行乘除运算，违背“先乘除后加减”法则。 19．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 20．（2025·上海崇明·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 21．（2025·上海徐汇·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 22．（2025·上海杨浦·二模）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式除以单项式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 23．（2025·上海静安·二模）下列运算的结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意；         C． ，故该选项错误，不符合题意；         D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 24．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D． 25．（2022·上海闵行·二模）下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案． 【详解】A. ，选项错误，不符合题意；     B. ，选项正确，符合题意； C. ，选项错误，不符合题意；         D. ，选项错误，不符合题意；     故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 26．（2025·上海浦东新·二模）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 27．（2025·上海·二模）计算：= ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的除法运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的除法法则． 【详解】解： 故答案为：． 28．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 29．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ∴项的系数是 故答案为：． 考点六：因式分解 易｜混｜易｜错 1. 提公因式不彻底：未提取各项所有公因式（含系数最大公约数、相同字母最低次幂）。 2. 公式应用混淆：误用平方差公式（）与完全平方公式（），或符号错误。 3. 分组分解不当：分组后无法提取公因式或运用公式，未合理拆分多项式。 4. 实数范围内分解不彻底：如未分解为。 5. 结果形式错误：因式分解结果未化为整式乘积形式，仍含分式或加减运算。 30．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握如何找出多项式各项的公因式是解题的关键．本题可先找出多项式各项的公因式，再利用提取公因式的方法进行因式分解．确定公因式时，需从系数、字母以及字母的指数这几个方面来综合考虑． 【详解】解： 故答案为：． 31．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，根据因式分解的方法：1、提公因式法；2、公式法（完全平方式，平方差公式）；3、“十字相乘”法对其分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 32．（2025·上海静安·二模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．（2025·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（2025·上海·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解——运用公式法．先对等式的左边进行因式分解，进而得出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴． 故答案为：． 36．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、实数范围内分解因式 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 考点七：分式有无意义的条件 易｜混｜易｜错 1. 分母条件忽略：化简或求值时，未考虑分母不为0，选取使分母为0的字母值。 2. 分式值为0判断不全：仅关注分子为0，遗漏分母不为0的前提条件。 3. 化简变形失误：约分时分母与分子的非因式部分随意约去，或通分漏乘因式。 4. 定义域扩大：化简分式时，未保留原分母不为0的限制条件，导致定义域扩大。 37．（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 38．（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查函数的定义域及分式有意义的条件．根据分式有意义的条件即可得出函数的定义域． 【详解】解：由得， 故答案为：． 39．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 40．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、因式分解法解一元二次方程、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了定义域、分式的性质、解一元二次方程等知识，根据分式有意义的条件确定是解题关键．分解分式有意义的条件可知，然后解方程，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 当时，解得， 所以，函数的定义域为且． 故答案为：且． 考点八：分母有理化 易｜混｜易｜错 1. 有理化操作错误：漏乘共轭根式（如未乘），或仅分子乘共轭根式。 2. 二次根式化简不彻底：有理化后仍含能开得尽方的因式，或分母未化为整数。 3. 符号处理失误：有理化过程中忽略符号，导致结果符号错误。 4. 运算顺序混淆：与乘除、加减运算结合时，未先进行有理化，导致计算繁琐或错误。 41．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、零指数幂、分数指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 42．（2025·上海闵行·一模）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 43．（2025·上海静安·一模）计算：． 【答案】． 【知识点】负整数指数幂、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 44．（2025·上海松江·二模）计算：． 【答案】2 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及分数指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及分数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 45．（2025·上海虹口·二模）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、负整数指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了实数的混合运算，分母有理化，涉及零指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、负整数指数幂、立方根、幂的乘方，再分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 46．（2025·上海青浦·二模）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、分数指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据负整数指数幂，绝对值，分数指数幂及二次根式的运算法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 47．（2025·上海黄浦·二模）计算：． 【答案】 【知识点】分数指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂等．先化简绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 考点九：二次根式的性质和化简 易｜混｜易｜错 1. 被开方数非负忽略：化简时，未考虑的符号，直接等同于，忽略时为。 2. 性质应用错误：误用（未满足），或（未满足）。 3. 同类二次根式判断错误：未化简就判断，误将与（化简后为）视为非同类二次根式。 48．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 49．（2025·上海杨浦·二模）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为；． 50．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简． 根据公式，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 考点十：二次根式的混合运算 易｜混｜易｜错 1. 运算顺序错误：先进行加减运算再进行乘除运算，或未先算括号内的运算。 2. 乘法公式应用失误：漏算中间项，或符号错误。 3. 结果未化简：运算后未将二次根式化为最简形式，或分母未有理化。 4. 幂运算结合错误：与零指数幂、负指数幂结合时，忽略其定义条件（如需）。 51．（2025·上海·二模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值等知识．根据相关运算法计算即可． 【详解】解： ． 52．（2025·上海崇明·二模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的混合运算法则． 根据绝对值的性质、二次根式分母有理化、立方根、零次幂运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 53．（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】． 【知识点】求一个数的立方根、分数指数幂、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算，先由算术平方根，立方根的定义，分母有理化法则进行化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 54．（2025·上海·三模）计算：． 【答案】 【知识点】分数指数幂、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算等，先进行分数指数运算，分母有理化，负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握分数指数运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 55．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，分数指数幂，零指数幂及实数的绝对值等知识，正确进行计算是解题的关键；分母化，计算分数指数幂，实数的绝对值及零指数幂，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 56．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、分母有理化、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及含特殊角的三角函数值，零次幂，分母有理化．先代入特殊角的三角函数值，分母有理化，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 57．（2025·上海奉贤·一模）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 考点十一：分式化简求值 易｜混｜易｜错 1. 化简过程失误：通分时分母最简公分母找错，或约分时分子分母因式分解不彻底。 2. 代入取值错误：选取使原分式或化简过程中分母为0的字母值代入。 3. 二次根式结合错误：代入含二次根式的值时，未先有理化，导致计算复杂或结果不规范。 4. 符号处理不当：化简过程中符号出错，或代入负数时未注意偶次根式的非负性。 58．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 59．（2025·上海闵行·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 60．（2025·上海静安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内分式减法运算，再将除法化为乘法进行计算，最后再代入，分母有理化即可． 【详解】解：原式 ． 把代入，原式=． 61．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，包括因式分解、通分、约分等操作． 先对分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乖法，通过约分进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 当时， ． 62．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 63．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【知识点】分式化简求值、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值化简，再把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， 把代入，原式． 1．（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，对所给分式进行化简，并求值即可． 【详解】解：原式 . 当时， ； 3．（2025·上海·模拟预测）计算：． 【答案】0 【知识点】零指数幂、分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用零指数幂、分数指数幂的运算法则计算即可．做题关键要掌握零指数幂、分数指数幂的计算法则． 【详解】解：原式 ． 1．（2025·上海·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的运算以及分式方程的增根检验，解题关键是通过对原方程两边平方将无理方程转化为整式方程求解，再进行增根检验． 【详解】解： 解得： 经检验，是原方程增根，舍去 是原方程的解． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)是；是；是 (2) (3)，， 【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了新定义，特殊角三角函数的运算，多项式乘多项式，理解题中新定义是解题的关键． （1）根据题中复数的定义直接判断即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项即可； （3）设（、为实数），则，根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项得到，可知，然后由①得到，解得或，最后利用代入法解出、值即可得到答案． 【详解】（1）解：若（、为实数），则称为复数， ，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；，符合定义，是复数； 故答案为：是；是；是． （2）解： （3）解：根据题意，设（、为实数）， ， 则， ， ， ； ， 由①得，，解得或， 把代入②，得，解得，此时； 把代入②，得，解得， 此时，解得，此时； 原方程的解为，，． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $