第01讲 直线的倾斜角与斜率（知识梳理+4大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第01讲 直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的倾斜角 1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点2：直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 知识点3：直线斜率的坐标表示 1．公式：经过两点的直线的斜率公式为k=。 2．公式的推导 如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 知识点4：直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为，则 k=。 【题型1 直线的倾斜角】 例1 （24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 例2（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 变式1（25-26高二上·上海浦东新·月考）直线的倾斜角为 ． 变式2（24-25高二上·上海·月考）过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是． 【题型2 直线的斜率】 例3（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线的斜率为 . 变式2（24-25高二·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）直线在直角坐标平面内的斜率是，向量在直线上，求向量在轴上的投影向量． 【题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系】 例5（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 例6（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 变式1（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 . 变式2（21-22高二下·上海杨浦·期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【题型4 直线斜率与直线方向向量】 例7（20-21高二上·上海徐汇·期中）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 例8（20-21高二上·上海普陀·期末）若直线l的倾斜角为，则l的一个方向向量可以是 .(只需填写一个) 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）的一个方向向量为，则此直线的倾斜角为 变式2若直线的一个方向向量为则实数 . 变式3（20-21高二上·上海宝山·期中）已知直线. （1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量； （2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围. 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为 . 2．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    4．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 5．（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 6．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则 . 7．（24-25高二上·上海·月考）直线和直线的夹角为 ． 8．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 9．（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小为 . 10．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 11．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 12．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角的余弦值为 ． 二、单选题 13．（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 15．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 16．（24-25高二·上海·课堂例题）直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，且，，三点共线，求的最小值． 18．（24-25高二下·上海·随堂练习）在平面直角坐标系中有一个矩形，其中点O为坐标原点，点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标是，求直线和直线的倾斜角． 19．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 20．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 21．（24-25高二上·上海·月考）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线的倾斜角 1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点2：直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 知识点3：直线斜率的坐标表示 1．公式：经过两点的直线的斜率公式为k=。 2．公式的推导 如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 知识点4：直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线l的斜率为k 且直线过两点，的它的一个方向向量的坐标为，则 k=。 【题型1 直线的倾斜角】 例1 （24-25高二上·上海·月考）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】易知直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为. 故选：B 例2（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角． 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，设直线倾斜角为，则为钝角， 所以． 故选：A． 变式1（25-26高二上·上海浦东新·月考）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】由直线倾斜角定义可得答案. 【详解】直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为 故答案为：. 变式2（24-25高二上·上海·月考）过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为 ． 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角的概念与计算式，结合三角函数的诱导公式与反三角函数化简列方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 解得. 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】对直线的倾斜角分类讨论，运用三角形外角定理证明. 【详解】如图，直线相交于A点，分别与x轴交于B，C两点， 当时，如果，则； 如果是的外角，，， 即是的充要条件； 当时，则 轴，如果，则轴，； 如果，则，，即； 即是的充要条件. 【题型2 直线的斜率】 例3（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 例4（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线的斜率为 . 【答案】0 【分析】根据直线平行于x轴，即可得答案. 【详解】因为直线平行于x轴，故其斜率为0， 故答案为：0 变式2（24-25高二·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）直线在直角坐标平面内的斜率是，向量在直线上，求向量在轴上的投影向量． 【答案】或 【分析】结合题意求得，从而分类讨论，结合投影向量公式即可得解. 【详解】依题意，设向量与轴的夹角为，则， 可设轴正半轴上的单位向量为， 因为，即， 所以，故， 当时，， 所以向量在轴上的投影向量为； 当时，， 所以向量在轴上的投影向量为； 综上：向量在轴上的投影向量为或. 【题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系】 例5（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角. 【详解】由斜率公式得， 记直线l的倾斜角为，则，得. 故选：B 例6（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 变式1（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 . 【答案】1 【分析】 根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答. 【详解】 依题意，直线的斜率，又，则，解得， 所以. 故答案为：1 变式2（21-22高二下·上海杨浦·期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是 . 【答案】1 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】解：因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是， 故答案为：1 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 【题型4 直线斜率与直线方向向量】 例7（20-21高二上·上海徐汇·期中）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】由方向向量，斜率与倾斜角的关系求解 【详解】由得，故倾斜角的大小为， 故答案为： 例8（20-21高二上·上海普陀·期末）若直线l的倾斜角为，则l的一个方向向量可以是 .(只需填写一个) 【答案】 【解析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l的倾斜角为，故直线的斜率， 故方向向量的横纵坐标之比为， 故可以是， 故答案为：. 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）的一个方向向量为，则此直线的倾斜角为 【答案】 【解析】根据直线的一个方向向量可先求解出倾斜角的正切值，然后倾斜角可求. 【详解】设直线的倾斜角为，因为的一个方向向量为， 所以，所以， 故答案为：. 变式2若直线的一个方向向量为则实数 . 【答案】1. 【分析】求出直线的斜率，即可求解. 【详解】斜率为， 直线一个方向向量为 ，解得. 故答案为:1. 【点睛】本题考查直线方向向量与直线方程的关系，属于基础题. 变式3（20-21高二上·上海宝山·期中）已知直线. （1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量； （2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】（1）直线的一个方向向量为；（2）. 【解析】（1）将A代入直线l方程求a，写出直线方程即可得l的方向向量； （2）由直线方程得斜率，讨论a并利用基本不等式求k的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为， 故直线的一个方向向量为； （2）因为，所以直线的斜率， ∴当时，当且仅当时等号成立； 当时，当且仅当时等号成立； 综上有，可得倾斜角. 【点睛】结论点睛： 1、直线的方向量为或. 2、倾斜角与斜率k的关系：或. 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用倾斜角的定义，即可求解. 【详解】因为直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【答案】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 5．（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 6．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图象，找到所求角与直线的倾斜角的关系，利用诱导公式和同角的正余弦与正切之间的关系计算即得. 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·月考）直线和直线的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线方程确定对应的倾斜角，即可得. 【详解】由的倾斜角为，的斜率为，即倾斜角为， 所以两直线的夹角为. 故答案为： 8．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 9．（25-26高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】根据条件，先求出直线的斜率，根据的符号判断斜率的正负，进而确定倾斜角的范围，最后利用反正切函数表示出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得，所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 12．（25-26高二上·上海·月考）直线与直线的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】分别设、的倾斜角为、，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可. 【详解】设、的倾斜角分别为、，两直线夹角为， 则直线的斜率， 直线的斜率， 则， 则. 故答案为：. 二、单选题 13．（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角. 【详解】两直线的斜率，因为直线倾斜角范围为 则， 故两直线夹角， 故选：． 14．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 15．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 16．（24-25高二·上海·课堂例题）直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 又因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 所以， 设两直线夹角为，则， 又因为两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为. 故选：B. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，且，，三点共线，求的最小值． 【答案】16． 【分析】由A、B、C三点共线，可得点在直线上，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】根据，利用直线的两点式方程可求得直线AB的方程为． 又因为在该直线上，所以．又因为，故，． 根据基本不等式，从而（舍去）或， 故，当且仅当时取等号，即的最小值为16． 18．（24-25高二下·上海·随堂练习）在平面直角坐标系中有一个矩形，其中点O为坐标原点，点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标是，求直线和直线的倾斜角． 【答案】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为 【分析】依次得出的坐标，的斜率即可得解. 【详解】依题意可得， ，， 则，，又因为倾斜角的范围为， 所以直线OB的倾斜角为，直线AC的倾斜角为． 19．（25-26高二上·上海宝山·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 20．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【答案】(1)； (2)； 【分析】根据经过两点的直线斜率计算公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故； （2）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故. 21．（24-25高二上·上海·月考）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为， (2)直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得直线的斜率为，结合两点斜率公式列方程求，可得结论； （2）结合（1）可得，，表示三角形面积，结合基本不等式求其最值及此时点的坐标. 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $