专题02 直线的方程（六大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题02直线的方程 目录 新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络 基础知识：知识点全面梳理，掌握必备 学以致用：考点剖析，提升能力 小试牛刀：过关检测，成果评定 一．直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 二．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 三．直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 四．直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 五．中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 六．直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且． 即，且或． （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或． 即． 一．直线的点斜式方程（共2小题） 【例1】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为 ． 【变式】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是 　 ． 2． 直线的斜截式方程（共2小题） 【例2】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________. 【变式】（2023春·上海市青浦区·二模）过点与直线垂直的直线方程为 . 三．直线的两点式方程（共2小题） 【例3】（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中， 求边所在直线的方程 四．直线的截距式方程（共2小题） 【例4】（2022春•浦东新区校级期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是 　 　． 【变式1】（2022秋•浦东新区校级月考）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为　　． 【变式2】．