专题02 线与角（必备知识+十三大题型+分层训练）（期末复习讲义）四年级数学上学期北师大版

该小学数学“线与角”期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点细化线段、射线、直线的区别，角的分类与度量，垂直平行的特征等内容，构建清晰的知识脉络，突出概念辨析和操作技能等重难点。 讲义亮点在于题型设计贴近生活，如“最短路径问题”“道路铺设方案”等例题，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），角的计算与组合题强化推理意识（数学思维）。分层练习覆盖基础、重难、拓展，适配不同学生，助力教师实施精准教学。

专题02 线与角（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 线段、射线与直线的认识： 理解线段（两个端点、可度量）、射线（一个端点、无限延伸）、直线（无端点、双向无限延伸）的定义及区别，掌握用字母表示方法（如线段AB、射线AB、直线AB）。 准确区分线段、射线、直线，掌握其表示方法及特性，能规范画图。 多以填空、选择、判断题出现，考查基本概念辨析（如“射线是否可测量长度”）。 两点之间线段最短与距离： 理解“两点之间线段最短”的性质，掌握两点间距离的定义（连接两点的线段长度）。 能应用线段性质解决实际问题（如最短路径问题），准确计算两点间距离。 常结合生活场景（如从家到学校的最短路线）以选择题、应用题形式出现。 平行线的认识与画法： 理解平行线的定义（同一平面内不相交的两条直线），掌握用三角尺和直尺画平行线的方法。 能准确判断平行线，规范完成平行线的画图操作。 多以画图题、判断题出现，考查画图技能和概念理解。 垂直的认识与画法： 理解垂直的定义（两条直线相交成直角），掌握用三角尺画垂线的方法，认识垂足和点到直线的距离。 能判断垂直关系，规范画垂线，理解垂线段最短的性质。 能判断垂直关系，规范画垂线，理解垂线段最短的性质。 角的定义与分类： 理解角的定义（由一个顶点引出的两条射线组成），掌握锐角（<90°）、直角（=90°）、钝角（>90°且<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）的分类及关系。 能准确判断角的类型，理解各类角的大小关系（如锐角<直角<钝角<平角<周角）。 多以选择题、填空题出现，考查角度分类和比较（如“一个周角等于几个直角”）。 角的度量与画法： 掌握角的度量单位（度，符号“°”），认识量角器的结构，熟练用量角器量角和画指定度数的角。 能规范使用量角器，准确测量和绘制角度，避免内外圈刻度混淆。 常以量角、画角题出现，考查操作技能（如“用量角器画出75°的角”）。 角的计算与组合： 理解角的大小与边的长短无关，与张口大小有关；掌握角的组合与分解（如直角+锐角=钝角）。 理解角的大小与边的长短无关，与张口大小有关；掌握角的组合与分解（如直角+锐角=钝角）。 多以解决问题形式出现，考查逻辑推理能力（如“已知∠1=30°，求∠2的度数”）。 知识点01：直线、线段和射线的认识 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 知识点02：角的概念和表示 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 知识点03：垂直与平行的特征及性质 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 知识点04：角的度量 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 知识点05：画指定度数的角 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角 题型一 线段、直线、射线的认识及特征 【例1】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）在讨论各种“线”时，说的是射线的是（    ）。 A．踢起足球后的路线 B．太阳发出的光线 C．拉直的一段毛线 【答案】B 【思路引导】直线没有端点，是可以无限延伸的，线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，据此解答。 【规范解答】A．踢起足球后的路线不是直的，所以不是射线，不符合题意； B．把太阳看做是一个端点，那么太阳发出的光线是射线，符合题意； C．拉直的一段毛线，有两个端点，是一条线段，不符合题意。 故答案为：B 【变式】（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）数一数下图中共有（    ）条线段。 A．10 B．8 C．5 【答案】A 【思路引导】相邻两点之间的线段叫基础线段，这样的线段有4条，由2条基础线段组成的线段有3条，由3条基础线段组成的线段有2条，由4条基础线段组成的线段有1条，共4＋3＋2＋1＝10条，据此解答。 【规范解答】由分析可知图中共有4＋3＋2＋1＝10（条）线段。 故答案为：A 题型二 两点间线段最短与两点间的距离 【例2】（21-22四年级上·陕西咸阳·期末）如图，从林林家到图书馆走( )号路最近。 【答案】③ 【思路引导】根据两点之间，线段最短，解答此题即可。 【规范解答】由于两点之间，线段的距离是最短的，所以从林林家到图书馆走③号路最近。 【考点剖析】熟练掌握两点之间，线段最短的知识，是解答此题的关键。 【变式】（21-22四年级上·安徽六安·期末）画一画。    （1）甲村到乙村要铺设一条水管，怎样铺才最节省材料？在上图中画出来。 （2）甲村要修一条路通往高速公路，怎样修最近？在上图中画出来。 【答案】见详解。 【思路引导】（1）根据两点之间，线段最短，画出线段即可。 （2）根据在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短的知识，画出垂线段即可。 【规范解答】通过图示以及题目要求，本题需要用到线段的知识来解答。两点之间，线段最短，因此在甲村和乙村之间，直接画一条线段连接甲村和乙村就可得出最节省材料的情况。从甲村修路到高速公路，如何修最近，可以看成从甲村引出一条线段与高速公路相连，在所有的连接线段中，垂线段最短，因此根据上述内容，画出线段即可。如图所示：    【考点剖析】本题考查学生对线段知识的理解与掌握，学生需要熟记两点之间，线段最短以及垂线段最短的知识，即可解答此题。 题型三 垂直的特征 【例3】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）小亮要从A点出发横穿马路，怎样走最近？画一画。 【答案】见详解 【思路引导】把马路看做一条直线，利用点到直线的所有的连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题，从A点向马路画垂线即可。 【规范解答】根据分析画图如下： 【变式】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走哪条路最近？为什么？ （2）王大爷每天都去河边钓鱼，他怎样走最近？在图中画出来。 【答案】（1）第②条路最近； 因为两点之间线段最短。 （2）王大爷去河边挑水应走垂直线；见详解 【思路引导】（1）首先明确两点之间线段最短，王大爷去集市走第②条路最近。 （2）直线外一点到直线的线段中， 垂线段最短， 所以王大爷去河边挑水应走垂直线。从王大爷家向河边画垂线即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）王大爷去集市走第②条路最近， 因为两点之间线段最短。 （2）王大爷去河边挑水应走垂直线。画图如下： 题型四 画垂线 【例4】（24-25四年级上·浙江金华·期末）过直线外一点画出已知直线的垂线。 【答案】见详解 【思路引导】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即是过A点的垂线。 【规范解答】作图如下： 【变式】（24-25四年级上·广东韶关·期末）为了提升区域道路通行能力，新华村委正在筹备修路工程。 （1）请画出从新华村到村委会最近的一条路。 （2）从新华村修一条公路到国道，怎样修最近？请画一画。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）两点之间线段最短。由题意得，要画一条从新华村到村委会最近的路，直接从新华村出发，到村委会做一条线段即可。 （2）点到直线上的所有点的连线中，只有垂直线段最短。过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条线段，并画上垂直符号。这条线段就是已知直线的垂线。由题意得，要画一条从新华村到公路最近的国道，可以从新华村出发，向国道做一条垂线段即可。 【规范解答】（1）（2）如图： 题型五 点到直线的距离 【例5】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）要在A或B道路上建一个地铁出站口，P处是大型写字楼，问地铁出站口设在哪条道路上，才能使在该写字楼的工作人员到地铁出站口最近？请把这个地铁出站口用点C表示出来，并保留作图痕迹。 【答案】见详解 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。所以在垂线段与直线的交点处设地铁口，才能使在该写字楼工作的人到地铁口最近。 分别过点P向道路A和道路B作垂线，并标出垂足点。经测量发现，点P与B道路的距离更近，所以地铁口应设在点C。 【规范解答】根据分析画图如下： 经测量发现，点P与B道路的距离更近，所以地铁口应设在点C。 【变式】（23-24四年级上·陕西延安·期末）一只鸭子在池塘中游泳，游到点A处时它想尽快游上岸，请你在图中画出鸭子游上岸的最短路线。 【答案】见详解 【思路引导】根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，也就是说，鸭子要想尽快游上岸，它游的路线应该是从点A向岸边作的垂线段。让三角板其中一条直角边与池塘岸边所在的直线完全重合，平移三角板，使得三角板的另一条直角边恰好经过图中的点A，沿着经过点A的这条直角边，从点A开始，向岸边所在直线画一条线段，标上垂直符号。 【规范解答】如图： 题型六 平行的特征及性质 【例6】（24-25四年级上·福建泉州·期末）观察平面图，下列说法正确的是（    ）。 ①思齐路与自强路互相垂直 ②自强路与向上路互相垂直 ③思齐路与向上路互相平行 A．① B．①② C．③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】从图中可见，思齐路与自强路相交成直角，互相垂直；自强路与向上路相交成直角，互相垂直；思齐路与向上路永不相交，互相平行。 【规范解答】由分析可知：①②③说法都正确。 故答案为：D 【变式】（24-25四年级上·四川成都·期末）在直线、射线、线段这三种图形中、只有( )可以度量长度。同平面内，过直线外一点，可以画( )条直线与已知直线平行。 【答案】 线段 1 【思路引导】直线上任意两点之间的一段叫做线段。把线段的一端无限延长，得到一条射线。线段向两端无限延长，得到一条直线。所以，只有线段可以度量长度。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同平面内，过直线外一点，可以画1条直线与已知直线平行。以此答题即可。      【规范解答】根据分析可知： 在直线、射线、线段这三种图形中、只有线段可以度量长度。同平面内，过直线外一点，可以画1条直线与已知直线平行。 题型七 画平行线 【例7】（24-25四年级上·四川成都·期末）下图是一块平行四边形的露营地，奇思在这块露营地的小路上跑步，淘气在草坪上跑步。 （1）淘气跑的路线与小路平行，请你画一条直线表示淘气跑步的路线。 （2）笑笑想走到奇思所在的这条小路，请你画出她去这条小路的最短路线。 【答案】见详解 【思路引导】（1）固定三角尺，使其一条直角边和小路的一边重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使淘气这一点位于该直角边上，沿着这条直角边再画出一条直线，这条直线就是淘气跑步的路线； （2）从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，所以作笑笑到奇思所在的这条小路的垂线段，路线最短；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与小路的一边重合，让三角尺的另一条直角边通过笑笑这一点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是笑笑去这条小路的最短路线。 【规范解答】（1）（2）如下图： 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）下图是一街区的平面示意图。 （1）幸福小区准备铺设天然气管道，天然气主管道在鹏程东路上，怎样铺设才能最节省管道？请在图中画出示意图。 （2）步行街在幸福小区与喷泉广场之间，恰好与鹏程东路平行。请在图中画出步行街的大概位置。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从幸福小区作鹏程东路的垂线段，沿垂线段铺设最节省管道，据此图中画出示意图； （2）根据题意，用三角尺一条直角边和鹏程东路重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使步行街位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是在幸福小区与喷泉广场之间与鹏程东路平行的步行街。 【规范解答】 题型八 平角、周角的认识及特征 【例8】（24-25四年级上·山西吕梁·期末）在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 【答案】 平 周 直 【思路引导】7月29日18：00时，时针指向6，分针指向12。 每小时对应的角度是：360°÷12＝30°，时针和分针的夹角为6×30°＝180°。180°的角是平角。 8月3日00：00（午夜12点整）  时针和分针均指向12，完全重合。 此时两针夹角为0°（最小角）或360°（完整圆周）。 在小学数学中，360°的角称为周角，因此填周角。 8月6日21：00时，时针指向9，分针指向12。 时针角度为3×30°＝90°。90°的角是直角。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 360°÷12＝30° 6×30°＝180° 3×30°＝90° 在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作平角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作周角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作直角。 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）如图，鹏鹏家的一盏台灯。估一估两根灯杆的夹角（即图中∠1）大约是多少度？（    ） A．70° B．90° C．130° D．170° 【答案】C 【思路引导】直角为90°，平角为180°，观察图中两根灯杆的夹角，图中两根灯杆的夹角明显比直角张开得更大，发现它明显大于90°，从图中可以看出两根灯杆的夹角还没有达到平角的程度，据此解答即可。 【规范解答】A．由分析可知， ∠1＞90°＞70° 所以估一估两根灯杆的夹角不可能是70°。 不符合题意。 B．由分析可知， ∠1＞90° 所以估一估两根灯杆的夹角不可能是90°。 不符合题意。 C．90°＜130°＜180° 所以两根灯杆的夹角可能是130°。 符合题意。 D．170°非常接近平角180°，但从图中可以看出两根灯杆的夹角并没有那么接近平角，所以估一估两根灯杆的夹角不可能是170°。 不符合题意。 故答案为：C 题型九 角的大小比较 【例9】（24-25四年级上·安徽六安·期末）用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是( )。 【答案】35° 【思路引导】角的大小和两条边的开口大小有关，而与两条边的长短无关。由题意得，用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，角的两条边和顶点被放大了，但两条边的开口大小不变，所以看到的角的度数还是35°。 【规范解答】用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是35°。 【变式】一个角比直角大25°，它的度数是( )，它是( )角；一个角比直角小32°，它的度数是( )，它是( )角。 【答案】 115° 钝 58° 锐 【思路引导】直角的度数为90°，一个角比直角大25°，它的度数用加法计算即可；一个角比直角小32°，它的度数用减法计算即可；大于90°，小于180°的角为钝角；大于0°，小于90°的角为锐角。 【规范解答】由于90°＋25°＝115°，180°＞115°＞90°； 90°－32°＝58°，0°＜58°＜90°； 所以一个角比直角大25°，它的度数是115°，它是钝角；一个角比直角小32°，它的度数是58°，它是锐角。 【考点剖析】本题主要考查了角的分类及大小关系。 题型十 角的度量 【例10】（24-25四年级上·福建泉州·期末）按要求作图。 （1）以图①O点为顶点，画一个65°角。 （2）比一比，∠O ○ ∠A。 （3）在图②中，过点D画一条到线AB距离最近的线段，这条线段与线段BC的位置关系是（    ）。 【答案】（1）图见详解 （2）∠O ＞ ∠A （3）图见详解；平行 【思路引导】（1）画角的步骤是：使量角器的中心和O点重合，0°刻度线和已知射线重合，然后在量角器65°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线； （2）用量角器测量出∠A的度数，再比较；用量角器测量角时，量角器的中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合，另一边所指的刻度就是角的大小； （3）从线段外一点到这条线段所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到线段的距离；把直角三角尺的一边与线段AB重合，使得D点在另一条直角边上，过点D沿着另一条直角边画线段交AB与E点，即DE为点D到AB的距离（标上垂直符号），也就是到线AB距离最近的线段。两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行，据此解答。 【规范解答】（1）65°角如下图： （2）根据分析可测量出∠A＝58°，65°＞58°，也就是∠O ＞ ∠A； （3）根据分析可画出到线AB距离最近的线段DE，如下图： 根据题意可知，线段DE和线段BC都与线段AB垂直，所以DE∥AB，也就是这条线段与线段BC的位置关系是平行。 【变式】（24-25四年级上·四川成都·期末）思思在观看爸爸打台球时发现，当球撞向桌边时，就会向另一个方向弹走，如图所示。 （1）观察射入角和射出角，猜想射入角、射出角有什么关系？量一量，验证你的猜想。 猜想： 射入角射出角 验证：量一量 ∠1＝（    ）°   ∠2＝（    ）°   ∠1∠2 ∠3＝（    ）°   ∠4＝（    ）°   ∠3∠4 结论： 射入角射出角 （2）运用上面的结论，补全下面的台球行进路线。 【答案】（1）＝；40；40；＝；50；50；＝；＝ （2）见详解 【思路引导】（1）台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，我发现射入角和射出角这两个角相等； 量角的度数的正确方法是： ①点点重合，即量角器的中心与角的顶点重合； ②线边重合，即量角器的0刻度线与角的一边重合； ③角的开口向右，量角时一般看量角器的内圈刻度；角的开口向左，量角时一般看量角器的外圈刻度； ④量完角后，一定要在角的开口的位置标上角的度数； （2）画角的方法：①画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合； ②在量角器相应度数刻度线的地方点一个点； ③以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【规范解答】（1）如下： 猜想： 射入角＝射出角 验证：量一量 ∠1＝40°   ∠2＝40°   ∠1＝∠2 ∠3＝50°   ∠4＝50°   ∠3＝∠4 结论： 射入角＝射出角 （2）台球行进路线如下图所示： 题型十一 用量角器画角 【例11】（24-25四年级上·安徽芜湖·期末）画出、和的角。 【答案】画图见详解 【思路引导】根据用量角器画角的方法：先画一条射线作为角的一条边，再把量角器的中心点与射线的端点重合，把量角器的0°刻度线与这条射线重合；再从这条0°刻度线数起，找到对应度数的刻度，打上一点，连接第一条射线的端点和这一点并延长作另一条射线，再标上角的符号和度数。据此画角。 【规范解答】根据分析，画角如下： 【变式】（24-25四年级上·福建泉州·期末）请你在下面这个破损的量角器上画一个50°的角。右图数线中能比较准确表示出左边量角器中画出的角的度数的点是（    ）。 【答案】图见详解；② 【思路引导】这个破损的量角器先找到量角器中心，将量角器上任意两个刻度的刻度线向下延长相交于一点即为量角器中心，画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，50°刻度线（起始刻度可以任选）和射线重合。50°＋50°＝100°，在量角器100°刻度线的地方点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 从图中观察③是线段的中点，也就是180°的一半是90°；①比中点90°的一半还小，所以比50°小；②比中点90°的一半大一点，可能是50°；④比中点90°还大，不可能是50°。所以能比较准确表示出左边量角器中画出的角的度数的点是②。 【规范解答】由分析可知右图数线中能比较准确表示出左边量角器中画出的角的度数的点是②。 题型十二 用三角尺画角 【例12】（24-25四年级上·广东揭阳·期末）用一副三角尺可以画出（    ）的角。 A．130° B．170° C．80° D．15° 【答案】D 【思路引导】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，可得到的角有60°－45°＝15°，60°＋45°＝105°，60°＋90°＝150°，90°＋45°＝135°，90°＋30°＝120°，30°＋45°＝75°，据此即可解答。 【规范解答】A．用一副三角尺不可以画出130°的角。 B．用一副三角尺不可以画出170°的角。 C．用一副三角尺不可以画出80°的角。 D．60°－45°＝15°，因此用一副三角尺可以画出15°的角。 故答案为：D 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）笑笑用一副三角板拼角（如图所示），请你写出如图各角度数。 ∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 30 45 75 【思路引导】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°。∠3＝∠1＋∠2。 【规范解答】30°＋45°＝75° ∠1＝30°，∠2＝45°，∠3＝75°。 题型十三 角度的计算 【例13】（24-25四年级上·浙江金华·期末）把一张正方形纸按图折叠，如果，那么（    ）。 A．35 B．55 C．25 D．20 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，∠1与∠2之间的角大小与∠1相等，并且这三个角即两个∠1与一个∠2组成了一个直角，直角度数是90°，则用90°减去2个∠1的度数即可求出∠2。 【规范解答】90°－2×35° ＝90°－70° ＝20° ∠2＝20。 故答案为：D 【变式】24-25四年级上·广东深圳·期末）先量出∠1的度数，并标上度数，再在右边有所破损的量角器上画一个与∠1一样大的角。 【答案】图见详解 【思路引导】度量方法：量角要注意两对齐，量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐。做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。 根据角的度量方法量出∠1即可。 已知∠1为100°，看外内圈时，只要使两个度数的差为100°，所形成的角就是100°，例如外圈的140°和40°，以量角器的中心点为顶点，连接 140°和40°的刻度线，即可画出一个与∠1一样大的角。 【规范解答】如图： （答案不唯一） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26四年级上·四川成都·期中）下列角度中，用一副三角板不可以拼出的是（    ）。 A．75 B．110 C．150 D．180 【答案】B 【思路引导】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此计算。 【规范解答】A．45°＋30°＝75°，因此用一副三角板可以拼出75°的角。 B．用一副三角板不可以拼出110°的角。 C．90°＋60°＝150°，因此用一副三角板可以拼出150°的角。 D．90°＋90°＝180°，因此用一副三角板可以拼出180°的角。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·浙江金华·期末）两块三角板如图所示摆放，等于（    ）。 A．45° B．75° C．105° D．135° 【答案】C 【思路引导】 两块三角板的度数分别是90°、60°、30°；90°、45°、45°；∠1和∠2、∠3构成一个180°的平角，∠2＝30°，∠3＝45°，所以∠1＝180°－30°－45°，据此解题。 【规范解答】180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° 两块三角板如图所示摆放，等于105°。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·浙江金华·期末）用一副三角尺可以拼成一些角，下面的角不可能拼成的是（    ）。 A．105° B．75° C．130° D．15° 【答案】C 【思路引导】一副三角板有二块，一个等腰直角三角板的角有45°、45°、90°；另一个直角三角板的度数有30°、60°、90°；用它们进行拼组，就是用角度加减，看是否能得出各选项的角度即可。 【规范解答】A．60°＋45°＝105°，一副三角尺能画出105°的角。 B．30°＋45°＝75°，一副三角尺能画75°的角。 C．用一副三角尺不能拼出130°； D．60°－45°＝15°，一副三角尺能画出15°的角。 故答案为：C 4．（23-24四年级上·天津滨海新·期末）如图，已知∠2＝23°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 67 157 【思路引导】如图，∠1和∠2还有一个直角组成一个平角，平角是180°，直角是90°，所以∠1和∠2也是90°。用90°减去∠2的度数，就是∠1的度数。∠2和∠3组成平角，用180°减去∠2度数，就是∠3的度数。 【规范解答】90°－23°＝67° 180°－23°＝157° 所以，∠1＝67°，∠3＝157° 5．（14-15四年级·全国·期末）线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。 【答案】 2 1 没有 【思路引导】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。 【规范解答】线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点。 6．（25-26四年级上·广东深圳·月考）将一张三角形纸的一个角折起来（如图），，则( )°。 【答案】70 【思路引导】平角为180°角，根据折叠图形的性质，折叠前后角度大小不变，两个∠2和∠1组成了有一个平角，可用一个平角的度数减去2∠2的度数，得到∠1的大小。 【规范解答】 ＝180°－110° ＝70° 综上可知，将一张三角形纸的一个角折起来（如图），∠2＝55°，则。 7．（2014四年级·全国·课后作业）用一副三角尺可以拼出135°的角。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一副三角尺包含两个直角三角板，角度分别为45°、45°、90°和30°、60°、90°。通过将两个三角尺的角的度数相加，可以拼出135°的角。 【规范解答】将90°的角（来自三角尺）和45°的角（来自等腰直角三角尺）拼接，得到90°＋45°＝135°。因此，用一副三角尺可以拼出135°的角，原题说法正确。 故答案为：√ 8．（23-24四年级上·河北·课后作业）9：30时，钟面上的时针和分针互相垂直。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】同一平面内两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；钟面上每个大格对应30°，9：30时，此时分针指向6，时针指向9和10中间，9到6之间的角度为3×30＝90°，所以9：30时分针与时针之间的夹角一定大于90°，据此判断。 【规范解答】根据分析可知： 9：30时分针与时针之间的夹角大于90°，所以钟面上的时针与分钟不垂直，原题说法错误。 故答案为：× 9．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）量出下列各角的度数，并说一说这些角各是什么角。 【答案】答案见详解 【思路引导】首先用量角器量出每个角的度数，根据角的分类：大于0°小于90°的是锐角；等于90°的是直角；大于90°小于180°的是钝角。据此解答即可。量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度几，这个角就是几度，看刻度分清内外圈。 【规范解答】量出的各角的度数和对应的角如下图所示： 10．（23-24四年级上·四川成都·期末）如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 【答案】 【思路引导】两点之间，线段最短，先在A点和B点之间连一条线段；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，再连接点B作一条到岸上的垂线；据此作图。 【规范解答】由分析知，如图： 理由：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角是（    ）。 A．150° B．30° C．15° D．5° 【答案】C 【思路引导】角的大小由两边张开的大小决定，而与两条边的长短无关。由题意得，一个15°的角，用放大10倍的放大镜来看，这个角的两条边被放大了，但两条边张开的大小不变，所以这个角的度数不变。 【规范解答】由分析得，一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角，这个角还是15°。 故答案为：C 2．把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，另一个一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】A 【思路引导】已知平角是180°，直角是90°，锐角小于90°，钝角大于90°小于180°；根据题意，把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，大于90°小于180°，用180°减去一个大于90°的角，结果必然比90°小，则另一个角一定小于90°，就是锐角。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 例如：一个角是91°，则另一个角是180°－91°＝89°，所以另一个角是锐角。 所以，把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，另一个一定是锐角。 故答案为：A 3．（25-26四年级上·广东深圳·月考）如图中有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】以左起第一个点为首端的线段有4条，以左起第二个点为首端的线段有3条，以左起第三个点为首端的线段有2条，以左起第四个点为首端的线段有1条，依此计算出线段的总条数即可。 【规范解答】4＋3＋2＋1＝10（条） 图中有10条线段。 故答案为：B 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）钟面上6：00时，时针与分针的夹角是( )角；从上午9：00到下午3：00，时针旋转了( )°，相当于( )个直角的度数之和。 【答案】 平 180 2 【思路引导】当角的两边成一条直线时，所组成的角是平角；6：00时，分针指着12，时针指着6，这时分针与时针成一条直线，所以它们的夹角是平角；把钟面看成一个周角是360°，钟面上一共有12个大格，每个大格是30°；上午9：00时针指着9，下午3：00时针指着3，从上午9：00到下午3：00钟表的时针转过了6个大格，即旋转了30°×6＝180°，直角是90°，180°中有2个90°也就是2个直角，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 钟面上6：00时，时针与分针的夹角是平角；从上午9：00到下午3：00，时针旋转了180°，相当于2个直角的度数之和。 5．（24-25四年级上·四川成都·期中）如图，∠1＝45°，∠2＝30°，那么∠3＝( )，∠4＝( )。 【答案】 105° 45° 【思路引导】根据题意，∠1、∠2、∠3组成一个平角，平角＝180°，所以∠3＝180°－∠1－∠2，又因为∠2、∠3、∠4组成一个平角，所以∠4＝180°－∠2－∠3。据此解答即可。 【规范解答】180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° 180°－30°－105° ＝150°－105° ＝45° 所以，∠3＝105°，∠4＝45°。 6．（24-25四年级上·福建泉州·期末）一张长方形的纸（如图），折起来后∠1＝75°，那么∠2＝( )°。 【答案】30 【思路引导】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形，即2个∠1和一个∠2之和是180度，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： ∠1＋∠1＋∠2＝180° 75°＋75°＋∠2＝180° ∠2＝180°－75°－75°＝30° 7．（21-22四年级上·重庆大足·期末）书上有一个20°的角，用5倍的放大镜看是100°。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】角的大小与两条边的开口大小有关，与两条边的长度无关。据此解答。 【规范解答】书上有一个20°的角，用5倍的放大镜看之后，虽然两条边变长了，但是两条边的开口大小没有改变，所以这个角仍然是20°。 故答案为：× 8．（23-24四年级上·安徽六安·期末）把一张长方形的纸连续对折两次后展开，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】如下图，如果两次都朝一个方向折叠，折痕互相平行；如果两次分别朝两个方向折叠即先上下折，然后再左右折，折痕互相垂直；据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，把一张长方形的纸连续对折两次后展开，折痕可能互相平行，也可能互相垂直，原说法正确。 故答案为：√ 9．（23-24四年级上·陕西延安·期末）如图是由两个相同的三角尺拼成的，∠1＝58°，求∠2，∠3的度数。 【答案】∠2＝32°；∠3＝58° 【思路引导】根据题图可知，∠1与∠2拼成三角尺的直角，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，又已知∠1＝58°，代入数据，即可求出∠2；∠2与∠3拼成三角尺的直角，所以∠3＝90°－∠2，代入求出的∠2的度数，即可求出∠3的度数。据此解答。 【规范解答】因为∠1＋∠2＝90°，∠1＝58° 所以∠2＝90°－∠1 ＝90°－58° ＝32° 又因为∠3＋∠2＝90° 所以∠3＝90°－∠2 ＝90°－32° ＝58° 即∠2的度数是32°；∠3的度数是58°。 10．（24-25四年级上·四川成都·期末）光线在空气中传播时，如果照到镜面上，则会发生反射现象，并且入射角与反射角的度数相等（如图1所示）。根据这个结论，如果一缕光线照到镜面上（如图2所示），反射光线会照到玩具小熊的身上吗？请你先测量∠1的度数，再画出反射光线并标出反射角的度数，验证你的结论。 经过测量，∠1＝（    ）°，反射光线（    ）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 【答案】65；会；图见详解 【思路引导】角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心点和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线是几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈，据此测量∠1的度数。再把量角器的零刻度线与图中的虚线重合，量角器的中心点与角的顶点重合，找到65°的位置，注意内外圈的刻度，画出反射光线，再据此解答。 【规范解答】 经过测量，∠1＝（65）°，反射光线（会）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）已知∠AOB＝100°，OC为一条射线，射线ON、OM分别平分∠BOC和∠AOC，那么∠MON等于（    ）度。 A．50 B．25 C．45 D．75 【答案】A 【思路引导】射线ON、OM分别平分∠BOC和∠AOC，所以∠MON的度数是∠AOB的一半，用100°除以2即可解答。 【规范解答】∠MON＝100°÷2＝50° 故答案为：A 【考点剖析】清楚各角度之间的关系是解答此题的关键。 2．一个角是60°，画在1：4的图上，应画（  ） A．15° B．240° C．60° D．无法确定 【答案】C 【规范解答】解：一个角是60°，画在1：4的图上，该角两边张口的大小没有发生变化，故应画60°． 故选C． 根据角的大小与两边张口的大小有关，张口越大，角越大；张口越小，角越小．和两边的长短无关即可作出选择．考查了画指定度数的角，本题关键是把握角的大小与两边张口的大小有关，角的大小和两边的长短无关的知识点． 3．（2022四年级上·辽宁·专题练习）钟表上的时间为10：50时，时针与分针形成的较小夹角是( )度。 【答案】25 【思路引导】钟面上每相邻两个数字间的夹角是：360°÷12＝30°，50分钟是1小时的，10：50时，分针指在10的位置，而时针走了两个数字之间（10和11之间）的，此时时针和分针的夹角是（30÷6×5）°。据此解答。 【规范解答】360°÷12＝30° 50分钟是1小时的； 30°÷6×5 ＝5°×5 ＝25° 【考点剖析】本题考查的是求时针与分针夹角的问题，关键是明确时针走到10和11之间的什么位置。 4．（22-23四年级上·河北张家口·期末）如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 【答案】 25 垂直 平行 【思路引导】观察图示可得：∠1、直角和65°角组成一个平角，平角＝180°，直角＝90°，∠1＝180°－90°－65°；平行和垂直的定义：同一平面内不相交的两条直线，互相平行；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° 所以，∠1＝25°，直线a与直线d互相垂直，直线c与直线d互相平行。 【考点剖析】熟练掌握直角、平角、平行和垂直的特征是解题的关键。 5．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点……连一连，写出最多可以得到多少条线段。 平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系： 【答案】见详解 【思路引导】线段有两个端点，所以两个点可以画一条线段，据此在题图上画出线段，然后再分析点的数量与线段的条数之间的关系即可。 【规范解答】 2个点连线的数量：1 条 3个点连线的数量：1＋2＝3（条） 4个点连线的数量：1＋2＋3＝6（条） 5个点连线的数量：1＋2＋3＋4＝10（条） 可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋……＋（点的数量－1） 【考点剖析】本题的解题关键是根据已知图形中点与线段条数的关系，推理出结论进行解答。 6．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）在同一平面内，20条直线最多有多少个交点？ 【答案】190个 【思路引导】2条直线有1个交点，3条直线最多有1＋2＝3个交点，4条直线最多有1＋2＋3＝6个交点，……，20条直线最多有1＋2＋3＋…＋19＝190个交点，据此即可解答。 【规范解答】1＋2＋3＋…＋19 ＝（1＋19）×19÷2 ＝20×19÷2 ＝380÷2 ＝190（个） 答：20条直线最多有190个交点。 【考点剖析】本题主要考查学生的分析推理能力。 7．（21-22四年级上·广东韶关·单元测试）下面是淘气将一张长方形纸折起来的图形，已知∠1＝56°，求∠2的度数。 【答案】62° 【思路引导】观察图片可以发现，把折起来的长方形纸展开，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°；当把纸折起来后，∠2盖住了一个与它度数相等的角，所以展开后，就是∠1＋∠2＋∠2＝180°，已知∠1＝56°，据此可以求出∠2的度数。 【规范解答】根据分析可得，∠2的度数是： （180°－56°）÷2 ＝124°÷2 ＝62° 答：∠2的度数是62°。 【考点剖析】本题的关键是理解∠2盖住了一个和它相等的角。 8．已知如图∠1=48°，列算式求出下面各角的度数．求∠2、∠3、∠4、∠5 的度数． 【答案】∠2=42°，∠3=138°，∠4=42°，∠5=90° 【规范解答】根据直角的定义可求∠2的度数，根据平角的定义可求∠3、∠4、∠5的度数． 9．（24-25四年级上·四川成都·期中）过点P画直线AB的垂线，过点O画CD的平行线。 【答案】见详解 【思路引导】（1）过P点画直线AB的垂线的方法：用三角板的一条直角边与直线AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向直线CD画直线即可. （2）过O点画直线CD的平行线的方法：把三角板的一条直角边与直线CD重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺不动，沿直尺移动三角板，使三角板另一条直角边移动到与A点重合，然后过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【规范解答】根据分析可得： 【考点剖析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力。 10．根据题意作图 （1）过点A画出直线L的平行线 （2）用量角器画出一个105度的角 （3）画一条3cm长的线段，然后过线段上任意一点，做这条线段的垂线． 【答案】（1）   （2）   （3） 【规范解答】（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；（2）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器105°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角；（3）先画一条3厘米长的线段，在其上面任选一点A，再把三角板的一条直角边与3厘米线段重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段重合的直角边和A点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线与角（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 线段、射线与直线的认识： 理解线段（两个端点、可度量）、射线（一个端点、无限延伸）、直线（无端点、双向无限延伸）的定义及区别，掌握用字母表示方法（如线段AB、射线AB、直线AB）。 准确区分线段、射线、直线，掌握其表示方法及特性，能规范画图。 多以填空、选择、判断题出现，考查基本概念辨析（如“射线是否可测量长度”）。 两点之间线段最短与距离： 理解“两点之间线段最短”的性质，掌握两点间距离的定义（连接两点的线段长度）。 能应用线段性质解决实际问题（如最短路径问题），准确计算两点间距离。 常结合生活场景（如从家到学校的最短路线）以选择题、应用题形式出现。 平行线的认识与画法： 理解平行线的定义（同一平面内不相交的两条直线），掌握用三角尺和直尺画平行线的方法。 能准确判断平行线，规范完成平行线的画图操作。 多以画图题、判断题出现，考查画图技能和概念理解。 垂直的认识与画法： 理解垂直的定义（两条直线相交成直角），掌握用三角尺画垂线的方法，认识垂足和点到直线的距离。 能判断垂直关系，规范画垂线，理解垂线段最短的性质。 能判断垂直关系，规范画垂线，理解垂线段最短的性质。 角的定义与分类： 理解角的定义（由一个顶点引出的两条射线组成），掌握锐角（<90°）、直角（=90°）、钝角（>90°且<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）的分类及关系。 能准确判断角的类型，理解各类角的大小关系（如锐角<直角<钝角<平角<周角）。 多以选择题、填空题出现，考查角度分类和比较（如“一个周角等于几个直角”）。 角的度量与画法： 掌握角的度量单位（度，符号“°”），认识量角器的结构，熟练用量角器量角和画指定度数的角。 能规范使用量角器，准确测量和绘制角度，避免内外圈刻度混淆。 常以量角、画角题出现，考查操作技能（如“用量角器画出75°的角”）。 角的计算与组合： 理解角的大小与边的长短无关，与张口大小有关；掌握角的组合与分解（如直角+锐角=钝角）。 理解角的大小与边的长短无关，与张口大小有关；掌握角的组合与分解（如直角+锐角=钝角）。 多以解决问题形式出现，考查逻辑推理能力（如“已知∠1=30°，求∠2的度数”）。 知识点01：直线、线段和射线的认识 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 知识点02：角的概念和表示 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 知识点03：垂直与平行的特征及性质 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 知识点04：角的度量 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 知识点05：画指定度数的角 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角 题型一 线段、直线、射线的认识及特征 【例1】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）在讨论各种“线”时，说的是射线的是（    ）。 A．踢起足球后的路线 B．太阳发出的光线 C．拉直的一段毛线 【变式】（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）数一数下图中共有（    ）条线段。 A．10 B．8 C．5 题型二 两点间线段最短与两点间的距离 【例2】（21-22四年级上·陕西咸阳·期末）如图，从林林家到图书馆走( )号路最近。 【变式】（21-22四年级上·安徽六安·期末）画一画。    （1）甲村到乙村要铺设一条水管，怎样铺才最节省材料？在上图中画出来。 （2）甲村要修一条路通往高速公路，怎样修最近？在上图中画出来。 题型三 垂直的特征 【例3】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）小亮要从A点出发横穿马路，怎样走最近？画一画。 【变式】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走哪条路最近？为什么？ （2）王大爷每天都去河边钓鱼，他怎样走最近？在图中画出来。 题型四 画垂线 【例4】（24-25四年级上·浙江金华·期末）过直线外一点画出已知直线的垂线。 【变式】（24-25四年级上·广东韶关·期末）为了提升区域道路通行能力，新华村委正在筹备修路工程。 （1）请画出从新华村到村委会最近的一条路。 （2）从新华村修一条公路到国道，怎样修最近？请画一画。 题型五 点到直线的距离 【例5】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）要在A或B道路上建一个地铁出站口，P处是大型写字楼，问地铁出站口设在哪条道路上，才能使在该写字楼的工作人员到地铁出站口最近？请把这个地铁出站口用点C表示出来，并保留作图痕迹。 【变式】（23-24四年级上·陕西延安·期末）一只鸭子在池塘中游泳，游到点A处时它想尽快游上岸，请你在图中画出鸭子游上岸的最短路线。 题型六 平行的特征及性质 【例6】（24-25四年级上·福建泉州·期末）观察平面图，下列说法正确的是（    ）。 ①思齐路与自强路互相垂直 ②自强路与向上路互相垂直 ③思齐路与向上路互相平行 A．① B．①② C．③ D．①②③ 【变式】（24-25四年级上·四川成都·期末）在直线、射线、线段这三种图形中、只有( )可以度量长度。同平面内，过直线外一点，可以画( )条直线与已知直线平行。 题型七 画平行线 【例7】（24-25四年级上·四川成都·期末）下图是一块平行四边形的露营地，奇思在这块露营地的小路上跑步，淘气在草坪上跑步。 （1）淘气跑的路线与小路平行，请你画一条直线表示淘气跑步的路线。 （2）笑笑想走到奇思所在的这条小路，请你画出她去这条小路的最短路线。 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）下图是一街区的平面示意图。 （1）幸福小区准备铺设天然气管道，天然气主管道在鹏程东路上，怎样铺设才能最节省管道？请在图中画出示意图。 （2）步行街在幸福小区与喷泉广场之间，恰好与鹏程东路平行。请在图中画出步行街的大概位置。 题型八 平角、周角的认识及特征 【例8】（24-25四年级上·山西吕梁·期末）在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）如图，鹏鹏家的一盏台灯。估一估两根灯杆的夹角（即图中∠1）大约是多少度？（    ） A．70° B．90° C．130° D．170° 题型九 角的大小比较 【例9】（24-25四年级上·安徽六安·期末）用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是( )。 【变式】一个角比直角大25°，它的度数是( )，它是( )角；一个角比直角小32°，它的度数是( )，它是( )角。 题型十 角的度量 【例10】（24-25四年级上·福建泉州·期末）按要求作图。 （1）以图①O点为顶点，画一个65°角。 （2）比一比，∠O ○ ∠A。 （3）在图②中，过点D画一条到线AB距离最近的线段，这条线段与线段BC的位置关系是（    ）。 【变式】（24-25四年级上·四川成都·期末）思思在观看爸爸打台球时发现，当球撞向桌边时，就会向另一个方向弹走，如图所示。 （1）观察射入角和射出角，猜想射入角、射出角有什么关系？量一量，验证你的猜想。 猜想： 射入角射出角 验证：量一量 ∠1＝（    ）°   ∠2＝（    ）°   ∠1∠2 ∠3＝（    ）°   ∠4＝（    ）°   ∠3∠4 结论： 射入角射出角 （2）运用上面的结论，补全下面的台球行进路线。 题型十一 用量角器画角 【例11】（24-25四年级上·安徽芜湖·期末）画出、和的角。 【变式】（24-25四年级上·福建泉州·期末）请你在下面这个破损的量角器上画一个50°的角。右图数线中能比较准确表示出左边量角器中画出的角的度数的点是（    ）。 题型十二 用三角尺画角 【例12】（24-25四年级上·广东揭阳·期末）用一副三角尺可以画出（    ）的角。 A．130° B．170° C．80° D．15° 【变式】（24-25四年级上·广东深圳·期末）笑笑用一副三角板拼角（如图所示），请你写出如图各角度数。 ∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 题型十三 角度的计算 【例13】（24-25四年级上·浙江金华·期末）把一张正方形纸按图折叠，如果，那么（    ）。 A．35 B．55 C．25 D．20 【变式】24-25四年级上·广东深圳·期末）先量出∠1的度数，并标上度数，再在右边有所破损的量角器上画一个与∠1一样大的角。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26四年级上·四川成都·期中）下列角度中，用一副三角板不可以拼出的是（    ）。 A．75 B．110 C．150 D．180 2．（24-25四年级上·浙江金华·期末）两块三角板如图所示摆放，等于（    ）。 A．45° B．75° C．105° D．135° 3．（24-25四年级上·浙江金华·期末）用一副三角尺可以拼成一些角，下面的角不可能拼成的是（    ）。 A．105° B．75° C．130° D．15° 4．（23-24四年级上·天津滨海新·期末）如图，已知∠2＝23°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 5．（14-15四年级·全国·期末）线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。 6．（25-26四年级上·广东深圳·月考）将一张三角形纸的一个角折起来（如图），，则( )°。 7．（2014四年级·全国·课后作业）用一副三角尺可以拼出135°的角。( )（判断对错） 8．（23-24四年级上·河北·课后作业）9：30时，钟面上的时针和分针互相垂直。( )（判断对错） 9．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）量出下列各角的度数，并说一说这些角各是什么角。 10．（23-24四年级上·四川成都·期末）如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角是（    ）。 A．150° B．30° C．15° D．5° 2．把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，另一个一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 3．（25-26四年级上·广东深圳·月考）如图中有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．11 D．12 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）钟面上6：00时，时针与分针的夹角是( )角；从上午9：00到下午3：00，时针旋转了( )°，相当于( )个直角的度数之和。 5．（24-25四年级上·四川成都·期中）如图，∠1＝45°，∠2＝30°，那么∠3＝( )，∠4＝( )。 6．（24-25四年级上·福建泉州·期末）一张长方形的纸（如图），折起来后∠1＝75°，那么∠2＝( )°。 7．（21-22四年级上·重庆大足·期末）书上有一个20°的角，用5倍的放大镜看是100°。( )（判断对错） 8．（23-24四年级上·安徽六安·期末）把一张长方形的纸连续对折两次后展开，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。( )（判断对错） 9．（23-24四年级上·陕西延安·期末）如图是由两个相同的三角尺拼成的，∠1＝58°，求∠2，∠3的度数。 10．（24-25四年级上·四川成都·期末）光线在空气中传播时，如果照到镜面上，则会发生反射现象，并且入射角与反射角的度数相等（如图1所示）。根据这个结论，如果一缕光线照到镜面上（如图2所示），反射光线会照到玩具小熊的身上吗？请你先测量∠1的度数，再画出反射光线并标出反射角的度数，验证你的结论。 经过测量，∠1＝（    ）°，反射光线（    ）（填“会”或“不会”）照到玩具小熊身上。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）已知∠AOB＝100°，OC为一条射线，射线ON、OM分别平分∠BOC和∠AOC，那么∠MON等于（    ）度。 A．50 B．25 C．45 D．75 2．一个角是60°，画在1：4的图上，应画（  ） A．15° B．240° C．60° D．无法确定 3．（2022四年级上·辽宁·专题练习）钟表上的时间为10：50时，时针与分针形成的较小夹角是( )度。 4．（22-23四年级上·河北张家口·期末）如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 5．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点……连一连，写出最多可以得到多少条线段。 平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系： 6．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）在同一平面内，20条直线最多有多少个交点？ 7．（21-22四年级上·广东韶关·单元测试）下面是淘气将一张长方形纸折起来的图形，已知∠1＝56°，求∠2的度数。 8．已知如图∠1=48°，列算式求出下面各角的度数．求∠2、∠3、∠4、∠5 的度数． 9．（24-25四年级上·四川成都·期中）过点P画直线AB的垂线，过点O画CD的平行线。 10．根据题意作图 （1）过点A画出直线L的平行线 （2）用量角器画出一个105度的角 （3）画一条3cm长的线段，然后过线段上任意一点，做这条线段的垂线． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $