综合训练02 直线和圆的方程（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合训练2直线和圆的方程 题型一 直线的倾斜角 1 题型二 直线的斜率 2 题型三 两条直线的位置关系求参数 3 题型四 两条直线的位置关系 3 题型五 直线的方程 4 题型六 点关于直线的对称式 4 题型七 直线过定点 5 题型八 点到直线的距离 5 题型九 两条平行线的距离问题 6 题型十 面积问题 6 题型十一 和差最值 7 题型十二 圆的方程 7 题型十三 二元三次方程与圆的关系 8 题型十四 圆中弦长问题 8 题型十五 点与圆上的点距离问题 9 题型十六 圆上的点到直线距离位置问题 9 题型十七 圆的对称问题 10 题型十八 点与圆的位置关系 10 题型十九 圆中的将军饮马问题 10 题型二十 圆中最值问题 11 题型二十一 直线与圆位置关系 11 题型二十二 圆与圆的位置关系 12 题型二十三 圆的切线方程 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的倾斜角 1．已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 2．(24-25高二下·河南商丘·期末)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 4．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期末)已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 题型二 直线的斜率 1．(24-25高二上·山东东营·期末)已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 3．(23-24高二上·江苏泰州·期末)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·浙江台州·期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三 两条直线的位置关系求参数 1．(23-24高二上·北京昌平区·期末)已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高二上·河南郑州·期末)若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 3．(24-25高二上·广东深圳深圳科学高中·期末)“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高二上·甘肃·期末)已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 题型四 两条直线的位置关系 1．(23-24高二上·山东潍坊·期末)已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 2．(22-23高二上·辽宁五校（鞍山一中、大连二十四中等）·期末)直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 3．(24-25高二上·云南德宏州民族第一中学·期末)直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．(23-24高二上·江苏扬州·期末)（多选）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 题型五 直线的方程 1．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北廊坊·期末)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 3．(24-25高二上·河北邯郸·期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建福州·期末)（多选）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 题型六 点关于直线的对称式 1．(24-25高二上·江苏扬州·期末)点关于直线的对称点坐标为 ． 2．(20-21高二上·安徽合肥六校联盟·期末)已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 3．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在平面直角坐标系xOy中，若记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型七 直线过定点 1．(24-25高二上·江苏常州·期末)点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末) （多选）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 3．(24-25高二上·四川广安加德学校·期末)已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 4．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 题型八 点到直线的距离 1．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知在直线上，则的最小值为 ． 2．(24-25高二下·湖南长沙雅礼中学·期末)实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 4．(24-25高二上·广西玉林·期末) （多选）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当时，直线的倾斜角为 D．原点到直线的距离最大值为 题型九 两条平行线的距离问题 1．(24-25高二上·安徽智学大联考�皖中名校联盟合肥八中·期末)两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 2．、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 3．(24-25高二上·上海彭浦中学·期末)已知直线与直线的距离为，则 . 4．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 题型十 面积问题 1．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为 . 2．(24-25高二上·浙江杭州第四中学·期末)已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 3．(23-24高二上·贵州铜仁·期末)在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 4．(22-23高二上·河南郑州第九中学·期末)已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 题型十一 和差最值 1．(24-25高二上·河北石家庄第二中学教育集团·期末)已知，，则的最小值为 . 2．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 4．(24-25高二上·四川绵阳中学·期末)，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型十二 圆的方程 1．(24-25高二上·内蒙古包头·期末)过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 3．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 4．(24-25高二上·安徽六安第一中学·期末)已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型十三 二元三次方程与圆的关系 1．(24-25高二上·河南信阳·期末)圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·北京昌平区·期末)“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高二上·河南周口·期末)已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十四 圆中弦长问题 1．(22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔恒昌中学校·期末)已知AB是圆内过点的最短弦，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 3．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末) （多选）已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（   ） A．若圆C关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D．若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 4．(24-25高二下·河南周口商水县·期末) （多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 题型十五 点与圆上的点距离问题 1．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·北京第五中学·期末)在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为 . 3．(24-25高二上·高二数学期末模拟卷02（人教A版2019选择性必修第一册第二册）-学易金卷：·期末)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 4．(24-25高二上·山东菏泽曹县第一中学·期末)已知实数满足，则的最小值为 . 题型十六 圆上的点到直线距离位置问题 1．(24-25高二上·福建漳州·期末)已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高二上·四川泸县第五中学·期末)已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·新疆库车第一中学·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 4．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 题型十七 圆的对称问题 1．(24-25高二上·云南红河州、文山州·期末)已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 4．(23-24高二上·湖北十堰·期末)已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 题型十八 点与圆的位置关系 1．(24-25高二上·甘肃多校·期末)若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 2．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 3．(23-24高二上·湖北荆门·期末)已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·山西吕梁·期末)一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 题型十九 圆中的将军饮马问题 1．(23-24高二上·四川成都蓉城名校·期末)已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·四川凉山州宁南中学·期末)在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 题型二十 圆中最值问题 1．(23-24高二上·福建莆田第二十五中学·期末)已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 2．(24-25高二上·安徽黄山·期末) （多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 3．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末) （多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 4．(24-25高二上·海南海口第一中学·期末)已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 题型二十一 直线与圆位置关系 1．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·贵州毕节部分县区·期末)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·安徽滁州·期末)圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 4．(24-25高二下·河南开封·期末) （多选）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 题型二十二 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·河北唐山·期末)已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)圆与圆的公切线的条数是 条． 题型二十三 圆的切线方程 1．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·甘肃甘南藏族·期末)过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 3．(24-25高二下·安徽·期末)若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合训练2直线和圆的方程 题型一 直线的倾斜角 1 题型二 直线的斜率 3 题型三 两条直线的位置关系求参数 5 题型四 两条直线的位置关系 7 题型五 直线的方程 8 题型六 点关于直线的对称式 10 题型七 直线过定点 12 题型八 点到直线的距离 15 题型九 两条平行线的距离问题 16 题型十 面积问题 18 题型十一 和差最值 21 题型十二 圆的方程 24 题型十三 二元三次方程与圆的关系 25 题型十四 圆中弦长问题 26 题型十五 点与圆上的点距离问题 29 题型十六 圆上的点到直线距离位置问题 32 题型十七 圆的对称问题 34 题型十八 点与圆的位置关系 36 题型十九 圆中的将军饮马问题 37 题型二十 圆中最值问题 40 题型二十一 直线与圆位置关系 44 题型二十二 圆与圆的位置关系 46 题型二十三 圆的切线方程 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的倾斜角 1．已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【分析】先根据已知两点求出直线斜率，再利用斜率结合各选项中条件逐一判定选项． 【详解】 直线l经过点，， 直线l的斜率为 选项A：直线l的方程为，一般式为，故A错误； 选项B：直线的倾角，，倾斜角为，故B正确； 选项C、D：，方向向量为，法向量为，其中， 与不平行，不是直线的方向向量，故C错误； 与的数量积为，故不是直线的法向量，故D错误． 故选：B． 2．(24-25高二下·河南商丘·期末)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 3．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 4．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期末)已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 【答案】 【分析】由倾斜角与斜率的关系，利用同角三角函数的商数关系与平方关系即可求得结果. 【详解】，所以又，所以. 故答案为：. 题型二 直线的斜率 1．(24-25高二上·山东东营·期末)已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 2．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 3．(23-24高二上·江苏泰州·期末)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 4．(24-25高二上·浙江台州·期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 题型三 两条直线的位置关系求参数 1．(23-24高二上·北京昌平区·期末)已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．(23-24高二上·河南郑州·期末)若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线无交点，利用平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 3．(24-25高二上·广东深圳深圳科学高中·期末)“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行建立方程，根据充分、必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，可得，则，解得或， 当时，，则. 综上所述，“”可推出两直线平行，但由两直线平行推不出“", 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．(24-25高二上·甘肃·期末)已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【分析】求出直线平行的充要条件，再由充分不必要条件的定义即可得答案. 【详解】解：当直线平行时， 则有，解得或，经检验此时两直线平行， 所以直线平行的充要条件为或， 由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意. 故选：AC． 题型四 两条直线的位置关系 1．(23-24高二上·山东潍坊·期末)已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 2．(22-23高二上·辽宁五校（鞍山一中、大连二十四中等）·期末)直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 3．(24-25高二上·云南德宏州民族第一中学·期末)直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 4．(23-24高二上·江苏扬州·期末)（多选）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 题型五 直线的方程 1．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得直线的方向向量为直线的法向量，列出点法式方程即可求解. 【详解】由题意得直线的方向向量为直线的法向量， 由点法式方程可得， 所以. 故选：A. 2．(24-25高二上·河北廊坊·期末)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 3．(24-25高二上·河北邯郸·期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D 4．(24-25高二上·福建福州·期末)（多选）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【详解】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 题型六 点关于直线的对称式 1．(24-25高二上·江苏扬州·期末)点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 2．(20-21高二上·安徽合肥六校联盟·期末)已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C 3．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在平面直角坐标系xOy中，若记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 【详解】如图： 作点O关于直线的对称点C，则． 设，则有解得所以． 已知第一象限内的点，则， 而，，所以点P到y轴的距离为， 所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 过P作轴，显然有， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作轴，则即为最小值， 此时P的位置即为CH与直线的交点． 因为，所以的最小值为4． 故选：B 题型七 直线过定点 1．(24-25高二上·江苏常州·期末)点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 2．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末) （多选）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 3．(24-25高二上·四川广安加德学校·期末)已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)；． 【分析】（1）依题意可得，即可求出定点坐标； （2）设直线的方程为，表示出、，再由面积公式及基本不等式求出面积的最小值，从而求出的值，即可求出直线方程. 【详解】（1）由，可得， 令，解得，所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，， 令，得；令，得； 所以面积 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为4． 此时直线的方程为． 4．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可； （2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求. 【详解】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 题型八 点到直线的距离 1．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 2．(24-25高二下·湖南长沙雅礼中学·期末)实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 3．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 【答案】或4 【分析】由点到线的距离公式列出等式求解即可； 【详解】两点到直线的距离相等，则， 解得或4． 故答案为：或4 4．(24-25高二上·广西玉林·期末) （多选）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当时，直线的倾斜角为 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】ACD 【分析】根据直线平行和垂直的斜率公式求解判断选项AB，求得直线斜率可求得倾斜角判断C，利用时距离最大判断D. 【详解】对于A，当直线与直线平行时， ，解得，故A正确； 对于B，当直线与直线垂直时， ，解得，故B错误； 对于C，当时，直线，斜率为，所以倾斜角为，故C正确； 对于D，直线方程转化为， 令，解得，，所以直线过定点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大，且，则，解得， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 题型九 两条平行线的距离问题 1．(24-25高二上·安徽智学大联考�皖中名校联盟合肥八中·期末)两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据两直线平行的条件（），判断两直线平行求出，再由两平行直线间的距离公式求出，即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选C. 2．、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解． 【详解】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 3．(24-25高二上·上海彭浦中学·期末)已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 4．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 题型十 面积问题 1．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为 . 【答案】4或5 【分析】先判断的对称性，设出直线、直线的方程并与函数联立，根据列方程，由此化简求得正方形的面积. 【详解】由, 得函数关于点中心对称， 显然该正方形的中心为， 由正方形性质得于，且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 设，，则，， 联立直线方程与函数得，即， 所以，同理，     又， 所以，即， 化简得， 所以或， 当时， 当时， ， 所以或. 故答案为：4或5 2．(24-25高二上·浙江杭州第四中学·期末)已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 3．(23-24高二上·贵州铜仁·期末)在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 4．(22-23高二上·河南郑州第九中学·期末)已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 【答案】(1)直线过定点，证明见详解； (2) 【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明. （2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程. 【详解】（1）证明：方程化为： ， 由直线系方程的性质有：，解得， 故直线恒过点 （2）设直线， 则由题意得：，解得， 所以直线，即， 所以所求直线方程为：. 题型十一 和差最值 1．(24-25高二上·河北石家庄第二中学教育集团·期末)已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 2．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 3．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 4．(24-25高二上·四川绵阳中学·期末)，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 题型十二 圆的方程 1．(24-25高二上·内蒙古包头·期末)过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 2．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可. 【详解】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 故答案为：. 3．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解. 【详解】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D 4．(24-25高二上·安徽六安第一中学·期末)已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 题型十三 二元三次方程与圆的关系 1．(24-25高二上·河南信阳·期末)圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 2．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 3．(24-25高二上·北京昌平区·期末)“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 4．(24-25高二上·河南周口·期末)已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 题型十四 圆中弦长问题 1．(22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔恒昌中学校·期末)已知AB是圆内过点的最短弦，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出圆心与点的距离，再利用圆的性质计算作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 则，显然点在圆内，， 所以. 故选：B 2．已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离，半径，弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理可求出弦长. 【详解】圆， 所以圆的半径，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：. 3．(24-25高二下·福建厦门第一中学·期末) （多选）已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（   ） A．若圆C关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D．若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【分析】由直线过圆心计算判断A；求出最短弦长判断B；整理曲线方程，结合圆系方程判断C；由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D求解判断D. 【详解】依题意，直线过定点， 圆，即的圆心，半径， 对于A，由圆关于直线对称，得直线过圆心，则，A错误； 对于B，圆心到直线的距离的最大值为， 直线被圆心所截弦长的最小值为，B正确； 对于C，，直线，曲线的方程为， 因此曲线是过直线与圆的交点的曲线方程，C正确； 对于D，线段的垂直平分线，若四点共圆，设此圆的圆心为， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，因此直线的方程为， 而点在直线上，则，解得， 于是直线的斜率为，即，D错误. 故选：BC 4．(24-25高二下·河南周口商水县·期末) （多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 题型十五 点与圆上的点距离问题 1．(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简应用三角换元结合辅助角公式和三角函数值域计算可得. 【详解】因为， 所以， 设 则，所以. 故选：D. 2．(24-25高二上·北京第五中学·期末)在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 则， 当且仅当点为射线与圆的交点，点为射线与圆的交点时等号成立， 又， 所以点到点的距离的最大值为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·高二数学期末模拟卷02（人教A版2019选择性必修第一册第二册）-学易金卷：·期末)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 【答案】6 【分析】由点的坐标特点可得点在直线：上运动，则求点关于直线的对称点，则由求解即可. 【详解】设，则， 所以点在直线：上， 又圆的圆心，半径， 设圆心关于直线对称点， 则，解得， 所以， 所以圆：关于直线对称圆：， 如图： 连接交直线于点，则， 连接交圆于，则， 所以，故的最小值为6. 故答案为：6. 4．(24-25高二上·山东菏泽曹县第一中学·期末)已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 题型十六 圆上的点到直线距离位置问题 1．(24-25高二上·福建漳州·期末)已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由点和，动点P满足，得到点P的轨迹方程，再求距离最大值即可. 【详解】因为点和，动点P满足， 设点，所以，整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为直线恒过点， 当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值， 所以最大值为, 故选：C 2．(24-25高二上·四川泸县第五中学·期末)已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 3．(23-24高二上·新疆库车第一中学·期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 4．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 题型十七 圆的对称问题 1．(24-25高二上·云南红河州、文山州·期末)已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 2．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 3．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 4．(23-24高二上·湖北十堰·期末)已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 题型十八 点与圆的位置关系 1．(24-25高二上·甘肃多校·期末)若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 又点是圆 外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为： 2．(23-24高二上·河南漯河·期末)已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 3．(23-24高二上·湖北荆门·期末)已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 4．(24-25高二上·山西吕梁·期末)一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 题型十九 圆中的将军饮马问题 1．(23-24高二上·四川成都蓉城名校·期末)已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，取最小值. 故选：B. 2．(23-24高二上·四川凉山州宁南中学·期末)在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可. 【详解】设， 由， 得，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， 设，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键. 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，取，证明，再根据两点之间线段最短可求解. 【详解】当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，所以， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点， 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又，易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足， 下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且M位于N，D之间时，等号成立， 即最小值为. 故答案为：. 题型二十 圆中最值问题 1．(23-24高二上·福建莆田第二十五中学·期末)已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】利用三角换元的思想，结合三角函数最值的求法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为， 设，且， 且， 则， 当，时，取得最大值，故A错误； ， 所以当时，取得最小值，故B正确； ， 所以当时，取得最小值，故C错误； ， 所以当时，取得最大值，故D错误. 故选：B 【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程可转化为，类比，可以得到，则可进行三角换元如下：. 2．(24-25高二上·安徽黄山·期末) （多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 3．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末) （多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（   ） A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为 C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为 【答案】BCD 【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【详解】曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示： 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线交轴于点、、， 结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，则必有，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以， 因为，则，故， 故，即的最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线所围成图形面积为，D对. 故选：BCD. 4．(24-25高二上·海南海口第一中学·期末)已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 题型二十一 直线与圆位置关系 1．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 2．(24-25高二下·贵州毕节部分县区·期末)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D 3．(24-25高二下·安徽滁州·期末)圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 4．(24-25高二下·河南开封·期末) （多选）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 题型二十二 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】先根据圆的面积被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆的参数 ，确定圆的圆心和半径，再结合已知圆的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系. 【详解】圆可整理为，其圆心. 由题可知，直线经过圆心，即，解得， 因此圆，圆心，. 圆，圆心，. 圆心距，，， ，两圆相交. 故选：A. 2．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 3．(23-24高二上·河北唐山·期末)已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3， 而圆心距为5，故两圆外切， 所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 4．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 题型二十三 圆的切线方程 1．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．(24-25高二下·甘肃甘南藏族·期末)过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 3．(24-25高二下·安徽·期末)若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 4．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $